Энергия — это своего рода «валюта» Вселенной, а законы механики описывают правила ее обмена. Понимание этих правил превращает набор сложных формул в мощный инструмент для описания мира. Многие боятся этой темы, но она становится ясной, если изучать ее системно. В этом материале мы построим прочный фундамент, опираясь на три ключевых столпа: работа силы тяжести, потенциальная энергия пружины и всеобъемлющий закон сохранения энергии. Это не просто шпаргалка, а полноценный гид, который проведет вас от базовой теории до уверенного решения самых сложных задач.
Что такое работа силы тяжести и от чего она зависит
В физике понятие «работа» — это не просто усилие, а конкретная мера изменения энергии системы под действием силы. Когда речь идет о силе тяжести, ее работа напрямую связана с перемещением тела по вертикали. Ключевая формула для расчета выглядит так:
A = mgh
Здесь m — масса тела, g — ускорение свободного падения (примерно 9,8 м/с²), а h — разница высот между начальной и конечной точками. Чтобы правильно использовать эту формулу, важно понимать три фундаментальных аспекта:
- Направление имеет значение. Если тело движется вниз, сила тяжести помогает движению, и ее работа считается положительной. Если же тело движется вверх, преодолевая силу тяжести, работа будет отрицательной, так как сила направлена против перемещения.
- Траектория не важна. Это ключевой и не всегда очевидный момент. Работа силы тяжести зависит только от вертикального перемещения (h). Неважно, падает ли тело строго вертикально или скатывается по длинной извилистой горке — если начальная и конечная высота одинаковы, работа силы тяжести будет той же.
- Единство измерений. Для получения корректного результата в джоулях (Дж), все величины должны быть в системе СИ: масса — в килограммах (кг), высота — в метрах (м).
Понимание этих принципов превращает формулу из абстракции в логичный инструмент для анализа реальных физических процессов.
Применяем знания на практике, решая задачи на работу силы тяжести
Теория становится понятнее, когда видишь ее в действии. Давайте разберем два примера, чтобы закрепить материал.
Задача 1: Базовый расчет
Кран поднимает бетонную плиту массой 500 кг на высоту 15 метров. Какую работу совершает сила тяжести?
Дано:
m = 500 кг
h = 15 м
g ≈ 9,8 м/с²
Найти:
A — ?
Решение:
Поскольку плита движется вверх, то есть против направления силы тяжести, работа этой силы будет отрицательной. Используем формулу A = mgh со знаком минус.
A = — (500 кг * 9,8 м/с² * 15 м) = — (4900 Н * 15 м) = -73 500 Дж или -73,5 кДж.
Ответ: Работа силы тяжести равна -73,5 кДж.
Задача 2: Движение по наклонной плоскости
Сани массой 20 кг съезжают с горы длиной 50 м. Угол наклона горы к горизонту составляет 30°. Какую работу совершила сила тяжести за время спуска?
Дано:
m = 20 кг
L = 50 м (длина склона)
α = 30°
Найти:
A — ?
Решение:
Здесь важно помнить, что работа силы тяжести зависит не от длины пути (L), а от вертикального перемещения (h). Сначала найдем высоту горы из прямоугольного треугольника: h = L * sin(α).
h = 50 м * sin(30°) = 50 м * 0,5 = 25 м.
Так как сани движутся вниз, работа силы тяжести положительна.
A = mgh = 20 кг * 9,8 м/с² * 25 м = 196 Н * 25 м = 4900 Дж или 4,9 кДж.
Ответ: Работа силы тяжести составила 4,9 кДж.
Как пружина накапливает и отдает потенциальную энергию
Если работа силы тяжести связана с положением тела в пространстве, то существует и другой вид накопленной энергии — энергия упругой деформации. Любую сжатую или растянутую пружину можно представить как «взведенный курок», который готов совершить работу, чтобы вернуться в исходное состояние. Эта накопленная энергия называется потенциальной энергией упруго деформированного тела.
Рассчитывается она по формуле:
Eп = (k * x²) / 2
Давайте разберем ее компоненты:
- k — это жесткость пружины, ее ключевая характеристика. Она показывает, насколько пружина «сопротивляется» деформации, и измеряется в ньютонах на метр (Н/м).
- x — это величина деформации (сжатия или растяжения) в метрах.
Ключевая особенность этой формулы — квадратичная зависимость. Это значит, что если растянуть пружину в два раза сильнее, она запасет в четыре раза больше энергии. Эта энергия и есть тот источник силы, который описывается законом Гука (F = -kx) и который позволяет пружине совершать работу при возвращении в состояние равновесия.
Решаем задачи на упругую деформацию пружины
Вооружившись формулой, мы можем измерить энергию, скрытую в любой пружине. Рассмотрим несколько типовых сценариев.
Задача 1: Прямой расчет энергии
Пружину жесткостью 200 Н/м растянули на 5 см. Какова ее потенциальная энергия?
Дано:
k = 200 Н/м
x = 5 см = 0,05 м (важно перевести в СИ!)
Найти:
Eп — ?
Решение:
Подставляем значения в формулу: Eп = (k * x²) / 2.
Eп = (200 Н/м * (0,05 м)²) / 2 = (200 * 0,0025) / 2 = 0,5 / 2 = 0,25 Дж.
Ответ: Потенциальная энергия пружины равна 0,25 Дж.
Задача 2: Обратный расчет деформации
Потенциальная энергия сжатой пружины равна 2 Дж. Какова величина ее сжатия, если жесткость пружины 1000 Н/м?
Дано:
Eп = 2 Дж
k = 1000 Н/м
Найти:
x — ?
Решение:
Выразим x из формулы энергии: Eп = (k * x²) / 2 → x² = (2 * Eп) / k → x = √((2 * Eп) / k).
x = √((2 * 2 Дж) / 1000 Н/м) = √(4 / 1000) = √0,004 ≈ 0,063 м.
Ответ: Пружину сжали примерно на 6,3 см.
Как закон сохранения энергии объединяет движение и высоту
Мы рассмотрели два вида потенциальной энергии — гравитационную (энергию положения) и упругую (энергию деформации). Но есть и третий ключевой игрок — кинетическая энергия, или энергия движения. Она описывает энергию, которой обладает тело благодаря своей скорости, и рассчитывается по формуле:
Ek = (m * v²) / 2
Самое интересное в физике начинается тогда, когда эти виды энергии начинают превращаться друг в друга. Представьте подброшенный вверх мяч. В момент броска, у самой земли, его скорость максимальна, а значит, максимальна и кинетическая энергия (Ek). По мере подъема скорость падает, но растет высота — Ek превращается в потенциальную энергию (Ep). В верхней точке полета мяч на мгновение замирает (v=0, Ek=0), и вся энергия переходит в потенциальную. Затем он начинает падать, и происходит обратный процесс: высота уменьшается, а скорость растет, Ep снова переходит в Ek.
Этот непрерывный обмен и лежит в основе одного из самых фундаментальных законов природы.
В замкнутой системе, где отсутствуют силы трения, полная механическая энергия, равная сумме кинетической и потенциальной энергий, остается постоянной.
E = Ek + Ep = const
Этот закон — универсальный ключ, который позволяет решать задачи, казавшиеся неразрешимыми, просто приравнивая полную энергию системы в двух разных точках.
Практикум по закону сохранения энергии для самых сложных случаев
Давайте посмотрим, как этот мощный инструмент работает на примере комплексных задач, объединяющих все, что мы изучили ранее.
Задача 1: Падение тела на пружину
Тело массой 2 кг падает с высоты 3 м на вертикальную пружину жесткостью 800 Н/м. Найдите максимальное сжатие пружины.
Решение:
Применим закон сохранения энергии. «Энергия в точке 1 (начало падения) = Энергия в точке 2 (максимальное сжатие пружины)». За нулевой уровень потенциальной энергии примем точку максимального сжатия.
В точке 1 тело покоится (Ek1 = 0), но обладает потенциальной энергией относительно точки 2. Высота h будет суммой начальной высоты (H=3м) и сжатия пружины (x). Ep1 = mg(H+x).
В точке 2 тело на мгновение останавливается (Ek2 = 0), а вся энергия переходит в потенциальную энергию сжатой пружины: Ep2 = (kx²)/2.
Приравниваем: mg(H+x) = (kx²)/2.
2*9.8*(3+x) = (800*x²)/2 → 19.6*(3+x) = 400x² → 400x² — 19.6x — 58.8 = 0.
Решая это квадратное уравнение, находим положительный корень x ≈ 0,39 м.
Ответ: Максимальное сжатие пружины составит примерно 39 см.
Задача 2: Американские горки
Вагонетка массой 300 кг начинает движение из состояния покоя с горки высотой 20 м. Какова будет ее скорость в нижней точке траектории (h=0)? Трением пренебречь.
Решение:
«Энергия в точке 1 (наверху) = Энергия в точке 2 (внизу)».
В точке 1: v1 = 0, h1 = 20 м. Полная энергия E1 = Ek1 + Ep1 = 0 + mgh1.
В точке 2: v2 = ?, h2 = 0. Полная энергия E2 = Ek2 + Ep2 = (mv₂²)/2 + 0.
Приравниваем: mgh1 = (mv₂²)/2. Масса сокращается!
gh1 = v₂²/2 → v₂ = √(2gh1).
v₂ = √(2 * 9,8 м/с² * 20 м) = √392 ≈ 19,8 м/с.
Ответ: Скорость вагонетки в нижней точке будет около 19,8 м/с.
Ключевые выводы и дальнейшие шаги
Мы прошли большой путь от базовых понятий до решения комплексных задач. Чтобы систематизировать знания, давайте закрепим три главные идеи, которые вы должны вынести из этого материала:
- Работа, которую совершает сила тяжести, зависит только от вертикального перемещения, а не от формы траектории.
- Энергия, запасенная в пружине, пропорциональна квадрату ее растяжения или сжатия.
- В отсутствие трения полная механическая энергия системы (сумма кинетической и потенциальной) всегда сохраняется, лишь переходя из одной формы в другую.
Теперь ваша задача — практика. Не просто перечитывайте решения, а берите условия задач и пытайтесь воспроизвести решение самостоятельно, лишь затем сверяясь с ответом. Когда вы почувствуете себя уверенно, попробуйте изучить смежные темы, такие как работа силы трения (которая нарушает закон сохранения механической энергии) и мощность. Успехов!
Список использованной литературы
- Рымкевич, А. П. Физика. Задачник. 1011 кл.: пособие для общеобразоват. Учреждений / А. П. Рымкевич. 10-е изд., стереотип. М.: Дрофа, 2006. 188, с.: ил.