Примеры решения задач по ключевым разделам физики для студентов

Ключ к решению задач по физике — это система, а не заучивание

Многие студенты сталкиваются с одной и той же проблемой: перед экзаменом или контрольной начинается хаотичный поиск решений для конкретных задач, похожих на те, что могут попасться в билете. Этот подход дает лишь иллюзию понимания, но рассыпается при столкновечении с любой нестандартной формулировкой. Настоящий успех в решении задач по физике зависит не от заучивания сотен формул, а от освоения четкого и универсального алгоритма.

Любая задача, вне зависимости от ее сложности, решается через последовательность логических шагов:

1. Тщательный анализ условия и выписывание всех известных величин.
2. Определение ключевого физического явления и соответствующего ему закона.
3. Математическое решение: вывод рабочей формулы и подстановка значений.

Эта статья — не просто сборник готовых ответов. Это практический тренажер, разработанный для того, чтобы выработать у вас системный подход к решению. Мы на конкретных примерах разберем, как этот алгоритм работает в таких фундаментальных разделах, как волновая оптика, релятивистская механика и квантовая физика.

Теперь, когда мы определились с подходом, давайте применим его на практике и начнем с одного из самых наглядных разделов физики — волновой оптики.

Раздел 1. Волновая оптика и анализ явления интерференции в задаче №504

Интерференция света — одно из ключевых явлений волновой оптики, которое заключается в перераспределении интенсивности света в результате наложения (суперпозиции) нескольких когерентных световых волн. Классическим примером интерференции являются кольца Ньютона — концентрические кольца, возникающие в тонком зазоре между плоскопараллельной пластиной и соприкасающейся с ней плосковыпуклой линзой. Рассмотрим, как анализировать это явление на практике.

Задача №504: На стеклянную пластину положена выпуклой стороной плосковыпуклая линза. Сверху линза освещена монохроматическим светом длиной волны λ = 500 нм. Найти радиус кривизны линзы R, если радиус четвертого темного кольца Ньютона в отраженном свете r4 = 2 мм.

Дано:
Длина волны света, λ = 500 нм = 5 · 10^-7 м
Радиус 4-го темного кольца, r₄ = 2 мм = 2 · 10^-3 м
Порядковый номер кольца, k = 4

Найти:
Радиус кривизны линзы, R

Решение:
Темные кольца Ньютона (минимумы) образуются, когда оптическая разность хода двух лучей (отраженного от нижней поверхности линзы и от верхней поверхности пластины) равна целому числу длин волн. Условие для радиуса k-го темного кольца в отраженном свете имеет вид:

r_k² = kλR
Из этой формулы мы можем выразить искомый радиус кривизны линзы R:

R = r_k² / (kλ)
Теперь подставим числовые значения для четвертого темного кольца (k=4):

R = (2 · 10^-3 м)² / (4 · 5 · 10^-7 м) = 4 · 10^-6 м² / 20 · 10^-7 м = 0.2 · 10¹ м = 2 м

Ответ: Радиус кривизны линзы составляет 2 метра.

Мы разобрали, как интерференция создает видимый рисунок. Похожий, но иной по своей природе эффект, дает дифракция, которую мы рассмотрим в следующей задаче.

Раздел 1. Волновая оптика и расчет спектра дифракционной решетки в задаче №514

Дифракционная решетка — это оптический прибор, представляющий собой совокупность большого числа параллельных штрихов, нанесенных на прозрачную или отражающую поверхность. Она используется для разложения света в спектр, так как угол отклонения света после прохождения через решетку зависит от его длины волны. Это свойство позволяет анализировать спектральный состав излучения.

Задача №514: На дифракционную решетку, содержащую N = 600 штрихов на миллиметр, падает нормально белый свет. Спектр проецируется помещенной вблизи решетки линзой на экран. Определить длину ΔX спектра первого порядка на экране, если расстояние от линзы до экрана L=1,2 м. Границы видимого спектра: λ_к = 780 нм (красный), λ_ф=400 нм (фиолетовый).

Дано:
Число штрихов на мм, N = 600 мм^-1
Расстояние до экрана, L = 1,2 м
Длина волны красного света, λ_к = 780 нм = 7.8 · 10^-7 м
Длина волны фиолетового света, λ_ф = 400 нм = 4 · 10^-7 м
Порядок спектра, m = 1

Найти:
Длина спектра первого порядка, ΔX

Решение:
1. Сначала найдем период (постоянную) дифракционной решетки d. Это расстояние между соседними штрихами:

d = 1 / N = 1 / 600 мм^-1 ≈ 1.67 · 10^-3 мм = 1.67 · 10^-6 м

2. Условие максимумов для дифракционной решетки описывается формулой: d sin(θ) = mλ. Отсюда найдем углы отклонения для красной и фиолетовой границ спектра первого порядка (m=1):

sin(θ_к) = λ_к / d = (7.8 · 10^-7 м) / (1.67 · 10^-6 м) ≈ 0.467

sin(θ_ф) = λ_ф / d = (4 · 10^-7 м) / (1.67 · 10^-6 м) ≈ 0.239

3. Теперь найдем линейные координаты этих границ на экране (X_к и X_ф). Так как углы малы, можно считать, что X = L · tan(θ) ≈ L · sin(θ).

X_к = L · sin(θ_к) = 1.2 м · 0.467 ≈ 0.56 м

X_ф = L · sin(θ_ф) = 1.2 м · 0.239 ≈ 0.287 м

4. Длина спектра на экране — это разница между этими координатами:

ΔX = X_к — X_ф = 0.56 м — 0.287 м = 0.273 м

Ответ: Длина спектра первого порядка на экране составляет 27,3 см.

Освоив оптику, мы переходим в мир высоких скоростей и малых частиц, где классические законы уступают место специальной теории относительности.

Раздел 2. Релятивистская механика и работа с импульсом в задаче №534

При скоростях, близких к скорости света, классическая механика Ньютона перестает работать. Для описания движения таких объектов используется специальная теория относительности (СТО). Одним из ключевых отличий является расчет импульса: простая формула p=mv становится неверной. Необходимо использовать релятивистское выражение, учитывающее рост массы с увеличением скорости. Также меняется и связь между энергией и импульсом.

Задача №534: Определить отношение релятивистского импульса P электрона с кинетической энергией Т = 1,53 МэВ к комптоновскому импульсу m₀c электрона.

Дано:
Кинетическая энергия электрона, T = 1,53 МэВ
Энергия покоя электрона, E₀ = m₀c² ≈ 0,511 МэВ

Найти:
Отношение P / (m₀c)

Решение:
В релятивистской механике полная энергия частицы E связана с ее энергией покоя E₀ и кинетической энергией T соотношением:

E = E₀ + T

С другой стороны, полная энергия связана с релятивистским импульсом P фундаментальной формулой:

E² = (Pc)² + E₀²

Объединим эти два уравнения, чтобы выразить импульс через известные энергии. Сначала выразим (Pc)²:

(Pc)² = E² — E₀² = (E₀ + T)² — E₀² = E₀² + 2E₀T + T² — E₀² = T(2E₀ + T)

Теперь извлечем корень и разделим обе части на c, чтобы найти P:

P = (1/c) · √[T(2E₀ + T)]

Нам нужно найти отношение P к комптоновскому импульсу m₀c. Разделим полученное выражение на m₀c:

P / (m₀c) = (1 / m₀c²) · √[T(2E₀ + T)]

Так как E₀ = m₀c², получаем:

P / (m₀c) = (1 / E₀) · √[T(2E₀ + T)]

Подставим числовые значения в МэВ:

P / (m₀c) = (1 / 0.511) · √[1.53 · (2 · 0.511 + 1.53)] = (1 / 0.511) · √[1.53 · (1.022 + 1.53)] = (1 / 0.511) · √[1.53 · 2.552] ≈ (1 / 0.511) · √3.9 ≈ (1 / 0.511) · 1.975 ≈ 3.865

Ответ: Релятивистский импульс электрона приблизительно в 3,87 раза больше его комптоновского импульса.

От механики высоких скоростей перейдем к явлениям, которые доказывают, что свет — это не только волна, но и поток частиц.

Раздел 3. Квантовая физика и практическое применение уравнения фотоэффекта в задаче №554

Фотоэффект — это явление испускания электронов веществом под действием света. Оно стало одним из первых и самых убедительных доказательств корпускулярной природы света, то есть того, что свет состоит из отдельных частиц-квантов — фотонов. Альберт Эйнштейн в 1905 году объяснил это явление, сформулировав знаменитое уравнение, которое связывает энергию падающего фотона, работу выхода электрона из металла и кинетическую энергию вылетевшего электрона (фотоэлектрона).

Задача №554: На фотоэлемент с катодом из лития падает свет с длиной волны λ = 200 нм. Найти наименьшее значение задерживающей разности потенциалов U, которую нужно приложить к фотоэлементу, чтобы прекратить фототок. Работа выхода для лития A ≈ 2,9 эВ.

Дано:
Длина волны света, λ = 200 нм = 2 · 10^-7 м
Катод из лития, работа выхода A ≈ 2,9 эВ

Найти:
Задерживающий потенциал, U_з

Решение:
1. Первым шагом найдем энергию падающих фотонов (E_ф). Ее удобно вычислить в электрон-вольтах (эВ) по формуле: E_ф = 1240 / λ(нм).

E_ф = 1240 / 200 = 6,2 эВ

2. Теперь воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта: E_ф = A + E_k,max, где E_k,max — максимальная кинетическая энергия фотоэлектронов. Выразим ее:

E_k,max = E_ф — A = 6,2 эВ — 2,9 эВ = 3,3 эВ

3. Задерживающий потенциал (U_з) — это такая разность потенциалов, которая создает электрическое поле, способное остановить даже самые быстрые фотоэлектроны. Работа этого поля равна максимальной кинетической энергии электронов: eU_з = E_k,max. Если кинетическая энергия выражена в эВ, то задерживающий потенциал в Вольтах численно ей равен.

U_з = 3,3 В

Ответ: Наименьшее значение задерживающей разности потенциалов составляет 3,3 В.

Фотоэффект демонстрирует поглощение фотона. Теперь рассмотрим другой ключевой квантовый процесс — рассеяние фотона на электроне.

Раздел 3. Квантовая физика и анализ комптоновского рассеяния в задаче №564

Эффект Комптона — это упругое рассеяние фотона (например, рентгеновского или гамма-излучения) на свободном электроне. В ходе этого процесса фотон передает часть своей энергии и импульса электрону, в результате чего длина волны рассеянного фотона увеличивается. Этот эффект, как и фотоэффект, является неопровержимым доказательством корпускулярных свойств света. Изменение длины волны зависит от угла рассеяния и массы частицы, на которой происходит рассеяние.

Задача №564: Определить максимальное изменение длины волны (Δλ)_max при комптоновском рассеянии света на свободных электронах и свободных протонах.

Решение:
Изменение длины волны при эффекте Комптона описывается формулой:

Δλ = λ’ — λ = (h / m₀c) · (1 — cos θ)

где h — постоянная Планка, m₀ — масса покоя частицы, c — скорость света, а θ — угол рассеяния фотона.

Величина λ_c = h / m₀c называется комптоновской длиной волны для данной частицы.

Максимальное изменение длины волны происходит при рассеянии на максимальный угол, то есть назад (θ = 180°). В этом случае cos(180°) = -1, и скобка (1 — cos θ) становится равной 2.

Таким образом, (Δλ)_max = 2 · (h / m₀c) = 2λ_c.

1. Для электрона:

Комптоновская длина волны электрона — это фундаментальная константа, λ_c,e ≈ 2,43 · 10^-12 м.

(Δλ)_max,e = 2 · λ_c,e = 2 · 2,43 · 10^-12 м = 4,86 · 10^-12 м = 4,86 пм (пикометра).

2. Для протона:

Масса протона (m_p) примерно в 1836 раз больше массы электрона (m_e). Так как комптоновская длина волны обратно пропорциональна массе, для протона она будет во столько же раз меньше:

λ_c,p = λ_c,e / 1836 ≈ (2,43 · 10^-12 м) / 1836 ≈ 1,32 · 10^-15 м.

(Δλ)_max,p = 2 · λ_c,p ≈ 2,64 · 10^-15 м = 2,64 фм (фемтометра).

Сравнивая результаты, мы видим, что изменение длины волны при рассеянии на массивном протоне почти в 2000 раз меньше, чем на легком электроне. Именно поэтому эффект Комптона значим для легких частиц и практически незаметен для тяжелых.

Мы детально разобрали примеры из трех важнейших разделов физики. Пора обобщить полученные навыки и выстроить общую стратегию.

От частных примеров к общей стратегии вашей подготовки

Разбор задач №504 (оптика), №534 (релятивизм) и №554 (квантовая физика) наглядно демонстрирует, что за разными формулами и явлениями скрывается единый методологический подход. Превращение этого подхода в привычку — залог успеха на любом экзамене. Давайте еще раз закрепим универсальный алгоритм решения физических задач.

1. Прочитайте условие и запишите «Дано». Внимательно выпишите все числовые данные с их единицами измерения и сразу переводите их в систему СИ. Четко сформулируйте, что нужно «Найти».
2. Определите физическое явление. Задайте себе вопрос: «О чем эта задача?». Это интерференция, фотоэффект, релятивистский импульс? От правильного ответа зависит выбор формул.
3. Выберите основной закон или формулу. Запишите в общем виде ключевое уравнение, описывающее явление (уравнение Эйнштейна, формула дифракционной решетки и т.д.).
4. Проведите математические преобразования. Выразите искомую величину из основного уравнения. Только после этого подставляйте числовые значения и производите расчет.
5. Проверьте результат. Оцените размерность полученной величины и ее физическую адекватность. Например, скорость не может быть больше скорости света, а радиус линзы вряд ли будет измеряться в нанометрах.

Для дальнейшей самостоятельной работы мы рекомендуем не просто «набивать руку», решая десятки однотипных задач. Вместо этого, после каждой решенной задачи мысленно или письменно прогоняйте ее по этому алгоритму. Такой осознанный подход превратит хаотичный набор фактов в стройную систему знаний, которая не подведет в самый ответственный момент.

Список использованной литературы

1. Физика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов (включая сельскохозяйственные вузы) / А. А. Воробьев, В. П. Иванов, В. Г. Кондакова, А. Г. Чертов М.: Высш. шк., 1987. 208 с: ил.