Содержание
II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
Тема 5. Выборка и ее распределения.
1. Проверено 3000 патронов из всего их выпуска. При этом доля брака составила 0,15. Найти вероятность того, что отклонение доли брака в выборке от генеральной доли не превышает по абсолютной величине 0,01, если выборка повторная.
Решение:
Пусть случайная величина Х доля брака распределена нормально с параметрами (0, 0,15). Математическое ожидание случайной величины равно нулю, поэтому применима формула , где заданная величина отклонения (ошибки), среднеквадратическое отклонение случайной величины. В итоге находим, что , где значение найдено из таблицы значений функции Лапласа. Искомая вероятность .
Ответ: Искомая вероятность равна 0,004.
2. По данным выборки, представленным вариационным рядом:
12589
частоты
34643
найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию .
Решение:
где
Ответ:
Тема 7. Регрессионный и дисперсионный анализ.
1. Данные статистической обработки сведений по двум основным показателям (х) и (у) отражены в корреляционной таблице.
Х
Y50
60708090100110120130140150160Итого
50213
6012115
7033118
801153212
901659521130
1001662082144
110139156411242
1201856211226
1304435420
14041128
1501236
16011211410
Итого674193161312484514214
Найти уравнение прямой регрессии у по х и определить коэффициент корреляции.
Решение:
Составим корреляционную таблицу 1, выбрав в качестве ложных нулей (каждая из вариант расположена в середине соответствующего вариационного ряда).
Таблица 1.
u(t)
v(t)5
43210123456Итого
5213
412115
333118
21153212
11659521130
01662082144
1139156411242
21856211226
34435420
441128
51236
611211410
Итого
674193161312484514214
Найдем условные варианты и :
.
Найдем вспомогательные величны и :
.
Найдем и :
,
.
Найдем величину , для чего составим расчетную таблицу 2. Суммируя числа последнего столбца или последней строки таблицы 2, находим .
Найдем искомый выборочный коэффициент корреляции:
.
Теперь найдем средние значения, учитывая, что и шаги (разности между любыми двумя соседними вариантами):
и среднеквадратические отклонения:
Подставив найденные величины в соотношение , получим искомое выборочное уравнение регрессии Y на X. Получаем:
или
Ответ:
Таблица 2.
u(t)
v(t)
5
43210123456
510 2
105
1
4
14
70
44
1
58
2
84
1
24
1
1
16
64
39
3
159
3
123
1
33
1
2
32
96
22
1
32
1
210
5
56
3
04
2
2
8
16
11
1
36
6
125
5
59
9
05
5
52
2
41
1
41
1
6
1
1
00
1
30
6
120
6
60
20
00
8
80
2
40
1
4
5
0
11
1
43
3
69
9
915
15
06
6
64
4
81
1
31
1
42
2
12
14
14
22
1
216
8
010
5
512
6
124
2
62
1
42
1
54
2
12
42
84
312
4
412
4
09
3
315
5
1012
4
12
21
63
416
4
84
1
34
1
58
2
12
28
112
55
1
010
2
1015
3
18
28
140
66
1
16
1
012
2
26
1
26
1
524
4
24
32
192
232161083928512122252852
1158418208028102638110312852=
2. Распределение имеющихся на участке 400 молодых сосен по общей длине ствола в сантиметрах (х) и длине его части без ветвей (у) дается в следующей таблице:
Х
Y14182226зо343842Итого
2517522
45153525782
6511391556
855115311769
105735161
1255351353
1451933557
Итого384286567354465400
По этим данным определить коэффициент корреляции.
Решение:
Составим корреляционную таблицу 3, выбрав в качестве ложных нулей (каждая из вариант расположена в середине соответствующего вариационного ряда).
Таблица 3.
Х
Y21012345Итого
117522
0153525782
111391556
25115311769
3735161
45351353
51933557
Итого384286567354465400
Найдем условные варианты и :
.
Найдем вспомогательные величины и :
.
Найдем и :
,
.
Найдем величину , для чего составим расчетную таблицу 4. Суммируя числа последнего столбца или последней строки таблицы 4, находим .
Таблица 4.
u(t)
v(t)21012345
117
17
345
5
5
39
39
00
15
300
35
350
25
00
7
7
58
0
11
1
21
1
139
39
015
15
15
12
12
210
5
102
1
130
15
062
31
3134
17
34
54
108
321
7
09
3
3153
51
102
105
315
420
5
10140
35
10552
13
52
167
668
595
19
57165
33
13225
5
25
214
1070
629086207235217252212
1220864147058681252212=
Найдем искомый выборочный коэффициент корреляции:
.
Ответ:
3. По данным о значениям х и у найти параметры a и b по способу наименьших квадратов, полагая, что х и у связаны зависимостью вида у=ах+b.
х012345
y4,66,38,49,311,713,2
Решение:
Воспользуемся простейшей линейной моделью вида:
.
Параметры данной модели оценим по методу наименьших квадратов (МНК).
Для линейной модели параметры:
,
где среднее значение фактора времени; среднее значение исследуемого показателя , где N=6.
Найдем указанные величины:
Таким образом, параметры a и b и сама линейная регрессионная модель будут иметь вид: .
Ответ:
4. Рост производительности труда на предприятии за пять лет отражен в следующей таблице:
Годы12345
Среднее количество деталей,
выпускаемых рабочим за смену235250270292300
Полагая, что рост производительности труда следует линейной зависимости у=ах+b, найти по этим данным параметры а и b, применив способ наименьших квадратов.
Решение:
Для отражения тенденции изменения производительности труда воспользуемся простейшей линейной моделью вида:
.
Параметры прямой роста оценим по методу наименьших квадратов (МНК).
Для линейной модели параметры:
,
где среднее значение фактора времени; среднее значение исследуемого показателя , где N=5.
Найдем указанные величины:
.
Таким образом, рост производительности труда на предприятии за пять лет изменяется по закону .
Ответ: .
Выдержка из текста
Контрольные упражнения по курсу
для студентов заочной формы обучения по специальностям экономики и менеджмента
«МАТЕМАТИКА»
Часть 1я аналитическая геометрия,
линейная алгебра и математический анализ
Тема 1. Декартова прямоугольная система координат
1. На оси координат найти точку, через которую проходит прямая, соединяющая точки (3;2) и (2;8).
Решение: Найдем уравнение прямой, проходящей через точки и , получим: ,
Если , то . Следовательно, точка , через которую проходит прямая имеет координаты .
Ответ:
2. По данным вершинам треугольника A(9;1), B(5;0) и C(5;7) определить угловые коэффициенты медианы, проведенной из вершины B., и высоты, опущенной из вершины A.
Решение: Пусть середина отрезка , тогда .
Построим , и уравнение медианы .
Построим
Тогда уравнение высоты
Ответ:
3. По координатам трех вершин ромба A(1;4), B(3;1) и C(4;0) определить координаты четвертой вершины.
Решение: Найдем уравнения сторон ромба AC и AB. Для этого найдем вектора:
Пусть D вершина ромба.
Построим уравнение прямой
Построим уравнение прямой
Найдем точку пересечения прямых CD и BD.
Ответ: D(0;3) вершина ромба.
Тема 2. Прямая линия
1. Написать уравнения перпендикуляров к прямой , проходящих через концы отрезков, отсекаемых этой прямой на осях координат.
Решение: Напишем уравнение прямой в «отрезках»
Следовательно, прямая по оси OX отсекает отрезок, конец которого имеет точку A(5;0), а по оси OY отрезок, конец которого имеет точку B(0;3).
Найдем уравнение искомой прямой , проходящей через точку A(5;0) перпендикулярно в каноническом виде:
Найдем уравнение искомой прямой , проходящей через точку B(0;3), перпендикулярно в каноническом виде:
Ответ:
«МАТЕМАТИКА»
Часть 2я теория вероятностей и математическая статистика
I. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Тема 1. Основные определения и теоремы
1. Номер серии выигрышного билета вещевой лотереи состоит из пяти цифр. Определить вероятность того, что номер первой выигравшей серии будет состоять из одних нечетных цифр.
Решение: В номере используются цифры: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9. Пусть 0 четное число, тогда вероятность появления в какомлибо разряде серии нечетного числа равна , т.к. нечетных цифр 5 штук. Таким образом, вероятность появления нечетной серии равна .
Ответ: .
2. Рабочий обслуживает 3 станка. Известно, что вероятность бесперебойной работы на протяжении одного часа после наладки равна для первого станка 0,9, для второго — 0,8 и для третьего — 0,7. Найти вероятность того, что за этот час лишь один станок потребует вмешательства рабочего.
Решение:
Пусть событие А хотя бы один станок потребует вмешательства рабочего. Тогда
.
Ответ: искомая вероятность.
3. Вероятность выигрыша по лотерейному билету равна 0,15. Какова вероятность того, что, по крайней мере, один из четырех билетов выиграет?
Решение: По формуле Бернулли ( , где вероятность выигрыша, соответственно вероятность проигрыша, число независимых испытаний, событие наступит ровно раз.)
Имеем, вероятность того что выигрыш состоится 1 или более раз равно
Ответ:
4. В партии из 100 одинаковых по наружному виду изделий смешаны 40 штук I сорта и 60 штук II сорта. Найти вероятность того, что взятые наудачу два изделия окажутся а) одного сорта, б) разных сортов.
Решение: Пусть событие A отобрано изделие I сорта, B отобрано изделие II сорта. Тогда
Список использованной литературы
1.Общий курс высшей математики для экономистов. Учебник под ред. В.И.Ермакова. М., ИНФРА-М, 2003.
2.Демидович Б.П. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. М., АСТ, 2003.
3.Воронов М.В., Мещерякова Г.П. Математика для студентов гуманитарных факультетов. Ростов на Дону, Феникс, 2002.
4.Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., Высшая школа, 2001.
5.Жолков С.Ю. Математика и информатика для гуманитариев. М., Гардарики, 2002.