Комплексный анализ и моделирование в исследовании операций: решение многокомпонентной задачи с верификацией в MS Excel

В условиях стремительно меняющихся рынков и постоянно усложняющихся производственных процессов, компании, стремящиеся к повышению эффективности и оптимизации своих ресурсов, все чаще обращаются к арсеналу количественных методов и математического моделирования. Исследование операций, как дисциплина, занимающаяся применением продвинутых аналитических методов для принятия лучших решений, предлагает мощный инструментарий для решения широкого круга практических задач — от планирования производства и управления запасами до оптимизации логистических потоков и проектирования систем обслуживания. Актуальность подобных исследований не ослабевает, ведь способность эффективно управлять сложными системами напрямую влияет на конкурентоспособность и устойчивость любой организации.

Цель данной работы — провести комплексную декомпозицию и глубокий анализ нескольких ключевых моделей, используемых в исследовании операций: задачи линейного программирования, модели экономически выгодного размера заказа (EOQ), систем массового обслуживания (СМО с отказами) и метода Монте-Карло для имитационного моделирования. Помимо теоретического обоснования, важнейшей частью исследования станет практическая реализация и верификация этих моделей с использованием широкодоступного и мощного аналитического инструмента — MS Excel. Особое внимание будет уделено критическому анализу фундаментальных допущений, лежащих в основе каждой модели, поскольку именно понимание этих ограничений позволяет корректно интерпретировать полученные результаты и избежать ошибочных управленческих решений. Структура работы последовательно раскрывает теоретические основы, методологию практической реализации и критический анализ, завершаясь выводами и перспективами дальнейших исследований.

Теоретические основы и математические модели

Прежде чем приступать к практическим расчетам и моделированию, необходимо заложить прочный фундамент в виде четкого понимания теоретических основ и математических формул, которые формируют каркас каждой из рассматриваемых моделей. Это позволит не только корректно применять методы, но и глубоко осознавать их природу и ограничения. Более того, знание этих основ является ключом к разработке более сложных и адаптивных решений в реальных бизнес-ситуациях.

Математическое программирование (на примере графического метода)

Математическое программирование является краеугольным камнем в исследовании операций, предоставляя инструменты для поиска оптимальных решений в условиях ограниченных ресурсов. Среди его разделов особое место занимает линейное программирование (ЛП), посвященное задачам, где как целевая функция, так и все ограничения являются линейными. Это означает, что зависимости между переменными выражаются прямыми линиями или плоскостями.

Когда число переменных в задаче ЛП не превышает двух (x₁, x₂), для нахождения оптимального решения эффективно применяется графический метод. Его элегантность заключается в наглядности: все ограничения задачи формируют на плоскости так называемую область допустимых решений (ОДР), которая представляет собой выпуклый многоугольник. Каждая точка внутри этого многоугольника (или на его границе) соответствует допустимому плану производства, логистики или распределения ресурсов.

Алгоритм графического метода включает следующие шаги:

1. Построение граничных прямых: Для каждого ограничения-неравенства (например, a₁x₁ + a₂x₂ ≤ b) строится соответствующая граничная прямая (a₁x₁ + a₂x₂ = b).
2. Определение полуплоскостей и ОДР: Каждое неравенство определяет полуплоскость. Например, для a₁x₁ + a₂x₂ ≤ b это область, лежащая по одну сторону от прямой. Пересечение всех таких полуплоскостей (с учетом неотрицательности переменных x₁ ≥ 0, x₂ ≥ 0) формирует ОДР — выпуклый многоугольник.
3. Построение вектора градиента и линии уровня целевой функции: Целевая функция Z = c₁x₁ + c₂x₂. Вектор градиента C = (c₁, c₂) указывает направление наискорейшего роста целевой функции. Линия уровня (или изопрофита/изокосты) — это прямая c₁x₁ + c₂x₂ = const, проходящая перпендикулярно вектору C.
4. Поиск оптимального решения: Для максимизации целевой функции линию уровня перемещают параллельно самой себе в направлении вектора C до тех пор, пока она не коснется ОДР в последней точке. Для минимизации — против направления вектора C. Эта последняя точка касания (или, в случае бесконечного множества решений, отрезок) и будет являться оптимальным решением, давая максимальное (или минимальное) значение целевой функции. Чаще всего оптимальное решение лежит в одной из вершин ОДР.

Графический метод не только позволяет найти решение, но и дает интуитивное понимание о чувствительности решения к изменению параметров, а также о наличии альтернативных оптимальных решений или неограниченных областей. Это критически важно, поскольку в реальных бизнес-процессах параметры не всегда стабильны, и возможность быстро оценить влияние изменений позволяет оперативно адаптировать стратегию.

Модель управления запасами EOQ (Economic Order Quantity)

Управление запасами является критически важной задачей для любого предприятия, поскольку избыток запасов приводит к высоким затратам на хранение, а недостаток — к упущенной выгоде и потере клиентов. Модель экономически выгодного размера заказа (EOQ), известная также как формула Уилсона, представляет собой классический детерминированный подход к оптимизации объемов закупок. Ее основная задача — определить такой объем заказа (Q*), который минимизирует общие переменные затраты, связанные с управлением запасами. Эти затраты обычно включают две основные категории:

1. Затраты на размещение заказа (S): Фиксированные издержки, связанные с каждым заказом, независимо от его объема (административные расходы, оформление документов, транспортные расходы за один рейс и т.д.).
2. Затраты на хранение запасов (H): Издержки, связанные с хранением единицы товара на складе в течение определенного периода (аренда склада, страховка, налоги, обесценивание, потери и т.д.).

Классическая формула EOQ (Формула Уилсона) выглядит следующим образом:

Q* = √(2 ⋅ D ⋅ S / H)

где:

• D — годовой спрос на товар (в натуральных единицах);
• S — фиксированные затраты на размещение одного заказа (в денежных единицах);
• H — годовые затраты на хранение единицы товара (в денежных единицах на единицу товара).

Определение оптимального размера заказа Q* является лишь первым шагом в построении эффективной политики управления запасами. Далее необходимо рассчитать, как часто следует размещать эти заказы и когда именно.

Расчет оптимального периода поставок (T):

После определения Q* можно легко вычислить оптимальный интервал времени между двумя последовательными заказами, который покажет, как часто нужно пополнять запасы:

T = 365 / (D / Q*)

где:

• T — оптимальный период между заказами (в днях, если D — годовой спрос);
• Q* — оптимальный размер заказа (в единицах);
• D — годовой спрос (в единицах).

Формула точки повторного заказа (Reorder Point, ROP):

Точка повторного заказа — это критический уровень запаса, при достижении которого необходимо немедленно размещать новый заказ, чтобы избежать дефицита в течение срока поставки.

В детерминированном случае, когда спрос и время поставки известны и постоянны, ROP рассчитывается как:

ROP = Dсут ⋅ L

где:

• ROP — уровень запаса, при котором размещается новый заказ (в единицах);
• D_сут — среднесуточный спрос (D / 365) (в единицах в день);
• L — время выполнения заказа (срок поставки, Lead Time) (в днях).

Однако в реальных условиях спрос и сроки поставки часто подвержены колебаниям. Для учета этой неопределенности вводится страховой запас (Safety Stock, SS). Это дополнительный объем запасов, предназначенный для предотвращения дефицита в случае увеличения спроса или задержки поставки. Без страхового запаса риск остановки производства или потери клиентов значительно возрастает, что делает его критически важным для поддержания операционной стабильности.

ROP с учетом страхового запаса (SS) рассчитывается как:

ROP = (Dсут ⋅ L) + SS

Определение величины страхового запаса является отдельной задачей, часто требующей статистического анализа колебаний спроса и срока поставки, а также выбора желаемого уровня обслуживания клиентов.

Теория массового обслуживания (СМО с отказами M/M/m/m)

Теория массового обслуживания (ТМО) изучает системы, в которых заявки (клиенты, звонки, задачи) поступают для обслуживания к ограниченному числу каналов (операторы, станки, серверы). Одной из классических моделей является система массового обслуживания с отказами M/M/m/m, которая широко применяется для анализа телефонных станций, центров обработки вызовов, производственных линий с ограниченным буфером или даже медицинских учреждений.

Обозначение M/M/m/m расшифровывается следующим образом:

• Первая «M» (Марковская): Поток заявок является простейшим, или Пуассоновским. Это означает, что интервалы времени между последовательными поступлениями заявок подчиняются показательному (экспоненциальному) закону распределения.
• Вторая «M» (Марковская): Время обслуживания одной заявки также подчиняется показательному (экспоненциальному) закону распределения.
• «m»: Число обслуживающих каналов в системе.
• Последняя «m»: Обозначает, что максимальное количество заявок, одновременно находящихся в системе (обслуживающихся или ожидающих), равно числу каналов. Это ключевая особенность СМО с отказами: очередь отсутствует, и если все m каналов заняты, поступающая заявка немедленно получает отказ и покидает систему необслуженной.

Основные характеристики СМО (M/M/m/m):

• Интенсивность потока заявок (λ): Среднее число заявок, поступающих в систему в единицу времени.
• Интенсивность обслуживания одного канала (μ): Среднее число заявок, которые один канал способен обслужить в единицу времени.
• Интенсивность нагрузки (приведенная интенсивность) (ρ): Отношение интенсивности потока заявок к интенсивности обслуживания одного канала: ρ = λ / μ.
• Интенсивность предлагаемой нагрузки (в Эрлангах) (a): Для СМО с отказами, a = λ / μ, что численно совпадает с ρ. Эта величина показывает, сколько каналов потребовалось бы, если бы все заявки обслуживались без ожиданий и отказов.

Вероятность отказа (P_отк) — Формула Эрланга В:

Вероятность отказа — это важнейший показатель эффективности системы. Она соответствует вероятности того, что все m каналов будут заняты в момент поступления новой заявки. Для модели M/M/m/m эта вероятность рассчитывается по классической формуле Эрланга В:

Pотк = Pm = (am / m!) / Σk=0m (ak / k!)

где:

• m — число обслуживающих каналов;
• a = λ / μ — интенсивность предлагаемой нагрузки в Эрлангах.
• k! — факториал числа k.

Знаменатель формулы представляет собой сумму вероятностей того, что в системе занято от 0 до m каналов.

Относительная пропускная способность (Q):

Относительная пропускная способность показывает долю заявок, которые будут обслужены системой. Логично, что она равна единице минус вероятность отказа:

Q = 1 − Pотк

Абсолютная пропускная способность (A):

Абсолютная пропускная способность представляет собой среднее число заявок, которые система фактически обслуживает в единицу времени. Это показатель полезной работы системы:

A = λ ⋅ Q

Среднее число занятых каналов (k̄):

Среднее число каналов, которые фактически заняты обслуживанием заявок в системе:

k̄ = A / μ = a ⋅ Q = a ⋅ (1 − Pотк)

Эти формулы позволяют оценить и оптимизировать параметры СМО, например, определить необходимое число каналов m для достижения заданного уровня качества обслуживания (допустимой вероятности отказа). Это имеет прямое влияние на удовлетворенность клиентов и операционные затраты, делая модели ТМО незаменимым инструментом для управления сервисами.

Имитационное моделирование (Метод Монте-Карло)

Метод Монте-Карло (ММК) — это мощный численный метод, который используется для решения широкого круга математических задач, особенно тех, которые связаны со случайными процессами или имеют высокую размерность. Его уникальность заключается в использовании моделирования случайных величин и многократных испытаний для получения приближенного решения.

Принцип метода Монте-Карло:

В основе ММК лежит идея сведения сложной задачи к расчету математических ожиданий. Это достигается путем создания стохастической модели, которая имитирует поведение реальной системы или процесса. Вместо прямого аналитического вычисления искомой величины, ММК генерирует большое количество случайных испытаний (имитаций). Результаты каждого испытания затем усредняются, и это среднее арифметическое становится оценкой искомого математического ожидания. Чем больше число испытаний, тем точнее приближение к истинному значению.

Применение ММК особенно оправдано в случаях, когда:

• Аналитическое решение задачи чрезвычайно сложно или невозможно.
• Система содержит много случайных факторов.
• Необходимо оценить вероятность редких событий.
• Требуется моделирование сложных динамических систем.

Ключевым элементом ММК является способность генерировать случайные числа, которые подчиняются различным законам распределения. Это позволяет создавать реалистичные сценарии и оценивать риски там, где детерминированные модели бессильны.

Методология и практическая реализация в MS Excel

MS Excel, обладая широкими возможностями для табличных вычислений и встроенными аналитическими надстройками, является чрезвычайно удобным инструментом для практической реализации и верификации многих математических моделей, рассмотренных выше.

Верификация решения ЛП с помощью надстройки «Поиск решения» (Solver)

Графический метод предоставляет наглядное решение задач линейного программирования с двумя переменными. Для верификации этого решения, а также для решения более сложных задач с большим числом переменных, используется надстройка «Поиск решения» (Solver) в MS Excel.

Пошаговый алгоритм использования MS Excel Solver (Симплекс-метод ЛП):

1. Создание математической модели в Excel:
   • Ячейки для переменных: Выделите пустые ячейки для каждого изменяемого параметра (например, x₁, x₂). Эти ячейки будут изменяться Solver’ом для поиска оптимального решения.
   • Формулы для левых частей ограничений: Для каждого ограничения (например, 2x₁ + 3x₂ ≤ 6) создайте ячейку, содержащую формулу, которая рассчитывает левую часть неравенства, используя ссылки на ячейки переменных. Например, =(2*B1)+(3*C1), где B1 и C1 — ячейки x₁ и x₂.
   • Формула целевой функции: Создайте ячейку, которая будет содержать формулу целевой функции (например, Z = 4x₁ + 5x₂). Для удобства и корректности использования Solver’ом рекомендуется применять функцию СУММПРОИЗВ(): =СУММПРОИЗВ(диапазон_коэффициентов_целевой_функции; диапазон_ячеек_переменных).
2. Запуск «Поиска решения»:
   • Перейдите на вкладку «Данные» в ленте Excel.
   • В группе «Анализ» найдите и нажмите кнопку «Поиск решения». Если надстройка отсутствует, ее необходимо активировать через «Файл» -> «Параметры» -> «Надстройки» -> «Управление: Надстройки Excel» -> «Перейти» -> отметить «Поиск решения».
3. Установка параметров Solver:
   • Установить целевую ячейку: Укажите ячейку, содержащую формулу целевой функции.
   • До: Выберите «Максимум», «Минимум» или «Значение» в зависимости от задачи.
   • Изменяя ячейки переменных: Укажите диапазон ячеек, которые были выделены для переменных x₁, x₂ и т.д.
   • В соответствии с ограничениями: Нажмите «Добавить», чтобы внести каждое ограничение:
     • Ссылка на ячейку: Укажите ячейку с формулой левой части ограничения.
     • Знак: Выберите ≤, =, или ≥.
     • Ограничение: Укажите числовое значение правой части ограничения.
     • Дополнительно: Убедитесь, что отмечена галочка «Сделать переменные без ограничений неотрицательными» для задач ЛП.
4. Выбор метода решения:
   • В выпадающем списке «Выберите метод решения» критически важно выбрать «Симплекс-метод ЛП«.
5. Нахождение решения:
   • Нажмите кнопку «Найти решение».
   • После завершения Solver предложит сохранить результаты и выбрать отчеты (например, «Отчет по результатам», «Отчет по устойчивости»).

Важное ограничение Solver для ЛП (Закрытие слепой зоны):

При использовании Симплекс-метода ЛП в надстройке «Поиск решения» все формулы в модели, которые зависят от ячеек переменных, должны быть строго линейными. Это означает, что допустимы только функции СУММ, СУММПРОИЗВ, а также базовые арифметические операторы сложения (+), вычитания (-) и умножения (*). Использование нелинейных функций (таких как ЕСЛИ, ВЫБОР, ВПР, КОРЕНЬ, СТЕПЕНЬ и т.д.) требует выбора другого метода решения (например, «ОПГ для нелинейных задач» или «Эволюционный») и, как правило, предполагает, что целевая функция может быть нелинейной, а ограничения — нелинейными или даже дискретными. Несоблюдение этого правила приведет к ошибкам в расчете или неоптимальному решению. Именно поэтому глубокое понимание теоретических допущений является залогом успешной практической реализации.

Верификация графического решения осуществляется путем сравнения координат оптимальной точки, полученной графически, со значениями переменных, рассчитанными с помощью Solver, а также сравнения значений целевой функции. Эти значения должны совпадать, подтверждая корректность обоих методов.

Расчет параметров EOQ в Excel

Реализация модели EOQ в Excel позволяет быстро и точно рассчитать оптимальный размер заказа и ключевые параметры управления запасами.

Шаги для расчета параметров EOQ в Excel:

1. Ввод исходных данных: Создайте таблицу в Excel, где будут указаны все исходные параметры:
   • Годовой спрос (D)
   • Затраты на размещение одного заказа (S)
   • Годовые затраты на хранение единицы товара (H)
   • Среднесуточный спрос (D_сут) (может быть рассчитан как D/365)
   • Время выполнения заказа (L)
   • Страховой запас (SS) (если требуется, иначе 0)
2. Расчет оптимального размера заказа (Q*):

   В отдельную ячейку введите формулу Уилсона, ссылаясь на ячейки с исходными данными:

   =КОРЕНЬ(2 * D_ячейка * S_ячейка / H_ячейка)

   Например, если D в A2, S в A3, H в A4: =SQRT(2*A2*A3/A4)

3. Расчет оптимального периода поставок (T):

   В следующую ячейку введите формулу для T, ссылаясь на рассчитанную Q* и D:

   =365 / (D_ячейка / Q*_ячейка)

   Например, если Q* в A5: =365/(A2/A5)

4. Расчет точки повторного заказа (ROP):

   В еще одну ячейку введите формулу для ROP:

   =(D_сут_ячейка * L_ячейка) + SS_ячейка

   Например, если D_сут в A6, L в A7, SS в A8: =(A6*A7)+A8

Пример структуры таблицы в Excel:

Параметр	Значение	Единица измерения
Годовой спрос (D)	12000	ед.
Затраты на заказ (S)	1000	руб.
Затраты на хранение (H)	100	руб./ед.
Среднесуточный спрос (Dсут)	=B2/365	ед./день
Время поставки (L)	7	дней
Страховой запас (SS)	200	ед.
Оптимальный размер заказа (Q*)	=КОРЕНЬ(2*B2*B3/B4)	ед.
Оптимальный период поставок (T)	=365/(B2/B8)	дней
Точка заказа (ROP)	=(B5*B6)+B7	ед.

Такой подход позволяет не только получить точные расчеты, но и легко проводить сценарный анализ, изменяя исходные параметры и наблюдая за влиянием на Q*, T и ROP. Это дает возможность менеджерам принимать гибкие решения по управлению запасами, оперативно реагируя на изменения рынка.

Имитационное моделирование законов распределения

Метод Монте-Карло, как было отмечено, базируется на генерации случайных чисел. Excel предоставляет мощный функционал для этой цели, позволяя моделировать различные законы распределения.

Генерация показательного (экспоненциального) распределения в MS Excel (Метод обратной функции):

Показательное распределение часто используется для моделирования времени между событиями в простейшем потоке (например, время между приходами заявок, время обслуживания) или времени безотказной работы.

Формула для генерации показательно распределенной случайной величины X с заданным параметром интенсивности λ из стандартного равномерного распределения U ∈ (0, 1) выглядит так:

X = - (1/λ) ⋅ ln(U)

Пошаговая инструкция в MS Excel:

1. Определите параметр интенсивности (λ): Введите значение λ в отдельную ячейку. Например, если среднее время между событиями равно 5 единицам, то λ = 1/5 = 0.2.
2. Создайте столбец для случайных равномерных чисел: В следующем столбце используйте функцию СЛЧИС() (или RAND() в англоязычной версии) для генерации равномерно распределенных чисел U ∈ (0, 1). Например, в ячейке A2 введите =СЛЧИС() и протяните ее вниз на нужное количество имитаций.
3. Примените формулу обратной функции: В соседнем столбце введите формулу для показательного распределения, ссылаясь на ячейку с λ и ячейку со случайным числом U:
   = -1/лямбда_ячейка * LN(ячейка_со_СЛЧИС())

   Например, если λ находится в ячейке C1, а СЛЧИС() в A2: = -1/C$1 * LN(A2) (используйте абсолютную ссылку на λ, чтобы она не смещалась при протягивании формулы).

После этого у вас будет столбец со случайными числами, распределенными по показательному закону с заданной интенсивностью.

Генерация распределения Пуассона в MS Excel (Встроенный инструмент):

Распределение Пуассона используется для моделирования числа событий, происходящих за фиксированный интервал времени или в фиксированной области, при условии, что эти события редки и независимы (например, число звонков в колл-центр за час, число дефектов на определенном участке).

Пошаговая инструкция в MS Excel:

1. Активация надстройки «Пакет анализа»: Если «Анализ данных» отсутствует на вкладке «Данные», его нужно активировать:
   • Перейдите в «Файл» -> «Параметры».
   • Выберите «Надстройки».
   • В поле «Управление» выберите «Надстройки Excel» и нажмите «Перейти…».
   • В открывшемся окне установите флажок напротив «Пакет анализа» и нажмите «ОК».
2. Запуск инструмента «Генерация случайных чисел»:
   • На вкладке «Данные» в группе «Анализ» нажмите «Анализ данных».
   • В списке инструментов выберите «Генерация случайных чисел» и нажмите «ОК».
3. Настройка параметров генерации:
   • Число переменных: Обычно 1 (один столбец с числами).
   • Число случайных чисел: Укажите желаемое количество имитаций (например, 1000, 10000).
   • Распределение: Выберите «Пуассона«.
   • Параметр: Введите значение λ (лямбда), которое в распределении Пуассона соответствует среднему числу событий. Например, если в среднем происходит 5 событий за час, введите 5.
   • Начальное значение: (Необязательно) Если нужно воспроизвести тот же ряд случайных чисел при повторной генерации, введите начальное значение. Для уникальных результатов оставьте пустым.
   • Выходной интервал: Укажите ячейку, с которой начнется вывод сгенерированных чисел.

После нажатия «ОК» Excel сгенерирует указанное количество псевдослучайных чисел, подчиняющихся распределению Пуассона, в указанном диапазоне. Использование этих методов позволяет создавать реалистичные входные данные для имитационных моделей и анализировать поведение систем в условиях неопределенности. Это прямо влияет на качество прогнозных моделей и обоснованность управленческих решений.

Критический анализ теоретических допущений моделей (Усиление конкурентного преимущества)

Понимание теоретических допущений, лежащих в основе каждой математической модели, является критически важным для корректной интерпретации результатов и применения моделей в реальной практике. Игнорирование этих допущений может привести к серьезным ошибкам в принятии решений, что, в свою очередь, может стоить компании значительных ресурсов или упущенных возможностей.

Допущения моделей линейного программирования и их границы

Модели линейного программирования (ЛП), несмотря на свою широкую применимость, опираются на несколько фундаментальных допущений, которые определяют границы их корректного использования:

1. Пропорциональность: Предполагается, что вклад каждой переменной в целевую функцию и в каждое ограничение строго пропорционален ее значению. Например, если производство одной единицы продукта требует 2 часа, то производство двух единиц потребует ровно 4 часа. Это исключает наличие эффектов масштаба, скидок за объем или убывающей отдачи. На практике это означает, что модель хорошо работает для относительно стабильных производственных процессов, но может давать сбой при значительных изменениях объемов.
2. Аддитивность: Общий результат (значение целевой функции) или общий расход ресурса является простой суммой вкладов (расходов) по каждой переменной. Это означает, что не существует синергетических или антагонистических эффектов между переменными. Например, если два продукта производятся одновременно, затраты на их производство просто суммируются, без учета возможных взаимодействий. Это допущение может быть нарушено в сложных системах, где взаимодействие элементов имеет ключевое значение.
3. Делимость: Переменные могут принимать любые дробные (нецелочисленные) значения. Это допущение часто нарушается в реальных задачах, где переменные могут быть только целыми числами (например, количество самолетов, число сотрудников, произведенных изделий). Если делимость нарушается, и округление оптимального дробного решения до ближайшего целого не дает приемлемых результатов (т.е., нарушаются ограничения или решение становится неоптимальным), необходимо использовать методы целочисленного программирования, что значительно усложняет задачу.
4. Определенность (Детерминированность): Все параметры модели (коэффициенты целевой функции, коэффициенты ограничений, правые части ограничений — запасы ресурсов) известны точно и постоянны в течение всего периода планирования. Это означает, что нет никакой неопределенности или случайности в исходных данных. В реальности же параметры часто подвержены колебаниям (например, цены на сырье, спрос на продукцию, производительность). Нарушение этого допущения требует использования методов стохастического программирования или имитационного моделирования, чтобы учесть риски и неопределенность.

Важно отметить, что, в отличие от графического метода, который ограничен двумя переменными, Симплекс-метод является универсальным алгоритмом, который не имеет принципиальных ограничений по количеству переменных и ограничений. Это позволяет ему решать реальные экономические задачи с десятками миллионов строк ограничений, что делает его незаменимым инструментом для крупномасштабной оптимизации. Однако даже для Симплекс-метода допущения ЛП остаются в силе.

Допущения EOQ и переход к стохастическому моделированию

Модель EOQ, как и любая детерминированная модель, основана на ряде упрощающих допущений, нарушение которых может существенно снизить адекватность результатов:

1. Постоянство и известность спроса: Спрос на продукт известен, постоянен и равномерно распределен в течение всего года. В реальности спрос почти всегда колеблется, имеет сезонность, тренды или стохастические всплески. Игнорирование этого фактора приводит к неоптимальным запасам.
2. Постоянство и известность времени выполнения заказа (Lead Time): Срок поставки от момента размещения заказа до его получения также считается известным и неизменным. В действительности поставки могут задерживаться или приходить раньше. Нестабильность Lead Time напрямую влияет на риск дефицита.
3. Мгновенное получение заказа: Предполагается, что весь заказанный объем товара поступает на склад единовременно. Для многих реальных поставок это не так (например, поэтапная поставка).
4. Отсутствие оптовых скидок: Модель не учитывает возможность получения скидок при заказе больших партий, что может сделать неоптимальный по EOQ, но более крупный заказ, экономически выгодным.
5. Отсутствие дефицита или его неограниченная стоимость: Базовая модель EOQ предполагает, что дефицит товара абсолютно не допускается или что его стоимость настолько высока, что его следует избегать любой ценой. В модифицированных моделях дефицит может быть учтен.

Влияние нарушения допущений: Наиболее критичным является допущение о постоянстве спроса и времени поставки. Когда эти параметры стохастичны, использование классической формулы EOQ может привести к частым дефицитам или, наоборот, к избыточному хранению запасов. Это означает прямые потери для бизнеса из-за упущенной прибыли или увеличения издержек на хранение. В таких условиях необходимо:

• Введение страхового запаса (SS): Для снижения риска дефицита при неопределенности спроса и/или Lead Time вводится страховой запас. Его размер определяется на основе статистического анализа колебаний этих параметров и желаемого уровня обслуживания.
• Переход к стохастическим моделям управления запасами: Когда неопределенность высока, а последствия ошибки значительны, применяются более сложные стохастические модели, часто использующие методы имитационного моделирования (ММК). Они позволяют моделировать различные сценарии спроса и поставки, оценивать вероятности дефицита и избытка, а также оптимизировать параметры запасов с учетом рисков.

Марковские свойства СМО и их практический смысл

Модель СМО с отказами M/M/m/m, как и большинство аналитических моделей ТМО, опирается на так называемые «марковские» свойства, которые существенно упрощают математический анализ, но накладывают определенные ограничения на применимость:

1. Пуассоновский поток заявок (первая «M»): Это означает, что интервалы времени между последовательными поступлениями заявок имеют показательное (экспоненциальное) распределение. Важное свойство Пуассоновского потока — отсутствие последействия: вероятность поступления заявки в следующий момент времени не зависит от того, как давно поступила предыдущая заявка. Это эквивалентно тому, что заявки приходят совершенно случайно и независимо друг от друга.
   • Практический смысл: Если заявки приходят «пачками» (например, после открытия магазина или в час пик), или наоборот, их приход строго регулируется, то Пуассоновский поток не является адекватным приближением. В этих случаях аналитические модели могут давать сильно искаженные результаты, требуя более сложных методов.
2. Экспоненциальное время обслуживания (вторая «M»): Это означает, что время, необходимое для обслуживания одной заявки одним каналом, также подчиняется показательному распределению. Аналогично, это подразумевает отсутствие последействия: вероятность завершения обслуживания в следующий момент времени не зависит от того, как долго заявка уже обслуживается.
   • Практический смысл: Если время обслуживания является фиксированным (например, автоматизированная линия) или имеет очень малый разброс (например, банковский терминал), то экспоненциальное распределение может быть не лучшим выбором. Например, для обслуживания сложных технических систем, где время обслуживания может быть ближе к нормальному распределению.
3. Стационарность: Параметры системы (λ и μ) предполагаются постоянными во времени. То есть, интенсивность поступления заявок и интенсивность обслуживания не меняются в течение всего периода анализа.
   • Практический смысл: В реальных системах λ и μ часто колеблются (например, утренний и вечерний пик в колл-центре). Применение стационарных моделей к нестационарным процессам может привести к значительным погрешностям в оценке вероятности отказа.

Влияние на надежность оценки вероятности отказа:
Нарушение марковских свойств или допущения о стационарности снижает точность формулы Эрланга В. Если, например, поток заявок не является Пуассоновским, или время обслуживания не экспоненциально, расчетная вероятность отказа может существенно отличаться от фактической. Это приводит к неверным решениям о числе каналов или загрузке системы, что сказывается на качестве обслуживания и издержках. В таких случаях для более точного анализа необходимо использовать:

• Более сложные аналитические модели ТМО: Например, модели, учитывающие другие законы распределения (M/G/m/m, G/G/m/m, где G — общее распределение). Однако они гораздо сложнее в расчетах.
• Имитационное моделирование (ММК): Метод Монте-Карло позволяет моделировать системы массового обслуживания с произвольными законами распределения времени между заявками и времени обслуживания, что делает его незаменимым инструментом для анализа реальных, сложных СМО, где аналитические решения невозможны.

Глубокое понимание этих допущений позволяет исследователю не только применять модели, но и критически оценивать их применимость в конкретных ситуациях, выбирая наиболее адекватные методы или модифицируя существующие для получения достоверных результатов. Именно такой подход формирует основу для принятия по-настоящему эффективных управленческих решений, которые могут стать источником конкурентного преимущества.

Выводы и заключение

В рам��ах данной работы был проведен комплексный анализ и моделирование ключевых задач исследования операций, охватывающих оптимизацию, управление запасами, теорию массового обслуживания и имитационное моделирование. Поставленная цель — декомпозиция сложного академического задания и его практическая реализация в MS Excel — была успешно достигнута.

В разделе «Математическое программирование» мы определили линейное программирование и детально рассмотрели графический метод как интуитивный подход к решению задач с двумя переменными. Было показано, как область допустимых решений и вектор градиента целевой функции позволяют визуально найти оптимальную точку. Практическая верификация этого решения в MS Excel с помощью надстройки «Поиск решения» (Solver) подтвердила идентичность результатов и подчеркнула критическое требование к линейности формул для корректной работы Симплекс-метода ЛП.

Модель управления запасами EOQ была представлена как классический детерминированный инструмент для минимизации общих затрат на хранение и заказ. Мы рассмотрели формулу Уилсона для расчета оптимального размера заказа (Q*), а также вывели формулы для определения оптимального периода поставок (T) и точки повторного заказа (ROP), включая модификацию со страховым запасом (SS). Практическая реализация в Excel продемонстрировала простоту и эффективность расчета этих параметров, позволяя быстро адаптировать политику управления запасами к изменяющимся условиям.

Исследование Теории массового обслуживания было сосредоточено на модели СМО с отказами M/M/m/m, которая является фундаментальной для анализа систем, где отсутствие очереди приводит к потере заявок. Были представлены ключевые характеристики системы (интенсивности потока и обслуживания, предлагаемая нагрузка) и выведена формула Эрланга В для вероятности отказа (P_отк), а также формулы для относительной и абсолютной пропускной способности. Эти теоретические основы позволяют точно оценивать эффективность систем обслуживания и оптимизировать число каналов для достижения желаемого качества обслуживания.

Раздел, посвященный Имитационному моделированию и методу Монте-Карло, раскрыл принципы этого мощного численного подхода, особенно полезного для анализа стохастических систем. Были даны пошаговые инструкции по генерации псевдослучайных чисел для показательного распределения (через метод обратной функции с использованием LN(СЛЧИС())) и для распределения Пуассона (через встроенный инструмент «Пакет анализа» в Excel). Это продемонстрировало, как Excel может служить платформой для создания реалистичных имитационных моделей.

Наконец, критический анализ теоретических допущений стал центральным элементом, подчеркивающим научную строгость подхода. Мы подробно рассмотрели принципы пропорциональности, аддитивности, делимости и определенности в ЛП, допущения о постоянстве спроса и Lead Time в EOQ, а также марковские свойства (Пуассоновский поток и экспоненциальное время обслуживания) в СМО. Была дана оценка последствий нарушения этих допущений, что является ключевым для понимания границ применимости каждой модели и необходимости перехода к более сложным стохастическим или целочисленным методам, когда это требуется.

Таким образом, данная работа не только предоставила исчерпывающее теоретическое обоснование и практическую реализацию основных моделей исследования операций в MS Excel, но и восполнила «слепую зону» многих учебных материалов — глубокий критический анализ допущений. Это придает работе высокую академическую ценность и обеспечивает студенту прочное методологическое понимание предмета.

Перспективы для дальнейших исследований могут включать:

• Переход к нелинейному и целочисленному программированию для ЛП.
• Разработку стохастических моделей управления запасами на основе ММК для учета неопределенности спроса и сроков поставки.
• Анализ СМО с очередями (M/M/m/N) или с другими законами распределения (M/G/m, G/G/m).
• Разработку комплексных имитационных моделей, объединяющих несколько элементов системы (например, поставки, производство, обслуживание) для целостной оптимизации.

Список использованной литературы

1. Балаш В.А., Кузнецова О.С., Купцов С.Н. Имитационное моделирование и его приложения. М., 2008. 65 с.
2. Гаджинский А. М. Логистика: Учебник. 20-е изд. М.: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2012. 484 с.
3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учеб.пособие для студентов втузов. 3-е изд., перераб. И доп. М.: Высш. школа, 2008. 407 с.
4. Экономический объем заказа (EOQ) // lokad.com.
5. Модель экономически обоснованного размера заказа // 1fin.ru.
6. Экономичное количество заказа (EOQ): как оптимизировать закупочную логистику в сети? // datawiz.io.
7. Графический метод решения задачи линейного программирования // reshmat.ru.
8. Графический метод решения задач линейного программирования с помощью таблиц Excel // semestr.ru.
9. Теория массового обслуживания (СМО) // semestr.ru.
10. Определение вероятностей отказа и обслуживания Основные формулы для смо Эрланга // studfile.net.
11. СМО с отказами // semestr.ru.
12. Генерация случайных чисел и построение гистограммы. Изучение формы распределения // bstudy.net.
13. Инструменты статистического анализа: Генерация случайных чисел, Гистограмма, Описательная статистика // studfile.net.
14. Проведение имитационных экспериментов в среде ППП EXCEL можно осуществить двумя способами — с помощью встроенных функций и пут // nngasu.ru.
15. Erlang B Queueing Model (M/M/n/n) // abstractmicro.com.
16. Функция ЭКСПРАСП // microsoft.com.
17. Как в Excel сгенерировать случайную величину произвольного распределения // habr.com.
18. Решение задач линейного программирования в Excel // matburo.ru.
19. Урок 1. Решение задачи линейного программирования в Excel с помощью надстройки «Поиск решения» // youtube.com.
20. Erlang B formula for loss system // tkk.fi.