Постановка задачи и стратегия решения
Сегодня мы разберем классическую задачу по кинематике, часто встречающуюся в сборниках, например, в задачнике Волькенштейна. Условия таковы: мяч, брошенный горизонтально, ударяется о вертикальную стенку, которая находится на расстоянии l = 5 м от точки броска. При этом точка удара оказалась на Δh = 1 м ниже исходной высоты. Наша цель — найти два параметра: начальную скорость vₓ, с которой бросили мяч, и угол φ, под которым он подлетел к стенке.
Секрет решения этой и подобных задач — в разделении одного сложного движения на два простых и независимых друг от друга процесса. Этот подход позволит нам превратить запутанную на первый взгляд проблему в последовательность ясных логических шагов.
Фундаментальный принцип, или как разложить сложное на простое
Ключевой физический принцип, который мы будем использовать, — это принцип суперпозиции движений. Он гласит, что сложное движение тела можно рассматривать как сумму нескольких независимых движений, происходящих одновременно. В нашем случае движение мяча — это комбинация:
- Движения по горизонтали (ось X): Это равномерное прямолинейное движение. Поскольку на мяч в горизонтальном направлении не действуют силы (сопротивлением воздуха пренебрегаем), его скорость vₓ остается постоянной на всем пути до стенки. Здесь нет ускорения.
- Движения по вертикали (ось Y): Это свободное падение, то есть равноускоренное движение. Начальная вертикальная скорость равна нулю, но под действием силы тяжести она постоянно увеличивается. Ускорение здесь постоянно и равно ускорению свободного падения g.
Важнейший вывод из этого принципа: время, которое мяч тратит на падение на 1 метр по вертикали, — это то же самое время, за которое он пролетает 5 метров по горизонтали. Именно время связывает эти два независимых процесса в единую систему.
Шаг 1. Находим время полета через анализ вертикального движения
Чтобы найти общую для обоих процессов величину — время полета t, — мы сфокусируемся исключительно на вертикальном движении. Нам известно, что по вертикали мяч сместился на Δh = 1 м. Движение по этой оси описывается формулой свободного падения тела без начальной вертикальной скорости:
Δh = (g * t²) / 2
Где:
- Δh — вертикальное смещение (1 м).
- g — ускорение свободного падения (примем за 9.8 м/с²).
- t — искомое время полета.
Теперь выразим из этой формулы время t:
t = √(2 * Δh / g)
Подставим наши значения и произведем расчет:
t = √(2 * 1 м / 9.8 м/с²) ≈ √0.204 с² ≈ 0.45 с
Итак, мяч летел до стенки примерно 0.45 секунды. Это значение является «мостиком» к следующему этапу вычислений.
Шаг 2. Вычисляем начальную скорость, с которой бросили мяч
Теперь, зная точное время полета, мы можем легко найти начальную скорость. Для этого переключим наше внимание на горизонтальное движение (по оси X). Как мы помним, это движение равномерное, а значит, его можно описать простейшей формулой:
l = vₓ * t
Где:
- l — расстояние до стенки (5 м).
- vₓ — искомая начальная скорость.
- t — время полета, которое мы нашли на предыдущем шаге (0.45 с).
Выразим отсюда скорость vₓ:
vₓ = l / t
Подставляем известные нам значения:
vₓ = 5 м / 0.45 с ≈ 11.1 м/с
Мы ответили на первый вопрос задачи. Начальная скорость броска составляла примерно 11.1 м/с.
Шаг 3. Определяем вектор скорости мяча в момент удара о стенку
Чтобы найти угол подлета, нам нужно сначала понять, какой была полная скорость мяча в момент удара. Эта скорость представляет собой вектор V, который складывается из двух компонент:
- Горизонтальная компонента (vₓ): Она не изменилась за все время полета и по-прежнему равна 11.1 м/с.
- Вертикальная компонента (vᵧ): Она появилась и росла из-за действия силы тяжести. Ее значение в момент удара можно найти по формуле скорости для равноускоренного движения:
vᵧ = g * t
Подставляем известные нам значения g и t:
vᵧ = 9.8 м/с² * 0.45 с ≈ 4.41 м/с
Таким образом, в момент удара о стену мяч обладал двумя скоростями: горизонтальной vₓ ≈ 11.1 м/с и вертикальной vᵧ ≈ 4.41 м/с.
Шаг 4. Находим угол подлета мяча к поверхности стенки
Теперь у нас есть все данные для финального расчета. Векторы скоростей vₓ и vᵧ можно представить как катеты прямоугольного треугольника, где гипотенузой является вектор полной скорости V. Искомый угол φ — это угол, который вектор V образует с вертикалью (со стенкой).
В этом треугольнике отношение катетов связано с углом через тригонометрическую функцию тангенса. Для угла с вертикалью соотношение будет таким:
tg(φ) = vₓ / vᵧ
Чтобы найти сам угол, нужно взять арктангенс от этого отношения:
φ = arctg(vₓ / vᵧ)
Подставим вычисленные ранее значения скоростей:
φ = arctg(11.1 м/с / 4.41 м/с) ≈ arctg(2.517) ≈ 68.3°
Итак, мы ответили на второй вопрос: мяч подлетает к стенке под углом примерно 68.3 градуса к вертикали.
Итоги и обобщение метода
Мы полностью решили поставленную задачу и получили конкретные ответы. Давайте их зафиксируем:
Начальная скорость броска мяча (vₓ) составляет 11.1 м/с.
Угол подлета к поверхности стенки (φ) относительно вертикали равен 68.3°.
Но главное — не сами цифры, а метод, который мы использовали. Он универсален для всех задач на движение тела, брошенного горизонтально, и сводится к простому алгоритму:
- Разделить сложное движение на два простых: равномерное по горизонтали и равноускоренное по вертикали.
- Найти общее для них время полета t, используя данные и формулу для вертикального движения.
- Использовать это время для нахождения всех остальных неизвестных (скорости, углы), применяя соответствующие формулы для каждого из двух типов движения.
Освоив этот подход, вы сможете уверенно решать широкий класс задач по кинематике.