Подробное решение контрольной работы по теории вероятностей: Нормальное распределение случайной величины

В мире статистики и вероятности лишь немногие концепции обладают такой фундаментальной значимостью и широтой применения, как нормальное распределение. От ошибок измерений в физике до распределения IQ в психологии, от финансовых рынков до биологических процессов – везде, где встречаются случайные величины, нормальное распределение часто выступает в роли краеугольного камня анализа. Его колоколообразная кривая стала символом предсказуемости в хаосе, порядка в случайности.

Представленная контрольная работа ставит своей целью не просто вычислить значения по формулам, но и глубоко погрузиться в суть нормального распределения, осмыслить его параметры, визуализировать его график и, наконец, применить полученные знания для решения конкретных практических задач. Мы последовательно рассмотрим теоретические основы, подробно остановимся на функции плотности вероятности и ее графическом представлении, освоим методы расчета вероятностей с помощью функции Лапласа и изучим важное «правило трех сигм». Исходные данные для нашей работы следующие: математическое ожидание (M) = 9, среднеквадратическое отклонение (σ) = 5. Нам предстоит найти вероятность попадания случайной величины в интервал (4, 12), а также вероятность ее отклонения от математического ожидания не более чем на 2.5. Эта работа послужит надежным фундаментом для любого студента, стремящегося к глубокому пониманию теории вероятностей, позволяя не просто запомнить формулы, но и понять, как они работают в реальных сценариях.

Теоретические основы нормального распределения

В основе любого глубокого анализа лежат четко определенные термины и понятия. Прежде чем приступить к расчетам и построению графиков, необходимо заложить прочный фундамент, осмыслив природу нормального распределения и его ключевые характеристики, что позволяет избежать ошибок в интерпретации результатов и применять теорию на практике.

Определение нормального распределения и его параметры

Нормальное распределение, также известное как распределение Гаусса или Гаусса—Лапласа, является одним из наиболее важных и широко используемых типов непрерывных распределений вероятностей. Оно описывает поведение случайной величины X, когда она является результатом воздействия большого числа независимых случайных факторов. Например, рост людей, ошибки измерений, результаты тестов IQ — многие природные и социальные явления хорошо аппроксимируются этим распределением.

Математически случайная величина X называется распределенной по нормальному закону, если её плотность вероятности описывается функцией, зависимой от двух ключевых параметров:

• Математическое ожидание (M(X)): Этот параметр является «центром тяжести» распределения. Он показывает среднее значение, к которому стремится случайная величина при многократном повторении эксперимента. Для нормального распределения M определяет положение пика кривой плотности вероятности на оси абсцисс. Важно отметить, что для нормального распределения медиана (значение, делящее распределение на две равные половины) и мода (наиболее часто встречающееся значение) совпадают и равны математическому ожиданию M. Это указывает на симметричность распределения.
• Среднеквадратическое отклонение (σ): Этот параметр характеризует степень рассеивания или разброса значений случайной величины вокруг её математического ожидания. Чем больше σ, тем шире и ниже будет «колокол» кривой, что указывает на больший разброс данных. И наоборот, меньшее σ означает, что значения сосредоточены ближе к среднему. Среднеквадратическое отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии случайной величины (σ = √D[X]). Для нормального распределения, коэффициент асимметрии всегда равен 0, что подтверждает его идеальную симметрию.

Стандартное нормальное распределение

Среди всего многообразия нормальных распределений выделяется особый случай, обладающий универсальной значимостью — стандартное нормальное распределение (N(0, 1)). Это такое нормальное распределение, у которого математическое ожидание M = 0 и среднеквадратическое отклонение σ = 1.

Значение стандартного нормального распределения трудно переоценить. Оно служит эталоном, к которому приводятся все остальные нормальные распределения через процесс стандартизации. Любая нормально распределенная случайная величина X с параметрами M и σ может быть преобразована в стандартизованную случайную величину Z по формуле:

Z = (X - M) / σ

Эта операция имеет колоссальное практическое значение. Она позволяет свести расчеты вероятностей для любого нормального распределения к работе с одной-единственной, универсальной таблицей — таблицей значений функции Лапласа (или интеграла вероятностей), которая построена именно для стандартного нормального распределения. Таким образом, вместо того чтобы иметь бесконечное количество таблиц для каждого возможного сочетания M и σ, мы используем одну стандартизованную, что существенно упрощает анализ и повышает его эффективность.

Функция плотности вероятности нормального распределения и ее графическое представление

Глубина понимания любой математической функции раскрывается не только через её формулу, но и через визуализацию. Для нормального распределения такой визуализацией является его график, который получил название нормальной кривой или кривой Гаусса.

Математическая формула функции плотности вероятности

Функция плотности вероятности (ФПВ) непрерывной случайной величины X, распределенной по нормальному закону, описывается следующей формулой:

f(x) = (1 / (σ √2π)) · e-(x - M)2 / (2σ2)

для всех значений x, принадлежащих интервалу (-∞; +∞).

Рассмотрим компоненты этой формулы:

• 1 / (σ √2π): Этот коэффициент обеспечивает условие нормировки, при котором общая площадь под графиком функции плотности вероятности равна единице. Он также показывает, что максимальное значение функции зависит от σ.
• e: Основание натурального логарифма (число Эйлера).
• -(x — M)² / (2σ²): Экспоненциальная часть, которая определяет колоколообразную форму кривой. Разность (x — M) показывает, насколько далеко значение x отстоит от математического ожидания. Квадрат этой разности гарантирует симметричность относительно M. Деление на 2σ² показывает влияние дисперсии (а значит, и σ) на скорость убывания функции по мере удаления от M.

Из формулы видно, что функция плотности вероятности нормального распределения полностью определяется двумя параметрами: математическим ожиданием M и среднеквадратическим отклонением σ. Изменение этих параметров кардинально влияет на форму и положение графика.

Построение графика нормальной кривой (кривой Гаусса)

График функции плотности нормального распределения, или нормальная кривая, всегда имеет характерную колоколообразную форму. Он идеально симметричен относительно вертикальной прямой, проходящей через точку x = M.

Основные характеристики графика:

1. Центр симметрии и максимум: Максимальное значение функции плотности достигается в точке x = M. В этой точке кривая имеет свой пик. Величина этого максимума равна 1 / (σ √2π).
2. Точки перегиба: На нормальной кривой имеются две точки перегиба, где меняется направление выпуклости кривой (с выпуклой вверх на выпуклую вниз и наоборот). Эти точки расположены на расстоянии одного среднеквадратического отклонения от математического ожидания: x = M ± σ.
3. Асимптотическое поведение: По мере удаления от M в обе стороны (к -∞ и +∞), значения функции плотности стремятся к нулю, но никогда его не достигают. Кривая асимптотически приближается к оси абсцисс.
4. Площадь под графиком: Вся площадь под графиком функции плотности вероятности нормального распределения всегда равна единице. Это отражает фундаментальное свойство полной группы событий: вероятность того, что случайная величина примет *какое-либо* значение, равна 1 (то есть 100%).

Влияние параметров на форму кривой:

• Параметр M (математическое ожидание): Определяет положение центра симметрии кривой на оси абсцисс. Изменение M просто сдвигает весь график влево или вправо без изменения его формы.
• Параметр σ (среднеквадратическое отклонение): Влияет на форму кривой.
  • При увеличении σ график становится более низким и растянутым (широким), что указывает на больший разброс значений.
  • При уменьшении σ кривая становится более узкой и высокой, что означает, что значения случайной величины более плотно сгруппированы вокруг M.

Практическое применение (для M=9, σ=5):

Давайте построим график функции плотности вероятности для нашей задачи.

1. Центр симметрии: x = M = 9.
2. Максимальное значение функции в точке x = M:
   f(M) = 1 / (σ √2π) = 1 / (5 · √2π) ≈ 1 / (5 · 2.5066) ≈ 1 / 12.533 ≈ 0.0798.
3. Точки перегиба:
   x₁ = M — σ = 9 — 5 = 4.
   x₂ = M + σ = 9 + 5 = 14.
4. Значения функции в точках перегиба:
   Для x = 4:
   f(4) = (1 / (5 · √2π)) · e^{-(4 — 9)2 / (2 · 52)}
   f(4) = (1 / (5 · √2π)) · e^{-(-5)2 / 50}
   f(4) = (1 / (5 · √2π)) · e^{-25 / 50}
   f(4) = (1 / (5 · √2π)) · e^-0.5 ≈ 0.0798 · 0.6065 ≈ 0.0484.
   Для x = 14:
   f(14) = (1 / (5 · √2π)) · e^{-(14 — 9)2 / (2 · 52)}
   f(14) = (1 / (5 · √2π)) · e^{-(5)2 / 50}
   f(14) = (1 / (5 · √2π)) · e^{-25 / 50}
   f(14) = (1 / (5 · √2π)) · e^-0.5 ≈ 0.0798 · 0.6065 ≈ 0.0484.

Теперь мы можем представить эти точки на графике:

graph TD
    A[Ось X] --- B(M = 9)
    B --- C(x = 4)
    B --- D(x = 14)
    C --- E(f(4) ≈ 0.0484)
    D --- F(f(14) ≈ 0.0484)
    B --- G(f(9) ≈ 0.0798)

    style A fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px;
    style B fill:#fff,stroke:#f93,stroke-width:2px,color:#333;
    style C fill:#fff,stroke:#0f0,stroke-width:2px,color:#333;
    style D fill:#fff,stroke:#0f0,stroke-width:2px,color:#333;
    style G fill:#fff,stroke:#00f,stroke-width:2px,color:#333;

    subgraph График плотности вероятности (f(x))
        direction LR
        f_neg_inf("f(-∞) ≈ 0")
        f_min_6("f(-6) ≈ 0.0003")
        f_4("f(4) ≈ 0.0484")
        f_9("f(9) ≈ 0.0798 (Максимум)")
        f_14("f(14) ≈ 0.0484")
        f_24("f(24) ≈ 0.0003")
        f_plus_inf("f(+∞) ≈ 0")

        f_neg_inf --- f_min_6 --- f_4 --- f_9 --- f_14 --- f_24 --- f_plus_inf

        style f_9 fill:#ffe,stroke:#00f,stroke-width:2px,color:#333;
        style f_4 fill:#ffe,stroke:#0f0,stroke-width:2px,color:#333;
        style f_14 fill:#ffe,stroke:#0f0,stroke-width:2px,color:#333;
    end

Визуально нормальная кривая для M=9, σ=5 будет иметь пик в точке x=9. Кривая будет более пологой по сравнению с распределением, имеющим меньшее σ, и её «ноги» будут простираться значительно дальше по оси X, отражая больший разброс значений. Точки перегиба на x=4 и x=14 будут являться местами, где кривая изменяет свою форму.

Расчет вероятностей для нормально распределенной случайной величины с использованием функции Лапласа

Само по себе знание формулы плотности вероятности и умение строить график — это лишь полпути. Главная задача теории вероятностей состоит в расчете вероятностей тех или иных событий. Для непрерывных случайных величин, включая нормально распределенные, вероятность попадания в интервал определяется как площадь под кривой плотности вероятности в этом интервале.

Понятие нормированной функции Лапласа

Вероятность того, что непрерывная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (α, β), равна определенному интегралу от её плотности в этих пределах:

P(α < X < β) = ∫αβ f(x) dx

Прямое интегрирование функции f(x) является сложной задачей. К счастью, для нормального распределения существуют специальные инструменты. Главным из них является нормированная функция Лапласа (или функция Лапласа, интеграл вероятностей), обозначаемая Φ(z). Она определяется как:

Φ(z) = (1 / √2π) ∫0z e-t2/2 dt

Эта функция табулирована, что означает, что её значения для различных z уже рассчитаны и представлены в таблицах. Важные свойства функции Лапласа:

1. Нечетность: Φ(-z) = -Φ(z). Это свойство существенно упрощает работу с отрицательными значениями z, позволяя использовать таблицы, содержащие только положительные аргументы.
2. Асимптотическое поведение: Φ(∞) = 0.5. Это означает, что вероятность того, что стандартизованная случайная величина Z примет положительное значение, равна 0.5.

Для использования таблиц функции Лапласа, любая нормально распределенная случайная величина X с параметрами M и σ должна быть стандартизирована. Этот процесс заключается в преобразовании X в стандартизованную случайную величину Z по формуле:

Z = (X - M) / σ

Величина Z имеет стандартное нормальное распределение N(0, 1), что позволяет использовать общую таблицу для всех расчетов.

Вычисление вероятности попадания в заданный интервал (α, β)

Вероятность того, что нормально распределенная случайная величина X примет значение, принадлежащее интервалу (α, β), вычисляется по следующей формуле, использующей функцию Лапласа:

P(α < X < β) = Φ((β - M) / σ) - Φ((α - M) / σ)

Практическое применение (для M=9, σ=5, α=4, β=12):

1. Рассчитываем стандартизированные значения z₁ и z₂:
   z₁ = (α — M) / σ = (4 — 9) / 5 = -5 / 5 = -1.
   z₂ = (β — M) / σ = (12 — 9) / 5 = 3 / 5 = 0.6.
2. Используем таблицу значений функции Лапласа для Φ(z₁) и Φ(z₂):
   Поскольку Φ(z) является нечетной функцией, Φ(-1) = -Φ(1).
   Из таблицы Лапласа находим:
   Φ(0.6) ≈ 0.2257.
   Φ(1) ≈ 0.3413.
3. Вычисляем итоговую вероятность:
   P(4 < X < 12) = Φ(0.6) — Φ(-1) = Φ(0.6) + Φ(1) ≈ 0.2257 + 0.3413 = 0.5670.

Таким образом, вероятность того, что случайная величина X примет значение между 4 и 12, составляет приблизительно 56.7%. Этот результат показывает, что, несмотря на кажущийся широкий интервал, значительная часть значений случайной величины находится относительно близко к математическому ожиданию.

Вычисление вероятности отклонения от математического ожидания не более чем на δ

Часто возникает задача определить вероятность того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания на величину, не превышающую заданное δ. Формально это записывается как P(|X — M| < δ).

Эта вероятность может быть вычислена по формуле:

P(|X - M| < δ) = 2Φ(δ / σ)

Практическое применение (для M=9, σ=5, δ=2.5):

1. Рассчитываем стандартизированное значение z:
   z = δ / σ = 2.5 / 5 = 0.5.
2. Используем таблицу значений функции Лапласа для Φ(z):
   Из таблицы Лапласа находим:
   Φ(0.5) ≈ 0.1915.
3. Вычисляем итоговую вероятность:
   P(|X — 9| < 2.5) = 2Φ(0.5) ≈ 2 · 0.1915 = 0.3830.

Следовательно, вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания 9 не более чем на 2.5 (т.е., попадет в интервал от 9-2.5=6.5 до 9+2.5=11.5), составляет приблизительно 38.3%. Это позволяет понять, насколько «плотно» данные группируются вокруг среднего значения, что критически важно в таких областях, как контроль качества или оценка рисков.

Правило «трех сигм» и его применение

Среди всех свойств нормального распределения правило «трех сигм» является, пожалуй, одним из наиболее интуитивно понятных и широко используемых в практике, давая быстрое представление о типичном диапазоне значений случайной величины.

Формулировка и обоснование правила

Правило «трех сигм» гласит, что для нормально распределенной случайной величины практически все ее значения (около 99.73%) лежат в пределах трех стандартных отклонений от математического ожидания. Это означает, что крайне маловероятно, что значение случайной величины выйдет за интервал (M — 3σ, M + 3σ).

Обоснование этого правила напрямую следует из свойств функции Лапласа. Вероятность того, что случайная величина X отклонится от своего математического ожидания M на величину, не превышающую 3σ, вычисляется как:

P(|X - M| < 3σ) = 2Φ(3σ / σ) = 2Φ(3)

Если обратиться к таблице значений функции Лапласа, мы обнаружим, что Φ(3) ≈ 0.49865.
Следовательно, P(|X — M| < 3σ) ≈ 2 · 0.49865 = 0.9973.

Это показывает, что 99.73% всех значений нормально распределенной случайной величины находятся в интервале M ± 3σ. Соответственно, вероятность того, что случайная величина выйдет за эти пределы, крайне мала: 1 — 0.9973 = 0.0027, или всего 0.27%. Такая малая вероятность позволяет в большинстве практических задач считать, что выход за пределы этого интервала является аномальным событием или практически невозможным, что дает мощный инструмент для выявления выбросов.

Практическое определение диапазона значений для случайной величины

Одно из важнейших следствий правила «трех сигм» — возможность заменить бесконечный теоретический интервал изменения нормально распределенной случайной величины (-∞; +∞) на конечный, практически значимый интервал (M — 3σ; M + 3σ). Это упрощение чрезвычайно полезно в инженерии, контроле качества, экономике и других областях, где необходимо установить допустимые пределы для измеряемых параметров.

Практическое применение (для M=9, σ=5):

Применим правило «трех сигм» к нашей случайной величине с M=9 и σ=5:

1. Вычисляем нижнюю границу интервала:
   M — 3σ = 9 — 3 · 5 = 9 — 15 = -6.
2. Вычисляем верхнюю границу интервала:
   M + 3σ = 9 + 3 · 5 = 9 + 15 = 24.

Таким образом, с вероятностью, приближающейся к 1 (а именно 0.9973), практически все значения нашей случайной величины X будут находиться в интервале от -6 до 24. Если мы наблюдаем значения за пределами этого диапазона, это является серьезным поводом для пересмотра гипотезы о нормальном распределении или для поиска аномалий в системе. Разве не удивительно, как несколько простых параметров могут так точно очертить границы ожидаемого поведения случайной величины?

Обратное применение правила «трех сигм»

Правило «трех сигм» также может быть применено в обратном направлении, выступая в качестве неформального критерия для проверки гипотезы о нормальном распределении. Если в ходе статистического исследования эмпирически установлено, что почти все значения исследуемой случайной величины укладываются в интервал, длина которого примерно равна 6σ (т.е. от (M — 3σ) до (M + 3σ)), то появляются веские основания полагать, что эта величина распределена по нормальному закону. Конечно, это не строгий статистический тест, но отличная эвристика для предварительного анализа данных и принятия решений о применимости методов, основанных на нормальном распределении.

Заключение

В рамках данной контрольной работы мы совершили всестороннее погружение в мир нормального распределения – одного из краеугольных камней современной теории вероятностей и математической статистики. Мы не только дали определение этого фундаментального распределения и подробно рассмотрели его ключевые параметры – математическое ожидание (M) и среднеквадратическое отклонение (σ), но и глубоко изучили функцию плотности вероятности, ее математическую формулу и особенности графического представления.

Особое внимание было уделено практическому применению теоретических знаний: мы пошагово продемонстрировали построение графика нормальной кривой для заданных параметров (M=9, σ=5), рассчитав характерные точки и объяснив их смысл. Освоение нормированной функции Лапласа позволило нам эффективно вычислить вероятности ключевых событий: попадание случайной величины в заданный интервал (4, 12) и отклонение от математического ожидания не более чем на 2.5. Результаты расчетов, P(4 < X < 12) ≈ 0.5670 и P(|X — 9| < 2.5) ≈ 0.3830, наглядно проиллюстрировали мощь стандартизации и табличного метода.

Наконец, мы детально рассмотрели правило «трех сигм», подтвердив, что практически все значения нормально распределенной случайной величины попадают в интервал (M ± 3σ), что в нашем случае составило (-6, 24). Это правило, как было показано, имеет огромное значение не только для предсказания диапазонов значений, но и для первичной проверки гипотез о характере распределения данных.

Проделанная работа является исчерпывающим руководством по решению задач, связанных с нормальным распределением. Она не только предоставляет готовые ответы, но и формирует глубокое понимание лежащих в их основе принципов, что критически важно для студента технического или экономического вуза. Нормальное распределение, с его элегантностью и универсальностью, остается незаменимым инструментом в руках аналитика, позволяя осмыслять и прогнозировать поведение случайных явлений в самых разнообразных областях – от инженерии и контроля качества до экономики и естественных наук.

Список использованной литературы

1. Правило трёх сигм. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQFt7Jksf4vCJ79-H1tFrAldMuMWISC0xx-ASklC7y0YHi8zqXcLRcDwrLUpXSHg_Olaud_Rsao3zpVXAPIologqSWCBKUFTio4A2gX7HXe4p4DzF9t-K8o3WRHE-MijpcrVAY2wDV4= (дата обращения: 07.11.2025).
2. Вероятность попадания в заданный интервал нормальной случайной величины. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQH6w4JHymZxgZePrmSWVq5r3ve92jmCegJv7VaFCLjrq6b702rXEbcyHCqx24FsB7KF2gFVHkdnR9LAc_74gOfggr-N8XSYVOoYtq7rhPU8iis4aRI8QgXLuWHbUHsPM9t5bbzbx9Eyc4Gcy0Bq52LZcsQ_MBj1mb93dWICWFaU7ME_7L0vRbDSZbcyFOSWXjZHMppjn6Umn4aH4XYBTwqAlt7Z8rTUtRhYv2LmdD1NeLeufg== (дата обращения: 07.11.2025).
3. Вероятность отклонения от математического ожидания. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQFqU-opE_FFlUkdDYigUrFUgDyvO6JD0We8f7CWLApqElmYiQI1Mn9PlnLxIZUucbBMR05qN_0iqd5oEDD3y3WVqq_zaHvAwPdN0hJM3KeolFck3zjmLVL0x8QOeh4JzqpOPBBeT_5j (дата обращения: 07.11.2025).
4. Закон нормального распределения. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQEhIcyD33S4K0V-b56w8f53PA-cWxXQVpo1AMtZKCDawgEUPni6iVZXfFhtHC289feaUnsG3bg0DU7qE5SoEz5TV7yu6OWWIZVrhQBMjYbWDYPVjZnXNH2HZCsQQEJsX_3-OxuU5ESajyQOOesU2BmClPSFEVKugLq6xK0upTw= (дата обращения: 07.11.2025).
5. Нормальное распределение вероятностей. Понятие, формулы, графики и задачи с решениями — Математика для заочников. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQHk0eACgvL-XfwYIK4JUtlVQXVoFplVfbmAualPGwlk-nAc5vHFytBrvewk5qgK8MIWxqrI9BBybgu8HeVmE8EIOGR3ou2qy-eVnOy9pdIy_mGn6dZ0Ws5HY16FL7Ob2OHl1YkySzwdUE9XnDIJZIg9_ELoghmAzOqg (дата обращения: 07.11.2025).
6. Нормальное распределение, его математическое ожидание, дисперсия. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQEah51XgilGyFPEta7g9f3paBoPdL2ZgMfMVaTXplfmqhaWtnFw7mqBdzzKv5RK-mw3YiH_B_ed51kDHd-M4ifho4xhOPxhbl26GooBIaJ5kljMsCX2LRMQFw8FMFKMduUIXfNOTYkO (дата обращения: 07.11.2025).
7. Вероятностные распределения — Яндекс Образование. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQHndjWIxuXKpQp3A6iXqgzhSN9u_pfsQ8UsKkdpLeWTTfd6noOWHmiFWPW_12vGFEzPz0-HXtEmOKSqGMS-KOyEqxtdDPYivhW5gs2CAa2nv6-TXwl5PHuepqOqRl8Le7XUN0FIBn0AawdqpJD4xSPYNOIuWf_Sx_5bt9MyEBLos_Uo2qcwkew= (дата обращения: 07.11.2025).
8. Normal distribution — MachineLearning.ru. URL: https://vertexaisearch.google.com/grounding/e5e9b85c2c54f5c2/AUZIYQGV_EiI734ZLIt8EV3-407S5dszMZdqmNdyJ9jjrWoPFbpu0pJXgEDHTCci0Kocere0okbeQ_U-AJbmSYXbANx1M0ShiKjJ5YQtWJF3cpbPrgVD-amustz2KX-ga0fRt8vF7aVvK3Q7AbIP1sJi7PPGsUVanfxt4Sb7a29O9nz9gx1qse4fGue5gvU-tDZ7R-ItgrH4-MCe-lktfdguoeADUp369Zp9MbWnDTP2Wn-0eoj6x_5ckUtsceeZTGJzGXzdSN21dzbRzmUwfump_O5n_0pTYlJyyyCDWXmDS__o55Q4rTI4GVvB1hQA= (дата обращения: 07.11.2025).
9. Среднеквадратическое отклонение (Mean square deviation) — Loginom Wiki. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQFko7ROkDmYfuG34vx491Owd1lnSLT_VXfLYtq_606l3jQ7Ut0BQJmXqoimnxhU28-staGrOoken_irAH9NIlxhGCbVvU2gaftyRdhZhLVObDeYcXuohoF6DZB9EN_XMfYvSu4ec_f0i5ShVoTKBVvHZfB6A8o= (дата обращения: 07.11.2025).
10. Теория вероятностей — Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQGRNmfy3k0_iAfQ7Mc6ipphHh6xCNfVJlfqXPk5-T5UP3DKR3UaK6R0uU5MFa3SznDvAwjNfRbzIRMs0b9JaRhNB_rQ1gJvUveictR5r53t76KYb4uhescvipH7CW5B64SA5A8= (дата обращения: 07.11.2025).
11. Среднеквадратичное отклонение: что это такое и зачем оно нужно — Work5. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQGznvGOiMQR4jPRlSpndrn_gzGZ-pvdrGPGyAMsq51GP2bD2tn-Ip2PuWViNILyxfS9QmG9jEIepkczoU_9ezCLyqThXVdNQtJ5UhBPiuAD53CSJidt4qi8W94hhw-76McuHIIgBm0HeZ6Rv_fqoBpRu6o5XDYQXMWHzsw0nUgFde1Ww7o= (дата обращения: 07.11.2025).
12. Нормальный закон распределения случайной величины. Правило трех сигм — 100task. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQG-4HqfoOKHlDknvugIP-FWFMuawwqbdCEFhdtaekVi4fA2SrQL5635k6MTrdKF8spMiKGt_XMm1Ys-lgdCKgCv2_OroEeU7xFw6O3bPSKIfmMHbR00tWqMWqrw (дата обращения: 07.11.2025).
13. Основы теории вероятностей и математической статистики — Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQHMJYo-Fy9r0cjHIDpHh3EaYvxOafvxKX4GML6JtxnkkCcJTlwPkQG3qrQQJnRDmxpj4TiNWikXawB_I-MbFbZstFEZZNBKgyTxK49tLp03Qd4xkO6hf-XVIGd2TeXhP9y4bg8= (дата обращения: 07.11.2025).
14. «Теория вероятностей и математическая статистика». URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQHXJ3pWAkQwRI6WnfEa7PYkKowGh8J0zy4b0w97bRhSzR9WtNygu95vV62ED00xPA4GDOZn3IpgrH5zXgscA1kNCG8t7bYLWzVFcMFGSAAY2cU-rUnP4P0APNhXUTNdMUfeu5TInzeyVmrLSw== (дата обращения: 07.11.2025).
15. Теория вероятностей — Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQHrGUtHcQyfkXdmoZ6O3HTj2G2OAqyab-gYrTwDWxQhx6MO0D0wQfGxM3nE45aq_9NPguWEyRADC7D-an265u7WO2XWyZJujBCCE1UDhP2LsQBP0milY6QTW7_m9ljMudV_AHZfCdqYFzkMHD2MeTOqsiH-IpKlH8fIvSFOmSL0= (дата обращения: 07.11.2025).
16. Теория вероятностей с примерами и задачами › Научные исследования в СПбГУ. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQG6HATn49liXFwj3rmZV15rrXV7oOx7zxxRrUiVyrmAVAhUaDSLxcZcV8ZsIsdi1ExMUsc3x90s5G9G47i_JReDC_VcgQ-fK4ALESlvW-Lvz_AFPoFZNdlCG8K9330TQ1VpQ0Ae4Pd_A5tf1jfNM9fH2djGZOXlAjN8lToW4FW6MI2xLi2zg1ZKtRxU5feTFz-onhJWF2SwM0V_1xM= (дата обращения: 07.11.2025).
17. Статистика. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQE8JvAVAPMhoWenuXwKMCdcVJZqW-TY9zm0K8L19Z5QsTvpAI7Wyi9BFbypvVw_bFC3NEf5K8Cv4pZVwcWFoAAtSNSgkbQg92GXA030kEbSEtkSLnu79JnfcOnj8dbFysBAU2gBI3aYO-XkgWphomICu9aSF7zoKdieEePXczIVzesKlJzgwRfVVvi3httpngTi-UNt0f8kB_NcaZM= (дата обращения: 07.11.2025).
18. Нормальное распределение. Функция Лапласа — Теория вероятностей и математическая статистика — Studref.com. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQE0N-FEp1QYGh8kH8cj7tySxhO5_m4adn5m_xoQ1eMzl_1YIAXiBlm81ez44YyJ313XOFgK47a6jJHeXeupWcRBtov9oHG3Kadalsls7vbEumMen8KcWlb_mVj4USqeJauz4_LRnt9uk37UWhD_9QIuK_u8sSObDiCN1GMWXgrsdDp8UmBaE-DITxknC864Rb5bjTXxhX4= (дата обращения: 07.11.2025).
19. Лекции по теории вероятностей — SPbU Researchers Portal. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQEDvjX5PRhfNY0zQz35QSH-_MaYCmYu_9IfWSIMdEZ0xtkabkSjt8n7nCUOpCwrzyCT8Ljun89qRtmW5EA_QrUpezcZXvOfN0YKIyZywbS_ZQFkjuRTKwDy-3TTcApGXXw5vBjc4MBNz_I= (дата обращения: 07.11.2025).
20. Таблица значений функции Лапласа — Webmath.ru. URL: https://vertexaisearch.cloud.google.com/grounding-api-redirect/AUZIYQEFAEugOZ8kftcxC7a-KNe9sVNKVRye1_Zau8jpO4ADA_JRC0DA-aP23KuEfxAZ1m5G3J0zBuSxpkXkiuhu9qZFZ8tnD0o4bwAua3TMHqGlj70wXWFX9QKeSiGbNlp_vdq2IDJz0wAti7qR_g== (дата обращения: 07.11.2025).