Задачи по квантовой оптике и рентгеновскому излучению: подробный разбор для контрольных работ

Контрольная по квантовой физике на носу, а в голове рой из формул, разрозненных задач и нарастающее чувство неуверенности? Знакомая ситуация. Многие студенты сталкиваются с хаосом, пытаясь систематизировать такие понятия, как энергия фотона, световое давление и принципы работы рентгеновской трубки. Но паника — плохой помощник. Эта статья — не очередной сухой конспект, а четкая система подготовки, ваш персональный наставник. Мы выстроили маршрут, который проведет вас от фундаментальных принципов к уверенному решению практических задач. Главный тезис, который стоит запомнить: любую сложную тему можно понять, если двигаться последовательно. Мы начнем с основ, а затем отточим их на практике, чтобы на контрольной вы чувствовали себя во всеоружии.

Теперь, когда у нас есть план, давайте начнем с самого фундамента — с частицы, которая лежит в основе всего, — фотона.

Фундамент квантовой оптики, или Все, что нужно знать о фотоне

Чтобы уверенно ориентироваться в задачах, для начала нужно принять одну из ключевых идей квантовой механики: свет — это не только волна, но и поток отдельных частиц, которые называются фотонами. Фотон — это элементарная частица, квант электромагнитного излучения. У него нет массы покоя, но, тем не менее, он обладает двумя важнейшими характеристиками, которые фигурируют в 90% всех задач: энергией и импульсом.

Энергия фотона (E)

Энергия — это главная «визитная карточка» фотона. Она напрямую связана с частотой и длиной волны излучения. Существуют две эквивалентные формулы для ее расчета, и важно знать обе:

• E = hν — через частоту.
• E = hc/λ — через длину волны.

Давайте расшифруем каждую переменную:

• h — это постоянная Планка, фундаментальная константа, равная примерно 6,63 × 10⁻³⁴ Дж·с.
• ν (ню) — частота электромагнитной волны, измеряется в Герцах (Гц).
• c — скорость света в вакууме, еще одна константа, равная примерно 3 × 10⁸ м/с.
• λ (лямбда) — длина волны, измеряется в метрах (м).

Запомните: чем выше частота (и чем короче длина волны), тем большей энергией обладает фотон. Ультрафиолетовый фотон «сильнее» фотона видимого света.

Импульс фотона (p)

Несмотря на отсутствие массы покоя, фотон обладает импульсом. Это прямое следствие его энергии. Формулы для импульса логически выводятся из формул для энергии:

• p = E/c — связь импульса с энергией.
• p = h/λ — связь импульса с длиной волны.

Именно эта характеристика — наличие импульса у частиц света — объясняет явление светового давления. Понимание этих двух понятий, энергии и импульса, является ключом к решению большинства задач по этой теме. Теория без практики мертва. Давайте посмотрим, как эти элегантные формулы работают в реальных задачах, которые встретятся вам на контрольной.

Применяем теорию на практике, решая задачи на энергию и импульс

Сейчас мы пошагово разберем несколько типовых задач. Главное — не просто смотреть на решение, а понять логику каждого шага: анализ условия, выбор нужного инструмента (формулы) и аккуратные вычисления.

Задача №1: Связь квантовой физики и теории относительности

Условие: Найти частоту и длину волны излучения, энергия фотонов которого равна энергии покоя электрона.

1. Анализ условия: Нам нужно связать два понятия. Энергия фотона — это E = hν. Энергия покоя электрона описывается знаменитой формулой Эйнштейна E = mc². По условию, эти энергии равны. Найти нужно частоту (ν) и длину волны (λ).
2. Выбор формулы: Мы приравниваем правые части уравнений: hν = mc² и hc/λ = mc².
3. Математические преобразования:
   • Из hν = mc² выражаем частоту: ν = mc²/h.
   • Из hc/λ = mc² выражаем длину волны: λ = hc/(mc²) = h/(mc).

   Подставим константы (масса электрона m ≈ 9,1 × 10⁻³¹ кг) и выполним расчеты.

4. Формулировка ответа: После вычислений мы получим конкретные значения для частоты и длины волны, которые соответствуют энергии покоя электрона.

Задача №2: Прямой расчет импульса

Условие: Каков импульс фотона ультрафиолетового излучения с длиной волны 100 нм?

1. Анализ условия: Дана длина волны (λ = 100 нм = 100 × 10⁻⁹ м). Нужно найти импульс (p).
2. Выбор формулы: Идеально подходит формула, напрямую связывающая импульс и длину волны: p = h/λ.
3. Математические преобразования: Просто подставляем значения: p = (6,63 × 10⁻³⁴ Дж·с) / (100 × 10⁻⁹ м). Важно не забыть перевести нанометры в метры.
4. Формулировка ответа: Выполнив деление, мы получим значение импульса в единицах кг·м/с.

Задача №5: Комплексный расчет через мощность

Условие: Источник света мощностью 100 Вт испускает 5×10²⁰ фотонов за 1 с. Найти среднюю длину волны излучения.

1. Анализ условия: Нам даны мощность (P = 100 Вт), число фотонов (N = 5×10²⁰) и время (t = 1 с). Нужно найти среднюю длину волны (λ).
2. Выбор формулы и логика:
   • Мощность — это общая энергия (E_total), излученная за единицу времени: P = E_total / t. Отсюда, E_total = P * t.
   • Общая энергия — это энергия одного фотона (E_photon), умноженная на их количество: E_total = N * E_photon.
   • Энергия одного фотона связана с длиной волны: E_photon = hc/λ.

   Приравнивая выражения для E_total, получаем: P * t = N * (hc/λ).

3. Математические преобразования: Из итогового уравнения выражаем искомую длину волны: λ = (N * h * c) / (P * t). Теперь остается только подставить все известные значения.
4. Формулировка ответа: После расчета мы получим значение средней длины волны излучения в метрах.

Мы увидели, что каждый фотон несет импульс. А что будет, если направить на поверхность миллиарды таких фотонов? Они создадут ощутимое давление. Перейдем к следующей большой теме.

Как свет может двигать предметы, разбираемся в световом давлении

Идея о том, что свет может оказывать давление, может показаться фантастикой, но это реальное физическое явление, доказанное экспериментально. Его природа кроется в импульсе фотонов. Когда поток фотонов падает на поверхность, каждый из них передает ей свой импульс. Сумма этих микроскопических «ударов» и создает макроскопическое световое давление.

Ключевым фактором, который определяет величину этого давления, является свойство поверхности — поглощает она свет или отражает.

Случай 1: Абсолютно черная поверхность

Такая поверхность полностью поглощает все падающие на нее фотоны. Каждый фотон, сталкиваясь с ней, останавливается и передает ей весь свой импульс `p`. Давление (P) в этом случае рассчитывается по формуле:

P = I/c

Здесь `I` — это интенсивность света (энергия, падающая на единицу площади в единицу времени), а `c` — скорость света.

Случай 2: Зеркальная поверхность

Зеркальная поверхность полностью отражает фотоны. При упругом отражении импульс фотона меняется на противоположный (был `p`, стал `-p`). Суммарное изменение импульса, которое передается поверхности, равно `p — (-p) = 2p`. Таким образом, давление оказывается вдвое больше, чем в случае поглощения:

P = 2I/c

Вывод прост: отражать свет энергетически выгоднее для создания тяги, чем поглощать. Именно поэтому в проектах «солнечных парусов» используются зеркальные, а не черные материалы.

Для реальных серых поверхностей, которые частично поглощают и частично отражают свет, давление будет находиться в промежутке между `I/c` и `2I/c`. Теперь, когда мы понимаем разницу между поглощением и отражением, мы готовы к решению задач на световое давление.

От теории к вычислениям, решаем задачи на световое давление

Рассмотрим комплексную задачу, которая позволит применить все полученные знания о световом давлении для разных типов поверхностей.

Задача №8: Расчет давления для разных поверхностей

Условие: Перпендикулярно поверхности площадью 4 м² падает 7,74×10²² фотонов излучения с длиной волны 0,64 мкм за 10 с. Определить световое давление на зеркальную поверхность, черную поверхность и поверхность с коэффициентом отражения 0,4.

1. Анализ условия: Нам даны площадь (S = 4 м²), число фотонов (N = 7,74×10²²), длина волны (λ = 0,64 мкм = 0,64 × 10⁻⁶ м) и время (t = 10 с). Нужно найти давление для трех случаев: зеркало (коэффициент отражения ρ = 1), черная поверхность (ρ = 0) и серая поверхность (ρ = 0,4).
2. Выбор формулы и логика: Сначала нам нужно найти интенсивность `I`.
   • Найдем энергию одного фотона: E_photon = hc/λ.
   • Найдем общую энергию всех фотонов: E_total = N * E_photon.
   • Найдем интенсивность света: I = E_total / (S * t).

   После того как `I` найдена, мы можем рассчитать давление для каждого случая, используя общую формулу P = (I/c) * (1 + ρ).

3. Математические преобразования:
   • Шаг 1. Рассчитываем энергию одного фотона.
   • Шаг 2. Рассчитываем общую энергию, умножив на N.
   • Шаг 3. Рассчитываем интенсивность `I`, разделив общую энергию на площадь S и время t.
   • Шаг 4. Подставляем найденное `I` в формулы для давления:
     • Черная поверхность (ρ=0): P_black = I/c.
     • Зеркальная поверхность (ρ=1): P_mirror = 2I/c.
     • Серая поверхность (ρ=0,4): P_grey = (I/c) * (1 + 0,4) = 1,4 * I/c.
4. Формулировка ответа: Представить три числовых значения давления для каждого из трех типов поверхности.

Мы рассмотрели, как фотоны ведут себя в «естественных» условиях. А теперь давайте посмотрим, как человек научился генерировать фотоны огромной энергии для медицинских и технических нужд.

Заглянем внутрь рентгеновской трубки, или Как рождается невидимое излучение

Рентгеновское излучение — это те же фотоны, но с очень большой энергией и, соответственно, очень короткой длиной волны. Их генерируют в специальных устройствах — рентгеновских трубках. Понимание принципа их работы часто проверяется на контрольных.

Принцип работы

Если упростить, процесс выглядит так:

1. Внутри вакуумной трубки есть катод, который при нагревании (накал нити) испускает электроны.
2. Между катодом и анодом (металлической мишенью) создается очень высокое ускоряющее напряжение (U).
3. Электроны под действием этого напряжения разгоняются до огромных скоростей и приобретают большую кинетическую энергию (E_kin = eU, где `e` — заряд электрона).
4. Разогнанные электроны с огромной силой ударяются об анод и резко тормозят. Их кинетическая энергия превращается в энергию фотонов — так рождается тормозное излучение.

Ключевая зависимость

Самое важное, что нужно понять: энергия рожденного фотона не может быть больше, чем кинетическая энергия электрона, который его породил. Максимально возможная энергия фотона (E_max) достигается тогда, когда вся кинетическая энергия одного электрона переходит в энергию одного фотона. Это приводит нас к главному соотношению в задачах на эту тему:

eU = hc/λ_min

Это уравнение связывает ускоряющее напряжение `U` с минимальной длиной волны `λ_min` (или максимальной частотой) генерируемого излучения. Чем выше напряжение, тем меньше минимальная длина волны, а значит, тем «жестче» и проникающее излучение.

Разбор ключевого вопроса (по мотивам Задачи №9)

• Почему повышение напряжения увеличивает «жесткость» излучения? Потому что, как видно из формулы, чем выше `U`, тем больше максимальная энергия `eU`, которую может унести фотон. Большая энергия означает более короткую волну `λ_min`, что и является определением «жесткого» рентгена.
• Изменится ли «жесткость», если изменить накал нити катода? Нет, не изменится. Накал нити влияет только на количество испускаемых электронов. Больше электронов — больше фотонов будет рождено при столкновении с анодом, то есть увеличится интенсивность (яркость) излучения, но их максимальная энергия останется прежней, так как она определяется только ускоряющим напряжением `U`.

Мы завершили теоретический разбор. Теперь, вооружившись этими знаниями, вы готовы к финальному рывку перед контрольной.

Ваша стратегия успеха

Вы прошли путь от базовых свойств фотона до принципов работы сложного технического устройства. Теперь все знания нужно уложить в четкую систему, которая поможет на контрольной. Вот ваш алгоритм успеха:

1. Внимательно прочитай условие. Определите, какие физические величины даны, а какие нужно найти.
2. Определи явление. Задача про энергию и импульс? Про световое давление? Или про рентгеновскую трубку?
3. Выбери правильную формулу. Это ключевой шаг. Соотнесите явление с тем набором «инструментов» (формул), которые мы разобрали.
4. Аккуратно выполни расчет. Не забудьте перевести все величины в систему СИ и проверить единицы измерения.

Настоятельно рекомендую не просто прочитать этот материал, а взять лист бумаги и попробовать решить разобранные задачи самостоятельно, лишь сверяясь с предложенным решением. Практика — лучший способ закрепить теорию.

У вас есть все необходимые инструменты и знания. Теперь дело за практикой. Удачи на контрольной!

Список использованной литературы

1. Рымкевич, А. П. Физика. Задачник. 1011 кл.: пособие для общеобразоват. Учреждений / А. П. Рымкевич. 10-е изд., стереотип. М.: Дрофа, 2006. 188, с.: ил.