Расчет Импульса Силы при Упругом Столкновении Молекулы со Стенкой: Детальный Анализ и Решение Задачи

В мире, где микроскопические частицы подчиняются макроскопическим законам, столкновение становится не просто событием, а фундаментальным актом обмена энергией и движением. Особое место в этом танце занимает взаимодействие молекул газа со стенками сосуда — процесс, который лежит в основе таких явлений, как давление газа, теплопроводность и диффузия. Понимание того, как каждая индивидуальная молекула передает «толчок» (импульс силы) стенке при упругом столкновении, является краеугольным камнем для осмысления этих макроскопических проявлений. Эта задача, кажущаяся на первый взгляд абстрактной, имеет огромное значение как для теоретической физики, так и для инженерных приложений, от проектирования высокоэффективных двигателей до моделирования атмосферных процессов, ведь именно такие базовые концепции позволяют создавать прорывные технологии.

Данная работа призвана не только решить конкретную физическую задачу по расчету импульса силы, но и глубоко погрузить читателя в основополагающие принципы механики, которые позволяют это сделать. Мы начнем с исследования фундаментальных понятий импульса тела и импульса силы, проследим их историческое развитие и связь через второй закон Ньютона. Затем мы перейдем к закону сохранения импульса, его условиям применимости и значению в контексте молекулярных столкновений. Особое внимание будет уделено особенностям абсолютно упругого столкновения, его отличиям от неупругих взаимодействий и тому, как меняется импульс молекулы. Кульминацией станет детальный расчет импульса силы, сообщенного стенке, с последующим представлением пошагового алгоритма и решением типовой задачи, оформленным в строгом академическом стиле, подходящем для контрольной работы.

Фундаментальные Понятия Механики: Импульс Тела и Импульс Силы

Физика, как язык природы, оперирует множеством понятий, каждое из которых несет глубокий смысл. Для понимания динамики столкновений ключевыми являются два фундаментальных термина: импульс тела и импульс силы. Оба они, будучи векторными величинами, описывают движение и взаимодействие, но с разных сторон, предоставляя комплексный взгляд на механические процессы.

Импульс Тела (Количество Движения): Определение и Характеристики

Импульс тела, или как его еще называют, количество движения, является одной из фундаментальных характеристик механического движения. В классической механике он определяется как векторная физическая величина, равная произведению массы тела ($\text{m}$) на его скорость ($\text{v}$). Математически это выражается простой, но мощной формулой:

p = m ⋅ v

Где p — вектор импульса тела, m — скалярная масса тела, а v — вектор его скорости. Важно подчеркнуть, что импульс — это вектор, и его направление всегда совпадает с направлением скорости тела. Это означает, что не только величина, но и направление движения имеет значение для импульса, что существенно при анализе столкновений.

Исторически понятие «количество движения» возникло задолго до формализации механики Исааком Ньютоном. Еще в 1644 году великий французский философ и математик Рене Декарт ввел это понятие, определяя его как произведение «величины тела на скорость его движения». Хотя Декарт не придал импульсу векторный характер, его работа стала важным шагом к формированию современных представлений о сохранении движения.

Единицей измерения импульса тела в Международной системе единиц (СИ) является килограмм-метр в секунду (кг·м/с). Это отражает его двойственную природу, связывающую инертность (массу) и кинематику (скорость).

Импульс Силы: Определение и Мера Воздействия

Если импульс тела характеризует состояние движения объекта, то импульс силы описывает, как это состояние меняется под воздействием внешних факторов. Импульс силы — это векторная физическая величина, определяемая как произведение силы ($\text{F}$) на время ($\Delta\text{t}$), в течение которого эта сила действует.

I = F ⋅ Δt

Где I — вектор импульса силы, F — вектор действующей силы, а $\Delta\text{t}$ — интервал времени. Подобно импульсу тела, импульс силы также является вектором, и его направление всегда совпадает с направлением действующей силы.

Импульс силы можно рассматривать как меру воздействия силы на тело за определенный промежуток времени. Чем больше сила и чем дольше она действует, тем сильнее изменяется движение тела, что является прямым ответом на вопрос «И что из этого следует?» для практических задач, например, при расчете ударных нагрузок.

Единицей измерения импульса силы в СИ является Ньютон-секунда (Н·с). Примечательно, что эта единица эквивалентна килограмм-метру в секунду (кг·м/с) — той же единице, что и у импульса тела. Эта эквивалентность не случайна, она является прямым следствием глубокой связи между этими двумя понятиями, о которой пойдет речь далее.

Связь между Импульсом Тела и Импульсом Силы: Второй Закон Ньютона

Самая глубокая и фундаментальная связь между импульсом тела и импульсом силы выражается во втором законе Ньютона, представленном в его импульсной форме. Этот закон является краеугольным камнем классической динамики и позволяет количественно описать, как силы влияют на движение объектов.

Второй закон Ньютона в его классической формулировке гласит, что сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на его ускорение ($\text{F} = \text{m} \cdot \text{a}$). Однако Исаак Ньютон в своей монументальной работе «Математические начала натуральной философии» (1687 год) предложил более общую и глубокую формулировку, заявив, что «изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению действия этой силы».

Это означает, что импульс силы, который передается телу, вызывает изменение его импульса. Математически это выражается следующим образом:

F ⋅ Δt = Δp

Где $\Delta\text{p}$ — это изменение импульса тела, которое рассчитывается как разность между конечным ($\text{p}_{конечное}$) и начальным ($\text{p}_{начальное}$) импульсами:

Δp = pконечное - pначальное = m ⋅ v - m ⋅ v0

Таким образом, импульс силы равен изменению импульса тела (количества движения). Эта формулировка универсальна и применима даже в тех случаях, когда масса тела изменяется или когда сила действует в течение очень короткого промежутка времени, например, при столкновениях или взрывах, позволяя эффективно анализировать динамику систем в любых условиях.

Из этого соотношения также следует, что производная импульса тела по времени равна равнодействующей приложенных к телу сил:

F = d(p) / dt

Эта связь позволяет нам анализировать динамику системы не только через силы и ускорения, но и через изменения импульса, что особенно удобно при рассмотрении кратковременных взаимодействий, таких как удары и столкновения. В чем же заключается принципиальное отличие такого подхода от классического, основанного на силах? Оно в том, что импульсный подход позволяет обойтись без детального знания сил, действующих в короткий промежуток времени, сосредоточившись на начальном и конечном состояниях.

Закон Сохранения Импульса: Теоретические Основы и Применение

Подобно закону сохранения энергии, закон сохранения импульса является одним из фундаментальных законов природы, который находит широкое применение как в макроскопическом, так и в микроскопическом мире. Он позволяет предсказывать движение тел в системах, где действуют только внутренние силы.

Формулировка Закона и Условия Замкнутости Системы

Закон сохранения импульса гласит, что векторная сумма импульсов всех тел, составляющих замкнутую систему, остаётся постоянной, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю или внешние силы компенсированы.

Что же такое «замкнутая система»? Это система тел, которые взаимодействуют только друг с другом и не взаимодействуют с другими телами вне этой системы, или же внешние силы, действующие на систему, скомпенсированы (например, сила тяжести и сила реакции опоры в горизонтальной плоскости). В таких условиях, хотя импульсы отдельных тел внутри системы могут меняться из-за их взаимодействия, общий импульс системы остается неизменным, что является ключевым для понимания сложных многочастичных систем.

Исторически, предположение о сохранении количества движения системы тел было высказано еще Рене Декартом в 1644 году, задолго до Ньютона. Однако его формальный вывод в классической механике является прямым следствием законов Ньютона, особенно третьего закона, который утверждает, что силы взаимодействия между телами равны по модулю и противоположны по направлению. Когда два тела взаимодействуют, они обмениваются импульсами, но таким образом, что сумма их импульсов остается постоянной.

Применение Закона в Молекулярной Физике: Столкновения

Закон сохранения импульса находит свое наиболее яркое применение при рассмотрении столкновений тел. Будь то бильярдные шары, сталкивающиеся автомобили, космические аппараты или элементарные частицы, этот закон позволяет анализировать их движение до и после взаимодействия.

В контексте молекулярной физики, закон сохранения импульса играет ключевую роль при столкновении молекул газа друг с другом и, что особенно важно для нашей задачи, со стенками сосуда. Именно эти взаимодействия создают давление газа на стенки и определяют его макроскопические свойства. При изучении газовых явлений часто предполагается, что удары молекул о стенки являются абсолютно упругими, что значительно упрощает анализ, позволяя использовать принцип сохранения импульса и энергии.

Однако важно помнить, что существуют и другие виды взаимодействий. Например, абсолютно неупругое столкновение, при котором тела после соударения объединяются и движутся как единое целое. В отличие от упругого столкновения, при неупругом механическая энергия системы не сохраняется — часть кинетической энергии переходит во внутреннюю (тепловую) энергию тел вследствие их деформации. Это различие имеет критическое значение для понимания динамики системы и расчета передаваемых импульсов.

Особенности Упругого Столкновения: Изменение Импульса Молекулы

Для нашей задачи, связанной с взаимодействием молекулы со стенкой, крайне важно глубоко понимать механику абсолютно упругого столкновения. Этот тип взаимодействия характеризуется специфическими изменениями скорости и импульса, которые напрямую влияют на импульс силы, передаваемый стенке.

Определение Абсолютно Упругого Столкновения и Сохранение Энергии

Столкновение называется абсолютно упругим, если в процессе взаимодействия тела полностью восстанавливают свою первоначальную форму после деформации, и при этом механическая энергия системы сохраняется.

Это означает, что ни одна часть кинетической энергии не переходит во внутреннюю энергию (например, в тепло, звук или деформацию), как это происходит при неупругих столкновениях. В идеализированном абсолютно упругом столкновении вся кинетическая энергия, которая была у тел до удара, сохраняется в виде кинетической энергии после удара, что позволяет применять оба закона сохранения: импульса и энергии.

Такой идеализированный случай позволяет применять как закон сохранения импульса, так и закон сохранения механической энергии, что значительно упрощает анализ.

Изменение Скорости и Импульса Молекулы при Перпендикулярном Столкновении

Рассмотрим случай, когда молекула совершает абсолютно упругое столкновение с массивной, неподвижной стенкой, причем удар происходит перпендикулярно поверхности стенки. «Массивность» стенки означает, что её масса значительно больше массы молекулы, и поэтому скорость стенки после удара практически не меняется (она остается неподвижной). «Неподвижность» стенки упрощает расчет, исключая её начальный импульс.

При таком столкновении происходят следующие ключевые изменения:

1. Модуль скорости молекулы остаётся неизменным. Из-за сохранения механической энергии молекула не теряет свою кинетическую энергию, а следовательно, и модуль её скорости остается прежним.
2. Направление скорости молекулы меняется на противоположное. После упругого отскока молекула движется в обратном направлении.

Пусть начальная скорость молекулы до столкновения была $\text{v}_0$. Если выбрать ось координат, совпадающую с начальным направлением движения молекулы, то начальная скорость будет равна $\text{v}_0$. Тогда конечная скорость молекулы после столкновения, направленная в противоположную сторону, будет $\text{v} = -\text{v}_0$.

Теперь мы можем рассчитать изменение импульса молекулы ($\Delta\text{p}$). По определению, изменение импульса равно разности конечного и начального импульсов:

Δp = pконечное - pначальное = m ⋅ v - m ⋅ v0

Подставляя $\text{v} = -\text{v}_0$, получаем:

Δp = m ⋅ (-v0) - m ⋅ v0 = -m ⋅ v0 - m ⋅ v0 = -2 ⋅ m ⋅ v0

Таким образом, изменение импульса молекулы при перпендикулярном упругом столкновении с массивной неподвижной стенкой равно $-\text{2mv}_0$. Отрицательный знак указывает на то, что вектор изменения импульса направлен противоположно начальной скорости молекулы, то есть в сторону стенки. Модуль изменения импульса при этом составляет:

|Δp| = | -2 ⋅ m ⋅ v0 | = 2 ⋅ m ⋅ |v0|

Это означает, что модуль изменения импульса молекулы вдвое больше модуля ее начального импульса. В чем же практическая значимость этого удвоения импульса? Это ключевой момент для понимания давления газа на стенки сосуда, поскольку каждое такое столкновение передает стенке значительный импульс.

Отличие от Абсолютно Неупругого Столкновения

Для более полного понимания упругого удара полезно кратко сопоставить его с абсолютно неупругим столкновением. При неупругом ударе тела после соударения объединяются и движутся как единое целое. Главное отличие заключается в том, что при абсолютно неупругом столкновении механическая энергия системы не сохраняется. Часть кинетической энергии необратимо переходит в другие формы энергии, в основном во внутреннюю (тепловую) энергию за счет деформации, трения и звука.

Например, если бы молекула «прилипла» к стенке после удара (гипотетический случай неупругого столкновения), её конечная скорость стала бы нулевой ($\text{v} = 0$). Тогда изменение импульса составило бы:

Δpнеупругое = m ⋅ 0 - m ⋅ v0 = -m ⋅ v0

Сравнивая этот результат с $\Delta\text{p} = -\text{2mv}_0$ для упругого удара, мы видим, что изменение импульса при упругом столкновении вдвое больше по модулю. Это подчеркивает уникальность упругого удара, где сохранение энергии приводит к полному «отражению» движения.

Расчет Импульса Силы, Сообщенного Стенке

Теперь, когда мы понимаем, как изменяется импульс молекулы при упругом столкновении, мы можем перейти к ключевой задаче — определению импульса силы, который получает стенка от молекулы. Здесь на помощь приходит третий закон Ньютона.

Согласно третьему закону Ньютона, силы взаимодействия двух тел равны по модулю и противоположны по направлению. То есть, если молекула действует на стенку с некоторой силой $\text{F}_{молекула-на-стенку}$, то стенка действует на молекулу с силой $\text{F}_{стенка-на-молекулу}$, причем:

Fмолекула-на-стенку = -Fстенка-на-молекулу

Поскольку импульс силы определяется как произведение силы на время её действия ($\text{I} = \text{F} \cdot \Delta\text{t}$), то, интегрируя обе части по времени действия удара ($\Delta\text{t}$), мы можем заключить, что импульсы сил взаимодействия также равны по модулю и противоположны по направлению:

Iмолекула-на-стенку = -Iстенка-на-молекулу

Мы уже знаем, что импульс силы, действующей на молекулу со стороны стенки, равен изменению импульса молекулы (согласно второму закону Ньютона в импульсной форме):

Iстенка-на-молекулу = Δpмолекулы

Следовательно, импульс силы, полученный стенкой от молекулы ($\text{I}_{стенки}$), будет равен по модулю изменению импульса молекулы и направлен противоположно этому изменению:

Iстенки = -Δpмолекулы

Ранее мы вывели, что при перпендикулярном упругом столкновении молекулы с массивной неподвижной стенкой изменение импульса молекулы составляет:

Δpмолекулы = -2 ⋅ m ⋅ v0

Подставляя это выражение в формулу для импульса силы, сообщенного стенке, получаем:

Iстенки = -(-2 ⋅ m ⋅ v0) = 2 ⋅ m ⋅ v0

Таким образом, импульс силы, сообщенный стенке при перпендикулярном упругом столкновении молекулы с массой $\text{m}$ и начальной скоростью $\text{v}_0$, равен $\text{2mv}_0$. Этот импульс направлен перпендикулярно стенке, в ту же сторону, что и начальное движение молекулы, то есть «от» стенки. Этот результат логичен: молекула «отталкивается» от стенки, сообщая ей импульс в направлении своего начального движения.

Алгоритм Решения Типовой Задачи на Импульс Силы

Решение задач по физике требует не только знания формул, но и систематического подхода. Представленный ниже алгоритм поможет структурировать мысли и эффективно применить изученные принципы для расчета импульса силы.

Последовательность Действий при Решении Задачи

1. Анализ условия задачи и определение известных величин: Внимательно прочтите задачу, выделите все данные (масса, скорость, тип столкновения) и определите, что требуется найти. Запишите известные величины в системе СИ.
2. Выбор системы отсчета и направлений векторов: Для векторных величин, таких как скорость и импульс, критически важен правильный выбор положительного направления. Обычно выбирается ось, совпадающая с начальным направлением движения тела.
3. Запись формул начального и конечного импульсов молекулы: Используя выбранную систему отсчета, запишите векторные выражения для импульса молекулы до столкновения ($\text{p}_{начальное}$) и после столкновения ($\text{p}_{конечное}$).
4. Расчет изменения импульса молекулы ($\Delta\text{p}$): Вычислите разность между конечным и начальным импульсами молекулы: $\Delta\text{p} = \text{p}_{конечное} — \text{p}_{начальное}$.
5. Применение Третьего закона Ньютона для импульса силы: Вспомните, что импульс силы, сообщенный стенке, равен по модулю и противоположен по направлению изменению импульса молекулы: $\text{I}_{стенки} = -\Delta\text{p}_{молекулы}$.
6. Расчет конечного значения импульса силы: Подставьте полученное значение изменения импульса молекулы в формулу из пункта 5 и получите численное значение импульса силы, сообщенного стенке, с указанием единиц измерения.

Пример Решения Задачи (иллюстрация)

Задача: Молекула массой $4.7 \cdot 10^{-26}$ кг, летящая перпендикулярно к стенке сосуда со скоростью $500$ м/с, упруго ударяется о стенку и отскакивает от нее. Определить импульс силы, полученный стенкой во время удара.

Дано:

• Масса молекулы, $\text{m} = 4.7 \cdot 10^{-26}$ кг
• Начальная скорость молекулы, $\text{v}_0 = 500$ м/с
• Столкновение: абсолютно упругое, перпендикулярное к стенке.
• Стенка: массивная, неподвижная.

Найти: Импульс силы, полученный стенкой, $\text{I}_{стенки}$.

Решение:

1. Анализ условия: Задача требует найти импульс силы, переданный стенке при упругом столкновении молекулы. Известны масса и скорость молекулы.
2. Выбор системы отсчета: Выберем ось X перпендикулярно стенке, направив её по начальному направлению движения молекулы.
   • Начальная скорость молекулы: $\text{v}_{0x} = +\text{v}_0 = +500$ м/с.
   • Поскольку столкновение абсолютно упругое и происходит перпендикулярно массивной неподвижной стенке, модуль скорости молекулы после удара не изменится, но изменится её направление.
   • Конечная скорость молекулы: $\text{v}_x = -\text{v}_0 = -500$ м/с.
3. Запись формул начального и конечного импульсов молекулы:
   • Начальный импульс молекулы: $\text{p}_{0x} = \text{m} \cdot \text{v}_{0x}$
   • Конечный импульс молекулы: $\text{p}_x = \text{m} \cdot \text{v}_x$
4. Расчет изменения импульса молекулы ($\Delta\text{p}$):
   • $\Delta\text{p}_x = \text{p}_x — \text{p}_{0x} = \text{m} \cdot \text{v}_x — \text{m} \cdot \text{v}_{0x}$
   • Подставляем значения: $\Delta\text{p}_x = \text{m} \cdot (-\text{v}_0) — \text{m} \cdot \text{v}_0 = -2 \cdot \text{m} \cdot \text{v}_0$
   • $\Delta\text{p}_x = -2 \cdot (4.7 \cdot 10^{-26} \text{ кг}) \cdot (500 \text{ м/с})$
   • $\Delta\text{p}_x = -2 \cdot 2350 \cdot 10^{-26}$ кг·м/с
   • $\Delta\text{p}_x = -4700 \cdot 10^{-26}$ кг·м/с $= -4.7 \cdot 10^{-23}$ кг·м/с.
   • Отрицательный знак указывает на то, что изменение импульса направлено против выбранной оси X, то есть в сторону стенки.
5. Применение Третьего закона Ньютона для импульса силы:
   • Импульс силы, полученный стенкой ($\text{I}_{стенки}$), равен по модулю и противоположен по направлению изменению импульса молекулы ($\Delta\text{p}_{молекулы}$).
   • $\text{I}_{стенки,x} = -\Delta\text{p}_x$
6. Расчет конечного значения импульса силы:
   • $\text{I}_{стенки,x} = -(-4.7 \cdot 10^{-23}$ кг·м/с)
   • $\text{I}_{стенки,x} = +4.7 \cdot 10^{-23}$ кг·м/с.

Ответ: Импульс силы, полученный стенкой во время удара, составляет $4.7 \cdot 10^{-23}$ Н·с (или кг·м/с) и направлен от стенки, в ту же сторону, что и начальное движение молекулы.

Заключение

Путешествие в мир молекулярных столкновений и импульсов показало, насколько глубоко взаимосвязаны фундаментальные законы механики с явлениями микромира. Мы начали с того, что разобрали понятия импульса тела и импульса силы, проследив их исторические корни и уточнив их векторную природу и единицы измерения. Ключевое звено — второй закон Ньютона в импульсной форме — продемонстрировало, как сила и время её действия преобразуются в изменение движения объекта.

Далее мы углубились в закон сохранения импульса, подчеркнув его универсальность для замкнутых систем и его критическую роль в анализе столкновений, особенно молекулярных. Детальное изучение абсолютно упругого столкновения молекулы с массивной неподвижной стенкой позволило нам понять, почему модуль скорости молекулы остаётся неизменным, а направление меняется на противоположное, что приводит к изменению импульса молекулы на $-\text{2mv}_0$. Это знание, сопоставленное с особенностями абсолютно неупругого столкновения, выявило уникальную динамику упругих взаимодействий.

Кульминацией стало применение третьего закона Ньютона для определения импульса силы, переданного стенке. Мы выяснили, что этот импульс равен $\text{2mv}_0$ и направлен от стенки, что является прямым следствием обмена импульсами между молекулой и стенкой. Представленный пошаговый алгоритм решения задачи и его практическая иллюстрация подтвердили, как эти теоретические принципы воплощаются в конкретных расчетах. Отвечает ли этот комплексный подход всем требованиям для глубокого понимания физических процессов?

Понимание этих принципов — от базовых определений до сложных динамических процессов — не просто выполняет задачу контрольной работы, но и формирует прочный фундамент для дальнейшего изучения термодинамики, статистической физики и механики жидкостей и газов. Именно такой комплексный подход позволяет не просто «решать задачи», но по-настоящему «понимать физику».

Список использованной литературы

1. Импульс тела — урок. Физика, 9 класс // ЯКласс. URL: https://yaklass.ru/p/fizika/9-klass/zakony-sokhraneniia-17482/impuls-tela-i-impuls-sily-17483/re-f965d1d6-11f2-45a7-932d-304b684523c9 (дата обращения: 04.11.2025).
2. Импульс тела — что это, формула, примеры // Сравни.ру. URL: https://www.sravni.ru/enciklopediya/info/impuls-tela/ (дата обращения: 04.11.2025).
3. Импульс тела. Импульс силы. Изменение импульса // Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/impuls-tela-impuls-sily-izmenenie-impulsa (дата обращения: 04.11.2025).
4. Закон сохранения импульса — опредление, формулы, формулировка // Skysmart. URL: https://skysmart.ru/articles/fizika/zakon-sohraneniya-impulsa (дата обращения: 04.11.2025).
5. Импульс силы // Инфофиз. URL: https://infophys.ru/impuls-sily/ (дата обращения: 04.11.2025).
6. Импульс силы формула. Импульс силы равен // SBP-Program. URL: https://sbp-program.ru/impuls-sily-formula-impuls-sily-raven/ (дата обращения: 04.11.2025).
7. Импульс тела. Закон сохранения импульса // Объединение учителей Санкт-Петербурга. URL: https://eduee.ru/fizika/impulstelaizakonsohraneniyaimpulsa/ (дата обращения: 04.11.2025).
8. В чем заключается связь между импульсом силы и импульсом тела? // Вопросы к Поиску с Алисой (Яндекс Нейро). URL: https://yandex.ru/q/question/v_chem_zakliuchaetsia_sviaz_mezhdu_imp_707f766e/ (дата обращения: 04.11.2025).
9. Импульс // MathUs.ru. URL: https://mathus.ru/physics/impuls.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
10. Импульс тела. Импульс силы // ИнтернетУрок. URL: https://interneturok.ru/lesson/10-klass/fizika/impuls-tela-impuls-sily (дата обращения: 04.11.2025).
11. Что такое импульс силы? // Uchi.ru. URL: https://www.uchi.ru/otvety/questions/chto-takoe-impuls-sily (дата обращения: 04.11.2025).
12. § 77. Упругий удар шара о стенку // Научная библиотека. URL: http://fizika.site/uchebnik/mexanika/str-194-196-glava-4-dinamika-sistemy-materialnyx-tochek-glava-5-rabota-i-energiya-glava-6-moment-impulsa.html (дата обращения: 04.11.2025).
13. Глава 5. Закон сохранения импульса. URL: http://www.phys.nsu.ru/files/olymp/book_olymp/5_impuls.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
14. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т.I Механика. URL: https://scask.ru/r_book/sivuh_1.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
15. Импульс тела, силы. Изменение и направление вектора, единицы измерения. Связь с законом Ньютона. Примеры. URL: https://ege-ok.ru/2012/03/14/impuls-tela-i-sily-izmenenie-i-napravlenie-vektora-edinicy-izmereniya-svyaz-s-zakonom-nyutona-primery/ (дата обращения: 04.11.2025).
16. 1.21. Упругие и неупругие соударения // physics.ru. URL: http://physics.ru/courses/op25/labs/op12-1-21.html (дата обращения: 04.11.2025).
17. Импульс // fizika.ru.net. URL: https://fizika.ru.net/index.php/teoriya/10-klass/item/42-impuls (дата обращения: 04.11.2025).
18. 1.16. Импульс тела // physics.ru. URL: http://physics.ru/courses/op25/labs/op12-1-16.html (дата обращения: 04.11.2025).
19. Импульс тела и импульс силы. Теорема об изменении импульса системы материальных точек. Центр масс системы материальных точек. Закон сохранения импульса // НарФУ. URL: https://narfu.ru/upload/iblock/c38/l_4_dinamika_tverdogo_tela_postupatelnogo_i_vrashchatelnogo_dvizheniya.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
20. Упругие столкновения. URL: http://www.physics.uni.edu.az/fiz_lab/diger/mexanika/fizika%20lab%20%28az%29/111.5.%20Issledovanie%20uprugogo%20stolknoveniya%20sharov.DOC (дата обращения: 04.11.2025).
21. 25. Абсолютно упругий удар шара о неподвижную массивную стенку // БГПУ. URL: https://bspu.by/content/files/1647932617.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
22. Абсолютно упругий и неупругий удары // fizika-class.narod.ru. URL: http://fizika-class.narod.ru/fizikamehanika/urok28.htm (дата обращения: 04.11.2025).
23. Савельев И. В. Курс общей физики, том I. Механика, колебания и волны, молекулярная физика. URL: https://scask.ru/r_book/sav_1.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
24. Задачи на столкновения и законы сохранения импульса и энергии // ЗФТШ, МФТИ. URL: https://dist.mipt.ru/e-courses/course1/module1/lesson6/section1/ (дата обращения: 04.11.2025).
25. Задачи на столкновения и законы сохранения импульса и энергии // ЗФТШ. URL: https://dist.mipt.ru/e-courses/course1/module1/lesson5/section1/ (дата обращения: 04.11.2025).