Ключевые задачи по электростатике: подробный разбор для подготовки к контрольной

Что нужно знать перед тем, как решать задачи по электростатике

Подготовка к контрольной по электростатике часто кажется сложной задачей. Формулы, векторы, поля, потенциалы — обилие концепций может сбивать с толку, а учебные материалы кажутся разрозненными фрагментами одной большой мозаики. Возникает ощущение, что нужно просто вызубрить десятки уравнений в надежде, что на контрольной попадется знакомая задача.

Но это не так. Ключ к успеху — не в зубрежке, а в понимании физической логики, которая связывает все эти понятия в единую стройную систему. Эта статья — ваш пошаговый маршрут для подготовки. Мы не будем просто приводить сухие формулы и ответы. Вместо этого мы разберем 8 типовых задач, которые охватывают все ключевые темы, и покажем, почему решение должно быть именно таким. Наша цель — чтобы вы не просто сдали контрольную, а по-настоящему поняли, как работает электростатика.

Теперь, когда мы настроились на продуктивную работу, давайте начнем с самого фундаментального принципа, на котором держится вся электростатика.

Задача 1. Рассчитываем силу взаимодействия между точечными зарядами

Это основа основ. Практически любая сложная задача так или иначе сводится к взаимодействию зарядов, поэтому умение уверенно применять закон Кулона — это необходимый первый шаг.

Условие: Два точечных заряда, q₁ = +2 нКл и q₂ = -4 нКл, находятся в вакууме на расстоянии r = 2 см друг от друга. Определите величину и направление силы, действующей на каждый заряд.

Теоретический минимум

Сила взаимодействия между двумя неподвижными точечными зарядами описывается законом Кулона. Он гласит, что сила прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Формула выглядит так:

F = k * |q₁q₂| / r²

Здесь k — коэффициент пропорциональности, в вакууме примерно равный 9·10⁹ Н·м²/Кл². Важно помнить, что разноименные заряды притягиваются, а одноименные — отталкиваются.

Пошаговое решение

1. Анализ данных и перевод в СИ: Прежде всего, переведем все величины в систему СИ.
   q₁ = +2 нКл = 2·10⁻⁹ Кл
   q₂ = -4 нКл = -4·10⁻⁹ Кл
   r = 2 см = 0.02 м
2. Подстановка в формулу: Теперь подставляем значения в формулу закона Кулона, используя модули зарядов.
   
   F = (9·10⁹ * |(2·10⁻⁹) * (-4·10⁻⁹)|) / (0.02)²
3. Расчет: Выполняем вычисления.
   F = (9·10⁹ * 8·10⁻¹⁸) / 0.0004 = 72·10⁻⁹ / 4·10⁻⁴ = 18·10⁻⁵ Н или 180 мкН.
4. Определение направления: Так как заряды имеют разные знаки (+ и -), они притягиваются. Это означает, что на заряд q₁ действует сила 180 мкН, направленная к заряду q₂, а на заряд q₂ действует точно такая же по модулю сила, направленная к заряду q₁.

Важный нюанс: Сила — это векторная величина. Мы нашли ее модуль (величину), но не менее важно определить ее направление. В простых задачах это «притяжение» или «отталкивание», а в более сложных случаях потребуется работа с проекциями на оси координат.

Задача 2. Как найти напряженность поля, созданного системой зарядов

Мы научились находить силу. Но что создает эту силу? Электрическое поле. Напряженность (E) — это его силовая характеристика, показывающая, какая сила будет действовать на единичный положительный заряд в данной точке пространства. Если зарядов несколько, их поля складываются.

Условие: В двух вершинах равностороннего треугольника со стороной a = 10 см находятся точечные заряды q₁ = +1 нКл и q₂ = +1 нКл. Найдите напряженность электрического поля в третьей вершине треугольника.

Теоретический минимум

Здесь ключевую роль играет принцип суперпозиции полей. Он утверждает, что напряженность результирующего поля в любой точке пространства равна векторной сумме напряженностей, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности. Проще говоря, мы должны найти поле от каждого заряда, а затем сложить их как векторы.

Пошаговое решение

1. Расчет модулей напряженности: Сначала найдем величину напряженности, создаваемой каждым зарядом в третьей вершине. Формула напряженности поля точечного заряда: E = k * |q| / r².
   
   E₁ = (9·10⁹ * |1·10⁻⁹|) / (0.1)² = 9 / 0.01 = 900 Н/Кл.
   
   E₂ = (9·10⁹ * |1·10⁻⁹|) / (0.1)² = 9 / 0.01 = 900 Н/Кл.
   
   Модули напряженностей равны, так как заряды и расстояния одинаковы.
2. Изображение векторов: Нарисуем треугольник и векторы E₁ и E₂ в третьей вершине. Так как заряды положительные, оба вектора будут направлены от своих зарядов. Угол между векторами E₁ и E₂ будет равен 60°, как и угол в вершине равностороннего треугольника.
3. Векторное сложение: Теперь нужно сложить эти два вектора. Поскольку это векторы равной длины с углом 60° между ними, их сумма (результирующий вектор E) будет направлена по биссектрисе угла. Найти модуль можно по теореме косинусов или, в данном частном случае, методом параллелограмма (ромба).
   
   E = √(E₁² + E₂² + 2·E₁·E₂·cos(60°)) = √(900² + 900² + 2·900·900·0.5) = √(3 * 900²) = 900√3 ≈ 1559 Н/Кл.

Таким образом, результирующая напряженность в третьей вершине равна примерно 1559 Н/Кл и направлена вертикально вверх (если основание треугольника горизонтально).

Задача 3. Применяем теорему Гаусса для бесконечной заряженной плоскости

Рассчитывать поле для каждого заряда по отдельности долго. К счастью, для симметричных систем есть мощный инструмент, который значительно упрощает вычисления. Это теорема Гаусса. Она связывает поток вектора напряженности через любую замкнутую поверхность с суммарным зарядом внутри этой поверхности.

Условие: Бесконечная плоскость равномерно заряжена с поверхностной плотностью заряда σ = +2 нКл/м². Найдите напряженность поля, создаваемого этой плоскостью.

Теоретический минимум

Суть закона Гаусса можно представить так: количество «силовых линий» поля, пронизывающих замкнутую поверхность, напрямую зависит от того, какой заряд оказался «пойман» внутри этой поверхности. Для решения задач с его помощью нужно выбрать такую воображаемую «гауссову» поверхность, чтобы расчет потока был максимально простым.

Пошаговое решение

1. Анализ симметрии и выбор поверхности: Поле бесконечной плоскости должно быть направлено перпендикулярно ей (в силу симметрии). Идеальной гауссовой поверхностью в этом случае будет цилиндр, ось которого перпендикулярна плоскости, а основания находятся на равном расстоянии от нее.
2. Расчет потока: Поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, так как вектор E везде перпендикулярен этой поверхности. Поток существует только через основания цилиндра (площадью A каждое), причем он равен E·A для каждого основания. Общий поток Ф = 2·E·A.
3. Применение теоремы Гаусса: Теорема Гаусса гласит: Ф = q_внутри / ε₀. Заряд, оказавшийся внутри нашего цилиндра, — это заряд на участке плоскости, который вырезает цилиндр. Он равен q_внутри = σ·A.
4. Получение формулы: Приравниваем оба выражения: 2·E·A = σ·A / ε₀. Сокращаем площадь A и получаем:
   
   E = σ / (2ε₀)
   
   где ε₀ — электрическая постоянная.

Ключевой вывод: Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, не зависит от расстояния до нее. В любой точке пространства она будет одинаковой. Это очень важное свойство, которое часто используется в задачах.

Задача 4. Находим поле внутри и снаружи равномерно заряженной сферы

Теорема Гаусса отлично работает и для других симметричных тел. Рассмотрим еще один классический пример — заряженную проводящую сферу. Это поможет понять фундаментальное свойство всех проводников в электростатике.

Условие: Проводящая сфера радиусом R имеет заряд +Q. Найдите напряженность поля на расстоянии r > R (снаружи сферы) и на расстоянии r < R (внутри сферы).

Решение для точки снаружи сферы (r > R)

В этом случае мы выбираем гауссову поверхность в виде сферы радиусом r, концентрической с нашей заряженной сферой. Поток через эту поверхность равен Ф = E · 4πr². Весь заряд +Q находится внутри этой поверхности. Применяя теорему Гаусса (E · 4πr² = Q / ε₀), получаем:

E = Q / (4πε₀r²) = kQ / r²

Результат поразительный: снаружи заряженной сферы поле точно такое же, как если бы весь ее заряд был сосредоточен в центре в виде точечного заряда. Это значительно упрощает многие расчеты.

Решение для точки внутри сферы (r < R)

Теперь выберем гауссову поверхность в виде сферы радиусом r < R. Мы находимся внутри проводника. В состоянии электростатического равновесия весь избыточный заряд на проводнике располагается на его поверхности. Следовательно, заряд, оказавшийся внутри нашей гауссовой поверхности, равен нулю (q_внутри = 0).

Применяем теорему Гаусса: Ф = q_внутри / ε₀ = 0. Поскольку поток равен нулю, то и напряженность поля равна нулю.

E = 0 (внутри проводника)

Это фундаментальное свойство: электрическое поле внутри любого проводника в состоянии электростатического равновесия равно нулю. Это явление лежит в основе электростатической защиты.

Задача 5. Вычисляем работу поля и разность потенциалов

Мы научились находить напряженность. Теперь перейдем к энергетическим характеристикам поля — потенциалу и работе. Потенциал (φ) — это энергетическая характеристика точки поля, а разность потенциалов (U = φ₁ — φ₂) — это напряжение между двумя точками.

Условие: Точечный заряд Q = +20 нКл создает поле в вакууме. Какую работу совершит поле при перемещении пробного заряда q = +1 нКл из точки A, удаленной на r₁ = 10 см, в точку B, удаленную на r₂ = 50 см?

Теоретический минимум

Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении заряда, не зависит от траектории движения, а зависит только от начальной и конечной точек. Такое поле называется консервативным. Эта работа напрямую связана с разностью потенциалов между точками:

A = q(φ₁ — φ₂)

Потенциал поля точечного заряда рассчитывается по формуле φ = kQ / r.

Пошаговое решение

1. Находим потенциалы в начальной и конечной точках:
   
   φ₁ (в точке A) = (9·10⁹ * 20·10⁻⁹) / 0.1 = 180 / 0.1 = 1800 В.
   
   φ₂ (в точке B) = (9·10⁹ * 20·10⁻⁹) / 0.5 = 180 / 0.5 = 360 В.
2. Рассчитываем разность потенциалов:
   
   U = φ₁ — φ₂ = 1800 — 360 = 1440 В.
3. Вычисляем работу поля:
   
   A = q * (φ₁ — φ₂) = 1·10⁻⁹ Кл * 1440 В = 1440·10⁻⁹ Дж = 1.44 мкДж.

Поле совершило положительную работу, что логично: положительный заряд q отталкивался от положительного заряда Q и перемещался «от» него, то есть поле «помогало» этому движению.

Задача 6. Определяем электроемкость плоского конденсатора

Понятия потенциала и разности потенциалов особенно важны, когда речь заходит об устройствах для накопления заряда и энергии. Простейшее из них — плоский конденсатор.

Условие: Плоский воздушный конденсатор состоит из двух квадратных пластин со стороной 10 см, расположенных на расстоянии 1 мм друг от друга. Определите электроемкость этого конденсатора.

Теоретический минимум

Электроемкость (C) — это физическая величина, характеризующая способность проводника или системы проводников накапливать электрический заряд. Для конденсатора она показывает, какой заряд нужно сообщить пластинам, чтобы создать между ними разность потенциалов в 1 Вольт (C = q/U). Для плоского конденсатора емкость зависит только от его геометрических параметров и среды между пластинами. Формула для вакуума (или воздуха):

C = ε₀A / d

где A — площадь одной пластины, а d — расстояние между ними.

Пошаговое решение

1. Анализ данных и перевод в СИ:
   
   Сторона пластины: 10 см = 0.1 м.
   
   Площадь пластины: A = (0.1 м)² = 0.01 м².
   
   Расстояние: d = 1 мм = 0.001 м.
   
   Электрическая постоянная: ε₀ ≈ 8.85·10⁻¹² Ф/м.
2. Подстановка в формулу и расчет:
   
   C = (8.85·10⁻¹² * 0.01) / 0.001 = 8.85·10⁻¹⁴ / 10⁻³ = 8.85·10⁻¹¹ Ф.
3. Представление ответа:
   
   8.85·10⁻¹¹ Ф можно записать как 88.5·10⁻¹² Ф, что равно 88.5 пФ (пикофарад).

Из формулы видно, что для увеличения емкости нужно либо увеличивать площадь пластин, либо уменьшать расстояние между ними.

Задача 7. Анализируем поведение заряженного проводника и конденсатора с диэлектриком

А что произойдет, если пространство между пластинами конденсатора заполнить не воздухом, а каким-либо веществом-изолятором? Это подводит нас к важной теме диэлектриков и их влиянию на электрическое поле.

Условие: Плоский воздушный конденсатор зарядили до разности потенциалов U₀ и отключили от источника. Затем между пластинами вставили стеклянную пластину с диэлектрической проницаемостью κ = 7, полностью заполняющую пространство. Как изменятся напряженность поля (E), разность потенциалов (U) и емкость (C) конденсатора?

Теоретический минимум: поляризация диэлектрика

Когда диэлектрик вносят во внешнее электрическое поле, его молекулы поляризуются. Внутри материала возникает собственное электрическое поле, которое направлено против внешнего поля. В результате результирующее поле внутри диэлектрика ослабляется. Величина, показывающая, во сколько раз поле ослабляется, и есть диэлектрическая проницаемость (κ).

Пошаговое решение (логическая цепочка)

1. Напряженность поля (E): Внутреннее поле диэлектрика ослабляет внешнее. Следовательно, напряженность поля между пластинами уменьшится в κ раз: E = E₀ / κ.
2. Разность потенциалов (U): Разность потенциалов напрямую связана с напряженностью (U = E·d). Поскольку расстояние d не изменилось, а напряженность E уменьшилась в κ раз, то и разность потенциалов уменьшится в κ раз: U = U₀ / κ.
3. Электроемкость (C): Конденсатор был отключен от источника, значит, заряд q на его пластинах остался неизменным. Вспомним основную формулу емкости: C = q/U. Так как заряд q не изменился, а напряжение U уменьшилось в κ раз, то для сохранения равенства емкость должна была увеличиться в κ раз: C = q / (U₀/κ) = κ * (q/U₀) = κ·C₀.

Вывод: При введении диэлектрика в заряженный и отключенный конденсатор его емкость увеличивается в κ раз, а напряженность поля и разность потенциалов между обкладками уменьшаются в κ раз.

Задача 8. Решаем комбинированную задачу на расчет поля и энергии системы

Теперь давайте объединим знания и разберем более комплексный пример, который может встретиться на контрольной. Такие задачи требуют последовательного применения нескольких изученных концепций.

Условие: Конденсатор емкостью C₁ = 2 мкФ заряжен до напряжения U₁ = 100 В. Его отключают от источника и параллельно к нему подключают второй, незаряженный конденсатор емкостью C₂ = 3 мкФ. Какая энергия выделится в виде тепла при соединении конденсаторов?

План решения

Эта задача на закон сохранения заряда и энергии. Энергия, выделившаяся в виде тепла, — это разница между начальной энергией системы (когда был заряжен только первый конденсатор) и конечной энергией системы (когда заряд перераспределился между двумя конденсаторами).

1. Найти начальный заряд и начальную энергию системы.
2. Используя закон сохранения заряда, найти конечное напряжение на конденсаторах после их соединения.
3. Рассчитать конечную энергию системы.
4. Найти разницу между начальной и конечной энергией.

Пошаговое решение

1. Начальное состояние:
   
   Начальный заряд был только на первом конденсаторе: q₁ = C₁U₁ = (2·10⁻⁶ Ф) * 100 В = 2·10⁻⁴ Кл.
   
   Начальная энергия системы: W₁ = (C₁U₁²)/2 = (2·10⁻⁶ * 100²)/2 = 0.01 Дж.
2. После соединения (Закон сохранения заряда):
   
   При параллельном соединении общий заряд q₁ распределится между двумя конденсаторами. Общая емкость системы станет C_общ = C₁ + C₂ = 2 + 3 = 5 мкФ.
   
   Общий заряд останется прежним: q_общ = q₁ = 2·10⁻⁴ Кл.
   
   Новое напряжение на батарее конденсаторов: U₂ = q_общ / C_общ = (2·10⁻⁴ Кл) / (5·10⁻⁶ Ф) = 40 В.
3. Конечное состояние:
   
   Конечная энергия системы: W₂ = (C_общ * U₂²)/2 = (5·10⁻⁶ * 40²)/2 = (5·10⁻⁶ * 1600)/2 = 0.004 Дж.
4. Выделившаяся энергия:
   
   ΔW = W₁ — W₂ = 0.01 Дж — 0.004 Дж = 0.006 Дж.

Эта «потерянная» энергия перешла в тепло при протекании тока по соединительным проводам в момент перераспределения заряда.

Как успешно сдать контрольную. Ключевые выводы и частые ошибки

Мы разобрали 8 ключевых типов задач. Это прочный фундамент, который охватывает основные концепции темы: от базового Закона Кулона до более сложных систем с конденсаторами и диэлектриками. Вы увидели, как применяются принцип суперпозиции, теорема Гаусса, связь между работой и потенциалом.

Чтобы закрепить успех, обратите внимание на типичные ошибки, которые допускают студенты. Избегая их, вы значительно повысите свои шансы на отличную оценку.

Список частых ошибок:

• Путаница векторов и скаляров: Помните, что сила и напряженность — это векторы (имеют направление и требуют векторного сложения), а работа, энергия и потенциал — скаляры (складываются алгебраически).
• Неправильное применение формул: Очень частая ошибка — применять формулу напряженности для бесконечной плоскости (E = σ / (2ε₀)) к объектам конечных размеров, например, к пластинам конденсатора.
• Ошибки в единицах измерения: Всегда переводите исходные данные в систему СИ (сантиметры в метры, нанокулоны в кулоны, микрофарады в фарады) перед началом расчетов.
• Игнорирование условий задачи: Внимательно читайте, подключен ли конденсатор к источнику или отключен. От этого зависит, что сохраняется в системе — напряжение или заряд.

Главный совет по подготовке: не просто запоминайте решения. Возьмите условие каждой из разобранных задач и попробуйте самостоятельно воспроизвести всю логическую цепочку рассуждений. Именно такое глубокое понимание, а не механическое заучивание, гарантирует успех на любой контрольной.