Пошаговое решение задачи по термодинамике одноатомного газа: расчет изменения внутренней энергии для студентов ВУЗов

В мире, где энергетическая эффективность и понимание фундаментальных принципов трансформации энергии становятся ключевыми, термодинамика занимает центральное место. Ежедневно инженеры, физики и химики по всему миру оперируют такими понятиями, как теплота, работа и внутренняя энергия, чтобы проектировать двигатели, оптимизировать промышленные процессы и даже предсказывать климатические изменения. Без глубокого понимания этих концепций невозможно движение вперед в технологическом прогрессе. Осознание этого факта подчёркивает не только академическую, но и практическую значимость каждой решённой задачи по термодинамике, ведь каждая такая задача приближает нас к инновационным решениям.

Введение в термодинамику и постановка задачи

Актуальность изучения термодинамики для современных инженеров и ученых неоспорима. Это не просто абстрактный раздел физики, а краеугольный камень для создания эффективных тепловых машин, холодильных установок, химических реакторов и многих других систем. Понимание термодинамических процессов позволяет не только объяснять наблюдаемые явления, но и предсказывать поведение материи и энергии в различных условиях, а значит, даёт возможность управлять этими процессами. В контексте возрастающей потребности в устойчивых энергетических решениях и минимизации воздействия на окружающую среду, глубокие знания термодинамики становятся жизненно важными.

Настоящая работа ставит перед собой амбициозную, но крайне необходимую цель: представить подробное решение типовой задачи по термодинамике одноатомного газа, сосредоточившись на расчете изменения внутренней энергии. Каждый шаг решения будет подкреплен исчерпывающим теоретическим обоснованием, что позволит студентам технических и естественнонаучных специальностей не просто получить ответ, но и осмыслить логику и физический смысл каждого действия, глубже вникнув в суть предмета.

В основе нашего анализа лежат два фундаментальных допущения: мы будем работать с моделью идеального газа и, в частности, с одноатомным газом. Эти упрощения позволяют сосредоточиться на ключевых термодинамических принципах, не отвлекаясь на сложности межмолекулярных взаимодействий и внутренней структуры молекул, характерные для реальных газов.

Основы термодинамики идеального одноатомного газа

Что такое термодинамика и идеальный газ?

Термодинамика — это один из самых фундаментальных разделов физики, который занимается изучением наиболее общих закономерностей преобразования энергии в макроскопических системах. Она оперирует такими понятиями, как температура, давление, объем, теплота и работа, описывая состояние систем и процессы, происходящие в них. В отличие от молекулярно-кинетической теории, которая рассматривает движение отдельных частиц, термодинамика сосредоточена на макроскопических свойствах вещества, которые являются результатом усредненного поведения огромного числа молекул.

Для упрощения анализа многих тепловых процессов физики часто прибегают к модели идеального газа. Это теоретическая конструкция, в которой молекулы газа представляются как материальные точки, не имеющие собственного объема и не взаимодействующие друг с другом на расстоянии. Единственные взаимодействия происходят при абсолютно упругих столкновениях молекул друг с другом и со стенками сосуда. Такая модель, несмотря на свою идеализированность, удивительно точно описывает поведение реальных газов при определенных условиях.

Детализация: Модель идеального газа наиболее применима для описания свойств реальных газов при умеренных давлениях и температурах. В этих условиях расстояния между молекулами достаточно велики, что позволяет пренебречь их потенциальной энергией взаимодействия. Если же давление становится слишком высоким или температура опускается до значений, близких к точке сжижения, то межмолекулярные силы и собственный объем молекул начинают играть существенную роль. В таких случаях реальные газы демонстрируют отклонения от законов идеального газа, и для их описания требуются более сложные модели, например, уравнение Ван-дер-Ваальса. Однако для большинства стандартных задач по термодинамике, особенно на уровне студенческих контрольных работ, модель идеального газа является вполне достаточной и корректной.

Одноатомный газ и его внутренняя энергия

Среди различных типов газов выделяют одноатомные газы, молекулы которых состоят из одного атома. Классическими примерами таких газов являются инертные газы: гелий (He), неон (Ne), аргон (Ar) и другие. Особенность одноатомных газов заключается в том, что их молекулы могут совершать только поступательное движение в трехмерном пространстве. Они не имеют вращательных или колебательных степеней свободы, поскольку представляют собой одиночные атомы без жестких связей.

Внутренняя энергия (U) идеального газа — это сумма кинетических энергий хаотического (теплового) движения всех его молекул. Для идеального газа, как мы уже отметили, потенциальная энергия взаимодействия между молекулами считается равной нулю. Следовательно, вся внутренняя энергия газа сосредоточена в кинетической энергии его частиц.

Детализация: Связь внутренней энергии с числом степеней свободы является одним из ключевых моментов молекулярно-кинетической теории. Число степеней свободы (обозначаемое i) — это количество независимых координат, необходимых для полного описания положения и ориентации молекулы в пространстве, а также ее внутренних движений (колебаний). Для одноатомного идеального газа молекула может двигаться только поступательно вдоль трех осей координат (x, y, z), поэтому число поступательных степеней свободы равно 3 (i = 3). Согласно закону равномерного распределения энергии по степеням свободы, на каждую степень свободы молекулы в среднем приходится кинетическая энергия, равная k T/2, где k — постоянная Больцмана, а T — абсолютная температура. Таким образом, средняя кинетическая энергия одной молекулы одноатомного газа составляет 3 ⋅ (k T/2).

Если учесть, что количество вещества (ню, ν) связано с числом молекул N соотношением N = ν ⋅ N_A (где N_A — число Авогадро), а универсальная газовая постоянная R = k ⋅ N_A, то внутренняя энергия ν молей одноатомного идеального газа выражается следующими формулами:

• Для одного моля одноатомного идеального газа:
  
  U = (3/2) RT
• Для произвольной массы (m) или количества вещества (ν) одноатомного идеального газа с молярной массой (M):
  
  U = (3/2) (m/M)RT или U = (3/2) νRT

Изменение внутренней энергии (ΔU) одноатомного идеального газа рассчитывается, соответственно, как:

ΔU = (3/2) νRΔT

Важно отметить, что внутренняя энергия идеального газа является функцией состояния, то есть она зависит исключительно от его абсолютной температуры (U = U(T)) и не зависит от других макроскопических параметров, таких как давление или объем, если температура остается неизменной. Это означает, что при изотермическом процессе (T = const) изменение внутренней энергии идеального газа равно нулю, вне зависимости от того, как изменялись давление и объем. Внутренняя энергия измеряется в Джоулях (Дж) в системе СИ. Этот фундаментальный принцип значительно упрощает расчёты в циклических процессах, где, независимо от сложности пути, конечное изменение внутренней энергии всегда равно нулю.

Макроскопические параметры и уравнение состояния идеального газа

Основные параметры состояния газа

Для полного описания состояния любой термодинамической системы, в частности газа, используются несколько ключевых макроскопических параметров. Это величины, которые можно измерить и которые характеризуют состояние системы в целом, а не поведение отдельных молекул. К основным параметрам состояния газа относятся:

• Давление (P): Сила, с которой газ действует на единицу площади стенок сосуда. В системе СИ давление измеряется в Паскалях (Па), где 1 Па = 1 Н/м².
• Объем (V): Пространство, занимаемое газом. В системе СИ объем измеряется в кубических метрах (м³).
• Абсолютная температура (T): Мера средней кинетической энергии хаотического движения молекул газа. В системе СИ температура измеряется в Кельвинах (К). Важно использовать именно абсолютную температуру, а не градусы Цельсия, поскольку многие термодинамические законы (например, закон Шарля, закон Гей-Люссака, уравнение Менделеева-Клапейрона) формулируются именно в терминах абсолютной шкалы.

Эти три параметра не являются независимыми. Их функциональная связь описывается уравнением состояния.

Уравнение состояния идеального газа (Менделеева-Клапейрона)

Уравнение состояния идеального газа, также известное как уравнение Менделеева-Клапейрона, является одним из краеугольных камней термодинамики. Оно устанавливает связь между давлением, объемом, количеством вещества и абсолютной температурой идеального газа. Его формулировка выглядит следующим образом:

P ⋅ V = ν ⋅ R ⋅ T

где:

• P — давление газа (Па)
• V — объем газа (м³)
• ν — количество вещества (моль)
• R — универсальная газовая постоянная (Дж/(моль⋅К))
• T — абсолютная температура (К)

Детализация: Универсальная газовая постоянная (R) — это одна из важнейших физических констант, имеющая точное значение:

R = 8,314 462 618 153 24 Дж/(моль⋅К)

Ее физический смысл многогранен. Во-первых, R численно равна работе, совершаемой одним молем идеального газа при изобарическом (постоянном давлении) расширении, когда его температура повышается на 1 Кельвин. То есть, если мы имеем 1 моль идеального газа и нагреем его на 1 К при постоянном давлении, то газ совершит работу, равную 8,314 Дж. Во-вторых, универсальная газовая постоянная связывает молярные теплоемкости идеального газа при постоянном давлении (C_P) и при постоянном объеме (C_V) знаменитым соотношением Майера:

CP - CV = R

Это соотношение показывает, что для нагревания газа при постоянном давлении требуется больше теплоты, чем при постоянном объеме, поскольку часть этой теплоты уходит на совершение работы по расширению газа.

Уравнение Менделеева-Клапейрона является мощным инструментом для анализа состояния газа и позволяет рассчитывать любой из параметров (P, V, T, ν), если известны остальные.

Термодинамические изопроцессы: изохорический и изобарический

Изопроцессы — это особые термодинамические процессы, при которых один из макроскопических параметров (давление, объем или температура) остается постоянным. Их изучение позволяет упростить анализ поведения газов и глубже понять фундаментальные законы термодинамики.

Изохорический процесс (V = const)

Изохорный (изохорический) процесс — это равновесный термодинамический процесс, протекающий при постоянном объеме (V = const) данной массы газа. Это означает, что газ находится в жестком сосуде, который не может изменять свой объем.

При изохорном процессе для идеального газа справедливо соотношение, известное как Закон Шарля:

P/T = const или P1/T1 = P2/T2

Этот закон гласит, что при постоянном объеме давление идеального газа прямо пропорционально его абсолютной температуре. Если газ охлаждается, его давление падает, а при нагревании — растет.

Детализация графического анализа изохор:
Графическое представление изохорного процесса на различных диаграммах состояния позволяет наглядно увидеть его особенности.

• На p-T диаграмме (давление-температура): Изохора изображается прямой линией, проходящей через начало координат (если экстраполировать до абсолютного нуля). Это прямое следствие Закона Шарля (P = (const) ⋅ T). Чем больше объем, тем ближе изохора к оси температуры (меньший наклон).

  graph TD
          A[Начало координат (0,0)] --> B(Изохора 1 - V₁)
          A --> C(Изохора 2 - V₂)
          style B fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
          style C fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
          linkStyle 0 stroke:red,stroke-width:2px;
          linkStyle 1 stroke:blue,stroke-width:2px;
          subgraph p-T Диаграмма
              direction LR
              D(T) --> E(P)
          end
          P -- "V₂ > V₁" --> T

  (Примечание: Наклон изохоры P= (νR/V)T на P-T диаграмме равен νR/V. Таким образом, изохора с большим объемом (V₂) будет иметь меньший наклон, то есть располагаться ближе к оси T.)

• На p-V диаграмме (давление-объем): Изохора представляет собой вертикальную прямую линию, так как объем остается постоянным, а давление может изменяться. Движение вверх по этой линии соответствует нагреванию (росту P и T), вниз — охлаждению (падению P и T).

  graph TD
          A(Начальное состояние) --> B(Конечное состояние)
          style A fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
          style B fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
          linkStyle 0 stroke:green,stroke-width:2px;
          subgraph p-V Диаграмма
              direction LR
              C(V) --> D(P)
          end
          V -- "V = const" --> P

• На V-T диаграмме (объем-температура): Изохора изображается горизонтальной прямой линией, поскольку объем неизменен, а температура может варьироваться. Движение вправо соответствует нагреванию (росту T), влево — охлаждению (падению T).

  graph TD
          A(Начальное состояние) --> B(Конечное состояние)
          style A fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
          style B fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
          linkStyle 0 stroke:purple,stroke-width:2px;
          subgraph V-T Диаграмма
              direction LR
              C(T) --> D(V)
          end
          T -- "V = const" --> V

Работа, совершаемая газом (A), при изохорном процессе равна нулю (A = 0), поскольку работа в термодинамике определяется как PΔV, а изменение объема (ΔV) в этом процессе отсутствует.
Согласно первому началу термодинамики, которое гласит ΔU = Q — A, для изохорного процесса все переданное газу количество теплоты (Q) идет на изменение его внутренней энергии (ΔU), так как работа равна нулю:

Q = ΔU

• При изохорическом охлаждении (Q < 0, ΔT < 0) внутренняя энергия газа уменьшается (ΔU < 0), поскольку газ отдает теплоту окружающей среде.
• При изохорическом нагревании (Q > 0, ΔT > 0) внутренняя энергия газа увеличивается (ΔU > 0), так как теплота подводится к газу.

Изобарический процесс (P = const)

Изобарный (изобарический) процесс — это равновесный термодинамический процесс, протекающий при постоянном давлении (P = const) данной массы газа. Представьте газ в цилиндре под поршнем, который может свободно перемещаться, поддерживая постоянное внешнее давление.

При изобарном процессе для идеального газа действует Закон Гей-Люссака:

V/T = const или V1/T1 = V2/T2

Этот закон утверждает, что при постоянном давлении объем идеального газа прямо пропорционален его абсолютной температуре. Если газ нагревается, его объем увеличивается, а при охлаждении — уменьшается.

Детализация графического анализа изобар:
Графическое представление изобарного процесса также дает ценную информацию.

• На V-T диаграмме (объем-температура): Изобара изображается прямой линией, проходящей через начало координат (если экстраполировать до абсолютного нуля). Это прямое следствие Закона Гей-Люссака (V = (const) ⋅ T). Чем больше давление, тем ближе изобара к оси температуры (меньший наклон).

  graph TD
          A[Начало координат (0,0)] --> B(Изобара 1 - P₁)
          A --> C(Изобара 2 - P₂)
          style B fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
          style C fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
          linkStyle 0 stroke:red,stroke-width:2px;
          linkStyle 1 stroke:blue,stroke-width:2px;
          subgraph V-T Диаграмма
              direction LR
              D(T) --> E(V)
          end
          V -- "P₂ > P₁" --> T

  (Примечание: Наклон изобары V = (νR/P)T на V-T диаграмме равен νR/P. Таким образом, изобара с большим давлением (P₂) будет иметь меньший наклон, то есть располагаться ближе к оси T.)

• На p-V диаграмме (давление-объем): Изобара представляет собой горизонтальную прямую линию, так как давление остается постоянным, а объем может изменяться. Движение вправо по этой линии соответствует нагреванию (росту V и T), влево — охлаждению (падению V и T).

  graph TD
          A(Начальное состояние) --> B(Конечное состояние)
          style A fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
          style B fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
          linkStyle 0 stroke:green,stroke-width:2px;
          subgraph p-V Диаграмма
              direction LR
              C(V) --> D(P)
          end
          V -- "P = const" --> P

• На p-T диаграмме (давление-температура): Изобара также изображается горизонтальной прямой линией, поскольку давление неизменно, а температура может варьироваться. Движение вправо соответствует нагреванию (росту T), влево — охлаждению (падению T).

  graph TD
          A(Начальное состояние) --> B(Конечное состояние)
          style A fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
          style B fill:#fff,stroke:#333,stroke-width:2px,color:#000
          linkStyle 0 stroke:purple,stroke-width:2px;
          subgraph p-T Диаграмма
              direction LR
              C(T) --> D(P)
          end
          T -- "P = const" --> P

Работа, совершаемая газом (A), при изобарном процессе рассчитывается по формуле:

A = PΔV

Используя уравнение Менделеева-Клапейрона (PΔV = νRΔT при P=const), работу также можно выразить через изменение температуры:

A = νRΔT

Согласно первому началу термодинамики (ΔU = Q — A), количество теплоты (Q), подведенное или отведенное от газа при изобарном ��роцессе, частично идет на изменение его внутренней энергии (ΔU), а частично — на совершение газом работы (A):

Q = ΔU + A

Молярная теплоемкость при постоянном давлении (C_P) для одноатомных газов составляет (5/2) R. Для сравнения, молярная теплоемкость при постоянном объеме (C_V) для одноатомных идеальных газов составляет (3/2) R. Разница между ними, как уже упоминалось, дает универсальную газовую постоянную R (соотношение Майера: CP - CV = R).

• При изобарическом нагревании (ΔT > 0) объем газа увеличивается, газ совершает положительную работу (A > 0), и его внутренняя энергия увеличивается (ΔU > 0).
• При изобарическом охлаждении (ΔT < 0) объем газа уменьшается, над газом совершается работа (или газ совершает отрицательную работу, A < 0), и его внутренняя энергия уменьшается (ΔU < 0).

Первое начало термодинамики и алгоритм расчета изменения внутренней энергии

Первый закон термодинамики

В основе всех термодинамических преобразований лежит фундаментальный принцип сохранения энергии, известный как Первое начало термодинамики. Это закон сохранения и превращения энергии, адаптированный для тепловых процессов. Он гласит, что изменение внутренней энергии термодинамической системы (ΔU) равно разности между количеством теплоты (Q), переданной системе, и работой (A), совершенной системой над внешними телами:

ΔU = Q - A

Детализация знаковых соглашений: Корректное применение первого начала термодинамики требует строгого соблюдения знаковых соглашений для теплоты и работы:

• Теплота (Q): Считается положительной, если она передается системе (система получает тепло). Считается отрицательной, если система отдает теплоту окружающей среде.
• Работа (A): Считается положительной, если она совершается системой над окружающей средой (например, газ расширяется и толкает поршень). Считается отрицательной, если работа совершается над системой внешними силами (например, газ сжимается под действием поршня).

Эти соглашения являются ключевыми для правильного определения направления энергетических потоков. Внутренняя энергия тела может изменяться как при совершении работы, так и в процессе теплопередачи.

Важным свойством внутренней энергии является то, что она зависит только от начального и конечного состояний системы, а не от пути, по которому происходит переход. Это означает, что если система совершает циклический процесс (возвращается в исходное состояние), то общее изменение внутренней энергии за цикл равно нулю (ΔU = 0), независимо от того, какие процессы происходили внутри цикла. Это значительно упрощает расчёты в комплексных термодинамических циклах, позволяя игнорировать промежуточные этапы при определении конечного энергетического баланса.

Для последовательности термодинамических процессов общее изменение внутренней энергии системы определяется суммой изменений внутренней энергии на каждом отдельном этапе:

ΔUобщее = ΔU1 + ΔU2 + ... + ΔUn

Универсальный пошаговый алгоритм решения термодинамических задач

Чтобы успешно решать задачи по термодинамике, особенно в академическом контексте, необходим систематизированный подход. Предлагаем следующий универсальный алгоритм:

• Шаг 1: Анализ исходных данных и целевой величины.
  Внимательно прочтите условие задачи. Выделите все известные параметры (давление, объем, температура, количество вещества, тип газа) и четко определите, какую величину требуется найти (например, ΔU, Q, A). Запишите все данные в виде «Дано: …».
• Шаг 2: Перевод всех величин в систему СИ.
  Это критически важный шаг. Большинство формул в физике корректны только при использовании единиц Международной системы (СИ). Температура должна быть в Кельвинах (К), давление в Паскалях (Па), объем в кубических метрах (м³), энергия в Джоулях (Дж), количество вещества в молях (моль). Игнорирование этого шага является частой причиной ошибок. Подробный разбор перевода единиц будет представлен в следующем разделе.
• Шаг 3: Определение типа термодинамического процесса(ов).
  Выясните, какие термодинамические процессы (изохорический, изобарический, изотермический, адиабатический) описываются в задаче. Если процессов несколько, разделите задачу на этапы, соответствующие каждому процессу.
• Шаг 4: Выбор соответствующих законов и формул для каждого этапа.
  Для каждого определенного процесса выберите и запишите подходящие уравнения состояния, законы (например, Шарля, Гей-Люссака), формулы для внутренней энергии, работы и теплоты. Убедитесь, что выбранные формулы соответствуют типу газа (одноатомный, двухатомный и т.д.).
• Шаг 5: Поэтапный расчет изменений внутренней энергии, работы и теплоты.
  Последовательно выполните расчеты для каждого этапа. Для одноатомного газа ΔU = (3/2) νRΔT. Используйте правильные знаковые соглашения.
• Шаг 6: Расчет общего изменения внутренней энергии.
  Если задача состоит из нескольких последовательных процессов, суммируйте изменения внутренней энергии на каждом этапе, помня о ее свойстве функции состояния: ΔUобщее = ΔU1 + ΔU2 + ... + ΔUn.
• Шаг 7: Проверка размерностей и логичности результата.
  После получения численного ответа обязательно проверьте размерность: соответствует ли она искомой величине? Кроме того, оцените логичность полученного результата. Например, если газ охлаждался, его внутренняя энергия должна уменьшиться (ΔU < 0). Такая проверка помогает выявить возможные ошибки.

Практическое применение: перевод единиц измерения в СИ

Значение Международной системы единиц (СИ) в физике

Международная система единиц (СИ) является общепризнанным стандартом в науке, технике и торговле по всему миру. Ее создание было направлено на унификацию измерений, что обеспечивает однозначность, воспроизводимость и совместимость результатов научных исследований и инженерных расчетов в разных странах. Использование СИ значительно упрощает коммуникацию между специалистами и минимизирует ошибки, связанные с преобразованием единиц. Следование этому стандарту позволяет избежать неоднозначностей и обеспечивает универсальность полученных результатов.

Основные единицы СИ, непосредственно касающиеся термодинамики, включают:

• Длина: метр (м)
• Масса: килограмм (кг)
• Время: секунда (с)
• Термодинамическая температура: кельвин (К)
• Количество вещества: моль (моль)
• Энергия, теплота, работа: джоуль (Дж)
• Давление: паскаль (Па)

Для обеспечения корректности и точности расчетов в физике и термодинамике все физические величины, заданные в других системах или внесистемных единицах, должны быть переведены в соответствующие единицы СИ.

Типовые примеры перевода

Рассмотрим наиболее распространенные случаи перевода единиц измерения, с которыми студенты сталкиваются при решении термодинамических задач.

1. Температура: перевод из градусов Цельсия (°C) в Кельвины (K)
   Шкала Цельсия является относительной, тогда как шкала Кельвина — абсолютной, где 0 К соответствует абсолютному нулю (-273,15 °C). Все термодинамические формулы, включающие температуру (например, уравнение Менделеева-Клапейрона, формулы для внутренней энергии), требуют использования абсолютной температуры в Кельвинах.
   
   Формула перевода:
   
   T(К) = t(°C) + 273,15
   
   Пример: Если температура газа t = 27 °C, то в Кельвинах она будет T = 27 + 273,15 = 300,15 К. Для учебных задач часто округляют до 273 К.
2. Давление: перевод из миллиметров ртутного столба (мм рт. ст.) в Паскали (Па)
   Давление часто задается в миллиметрах ртутного столба, особенно в метеорологии и старых учебниках.
   
   Соотношение:
   
   1 атмосфера (нормальное атмосферное давление) = 760 мм рт. ст. = 101 325 Па.
   
   Для перевода можно использовать пропорцию:
   
   P(Па) = P(мм рт. ст.) ⋅ (101 325 Па / 760 мм рт. ст.)
   
   Пример: Если давление P = 750 мм рт. ст., то в Паскалях это будет примерно P = 750 ⋅ (101325 / 760) ≈ 99 991,7 Па.
3. Объем: перевод из литров (л) в кубические метры (м³)
   Литры — удобная единица для измерения объема жидкостей и газов в повседневной жизни, но в СИ используется кубический метр.
   
   Соотношение:
   
   1 л = 1 дм3 = 0,001 м3
   
   Пример: Объем V = 5 л эквивалентен V = 5 ⋅ 0,001 = 0,005 м3.
4. Энергия, теплота и работа: перевод из калорий (кал) в Джоули (Дж)
   Исторически в термодинамике часто использовались калории, особенно в ранних исследованиях тепловых явлений. Сегодня основной единицей энергии является Джоуль.
   
   Соотношение:
   
   1 кал ≈ 4,1868 Дж (международная стандартная калория)
   
   Пример: Если система получила 100 кал теплоты, то в Джоулях это будет Q = 100 ⋅ 4,1868 = 418,68 Дж.

Тщательный перевод всех величин в СИ перед началом расчетов является залогом получения правильного и физически осмысленного результата.

Решение типовой физической задачи (пошаговое)

Теперь, вооружившись всем необходимым теоретическим и методологическим арсеналом, мы перейдем к решению конкретной задачи. Это позволит продемонстрировать все рассмотренные принципы на практике.

Условие задачи

Некоторое количество одноатомного идеального газа находится в начальном состоянии 1 с объемом V₁ = 4 л и температурой t₁ = 27 °C. Газ подвергается двум последовательным термодинамическим процессам:

1. Изохорическое охлаждение до температуры t₂ = -23 °C.
2. Изобарическое нагревание до конечной температуры t₃ = 127 °C.

Определить общее изменение внутренней энергии газа (ΔU_общее) за всю последовательность процессов. Количество вещества газа ν = 0,2 моль. Универсальная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(моль⋅К).

Этап 1: Анализ условия и перевод в СИ

Прежде чем приступить к вычислениям, необходимо тщательно проанализировать условие и перевести все исходные данные в систему СИ.

Дано:

• Тип газа: одноатомный идеальный газ
• Количество вещества: ν = 0,2 моль
• Начальный объем: V₁ = 4 л
• Начальная температура: t₁ = 27 °C
• Температура после изохорического охлаждения: t₂ = -23 °C
• Конечная температура после изобарического нагревания: t₃ = 127 °C
• Универсальная газовая постоянная: R = 8,31 Дж/(моль⋅К)

Найти:

• Общее изменение внутренней энергии: ΔU_общее

Перевод в СИ:

• Объем V₁:
  
  V1 = 4 л = 4 ⋅ 0,001 м3 = 0,004 м3
• Температуры:
  
  T1 = t1 + 273,15 = 27 + 273,15 = 300,15 К ≈ 300 К

T2 = t2 + 273,15 = -23 + 273,15 = 250,15 К ≈ 250 К

T3 = t3 + 273,15 = 127 + 273,15 = 400,15 К ≈ 400 К

Теперь все параметры готовы для использования в формулах.

Этап 2: Изохорический процесс (расчет ΔU₁)

Описание процесса: Переход из состояния 1 в состояние 2 является изохорическим охлаждением (V = const). Объем газа остается V1 = 0,004 м3. Температура изменяется от T1 = 300 К до T2 = 250 К.

Расчет работы (A₁):
Поскольку процесс изохорический, объем газа не изменяется (ΔV = 0). Следовательно, работа, совершаемая газом, равна нулю.

A1 = PΔV = 0

Расчет изменения внутренней энергии (ΔU₁):
Для одноатомного идеального газа изменение внутренней энергии зависит только от изменения температуры:

ΔU = (3/2) νRΔT

Подставим значения для первого процесса:

ΔU1 = (3/2) νR(T2 - T1)

ΔU1 = 1,5 ⋅ 0,2 моль ⋅ 8,31 Дж/(моль⋅К) ⋅ (250 К - 300 К)

ΔU1 = 1,5 ⋅ 0,2 ⋅ 8,31 ⋅ (-50)

ΔU1 = -1,5 ⋅ 0,2 ⋅ 8,31 ⋅ 50

ΔU1 = -15 ⋅ 8,31

ΔU1 = -124,65 Дж

Отрицательное значение ΔU₁ логично, поскольку газ охлаждался, и его внутренняя энергия уменьшилась. Это прямой индикатор того, что система теряет тепловую энергию.

Расчет теплоты (Q₁):
Согласно первому началу термодинамики для изохорического процесса:

Q1 = ΔU1 + A1 = ΔU1 + 0 = ΔU1

Q1 = -124,65 Дж
Отрицательное значение Q₁ означает, что газ отдал теплоту окружающей среде в процессе охлаждения.

Графическое представление процесса на диаграммах:

Диаграмма	Изображение изохоры (1 → 2)	Описание
p-V	Вертикальная линия вниз	Объем постоянный (V1), давление падает (P2 < P1), так как T2 < T1.
p-T	Прямая линия, идущая от (P1, T1) к (P2, T2) через начало координат	Давление прямо пропорционально температуре.
V-T	Горизонтальная линия влево	Объем постоянный (V1), температура падает (T2 < T1).

Этап 3: Изобарический процесс (расчет ΔU₂)

Описание процесса: Переход из состояния 2 в состояние 3 является изобарическим нагреванием (P = const). Давление газа остается постоянным. Температура изменяется от T2 = 250 К до T3 = 400 К.

Для расчета изменения внутренней энергии нам не нужно знать конкретное давление или объем в состоянии 2 и 3, так как ΔU зависит только от ν, R и ΔT. Однако для полноты картины и понимания, какие параметры изменяются, можно найти начальное давление P₂ и конечный объем V₃, если бы это требовалось.

Из уравнения Менделеева-Клапейрона для состояния 2:

P2V2 = νRT2. Поскольку V2 = V1 = 0,004 м3, то P2 = (νRT2)/V1.

Расчет работы (A₂):
При изобарическом процессе работа рассчитывается как A = PΔV или A = νRΔT.

A2 = νR(T3 - T2)

A2 = 0,2 моль ⋅ 8,31 Дж/(моль⋅К) ⋅ (400 К - 250 К)

A2 = 0,2 ⋅ 8,31 ⋅ 150

A2 = 30 ⋅ 8,31

A2 = 249,3 Дж

Положительное значение A₂ означает, что газ совершил работу над окружающей средой (расширился) в процессе нагревания.

Расчет изменения внутренней энергии (ΔU₂):
Снова используем формулу для изменения внутренней энергии одноатомного идеального газа:

ΔU2 = (3/2) νR(T3 - T2)

ΔU2 = 1,5 ⋅ 0,2 моль ⋅ 8,31 Дж/(моль⋅К) ⋅ (400 К - 250 К)

ΔU2 = 1,5 ⋅ 0,2 ⋅ 8,31 ⋅ 150

ΔU2 = 448,7 Дж

Положительное значение ΔU₂ логично, так как газ нагревался, и его внутренняя энергия увеличилась.

Расчет теплоты (Q₂):
Согласно первому началу термодинамики для изобарического процесса:

Q2 = ΔU2 + A2

Q2 = 448,7 Дж + 249,3 Дж = 698 Дж
Положительное значение Q₂ означает, что газ получил теплоту от окружающей среды в процессе нагревания.

Графическое представление процесса на диаграммах:

Диаграмма	Изображение изобары (2 → 3)	Описание
p-V	Горизонтальная линия вправо	Давление постоянное (P2 = P3), объем увеличивается (V3 > V2), так как T3 > T2.
p-T	Горизонтальная линия вправо	Давление постоянное (P2), температура увеличивается (T3 > T2).
V-T	Прямая линия, идущая от (V2, T2) к (V3, T3) через начало координат	Объем прямо пропорционален температуре.

Этап 4: Общее изменение внутренней энергии

Для нахождения общего изменения внутренней энергии за всю последовательность процессов мы суммируем изменения внутренней энергии на каждом этапе. Это возможно благодаря тому, что внутренняя энергия является функцией состояния, и ее изменение зависит только от начального и конечного состояний системы, а не от пути перехода.

ΔUобщее = ΔU1 + ΔU2

ΔUобщее = -124,65 Дж + 448,7 Дж

ΔUобщее = 324,05 Дж

Итоговый ответ: Общее изменение внутренней энергии газа за всю последовательность процессов составляет 324,05 Дж.
Положительное значение говорит о том, что в конечном итоге внутренняя энергия газа увеличилась, что логично, так как конечная температура (400 К) выше начальной (300 К). Это наглядно демонстрирует, как изменение температуры напрямую влияет на внутреннюю энергию идеального газа, подтверждая фундаментальные принципы термодинамики.

Таблица с суммарными результатами:

Параметр	Процесс 1 (Изохорическое охлаждение)	Процесс 2 (Изобарическое нагревание)	Общее изменение
ΔT (К)	-50	150	100
ΔU (Дж)	-124,65	448,7	324,05
A (Дж)	0	249,3	249,3
Q (Дж)	-124,65	698	573,35

Заключение

Проделанная работа позволила нам глубоко погрузиться в мир термодинамики одноатомных идеальных газов, от фундаментальных определений до практического применения в решении задач. Мы начали с освещения актуальности термодинамики для современного мира и представили концепции идеального и одноатомного газа, подчеркнув условия применимости этих моделей. Какую же ценность это несёт для инженеров будущего?

Ключевым моментом стало детальное обоснование формулы внутренней энергии, демонстрирующее ее зависимость исключительно от температуры и числа степеней свободы. Мы рассмотрели макроскопические п��раметры состояния газа и подробно разобрали уравнение Менделеева-Клапейрона, уделив особое внимание физическому смыслу универсальной газовой постоянной.

Последовательный анализ изохорического и изобарического процессов, включая законы Шарля и Гей-Люссака, а также детальное графическое представление на всех ключевых диаграммах (p-V, p-T, V-T), обеспечил всестороннее понимание поведения газа в этих условиях. Центральным элементом стал Первый закон термодинамики с четким объяснением знаковых соглашений для работы и теплоты, что является критически важным для корректных расчетов.

Наконец, мы разработали универсальный пошаговый алгоритм решения термодинамических задач и продемонстрировали его эффективность на примере типовой физической задачи. Особое внимание было уделено практике перевода единиц измерения в систему СИ, без чего невозможно достичь точности в физических расчетах.

Этот пошаговый подход, подкрепленный глубоким теоретическим обоснованием и детальными примерами, является незаменимым инструментом для студентов, выполняющих контрольные работы или стремящихся к углубленному пониманию термодинамики. Применение этих знаний не ограничивается учебными задачами; оно открывает двери к анализу и проектированию более сложных термодинамических систем, лежащих в основе многих инженерных и научных достижений, позволяя им создавать более эффективные и устойчивые технологии.

Список использованной литературы

1. Внутренняя энергия идеального газа // Интернет-лицей ТПУ. URL: https://www.tpu.ru/science/education/internet-lyceum/physics/internal-energy-of-ideal-gas/ (дата обращения: 03.11.2025).
2. Внутренняя энергия идеального газа // Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/vnutrennyaya-energiya-idealnogo-gaza (дата обращения: 03.11.2025).
3. Внутренняя энергия идеального одноатомного газа. URL: https://old.fizika.ru/vnutrennyaya-energiya-idealnogo-odnotomnogo-gaza/ (дата обращения: 03.11.2025).
4. 8. Уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева—Клапейрона). Изопроцессы. URL: https://phys-ege.ru/8-uravnenie-sostoyaniya-idealnogo-gaza-uravnenie-mendeleeva-klapejrona-izoprotsessy (дата обращения: 03.11.2025).
5. Выражение для внутренней энергии одноатомного идеального газа (применимые формы записи) // Рувики: Интернет-энциклопедия. URL: https://ru.ruwiki.ru/wiki/%D0%92%D1%8B%D1%80%D0%B0%D0%B6%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D0%B4%D0%BB%D1%8F_%D0%B2%D0%BD%D1%83%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%BD%D0%BD%D0%B5%D0%B9_%D1%8D%D0%BD%D0%B5%D1%80%D0%B3%D0%B8%D0%B8_%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%BE%D0%B0%D1%82%D0%BE%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B3%D0%B0%D0%B7%D0%B0 (дата обращения: 03.11.2025).
6. Внутренняя энергия одноатомного газа // Термодинамика. Формулы по физике. URL: https://fizika.jal.ru/term/inner.html (дата обращения: 03.11.2025).
7. Термодинамика // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A2%D0%B5%D1%80%D0%BC%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B0%D0%BC%D0%B8%D0%BA%D0%B0 (дата обращения: 03.11.2025).
8. Уравнение состояния идеального газа // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A3%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5_%D1%81%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BE%D1%8F%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B8%D0%B4%D0%B5%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D0%B3%D0%B0%D0%B7%D0%B0 (дата обращения: 03.11.2025).
9. Изохорный процесс: определение, формула, график, закон Шарля // Фоксфорд. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/izohornyy-protsess (дата обращения: 03.11.2025).
10. Перевод единиц измерения в СИ — онлайн-конвертер величин // РосТепло.ru. URL: https://www.rosteplo.ru/konverter/ (дата обращения: 03.11.2025).
11. Уравнение состояния идеального газа // Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/uravnenie-sostoyaniya-idealnogo-gaza (дата обращения: 03.11.2025).
12. Универсальная газовая постоянная Д. И. Менделеева Уравнение Клапейрона. URL: https://journal.bsu.by/wp-content/uploads/2016/11/1993_4_B_HIM_1.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
13. Уравнение состояния идеального газа: формула // Skysmart. URL: https://skysmart.ru/articles/fizika/uravnenie-mendeleeva-klapejrona (дата обращения: 03.11.2025).
14. Тема 7 Первое начало термодинамики. URL: https://www.psu.ru/files/docs/science/books/uchebnie-posobiya/fizika-lektsii-chast-2-molekulyarnaya-fizika-i-termodinamika.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
15. 14. Первый закон термодинамики. Применение первого закона термодинамики к изопроцессам изменения состояния идеального газа. URL: https://uchitel.by/fizika/fizika_10/lektsiya_14.html (дата обращения: 03.11.2025).
16. Изобарный процесс: определение, формула, график, закон Гей-Люссака // Фоксфорд. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/izobarnyy-protsess (дата обращения: 03.11.2025).
17. Изохорный процесс // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%B7%D0%BE%D1%85%D0%BE%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81 (дата обращения: 03.11.2025).
18. Изобарный процесс // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%B7%D0%BE%D0%B1%D0%B0%D1%80%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81 (дата обращения: 03.11.2025).
19. Изохорный процесс: формула, графики, уравнения // Zaochnik.com. URL: https://zaochnik.com/spravochnik/fizika/termodinamika/izohornyj-protsess/ (дата обращения: 03.11.2025).
20. Изобарный процесс. URL: https://energetik.info/thermodynamics/isobar (дата обращения: 03.11.2025).
21. Практическое занятие №1 Параметры состояния рабочего тела. URL: https://www.istu.edu/files/education/kafedry/tge/2017/prakt_raboti_po_tg_1.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
22. Основные параметры состояния газа и их единицы измерения. URL: https://eknigi.org/uchebniki/149887-teplotehnika-teplogazosnabzhenie-i-ventilyaciya-tihomirov-k-v.html (дата обращения: 03.11.2025).
23. Практическое занятие №4 Термодинамические процессы. URL: https://www.istu.edu/files/education/kafedry/tge/2017/prakt_raboti_po_tg_4.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
24. Что такое изохорный процесс // Kayfun.ru. URL: https://kayfun.ru/blog/chto-takoe-izohornyy-process/ (дата обращения: 03.11.2025).
25. Лекция №1. URL: http://www.msun.ru/upload/ib/d71/d714571d8df536098059e74d6b637c35.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
26. Первый закон термодинамики // ЗФТШ, МФТИ. URL: https://www.abit.mipt.ru/abit/phys/online/term/lesson2/ (дата обращения: 03.11.2025).
27. 1. Основные термодинамические параметры и уравнения состояния рабоче // Mathprofi. URL: https://mathprofi.ru/osnovnye_termodinamicheskie_parametry_i_uravnenija_sostojanija.html (дата обращения: 03.11.2025).
28. 2. Первый закон термодинамики // Химический факультет МГУ. URL: http://www.chem.msu.su/rus/teaching/physchem/pdf/k-2_1.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
29. Основные термодинамические процессы // Блог об энергетике. URL: https://energetik.info/thermodynamics/basic (дата обращения: 03.11.2025).
30. Международная система единиц // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9C%D0%B5%D0%B6%D0%B4%D1%83%D0%BD%D0%B0%D1%80%D0%BE%D0%B4%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%B8%D1%81%D1%82%D0%B5%D0%BC%D0%B0_%D0%B5%D0%B4%D0%B8%D0%BD%D0%B8%D1%86 (дата обращения: 03.11.2025).
31. Как изменится внутренняя энергия одноатомного газа при изобарном нагревании? Изохорном охлаждении? // Школьные Знания.com. URL: https://znanija.com/task/8038676 (дата обращения: 03.11.2025).
32. § 14. Первый закон термодинамики. Применение первого закона термодинамики к изопроцессам изменения состояния идеального газа: Изохорный процесс. URL: https://uchitel.by/fizika/fizika_10/lektsiya_14_izohornyy.html (дата обращения: 03.11.2025).
33. Как Переводить Физические Величины В Системе Си // Kayfun.ru. URL: https://kayfun.ru/blog/kak-perevodit-fizicheskie-velichiny-v-sisteme-si/ (дата обращения: 03.11.2025).
34. Как переводить в систему си // Uchi.ru. URL: https://uchi.ru/otvety/questions/kak-perevodit-v-sistemu-si-2342410 (дата обращения: 03.11.2025).
35. Компактный калькулятор // Translators Cafe. URL: https://www.translatorscafe.com/unit-converter/ru/unitconversion.htm (дата обращения: 03.11.2025).
36. 22. Внутренняя энергия и способы ее изменения. Работа газа в изопроцессах. URL: https://fizika-ege.ru/22-vnutrennyaya-energiya-i-sposoby-ee-izmeneniya-rabota-gaza-v-izoprotsessah.html (дата обращения: 03.11.2025).
37. Изопроцессы в термодинамике. URL: http://school-collection.edu.ru/catalog/res/e142278c-0259-4591-9515-3b99434d3f3f/view/ (дата обращения: 03.11.2025).
38. Внутренняя энергия. Классификация термодинамических процессов. Первое начало термодинамики. Закон Гесса. Следствие из закона Гесса. URL: https://studfile.net/preview/9986064/page:4/ (дата обращения: 03.11.2025).
39. § 14. Первый закон термодинамики. Применение первого закона термодинамики к изопроцессам изменения состояния идеального газа // Профильное обучение. URL: https://uchebniki.by/rus/skan/gdz-po-fizike-10-klass-pinskij/glava-2-paragraf-14.html (дата обращения: 03.11.2025).
40. Внутренняя энергия. 1-й закон термодинамики. URL: https://spbphys.ru/term/innerenergy.htm (дата обращения: 03.11.2025).