Определение Минимальной Скорости Математического Маятника для Полного Оборота: Сравнительный Анализ Случаев Жесткого Стержня и Нерастяжимой Нити

В мире, где инженерные конструкции и механизмы постоянно стремятся к оптимизации и надежности, понимание фундаментальных принципов классической механики остается краеугольным камнем. Среди множества задач, моделирующих реальные системы, задача о движении математического маятника в вертикальной плоскости, совершающего полный оборот, занимает особое место. Она не только иллюстрирует элегантность законов сохранения, но и выявляет тонкие, но критически важные различия в поведении систем, зависящие от природы их связей.

Данная работа посвящена подробному анализу и выводу минимальных условий для совершения полного оборота математическим маятником в двух принципиально различных конфигурациях: с подвесом на жестком стержне и на нерастяжимой нити. Мы углубимся в теоретические основы, проведем сравнительный анализ физических особенностей каждого типа подвеса и, что самое важное, предоставим пошаговый, академически строгий вывод формул для минимальной начальной скорости, необходимой для успешного полного оборота. Цель работы — не просто дать ответы, но и раскрыть методологию их получения, что является неотъемлемой частью инженерного и научного мышления.

Теоретические Основы Классической Механики

Чтобы уверенно ориентироваться в тонкостях движения маятника, необходимо прежде всего четко определить ключевые концепции и законы, составляющие фундамент классической механики, ибо именно эти принципы станут нашим надежным инструментарием для анализа поставленной задачи.

Математический маятник: определение и идеализация

Представьте себе мир, свободный от несущественных деталей, где физические системы упрощены до их чистейшей сути. В такой идеализированной вселенной рождается понятие математического маятника. Это не просто грузик на веревочке; это абстрактная модель, состоящая из материальной точки массой m, которая подвешена на невесомой нерастяжимой нити или легком стержне длиной L в однородном поле силы тяжести.

Что означают эти «идеализированные характеристики»?

• Материальная точка: Предполагается, что вся масса сосредоточена в одной точке, и размерами груза можно пренебречь. Это исключает сложные моменты инерции и вращение самого груза.
• Невесомая нить/стержень: Массой подвеса пренебрегают. Это значительно упрощает расчеты, позволяя сосредоточиться на динамике груза.
• Нерастяжимая нить/стержень: Длина подвеса L остается постоянной на протяжении всего движения, что означает, что груз движется строго по дуге окружности.
• Однородное поле силы тяжести: Сила тяжести mg считается постоянной и направленной строго вертикально вниз в любой точке траектории.

Положение равновесия математического маятника — это точка, где груз находится в состоянии покоя, а силы тяжести и натяжения подвеса полностью компенсируют друг друга. Для маятника, движущегося в вертикальной плоскости, это самая нижняя точка траектории.

Основные законы динамики и энергетики

Для описания движения нашего идеализированного маятника мы будем опираться на два столпа классической механики: Второй закон Ньютона, который описывает связь между силой и движением, и Закон сохранения механической энергии, позволяющий анализировать изменения в системе, не углубляясь в каждую отдельную силу.

Второй закон Ньютона
Этот закон, формулируемый как F = ma, является краеугольным камнем динамики. Он утверждает, что равнодействующая всех сил, действующих на тело (F), прямо пропорциональна массе тела (m) и его ускорению (a), и направлена в ту же сторону, что и ускорение.

При движении по окружности, как это происходит с нашим маятником, появляется специфический вид ускорения — центростремительное ускорение (a_ц). Оно всегда направлено к центру окружности и не изменяет величину скорости, но постоянно меняет её направление, поддерживая движение по дуге. Величина центростремительного ускорения определяется формулой:

aц = v2/R

где v — мгновенная скорость тела, а R — радиус окружности (в нашем случае, длина подвеса L).

Соответственно, сила, вызывающая это ускорение, называется центростремительной силой (F_ц). Она также направлена к центру вращения и рассчитывается как:

Fц = m ⋅ aц = m ⋅ v2/R

Важно понимать, что центростремительная сила — это не какая-то новая, отдельная сила, а результирующая проекция всех действующих сил на направление к центру вращения.

Закон сохранения механической энергии
Этот закон является мощным инструментом для анализа движения в поле консервативных сил (например, силы тяжести, силы упругости), где работа этих сил не зависит от траектории, а только от начального и конечного положения. В таких системах полная механическая энергия (E) остается постоянной:

E = Eк + Eп = const

Полная механическая энергия — это сумма кинетической энергии (E_к), связанной с движением, и потенциальной энергии (E_п), связанной с положением тела.

• Кинетическая энергия — это энергия движения, зависящая от массы (m) и скорости (v) тела:
  Eк = (m ⋅ v2)/2
• Потенциальная энергия в поле силы тяжести — это энергия положения тела, зависящая от его массы (m), ускорения свободного падения (g) и высоты (h) относительно выбранного нулевого уровня:
  Eп = mgh

Применяя этот закон, мы можем связать параметры движения (скорость и высоту) в различных точках траектории маятника без необходимости детального анализа сил в каждый момент времени.

Физические Различия Маятника на Жестком Стержне и Нерастяжимой Нити

На первый взгляд, маятник на стержне и маятник на нити могут показаться идентичными системами. Однако, именно в характере их подвеса кроются фундаментальные физические различия, которые кардинально меняют условия, необходимые для совершения полного оборота. Это та самая «слепая зона», которую часто упускают в упрощенных объяснениях.

Стержень как двухсторонний элемент

Жесткий стержень — это конструкция, способная выдерживать нагрузки как на растяжение, так и на сжатие. Это означает, что он может не только «тянуть» прикрепленный к нему груз, но и «толкать» его. Представьте себе турник: вы можете подтянуться на нем (растяжение), а можете, упираясь в него ногами, оттолкнуться (сжатие).

В контексте маятника это имеет колоссальное значение:

• Поддержка при любой скорости: Даже если в верхней точке траектории скорость груза станет равна нулю, стержень сохранит свою форму и будет продолжать поддерживать груз, не позволяя ему упасть. Он может быть сжат, но не «сложится» и не потеряет свою жесткость.
• Отсутствие провисания: Стержень никогда не провиснет, в отличие от нити. Это означает, что траектория движения груза всегда будет строго круговой, пока стержень остается целым.
• Условие v ≥ 0: Благодаря способности стержня толкать груз, минимальное условие для совершения полного оборота в верхней точке заключается лишь в том, чтобы скорость груза была неотрицательной (v_верх ≥ 0). Если скорость станет нулевой, груз просто остановится на мгновение в верхней точке, и под действием силы тяжести начнет движение вниз по другой стороне окружности.

Нить как односторонний элемент

Нерастяжимая нить, напротив, является «односторонним» элементом связи. Она способна работать только на растяжение; она может «тянуть» груз, но абсолютно неспособна «толкать» его. Если натяжение нити исчезает или становится отрицательным (что физически невозможно для нити), она мгновенно провисает, и груз перестает двигаться по заданной круговой траектории.

Последствия этого принципиального отличия:

• Условие T ≥ 0: Для того чтобы маятник на нити продолжал движение по окружности, сила натяжения нити (T) должна быть строго положительной (T > 0) или, в критическом случае, равна нулю (T = 0). Как только T становится меньше нуля (что означает необходимость сжимать нить), нить перестает быть связью, и груз отрывается от круговой траектории, начиная свободно падать или двигаться по параболе.
• Минимальная ненулевая скорость: Это условие T ≥ 0 в верхней точке траектории приводит к тому, что груз должен обладать некоторой минимальной, ненулевой скоростью. Почему? Потому что в верхней точке сила тяжести mg направлена вниз, к центру вращения. Если скорость будет слишком мала, сила тяжести станет больше, чем центростремительная сила, необходимая для движения по окружности, и нить ослабнет. Только достаточная скорость может обеспечить требуемую центростремительную силу.

Влияние на степени свободы и траекторию

Хотя для нашей задачи, рассматривающей движение в вертикальной плоскости, это не является центральным, стоит отметить, что тип подвеса также влияет на возможные степени свободы движения. В простейшем случае, когда движение маятника ограничено одной вертикальной плоскостью, обе системы (на стержне и на нити) имеют одну степень свободы. Однако, если мы рассмотрим более сложный случай, например, сферический маятник, где груз может двигаться в трехмерном пространстве, ситуация меняется. Жесткий стержень все равно будет поддерживать одну степень свободы, поскольку он фиксирует расстояние и направление. Нерастяжимая нить в этом случае, если она не провисает, также формально ограничивает груз на сфере, но при провисании груз может «отрываться», что ведет к изменению динамики и фактически к потере ограничения. Для задачи полного оборота в вертикальной плоскости эти тонкости менее критичны, но они подчеркивают глубинное различие между этими двумя типами связей.

Условия Совершения Полного Оборота в Вертикальной Плоскости

Теперь, когда мы понимаем фундаментальные различия между стержнем и нитью, мы можем четко сформулировать и обосновать критические условия, которые должны быть выполнены для совершения полного оборота в вертикальной плоскости для каждого типа подвеса. Эти условия являются ключевыми для дальнейшего вывода формул минимальных скоростей.

Критическое условие для маятника на жестком стержне

Как было отмечено ранее, жесткий стержень обладает уникальной способностью как растягиваться, так и сжиматься, обеспечивая непрерывную связь с грузом. Это свойство кардинально упрощает условие совершения полного оборота.

Обоснование: В верхней точке траектории на груз действуют две силы: сила тяжести mg (направленная вниз) и сила реакции стержня N (которая может быть направлена как вниз, если стержень растянут, так и вверх, если стержень сжат). Равнодействующая этих сил создает необходимую центростремительную силу.

Если скорость груза в верхней точке будет очень мала, сила реакции стержня N изменит свое направление и станет направлена вверх, «подталкивая» груз. Это означает, что стержень будет работать на сжатие. Даже если скорость груза v_верх станет равной нулю, стержень не даст грузу упасть. Он просто остановится на мгновение и начнет движение вниз по другой стороне окружности. Таким образом, минимальная скорость, необходимая для «прохождения» верхней точки, — это нулевая скорость.

Следовательно, для маятника, подвешенного на жестком стержне, критическое условие для совершения полного оборота заключается в том, что его скорость в верхней точке траектории должна быть:

vверх ≥ 0

Критическое условие для маятника на нерастяжимой нити

Ситуация с нерастяжимой нитью значительно сложнее из-за ее неспособности работать на сжатие. Нить может только тянуть груз. Если натяжение нити исчезнет, груз потеряет связь с круговой траекторией.

Обоснование: В верхней точке траектории на груз также действуют две силы: сила тяжести mg (направленная вниз) и сила натяжения нити T (также направленная вниз, к центру вращения). Их сумма обеспечивает центростремительную силу.

Применяя Второй закон Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную к центру вращения (вниз), мы получаем:

T + mg = m ⋅ vверх2/L

Для того чтобы нить не провисла, сила натяжения T должна быть неотрицательной. Критическим случаем, при котором нить находится на грани провисания и дальнейшего поддержания круговой траектории, является условие, когда сила натяжения нити становится равной нулю:

Tверх = 0

Подставляя это условие в уравнение динамики для верхней точки, мы получаем:

0 + mg = m ⋅ vверх2/L
mg = m ⋅ vверх2/L

Сокращая массу m и выражая v_верх, получаем:

vверх2 = gL

Отсюда следует, что минимальная скорость в верхней точке для маятника на нерастяжимой нити должна быть:

vверх = √(gL)

Это означает, что для нити груз должен обладать некоторой минимальной ненулевой скоростью в верхней точке, чтобы центростремительная сила, необходимая для движения по окружности, обеспечивалась хотя бы силой тяжести. Если скорость будет меньше этого значения, центростремительная сила окажется недостаточной, и нить провиснет.

Детальный Вывод Формул для Минимальной Начальной Скорости

Теперь, вооружившись теоретическими знаниями и пониманием критических условий, мы можем приступить к самому сердцу нашей задачи — пошаговому выводу формул для минимальной начальной скорости, которую необходимо придать маятнику в нижней точке его траектории, чтобы он совершил полный оборот. Мы будем последовательно применять Закон сохранения механической энергии и Второй закон Ньютона.

Для удобства расчетов выберем нулевой уровень отсчета потенциальной энергии на самой нижней точке траектории маятника, то есть на высоте h = 0. Длина подвеса маятника обозначим как L.

Случай маятника на жестком стержне

Рассмотрим маятник, подвешенный на жестком стержне. Наша цель — найти минимальную скорость v_низ, которую нужно придать грузу в нижней точке, чтобы он смог совершить полный оборот.

1. Применение Закона сохранения механической энергии:
   Закон сохранения механической энергии связывает состояние системы в нижней и верхней точках траектории.
   • В нижней точке:
     Высота h_низ = 0.
     Кинетическая энергия: E_к,низ = (m ⋅ v_низ²)/2.
     Потенциальная энергия: E_п,низ = mg ⋅ 0 = 0.
     Полная механическая энергия в нижней точке: E_низ = (m ⋅ v_низ²)/2.
   • В верхней точке:
     Высота h_верх = 2L (поскольку груз поднимается на диаметр окружности).
     Кинетическая энергия: E_к,верх = (m ⋅ v_верх²)/2.
     Потенциальная энергия: E_п,верх = mg ⋅ (2L).
     Полная механическая энергия в верхней точке: E_верх = (m ⋅ v_верх²)/2 + 2mgL.

   Согласно Закону сохранения механической энергии: E_низ = E_верх.

   (m ⋅ vниз2)/2 = (m ⋅ vверх2)/2 + 2mgL (Уравнение 1)

2. Применение критического условия в верхней точке:
   Для жесткого стержня мы установили, что минимальное условие для совершения полного оборота — это скорость груза в верхней точке, равная нулю:

   vверх = 0

3. Нахождение минимальной начальной скорости:
   Теперь подставим критическое условие v_верх = 0 в Уравнение 1:

   (m ⋅ vниз2)/2 = (m ⋅ 02)/2 + 2mgL
(m ⋅ vниз2)/2 = 0 + 2mgL
(m ⋅ vниз2)/2 = 2mgL

   Чтобы найти v_низ, умножим обе стороны уравнения на 2 и разделим на m:

   m ⋅ vниз2 = 4mgL
vниз2 = 4gL

   Извлекая квадратный корень, получаем формулу для минимальной начальной скорости:

   vниз = 2 ⋅ √(gL)

   Таким образом, для маятника на жестком стержне, чтобы совершить полный оборот, достаточно придать ему в нижней точке скорость, равную 2 ⋅ √(gL).

Случай маятника на нерастяжимой нити

Теперь перейдем к более требовательному случаю — маятнику на нерастяжимой нити.

1. Применение Закона сохранения механической энергии:
   Уравнение сохранения механической энергии будет аналогичным, поскольку расчет потенциальной и кинетической энергии зависит только от высоты, скорости и массы, а не от типа подвеса.
   • В нижней точке: E_низ = (m ⋅ v_низ²)/2.
   • В верхней точке: E_верх = (m ⋅ v_верх²)/2 + 2mgL.

   Следовательно:

   (m ⋅ vниз2)/2 = (m ⋅ vверх2)/2 + 2mgL (Уравнение 2)

2. Применение критического условия в верхней точке (с использованием Второго закона Ньютона):
   Для нити, как мы выяснили, критическим условием является равенство нулю силы натяжения нити в верхней точке. Это условие мы получаем из Второго закона Ньютона. В верхней точке на груз действ��ют:
   • Сила тяжести mg (вниз).
   • Сила натяжения нити T (вниз).

   Их сумма обеспечивает центростремительную силу.

   По Второму закону Ньютона в проекции на вертикальную ось, направленную к центру вращения:

   T + mg = m ⋅ vверх2/L (Уравнение 3)

   Для критического случая, когда нить на грани провисания:

   T = 0

   Подставим T = 0 в Уравнение 3:

   0 + mg = m ⋅ vверх2/L
mg = m ⋅ vверх2/L

   Сокращая массу m и выражая v_верх²:

   vверх2 = gL

   И, соответственно, минимальная скорость в верхней точке для нити:

   vверх = √(gL)

3. Нахождение минимальной начальной скорости:
   Теперь, когда мы знаем минимальную скорость в верхней точке (v_верх = √(gL)), подставим это значение в Уравнение 2 (Закон сохранения механической энергии):

   (m ⋅ vниз2)/2 = (m ⋅ (√(gL))2)/2 + 2mgL
(m ⋅ vниз2)/2 = (m ⋅ gL)/2 + 2mgL

   Чтобы упростить, приведем слагаемые в правой части к общему знаменателю:

   (m ⋅ vниз2)/2 = (mgL + 4mgL)/2
(m ⋅ vниз2)/2 = (5mgL)/2

   Умножим обе части на 2 и разделим на m:

   m ⋅ vниз2 = 5mgL
vниз2 = 5gL

   Извлекая квадратный корень, получаем формулу для минимальной начальной скорости:

   vниз = √(5gL)

   Таким образом, для маятника на нерастяжимой нити, чтобы совершить полный оборот, требуется придать ему в нижней точке скорость, равную √(5gL).

Результаты вычислений удобно представить в табличном виде для наглядного сравнения:

Параметр/Случай	Маятник на жестком стержне	Маятник на нерастяжимой нити
Критическое условие в верхней точке	vверх ≥ 0	Tверх ≥ 0 (что приводит к vверх = √(gL))
Минимальная скорость в верхней точке	0	√(gL)
Минимальная начальная скорость в нижней точке (vниз)	2 ⋅ √(gL)	√(5gL)

Заключение

Мы завершили наше аналитическое путешествие по динамике математического маятника, совершающего полный оборот, с учетом двух фундаментально различных типов подвеса. Проведенный анализ показал, что, несмотря на внешнее сходство систем, характер связи — будь то жесткий стержень или нерастяжимая нить — определяет критически важные условия для успешного завершения кругового движения.

Ключевые выводы нашей работы:

1. Различие в условиях верхней точки: Жесткий стержень, способный работать как на растяжение, так и на сжатие, позволяет грузу пройти верхнюю точку даже с нулевой скоростью. В то время как нерастяжимая нить, работающая только на растяжение, требует, чтобы сила натяжения оставалась неотрицательной, что обуславливает минимальную ненулевую скорость vверх = √(gL) в верхней точке.
2. Различие в минимальных начальных скоростях: Это фундаментальное различие в поведении подвесов приводит к разным значениям минимальной начальной скорости в нижней точке. Для маятника на жестком стержне минимальная скорость составляет vниз = 2 ⋅ √(gL), тогда как для маятника на нерастяжимой нити требуется более высокая скорость vниз = √(5gL). Это означает, что для нити энергия системы должна быть выше, чтобы преодолеть верхнюю точку, не провисая.
3. Важность методологии: Данный анализ ярко демонстрирует важность глубокого теоретического обоснования и пошагового применения основных законов физики — Закона сохранения механической энергии и Второго закона Ньютона. Именно такой подход позволяет не только получить корректные формулы, но и понять физическую природу каждого этапа решения.

Понимание этих тонкостей является не просто упражнением в академической механике, но и важным шагом в развитии инженерного мышления, позволяющего точно предсказывать поведение систем и проектировать их с учетом всех физических ограничений.

Список использованной литературы

1. Математический маятник // Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/matematicheskiy-mayatnik (дата обращения: 12.10.2025).
2. Математический маятник — урок. Физика, 9 класс // ЯКласс. URL: https://www.yaklass.ru/p/fizika/9-klass/mekhanicheskie-kolebaniia-12340/matematicheskii-i-pruzhinnyi-maiatniki-12341/re-6b2a0c44-598d-425b-b997-6a7e08b1a8f9 (дата обращения: 12.10.2025).
3. Вывод второго закона Ньютона для вращательного движения + примеры решения задач // Kornev-School.ru. URL: https://kornev-school.ru/vtoroj-zakon-nyutona-dlya-vrashhatelnogo-dvizheniya.html (дата обращения: 12.10.2025).
4. Центростремительная сила // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B5%D0%BD%D1%82%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BC%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D0%BB%D0%B0 (дата обращения: 12.10.2025).
5. Центростремительное ускорение в физике: формула, чему равно // napishem.ru. URL: https://napishem.ru/blog/centrostremitelnoe-uskorenie-v-fizike-formula-chemu-ravno (дата обращения: 12.10.2025).
6. Математический маятник // Блог Skysmart. URL: https://blog.skysmart.ru/articles/fizika/matematicheskii-mayatnik (дата обращения: 12.10.2025).
7. Маятник математический, пружинный. Период колебаний, сила, вызывающая колебание. Формулы, тесты // учебные курсы. URL: https://uchcourses.ru/index.php/fizika/46-matematika/154-majatnik-matematicheskij-pruzhinnyj-period-kolebanij-sila-vyzyvajushhaja-kolebanie-formuly-testy (дата обращения: 12.10.2025).
8. Что такое центростремительная сила? (формула и примеры) // Physigeek. URL: https://physigeek.com/ru/centripetal-force/ (дата обращения: 12.10.2025).
9. Математический маятник // Объединение учителей Санкт-Петербурга. URL: https://spb-uch.ru/fizika/matematicheskij-mayatnik/ (дата обращения: 12.10.2025).
10. Основной закон динамики вращения (II закон Ньютона для вращательного движения) // fizika.net.ru. URL: https://fizika.net.ru/mehanika/vrashhatelnoe_dvizhenie/osnovnoj_zakon_dinamiki.php (дата обращения: 12.10.2025).
11. Формула центростремительного ускорения // Uchi.ru. URL: https://uchi.ru/otvety/questions/formula-tsentrostremitelnogo-uskoreniya (дата обращения: 12.10.2025).
12. Закон сохранения механической энергии // Техническая механика. URL: https://www.tech-mech.ru/zakon-sohraneniya-mehanicheskoj-energii.html (дата обращения: 12.10.2025).
13. Центробежная и центростремительная сила // Словари и энциклопедии на Академике. URL: https://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_physics/1815/%D0%A6%D0%95%D0%9D%D0%A2%D0%A0%D0%9E%D0%91%D0%95%D0%96%D0%9D%D0%90%D0%AF (дата обращения: 12.10.2025).
14. Закон сохранения механической энергии // MultiRing.ru. URL: http://multiring.ru/physics/chapter-1/1-20.php (дата обращения: 12.10.2025).
15. Закон сохранения механической энергии // Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/zakon-sohraneniya-mehanicheskoy-energii (дата обращения: 12.10.2025).
16. Формула центростремительного ускорения в физике // Webmath.ru. URL: https://webmath.ru/poleznoe/centrostremitelnoe-uskorenie.php (дата обращения: 12.10.2025).
17. Закон сохранения энергии // Объединение учителей Санкт-Петербурга. URL: https://spb-uch.ru/fizika/zakon-sohraneniya-energii/ (дата обращения: 12.10.2025).
18. Закон сохранения механической энергии — определение и формулы // Skysmart. URL: https://blog.skysmart.ru/articles/fizika/zakon-sohraneniya-mexanicheskoj-energii (дата обращения: 12.10.2025).
19. Центростремительная и центробежная силы // chem-astu.ru. URL: http://www.chem-astu.ru/lectures/fizika/gl1-5.htm (дата обращения: 12.10.2025).
20. Центростремительное ускорение, теория и онлайн калькуляторы // Webmath.ru. URL: https://webmath.ru/poleznoe/centrostremitelnoe-uskorenie-teoriya-i-online-kalkulyatory.php (дата обращения: 12.10.2025).
21. Понятие кинетической и потенциальной энергии // napishem.ru. URL: https://napishem.ru/blog/ponyatie-kineticheskoj-i-potencialnoj-energii (дата обращения: 12.10.2025).
22. Идеальные нити и блоки. #физика #физикаегэ #нерастяжимая #невесомая #трениянет // YouTube. URL: https://www.youtube.com/watch?v=F3_lC_8Ww_8 (дата обращения: 12.10.2025).
23. Теоретическая справка: Маятники. Видеоурок. Физика // ИнтернетУрок. URL: https://interneturok.ru/lesson/physics/10-klass/kolebaniya-i-volny/teoreticheskaya-spravka-mayatniki (дата обращения: 12.10.2025).
24. Свободные колебания. Математический маятник // MultiRing.ru. URL: http://multiring.ru/physics/chapter-2/2-3.php (дата обращения: 12.10.2025).
25. Курс общей физики. Том 1. Механика, колебания и волны, молекулярная физика, изд. 4 // alleng.org. URL: https://alleng.org/d/phys/phys007.htm (дата обращения: 12.10.2025).
26. Второй закон ньютона для вращательного движения // Kornev-School.ru. URL: https://kornev-school.ru/vtoroj-zakon-nyutona-dlya-vrashhatelnogo-dvizheniya (дата обращения: 12.10.2025).
27. Математический маятник // sites.google.com. URL: https://www.sites.google.com/site/fizikanamaterialovedenie/home/temy-zacetov/fiziceskie-osnovy-mehaniki/matematiceskij-maatnik (дата обращения: 12.10.2025).
28. Математический маятник // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%B0%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA (дата обращения: 12.10.2025).
29. Кинетическая и потенциальная энергии, формулы и теоремы // Zaochnik.com. URL: https://www.zaochnik.com/spravochnik/fizika/zakony-sohranenija-v-mehanike/kineticheskaya-i-potentsialnaya-energii/ (дата обращения: 12.10.2025).
30. Второй закон Ньютона // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0 (дата обращения: 12.10.2025).
31. Центростремительное ускорение и центростремительная сила // ege.sdamgia.ru. URL: https://ege.sdamgia.ru/handbook?id=102 (дата обращения: 12.10.2025).
32. Физический маятник // studref.com. URL: https://studref.com/492576/teoriya_gosudarstva_i_prava/fizicheskiy_mayatnik (дата обращения: 12.10.2025).
33. Умеем ли мы читать физическую задачу?: методические материалы // Инфоурок. URL: https://infourok.ru/umeem-li-mi-chitat-fizicheskuyu-zadachu-5085449.html (дата обращения: 12.10.2025).
34. Математический маятник // DiSpace. URL: https://www.ed-tech.site/physics/oscillations-and-waves/mathematical-pendulum.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
35. КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ // Научная библиотека АТУ. URL: https://library.atu.kz/downloads/physics/Savelyev_v1.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
36. Карапетян А. В. — Теоретическая механика III — 12. Маятник Капицы // YouTube. URL: https://www.youtube.com/watch?v=F_fP49H8S6U (дата обращения: 12.10.2025).
37. Формула силы натяжения нити в физике // Webmath.ru. URL: https://webmath.ru/poleznoe/sila-natyazheniya-niti.php (дата обращения: 12.10.2025).
38. Кинетическая и потенциальная энергии // Work5. URL: https://work5.ru/spravochnik/fizika/kineticheskaya-i-potentsialnaya-energii (дата обращения: 12.10.2025).
39. Если нить нерастяжимая, значит ли это, что сила натяжения равна нулю? // Ответы Mail.ru. URL: https://otvet.mail.ru/question/65487661 (дата обращения: 12.10.2025).
40. Физические основы механики // msf.edu.ru. URL: http://www.msf.edu.ru/course/view.php?id=38&section=11 (дата обращения: 12.10.2025).
41. Потенциальная энергия // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D1%86%D0%B8%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%8D%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%B8%D1%8F (дата обращения: 12.10.2025).
42. Савельев И. В. Курс общей физики — 1. URL: https://www.alleng.org/d/phys/phys001.htm (дата обращения: 12.10.2025).
43. Математический маятник // Кафедра вычислительной физики СПбГУ. URL: https://wiki.comp-phys.spbu.ru/index.php/%D0%9C%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0%D1%82%D0%B8%D1%87%D0%B5%D1%81%D0%BA%D0%B8%D0%B9_%D0%BC%D0%B0%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%B8%D0%BA (дата обращения: 12.10.2025).
44. Савельев И. В. Курс общей физики, том I. Механика, колебания и волны, моле. URL: https://window.edu.ru/catalog/pdf2txt/016/43016/23810?p_page=14 (дата обращения: 12.10.2025).
45. Савельев Игорь Владимирович (физик) // Публичная Библиотека. URL: https://litresp.ru/writer/savel-ev-igor-vladimirovich-fizik (дата обращения: 12.10.2025).
46. Что такое: нерастяжимая нить, невесомая нить? // Ответы Mail.ru. URL: https://otvet.mail.ru/question/65487661 (дата обращения: 12.10.2025).
47. Математический маятник проходит положение равновесия со скоростью 2 м/с. Масса 100 г на какую // Школьные Знания.com. URL: https://znanija.com/task/18449969 (дата обращения: 12.10.2025).
48. Бесплатно скачать решение — Физика, механика. Иродов // fizresheba.ru. URL: https://fizresheba.ru/irodov_1_270.html (дата обращения: 12.10.2025).
49. Закон сохранения энергии. Маятник Максвелла // fizika.ru. URL: https://fizika.ru/teoria/mehanika/zakon-sohraneniya-energii.php (дата обращения: 12.10.2025).
50. Иродов задачи // uchcourses.ru. URL: https://uchcourses.ru/index.php/fizika/46-matematika/154-majatnik-matematicheskij-pruzhinnyj-period-kolebanij-sila-vyvajushhaja-kolebanie-formuly-testy (дата обращения: 12.10.2025).
51. Динамика маятника // MathUs.ru. URL: https://mathus.ru/phys/pend.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
52. Иродов задачи // fizresheba.ru. URL: https://fizresheba.ru/irodov_teor_svedeniya.html (дата обращения: 12.10.2025).
53. Задачи по общей физике : учебное пособие для вузов // Лабиринт. URL: https://www.labirint.ru/books/742055/ (дата обращения: 12.10.2025).
54. Какую минимальную скорость должен иметь математический маятник, проходя положение устойчивого // Школьные Знания.com. URL: https://znanija.com/task/17154944 (дата обращения: 12.10.2025).
55. Математический маятник (груз малых размеров на легком подвесе длины l) находится в положении равновесия // Ответы Mail.ru. URL: https://otvet.mail.ru/question/210419163 (дата обращения: 12.10.2025).
56. Как закон сохранения механической энергии используется в практических приложениях, таких как… // Яндекс Нейро. URL: https://yandex.ru/q/question/kak_zakon_sokhraneniia_mekhanicheskoi_energii_8614529f/ (дата обращения: 12.10.2025).
57. Математический маятник // PhysBook. URL: https://physbook.ru/index.php/A._Математический_маятник (дата обращения: 12.10.2025).
58. Превращения энергии при гармонических колебаниях // Учительский портал. URL: https://www.uchportal.ru/publ/22-1-0-1049 (дата обращения: 12.10.2025).
59. Второй закон Ньютона // EASY-PHYSIC. URL: https://easy-physic.ru/teoriya/vtoroy-zakon-nyutona (дата обращения: 12.10.2025).
60. Курс общей физики // docviewer.yandex.ru. URL: https://docviewer.yandex.ru/view/0/%D0%9A%D0%A3%D0%A0%D0%A1%20%D0%9E%D0%91%D0%A9%D0%95%D0%99%20%D0%A4%D0%98%D0%97%D0%98%D0%9A%D0%98_1.pdf?page=2&lang=ru&cb=1707908865672&redircnt=1 (дата обращения: 12.10.2025).
61. Проверка закона сохранения энергии при помощи маятника Максвелла // Томский политехнический университет. URL: http://portal.tpu.ru/SHARED/g/GVF/uchebnyie_posobiya/Tabl_Lab_rab_Fiz_mef/Tabl_Lab_rab_Fiz_mef_files/m-25_proverka%20zakona%20sohraneniya%20energii%20pri%20pomoschi%20mayatnika%20maksvella.pdf (дата обращения: 12.10.2025).
62. Второй закон Ньютона // edu.ru. URL: http://www.edu.ru/modules.php?op=modload&name=Web_Links&file=index&req=viewlink&cid=2861 (дата обращения: 12.10.2025).
63. Второй закон Ньютона // Wikiwand. URL: https://www.wikiwand.com/ru/%D0%92%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0 (дата обращения: 12.10.2025).
64. Глава 8 // cyberleninka.ru. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/glava-8-1/viewer (дата обращения: 12.10.2025).
65. Математический маятник // Pho.rs. URL: https://pho.rs/lectures/physical-modeling/mathematical-pendulum (дата обращения: 12.10.2025).
66. Физика для программистов» — как физтехи применяют её в приложениях. Маятники // Хабр. URL: https://habr.com/ru/companies/sberbank/articles/799652/ (дата обращения: 12.10.2025).
67. Задача 1: минимальная скорость, необходимая для полного оборота шара // AFPortal.ru. URL: https://afportal.ru/fizika/zadachi-s-resheniyami/zadacha-1-minimalnaya-skorost-neobhodimaya-dlya-polnogo-oborota-shara.html (дата обращения: 12.10.2025).
68. Подготовка прибора к измерениям // Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/4462115/page:6/ (дата обращения: 12.10.2025).