Что такое задачи оптимизации и почему Excel — ваш главный помощник
Каждый руководитель на производстве или менеджер по логистике сталкивается с одной и той же фундаментальной проблемой: как распорядиться ограниченными ресурсами, чтобы получить максимальный результат? Будь то рабочее время, сырье или бюджет — ресурсы всегда конечны. Методы оптимальных решений, и в частности линейное программирование, — это не абстрактная математика, а мощнейший аналитический инструмент для ответа на этот вопрос.
Суть метода проста: мы описываем нашу цель (например, максимизацию прибыли) в виде математической функции, а все ограничения (фонды времени, объемы сырья) — в виде системы неравенств. Решить такую задачу — значит найти такой план производства, который удовлетворяет всем ограничениям и при этом дает наилучший возможный результат.
Раньше для этого требовались сложные вычисления, но сегодня у каждого есть идеальная среда для таких расчетов — Microsoft Excel. Встроенная в него надстройка «Поиск решения» (Solver) берет на себя всю сложную математику. Ваша задача — лишь корректно перевести бизнес-условия на язык модели, а Excel найдет оптимальный план за считаные секунды. Это превращает сложный процесс в понятный и управляемый инструмент для принятия взвешенных решений.
Теперь, когда мы понимаем теоретическую основу, давайте перейдем к конкретному примеру, который часто встречается в контрольных работах.
Условие задачи, или Что нам предстоит оптимизировать
Рассмотрим классическую задачу производственного планирования, которая полностью соответствует логике методов оптимальных решений. Вот ее условие:
Вариант 4. Фабрика «Турпищепром»
Фабрика выпускает два вида консервированных продуктов питания: «Завтрак туриста» и «Обед туриста». Используемые для производства ингредиенты не являются дефицитными. Основным ограничением, накладываемым на объем выпуска, является наличие фонда рабочего времени в каждом из трех цехов.
Известно, что прибыль от реализации единицы «Завтрака туриста» и «Обеда туриста» задана. Фонды рабочего времени цехов составляют: 1000, 360 и 600 человеко-часов соответственно. Нормы затрат времени на производство единицы каждого продукта в каждом цехе также известны (мы отразим их в математической модели).
Наша главная цель — ответить на вопрос: сколько единиц «Завтрака туриста» и «Обеда туриста» нужно произвести, чтобы общая прибыль фабрики была максимальной, не превысив при этом лимиты рабочего времени в цехах?
Любое практическое решение в Excel начинается с построения строгой математической модели. Давайте переведем наше условие на язык математики.
Как перевести бизнес-задачу на язык математики. Строим модель
Формализация — это самый важный этап, на котором мы превращаем текстовое описание в четкую систему уравнений. Этот процесс состоит из нескольких шагов.
1. Определение переменных
В первую очередь нужно ввести переменные, которые будут обозначать искомые величины. В нашем случае это объемы производства.
- Пусть x1 — это плановое количество единиц продукта «Завтрак туриста».
- Пусть x2 — это плановое количество единиц продукта «Обед туриста».
Именно эти значения нам и предстоит найти.
2. Формулировка целевой функции
Целевая функция — это математическое выражение нашей главной цели. Мы хотим максимизировать общую прибыль. Обозначим ее как Z. Она складывается из прибыли от продажи всех произведенных «Завтраков туриста» и всех «Обедов туриста».
Z = (Прибыль_от_x1) * x1 + (Прибыль_от_x2) * x2 → max
В этой формуле (Прибыль_от_x1) и (Прибыль_от_x2) — это конкретные числовые значения прибыли на единицу продукции, известные из условия.
3. Создание системы ограничений
Теперь опишем все условия, которые мешают нам производить бесконечно много продукции. В нашем случае это лимиты рабочего времени в трех цехах.
- Ограничение по Цеху №1: Суммарное время, затраченное на производство x1 «Завтраков» и x2 «Обедов», не должно превышать 1000 человеко-часов.
- Ограничение по Цеху №2: Аналогично, суммарное время не должно превышать 360 человеко-часов.
- Ограничение по Цеху №3: Суммарное время не должно превышать 600 человеко-часов.
Каждое из этих условий превращается в линейное неравенство вида: (Норма_времени_на_x1) * x1 + (Норма_времени_на_x2) * x2 ≤ (Фонд_времени_цеха).
4. Учет неявных условий
Существует важное ограничение, которое почти никогда не упоминается в тексте задачи, но всегда подразумевается: объем выпуска не может быть отрицательным. Поэтому мы должны добавить условие неотрицательности переменных.
x1 ≥ 0
x2 ≥ 0
Таким образом, мы полностью формализовали задачу. У нас есть целевая функция, которую нужно максимизировать, и система линейных ограничений.
Математическая модель готова. Теперь наша задача — перенести эту логику в рабочее пространство Excel и подготовить таблицу для вычислений.
Подготовка рабочего стола в Excel. Создаем расчетную таблицу
Правильно организованная таблица — ключ к успешному решению. Она должна быть наглядной и полностью соответствовать нашей математической модели. Создадим ее по шагам.
1. Создание структуры и ввод исходных данных
Разметим на листе Excel основную информацию. Создайте таблицу, где по строкам будут располагаться наши продукты («Завтрак туриста», «Обед туриста»), а по столбцам — параметры: нормы затрат времени в каждом цехе, прибыль на единицу и, самое главное, плановый объем выпуска.
Выделите отдельные ячейки (например, B2 и C2) под изменяемые переменные — искомые объемы производства x1 и x2. На начальном этапе их можно оставить пустыми или заполнить нулями.
В соседние столбцы внесите все известные данные из условия задачи: нормы затрат времени для каждого продукта в каждом из трех цехов и прибыль от реализации единицы каждого продукта.
2. Настройка формул для ограничений и целевой функции
Это самый ответственный шаг. Нам нужно «оживить» таблицу, связав ячейки формулами, которые будут автоматически пересчитывать результаты при изменении объемов выпуска.
- Формулы для расчета загрузки цехов. Для каждого цеха нужно создать ячейку, которая будет считать общую загрузку. Это делается с помощью формулы, умножающей плановый объем выпуска каждого продукта на соответствующую норму времени и суммирующей результаты. Удобнее всего использовать функцию СУММПРОИЗВ (SUMPRODUCT). Например, для Цеха №1 формула будет выглядеть так:
=СУММПРОИЗВ(B2:C2; B4:C4), где B2:C2 — диапазон с объемами выпуска, а B4:C4 — диапазон с нормами времени для Цеха №1. - Формула для целевой функции. Выделите отдельную ячейку для расчета общей прибыли (нашей целевой функции Z). Она также настраивается через СУММПРОИЗВ, но уже с использованием данных о прибыли на единицу продукции:
=СУММПРОИЗВ(B2:C2; B7:C7), где B7:C7 — диапазон с прибылью.
Рядом с ячейками расчета загрузки цехов внесите их лимиты (1000, 360, 600), чтобы визуально контролировать соответствие ограничениям.
Наш «пульт управления» готов. Все ячейки связаны формулами. Осталось подключить «мозг» — надстройку «Поиск решения», которая и найдет оптимальные значения.
Запускаем оптимизацию. Пошаговая работа с надстройкой «Поиск решения»
Когда расчетная таблица полностью настроена, можно переходить к использованию главного инструмента — надстройки «Поиск решения» (Solver).
1. Активация надстройки
Если вы ранее не пользовались этим инструментом, его нужно включить. Это делается один раз.
- Перейдите во вкладку «Файл» -> «Параметры».
- В открывшемся окне выберите раздел «Надстройки».
- Внизу, в поле «Управление», выберите «Надстройки Excel» и нажмите «Перейти».
- В появившемся списке поставьте галочку напротив пункта «Поиск решения» и нажмите «ОК».
После этого на вкладке «Данные» у вас появится кнопка «Поиск решения».
2. Настройка параметров Solver
Нажмите на кнопку «Поиск решения», чтобы открыть диалоговое окно. Его нужно заполнить в точном соответствии с нашей математической моделью.
- Оптимизировать целевую функцию: Укажите ссылку на ячейку, в которой у вас рассчитывается общая прибыль (формула с СУММПРОИЗВ для прибыли).
- До: Установите переключатель в положение «Максимума», так как наша цель — максимизация прибыли.
- Изменяя ячейки переменных: Укажите диапазон ячеек, которые мы выделили для искомых объемов производства (x1 и x2). Именно их и будет подбирать Solver.
- В соответствии с ограничениями: Это самый важный блок. Нажмите кнопку «Добавить» и последовательно внесите все наши условия:
- Ссылка на ячейку с расчетом загрузки Цеха №1 <= Ссылка на ячейку с лимитом 1000.
- Ссылка на ячейку с расчетом загрузки Цеха №2 <= Ссылка на ячейку с лимитом 360.
- Ссылка на ячейку с расчетом загрузки Цеха №3 <= Ссылка на ячейку с лимитом 600.
- Ссылка на диапазон изменяемых ячеек (x1, x2) >= 0 (условие неотрицательности).
3. Выбор метода и запуск
Убедитесь, что установлена галочка «Сделать переменные без ограничений неотрицательными» (это дублирует наше ручное ограничение, но является хорошей практикой). В качестве метода решения выберите «Симплекс-метод», который специально предназначен для задач линейного программирования.
Теперь смело нажимайте кнопку «Найти решение». Если все настроено верно, через мгновение Excel сообщит, что решение найдено.
Программа выполнила расчеты и нашла оптимальный план. Но что означают эти цифры с точки зрения бизнеса и как оценить их устойчивость?
Интерпретация результатов и анализ устойчивости. Что скрывается за цифрами?
Получить цифры — это лишь половина дела. Гораздо важнее понять, что они означают, и какую дополнительную информацию можно из них извлечь.
1. Анализ отчета по результатам
После успешного поиска решения Excel заполнит ячейки переменных (x1 и x2) оптимальными значениями. Это и есть оптимальный производственный план — точное количество «Завтраков» и «Обедов», которое нужно выпустить. В ячейке целевой функции вы увидите максимально возможную прибыль при заданных ограничениях.
В диалоговом окне «Результаты поиска решения» можно выбрать тип отчета для вывода на новый лист. Наиболее важны для нас «Результаты» и «Устойчивость».
2. Введение в анализ чувствительности
Мир не статичен: цены могут измениться, оборудование — сломаться, а поставки — задержаться. Анализ устойчивости (или чувствительности) показывает, насколько стабильно наше оптимальное решение при небольших изменениях исходных данных. Отчет по устойчивости, который генерирует Solver, — это мощный инструмент для менеджера.
Он отвечает на такие вопросы, как:
- Насколько можно изменить прибыль от одного из продуктов, чтобы производственный план остался прежним?
- Сколько дополнительной прибыли принесет один дополнительный час работы в самом загруженном цехе?
- Есть ли у нас неиспользуемые (избыточные) ресурсы?
3. Практическая ценность анализа
Представьте, что отчет по устойчивости показывает: увеличение фонда времени в Цехе №2 на один час принесет компании 500 рублей дополнительной прибыли. Это прямое экономическое обоснование для введения сверхурочных смен, если оплата за них будет ниже этой суммы. И наоборот, если какой-то ресурс (например, время в Цехе №1) используется не полностью, это сигнал о наличии «узкого места» в другом цехе, которое и сдерживает все производство.
Таким образом, анализ отчетов Solver превращает простое решение задачи в инструмент для принятия стратегических управленческих решений.
Мы прошли весь путь от условия до глубокого анализа. Давайте подведем итог и закрепим ключевые этапы.
Выводы. Как этот пример поможет вам решить любую подобную задачу
Мы разобрали полный цикл решения задачи оптимизации производственной программы. Этот подход является универсальным и может быть использован как шаблон для решения большинства задач линейного программирования, с которыми вы столкнетесь в учебе или на практике.
Давайте еще раз закрепим пройденный алгоритм:
- Постановка задачи: Внимательно изучить условие и понять цель и ограничения.
- Математическая модель: Формализовать задачу, определив переменные, целевую функцию и систему ограничений.
- Таблица в Excel: Создать наглядную расчетную модель, связав все параметры формулами.
- Настройка Solver: Корректно указать все параметры в надстройке «Поиск решения».
- Анализ: Не просто записать ответ, а интерпретировать результаты и изучить отчеты по устойчивости.
Освоив эту последовательность, вы сможете уверенно решать не только учебные контрольные, но и реальные бизнес-кейсы, превращая Excel в мощный инструмент для принятия оптимальных решений.
Список использованной литературы
- Конспект лекций_А.С.Ваганова