Разбор и решение задачи по физике о теле на границе раздела двух жидкостей

Постановка задачи и определение базовых условий

Представим себе типичную задачу из контрольной работы по физике: на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей, например, масла (плотность ρ₁) и воды (плотность ρ₂), плавает плоская шайба высотой H и плотностью ρ. Важное условие: плотность верхней жидкости меньше плотности шайбы, а плотность шайбы меньше плотности нижней жидкости (ρ₁ < ρ < ρ₂). Наша цель — найти формулу для расчета глубины погружения шайбы h в нижнюю, более плотную жидкость.

Чтобы решить эту задачу, нам нужно обратиться к фундаментальному закону, который управляет плаванием тел.

С какого главного закона начинается решение?

В основе всего решения лежит принцип Архимеда. Он гласит, что на любое тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила. Для того чтобы тело находилось в состоянии покоя, то есть плавало, необходимо выполнение ключевого условия равновесия: суммарная выталкивающая сила, действующая на тело, должна быть в точности равна его силе тяжести.

Теперь, когда мы вспомнили основной закон, давайте проанализируем, какие именно силы действуют на нашу шайбу.

Какие силы удерживают шайбу в равновесии

В нашем случае на шайбу действуют три силы. Вертикально вниз направлена сила тяжести (mg), которая стремится потопить шайбу. Ей противостоят сразу две выталкивающие силы, действующие вертикально вверх. Первая (F_A1) создается верхней, менее плотной жидкостью и действует на часть шайбы, погруженную в нее. Вторая (F_A2) создается нижней, более плотной жидкостью. Их сумма и удерживает шайбу в равновесии.

Физическая картина ясна. Следующий логический шаг — перевести это описание на язык математики, записав уравнение равновесия.

Как выглядит уравнение равновесия для нашей шайбы

Исходя из условия равновесия, мы можем составить простое, но ключевое уравнение. Сила тяжести, действующая на шайбу, должна быть уравновешена суммой двух выталкивающих сил от обеих жидкостей. Математически это выглядит так:

mg = F_A1 + F_A2

Это и есть главное уравнение, из которого мы, после ряда преобразований, получим искомую глубину погружения.

Как перейти от общих величин к параметрам задачи

Теперь наша задача — выразить каждую величину в уравнении через известные параметры из условия задачи: плотности (ρ, ρ₁, ρ₂), высоту шайбы (H) и искомую глубину (h₂). Пусть площадь основания шайбы равна S. Тогда:

• Массу шайбы (m) выразим через ее плотность и объем (V = S * H): m = ρ * S * H.
• Выталкивающую силу F_A1 выразим через плотность верхней жидкости ρ₁ и объем погруженной в нее части (V₁ = S * h₁): F_A1 = ρ₁ * g * S * h₁.
• Аналогично для нижней жидкости: F_A2 = ρ₂ * g * S * h₂.

Также не забудем, что общая высота шайбы H — это сумма высот ее частей в обеих жидкостях: H = h₁ + h₂, откуда получаем h₁ = H — h₂.

Как алгебра приводит нас к финальной формуле

Теперь у нас есть все компоненты. Подставим их в наше уравнение равновесия:
(ρ * S * H) * g = (ρ₁ * S * (H — h₂)) * g + (ρ₂ * S * h₂) * g.
Первое, что мы видим, — это возможность сократить ускорение свободного падения (g) и площадь основания (S), так как они присутствуют в каждом члене уравнения. Получаем:
ρ * H = ρ₁ * (H — h₂) + ρ₂ * h₂.
Раскроем скобки и сгруппируем члены, содержащие искомую величину h₂, в одной части уравнения, а все остальное — в другой. После несложных преобразований мы приходим к ответу.

Какой вид имеет искомая формула и что она означает

После всех алгебраических манипуляций мы получаем элегантную итоговую формулу для глубины погружения шайбы в нижнюю, более плотную жидкость:

h₂ = H * (ρ — ρ₁) / (ρ₂ — ρ₁)

Эта формула наглядно показывает, что глубина погружения h₂ напрямую зависит не от абсолютных значений плотностей, а от их соотношений. Она показывает, какую долю от общей высоты займет погружение в нижнюю жидкость.

Заключение

Мы прошли весь путь от постановки задачи до вывода финальной формулы. Важно понимать, что решение любой подобной задачи строится на простом и логичном алгоритме: анализ сил, запись уравнения равновесия и математические преобразования. Понимание этого универсального подхода гораздо ценнее, чем простое заучивание итоговой формулы, и позволяет уверенно решать любые вариации таких задач.