Как решить контрольную по методам оптимальных решений — подробный разбор с примерами

Контрольная работа по методам оптимальных решений (МОР) часто кажется непреодолимой стеной из формул, таблиц и сложных алгоритмов. Возникает ощущение, что без глубоких математических знаний здесь не разобраться. Однако это не совсем так. За кажущейся сложностью скрывается четкая и последовательная логика, а сами методы представляют собой мощные инструменты для решения вполне реальных экономических и управленческих задач. Эта статья — ваш пошаговый наставник, который проведет вас за руку через все трудности.

Мы не будем погружаться в излишний академизм. Вместо этого мы разберем на конкретных, практических примерах три типовые задачи, которые составляют основу большинства контрольных работ. Вы увидите, как строится математическая модель, научитесь визуализировать решение с помощью графического метода, освоите универсальный симплекс-метод для более сложных случаев и, наконец, разберетесь со спецификой транспортной задачи. Наша цель — превратить набор разрозненных правил в понятную систему и дать вам уверенность для успешной сдачи работы. Когда мы настроились на продуктивную работу и понимаем план, давайте приступим к первой и самой наглядной задаче.

Задача 1. Изучаем основы на примере графического метода

Прежде чем решать, нужно понять, что именно мы решаем. В основе большинства задач по МОР лежит линейное программирование (ЛП) — это математический метод, который помогает найти наилучшее решение (например, максимальную прибыль или минимальные затраты) при заданных ограничениях (например, нехватке ресурсов). Представим типичную ситуацию: кондитерская фабрика выпускает два вида тортов — «Наполеон» и «Прага».

Чтобы составить математическую модель, нужно выполнить три шага:

1. Определить переменные. Это то, что мы хотим найти. В нашем случае это количество тортов каждого вида. Обозначим: x1 — количество тортов «Наполеон», x2 — количество тортов «Прага».
2. Сформулировать целевую функцию. Это то, что мы хотим максимизировать или минимизировать. Допустим, прибыль от одного «Наполеона» — 500 ден. ед., а от «Праги» — 600 ден. ед. Мы хотим получить максимальную общую прибыль. Целевая функция (L) будет выглядеть так: L(x) = 500*x1 + 600*x2 → max.
3. Записать систему ограничений. Это наши «узкие места». Например, у нас ограничен запас муки (скажем, 10 кг) и рабочего времени кондитеров (например, 20 часов). Если на «Наполеон» уходит 0.5 кг муки и 1 час времени, а на «Прагу» — 0.4 кг муки и 1.5 часа времени, то ограничения будут такими:
   0.5*x1 + 0.4*x2 ≤ 10 (ограничение по муке)
   1*x1 + 1.5*x2 ≤ 20 (ограничение по времени)
   Также не забываем, что количество тортов не может быть отрицательным: x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.

Именно для таких задач с двумя переменными идеально подходит наглядный графический метод решения. Модель готова. Теперь самое интересное — превратим эти формулы в наглядный чертеж и найдем решение.

Решение задачи 1. Строим область допустимых решений и находим оптимум

Теперь, когда у нас есть математическая модель, мы можем найти решение визуально. Графический метод включает в себя построение многоугольника допустимых решений и поиск на его границах самой выгодной точки. Процесс выглядит так:

1. Строим оси координат. Ось X1 будет соответствовать количеству «Наполеонов», а ось X2 — количеству «Праг».
2. Строим прямые ограничений. Каждое неравенство из нашей системы превращаем во временное равенство и строим по нему прямую. Для 0.5*x1 + 0.4*x2 = 10 строим линию, для 1*x1 + 1.5*x2 = 20 — другую.
3. Определяем область допустимых решений (ОДР). Для каждого неравенства определяем, какая полуплоскость ему соответствует (например, для «≤» это будет область ниже прямой). Пересечение всех этих полуплоскостей в первом координатном квадранте (так как x1 ≥ 0 и x2 ≥ 0) и образует многоугольник решений. Любая точка внутри этого многоугольника является допустимым, но не обязательно оптимальным планом производства.
4. Строим вектор-градиент целевой функции. Это вектор, указывающий направление самого быстрого роста нашей прибыли. Его координаты — это коэффициенты при переменных в целевой функции, в нашем случае это вектор C = {500; 600}.
5. Находим точку оптимума. Строим линию уровня, перпендикулярную вектору-градиенту (например, 500*x1 + 600*x2 = 0). Затем двигаем эту линию параллельно самой себе в направлении вектора C. Последняя вершина ОДР, которой коснется наша линия, и будет точкой оптимального решения.

Остается найти координаты этой вершины (решив систему из двух уравнений прямых, которые в ней пересекаются) и подставить их в целевую функцию. Так мы получим точные значения x1, x2 и максимальный размер прибыли. Мы успешно справились с двумя переменными. Но что делать, если их больше? Для этого существует более мощный инструмент, который мы разберем в следующей задаче.

Задача 2. Переходим к универсальному симплекс-методу

Графический метод нагляден, но бессилен, если в задаче три и более переменных (например, три и более вида продукции). В этом случае на помощь приходит симплекс-метод — универсальный итерационный алгоритм, разработанный Джорджем Данцигом. Его можно представить как «умный перебор» вершин многогранника решений в многомерном пространстве в поиске самой лучшей.

Сформулируем новую задачу: пусть теперь у нас 3 вида продукции и 3 вида ресурсов. Сначала приведем ее к каноническому виду. Это значит, что все ограничения-неравенства типа «≤» нужно превратить в строгие равенства. Делается это введением дополнительных (базисных) переменных, которые показывают остаток каждого ресурса. Например, неравенство 0.5*x1 + 0.4*x2 + 0.2*x3 ≤ 10 превращается в равенство 0.5*x1 + 0.4*x2 + 0.2*x3 + x4 = 10, где x4 — это и есть остаток ресурса.

После этого все данные заносятся в первую симплекс-таблицу. Она выглядит пугающе, но на самом деле просто структурирует нашу модель:

• В «шапке» таблицы располагаются все переменные (и основные, и дополнительные).
• В столбце «Базис» — наши новые дополнительные переменные.
• В столбце «С своб» (свободные члены) — правые части уравнений-ограничений (запасы ресурсов).
• Основную часть таблицы занимают коэффициенты при переменных из системы ограничений.
• Последняя, индексная строка (F-строка), содержит коэффициенты целевой функции, взятые с обратным знаком.

Эта таблица представляет собой наше начальное, нулевое решение (когда мы ничего не производим, а все ресурсы в остатке). Наша отправная точка готова. Теперь запустим итерационный процесс и шаг за шагом приблизимся к оптимальному решению.

Решение задачи 2. Итерации симплекс-метода до получения ответа

Каждая итерация симплекс-метода — это переход от одной вершины многогранника решений к соседней, более выгодной. Цикл повторяется до тех пор, пока не будет найден оптимум. Вот как выглядит одна итерация:

1. Проверка на оптимальность. Смотрим на индексную (нижнюю) строку таблицы. Если в ней есть отрицательные коэффициенты (для задачи на максимум), решение не оптимально и его можно улучшить. Если все коэффициенты неотрицательны — решение найдено.
2. Выбор разрешающего столбца. Находим в индексной строке наибольший по модулю отрицательный элемент. Столбец, в котором он находится, становится разрешающим. Переменная из шапки этого столбца будет вводиться в базис.
3. Выбор разрешающей строки. Делим каждый элемент столбца свободных членов на соответствующий положительный элемент из разрешающего столбца. Строка, для которой это отношение будет минимальным, становится разрешающей.
4. Нахождение разрешающего элемента. Элемент на пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки и есть разрешающий элемент.
5. Пересчет таблицы. Это самый трудоемкий этап. Новая таблица рассчитывается по определенным правилам (например, по «правилу прямоугольника» или методу Жордана-Гаусса). Разрешающая строка делится на разрешающий элемент. Остальные ячейки пересчитываются по специальной формуле. Переменная из разрешающего столбца «входит» в базис, заменяя переменную из разрешающей строки.

Этот цикл повторяется снова и снова. С каждой итерацией значение целевой функции улучшается. Когда в индексной строке не останется отрицательных элементов, мы достигли оптимума. Ответ «читается» прямо из финальной таблицы: значения базисных переменных указаны в столбце свободных членов, а максимальное значение функции — в ячейке на пересечении этого столбца и индексной строки. Мы освоили мощный метод для общих задач ЛП. Теперь рассмотрим частный, но очень важный класс задач, для которых есть свой, более эффективный подход.

Задача 3. Разбираемся с транспортной задачей и строим опорный план

Транспортная задача — это классический частный случай линейного программирования. Ее суть — найти такой план перевозок однородного груза от поставщиков к потребителям, чтобы общая стоимость транспортировки была минимальной. Исходные данные обычно представляют в виде матрицы, где указаны тарифы перевозки (Cij), запасы у поставщиков (Ai) и потребности потребителей (Bj).

Первый шаг — проверка на сбалансированность. Задача называется закрытой (сбалансированной), если общая сумма запасов равна общей сумме потребностей. Если это не так, задачу нужно «закрыть», введя фиктивного поставщика (если спрос больше предложения) или фиктивного потребителя (если предложение больше спроса) с нулевыми тарифами на перевозку.

Далее нужно построить первоначальный опорный план. Это любое допустимое, но не обязательно самое дешевое распределение перевозок. Существует несколько методов, но самые популярные:

• Метод «северо-западного угла». Самый простой, но самый «грубый» метод. Заполнение таблицы начинается с левой верхней (северо-западной) ячейки. В нее записывается минимальное из значений запаса по строке и потребности по столбцу. Затем соответствующая строка или столбец исключается (или обнуляется), и процесс повторяется для оставшейся части таблицы.
• Метод «наименьшей стоимости». Этот метод более «умный». На каждом шаге мы находим во всей матрице тарифов ячейку с минимальной стоимостью и стараемся по максимуму загрузить именно этот маршрут. Затем эта ячейка, а также удовлетворенные поставщики/потребители исключаются, и процесс повторяется. Как правило, этот метод сразу дает план, гораздо более близкий к оптимальному.

У нас есть первоначальный, но, возможно, не самый дешевый план перевозок. Как его улучшить и убедиться, что мы достигли минимума затрат? Для этого нужен метод потенциалов.

Решение задачи 3. Оптимизация плана методом потенциалов

Метод потенциалов — это основной инструмент для проверки оптимальности опорного плана и его последовательного улучшения. Взяв план, полученный, например, методом наименьшей стоимости, мы применяем следующий алгоритм:

1. Находим потенциалы. Каждому поставщику (строке) присваивается потенциал Ui, а каждому потребителю (столбцу) — Vj. Для всех занятых (базисных) ячеек плана должно выполняться равенство: Ui + Vj = Cij, где Cij — тариф в этой ячейке. Потенциал первой строки (U1) обычно принимают равным нулю, после чего последовательно вычисляют все остальные потенциалы, решая простую систему уравнений.
2. Рассчитываем оценки для свободных ячеек. Для всех незанятых ячеек плана рассчитываются специальные оценки по формуле: △ij = Ui + Vj — Cij. Эти оценки показывают, как изменится общая стоимость, если мы начнем использовать данный маршрут.
3. Проверяем план на оптимальность. Если все рассчитанные оценки △ij меньше или равны нулю (для задачи на минимум), то план является оптимальным. Задача решена.
4. Строим цикл пересчета. Если среди оценок есть положительные, план не оптимален. Мы выбираем свободную ячейку с максимальной положительной оценкой. Начиная с этой ячейки, строится замкнутый цикл (ломаная линия), все вершины которого (кроме начальной) лежат в занятых ячейках.
5. Перераспределяем перевозки. Вдоль построенного цикла перераспределяется объем перевозок. В ячейки с четными номерами в цикле (начиная с первой, которой присваивается знак «+») добавляется минимальный из объемов, стоящих в ячейках с нечетными номерами. Из ячеек с нечетными номерами этот же объем вычитается. В результате одна из ячеек обнуляется, а свободная ячейка становится занятой. Мы получаем новый, улучшенный план.

После этого мы возвращаемся к шагу 1 и повторяем весь процесс до тех пор, пока не будет достигнута оптимальность. Мы разобрали три ключевых столпа методов оптимальных решений. Теперь давайте обобщим опыт и рассмотрим, каких ошибок стоит избегать.

Практические советы, которые спасут вашу оценку

Даже при идеальном знании алгоритмов можно допустить обидную ошибку, которая сведет на нет все усилия. Вот несколько практических советов, которые помогут этого избежать и продемонстрировать глубокое понимание темы:

• Двойная проверка арифметики. Абсолютное большинство ошибок в контрольных по МОР — это не концептуальные, а простые вычислительные промахи при пересчете симплекс-таблиц или распределении по циклу в транспортной задаче. Всегда перепроверяйте свои расчеты, особенно на последних этапах.
• Визуализация ОДР. Даже если вы решаете задачу симплекс-методом, попробуйте набросать примерный чертеж для двух любых переменных. Это поможет интуитивно понять, как выглядит область решений и где примерно может находиться оптимум, что убережет от грубых ошибок.
• Проверка сбалансированности и вырожденности. Перед решением транспортной задачи всегда проверяйте баланс запасов и потребностей. Необходимость ввести фиктивного поставщика/потребителя — частый подвох в заданиях. Также следите за вырожденностью плана (когда число занятых ячеек меньше, чем m+n-1), это требует особых приемов при решении.
• Экономическая интерпретация ответа. Не заканчивайте решение на строчке «x1=10, x2=5, L=5000». Напишите короткий вывод: «Следовательно, для получения максимальной прибыли в размере 5000 ден. ед. предприятию следует производить 10 единиц товара А и 5 единиц товара Б». Это показывает, что вы не просто выполнили алгоритм, а поняли суть задачи.

Вооружившись знаниями и этими советами, вы готовы к успешной сдаче работы. Давайте подведем итог.

Мы прошли весь путь: от наглядного графического метода, который отлично подходит для понимания основ, через универсальный и мощный симплекс-метод, до специализированной транспортной задачи с ее эффективным методом потенциалов. Главный вывод, который стоит сделать: методы оптимальных решений — это не черная магия, доступная избранным, а мощный и логичный инструмент для принятия взвешенных решений.

Теперь у вас есть не просто набор теоретических знаний, а структурированный план действий и понимание логики каждого шага. Помните о советах, будьте внимательны в расчетах и не бойтесь сложных на вид таблиц. Удачи на контрольной, вы справитесь!