Решение задачи по механике: применение закона сохранения энергии для вращательного движения

Постановка задачи как ключ к ее успешному решению

Вращательное движение твердых тел — один из фундаментальных разделов механики, задачи из которого регулярно встречаются в контрольных и экзаменационных работах. На первый взгляд, они могут показаться сложными из-за необходимости учитывать моменты инерции, угловые скорости и переменные силы. Однако за каждой такой задачей стоит четкая физическая логика.

Сегодня мы разберем классический пример, который поможет вам понять основной принцип решения. Наша цель — не просто получить число в ответе, а выстроить безошибочную логическую цепочку от условия до результата. Вот формулировка нашей задачи:

Однородный стержень длиной l = 1 м подвешен на горизонтальной оси, проходящей через верхний конец стержня. На какой угол α надо отклонить стержень, чтобы нижний конец стержня при прохождении положения равновесия имел скорость v = 5 м/с?

Теперь, когда условие перед нами, первый и самый важный шаг — формализовать его и визуализировать физическую систему, с которой мы работаем.

Этап 1. Анализ условия и создание наглядной модели

Прежде чем применять формулы, необходимо преобразовать текстовое описание в структурированный набор физических данных и наглядный чертеж. Это фундамент правильного решения, который исключает большинство ошибок.

Формализация данных

Переведем все известные и искомые величины в удобный для работы формат, убедившись, что они соответствуют системе СИ.

• Дано:
  • Длина стержня, l = 1 м
  • Скорость нижнего конца стержня в положении равновесия, v = 5 м/с
  • Ускорение свободного падения, g ≈ 9.8 м/с²
• Найти:
  • Угол начального отклонения, α

Визуализация процесса

Чтобы ясно понимать, что происходит, создадим два мысленных «стоп-кадра» (чертежа), иллюстрирующих систему в ключевых состояниях:

1. Начальное состояние: Стержень отклонен от вертикали на искомый угол α. В этой верхней точке его скорость равна нулю. Центр масс стержня (находящийся на середине его длины) поднят на некоторую высоту h относительно положения равновесия.
2. Конечное состояние: Стержень проходит вертикальное положение равновесия. В этот момент его потенциальная энергия минимальна, а кинетическая — максимальна. Нижний конец стержня движется с заданной скоростью v.

Имея перед глазами такую четкую модель, мы можем приступить к выбору физического закона, который наиболее эффективно свяжет начальное и конечное состояния системы.

Этап 2. Выбор основного инструмента, или какой закон здесь работает лучше всего

В механике часто есть несколько путей решения одной и той же задачи. Можно было бы использовать динамический подход через второй закон Ньютона для вращательного движения. Однако этот путь был бы значительно сложнее, поскольку момент силы тяжести и, как следствие, угловое ускорение постоянно меняются в процессе движения. Это потребовало бы составления и решения дифференциальных уравнений.

Гораздо более элегантным и эффективным инструментом здесь является закон сохранения полной механической энергии. Он идеально подходит для задач, где нужно связать параметры системы в двух разных состояниях, не анализируя детально сам процесс перехода между ними.

Закон сохранения полной механической энергии гласит, что в замкнутой системе, на которую действуют только консервативные силы, сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной.

В нашей системе на стержень действуют две силы: сила тяжести и сила реакции оси вращения. Сила тяжести является консервативной, а сила реакции оси работы не совершает, так как точка ее приложения (ось) неподвижна. Следовательно, мы можем смело применять этот закон. Для нашей задачи он примет вид:

E_{полная начальная} = E_{полная конечная}

Мы определили главный закон. Теперь необходимо математически описать каждое из состояний системы — начальное и конечное — через энергию.

Этап 3. Расчет энергии системы в начальном положении

Распишем полную механическую энергию стержня в момент, когда он отклонен на максимальный угол α и неподвижен.

Выбор нулевого уровня потенциальной энергии

Для удобства расчетов примем за нулевой уровень потенциальной энергии самое нижнее положение, которое может занимать центр масс стержня. В нашем случае это положение, когда стержень висит вертикально.

Кинетическая энергия (K₁)

По условию, в начальный момент стержень удерживается в отклоненном положении, то есть его скорость равна нулю. Следовательно, и начальная кинетическая энергия системы равна нулю.

K₁ = 0

Потенциальная энергия (U₁)

Потенциальная энергия определяется формулой U = mgh, где h — высота центра масс над нулевым уровнем. Поскольку стержень однородный, его центр масс находится ровно посередине, на расстоянии l/2 от оси вращения. Из простой геометрии видно, что в начальном положении высота центра масс над нулевым уровнем составляет:

h = l/2 — (l/2)cos(α) = (l/2)(1 — cos(α))

Таким образом, начальная потенциальная энергия равна:

U₁ = mg(l/2)(1 — cos(α))

Полная энергия системы в начальном состоянии — это сумма кинетической и потенциальной энергий:

E₁ = K₁ + U₁ = 0 + mg(l/2)(1 — cos(α)) = mg(l/2)(1 — cos(α))

Мы получили выражение для энергии в первой точке. Теперь проделаем аналогичную процедуру для второго ключевого момента — прохождения положения равновесия.

Этап 4. Расчет энергии системы в момент прохождения равновесия

Теперь определим полную механическую энергию стержня в момент прохождения им нижнего, вертикального положения.

Потенциальная энергия (U₂)

В этот момент центр масс стержня находится на выбранном нами нулевом уровне. Следовательно, его потенциальная энергия равна нулю.

U₂ = 0

Кинетическая энергия (K₂)

При прохождении положения равновесия стержень обладает максимальной скоростью. Так как он совершает чисто вращательное движение вокруг неподвижной оси, его кинетическая энергия описывается формулой:

K₂ = ½Iω²

Здесь I — это момент инерции стержня относительно оси вращения, а ω — его угловая скорость. Нам нужно найти оба этих компонента.

1. Момент инерции (I): Для однородного стержня массой m и длиной l, вращающегося вокруг оси, проходящей через его конец, момент инерции равен I = ml²/3.
2. Угловая скорость (ω): Нам дана линейная скорость v нижнего конца стержня. Линейная и угловая скорости связаны соотношением v = ωr, где r — расстояние от оси вращения до точки. В нашем случае точка — это нижний конец, поэтому r = l. Отсюда выражаем угловую скорость: ω = v/l.

Теперь подставим найденные выражения для I и ω в формулу кинетической энергии:

K₂ = ½ * (ml²/3) * (v/l)² = ½ * (ml²/3) * (v²/l²) = mv²/6

Полная энергия системы в конечном состоянии равна:

E₂ = K₂ + U₂ = mv²/6 + 0 = mv²/6

Теперь у нас есть математические выражения для полной энергии в начальной и конечной точках. Осталось объединить их и найти искомую величину.

Этап 5. Синтез решения и финальные вычисления

Мы подошли к заключительному этапу. Используя выведенный нами ранее закон сохранения энергии (E₁ = E₂), мы можем составить уравнение и найти угол α.

Составление и решение уравнения

Приравняем выражения для полной начальной и полной конечной энергии:

mg(l/2)(1 — cos(α)) = mv²/6

Первое, что мы замечаем — масса стержня m присутствует в обеих частях уравнения. Мы можем на нее сократить. Это важный физический вывод: угол отклонения не зависит от массы стержня.

g(l/2)(1 — cos(α)) = v²/6

Теперь выразим из этого уравнения косинус искомого угла. Последовательно преобразуем выражение:

gl(1 — cos(α)) = v²/3

1 — cos(α) = v² / (3gl)

cos(α) = 1 — v² / (3gl)

Численный расчет

Мы получили финальную расчетную формулу. Подставим в нее значения из раздела «Дано» (l = 1 м, v = 5 м/с, g ≈ 9.8 м/с²):

cos(α) = 1 — (5² / (3 * 9.8 * 1)) = 1 — (25 / 29.4) ≈ 1 — 0.85

cos(α) ≈ 0.15

Чтобы найти сам угол, возьмем арккосинус от этого значения:

α = arccos(0.15) ≈ 81.4°

Ответ: стержень необходимо отклонить на угол α ≈ 81.4°.

Выводы и универсальный алгоритм для решения подобных задач

Мы успешно решили задачу, пройдя путь от анализа условия до получения численного ответа. Главный вывод заключается в том, что правильный выбор физического закона (в данном случае — закона сохранения энергии) кардинально упрощает решение. На основе этого разбора можно сформулировать универсальный алгоритм, который поможет вам в решении других задач на эту тему.

1. Проанализируй условие и сделай чертеж. Всегда начинайте с формализации данных («Дано», «Найти») и визуализации начального и конечного состояний системы.
2. Оцени применимость законов сохранения. Если в системе действуют только консервативные силы (или работа неконсервативных сил равна нулю), закон сохранения энергии — ваш лучший инструмент.
3. Выбери нулевой уровень для потенциальной энергии. Обычно его выбирают в самой нижней точке траектории для максимального упрощения расчетов.
4. Запиши выражения для полной энергии. Аккуратно распишите все составляющие (кинетическую и потенциальную энергию) для начального и конечного состояний. Не забывайте правильные формулы для кинетической энергии вращательного движения и момента инерции.
5. Приравняй энергии и реши уравнение. Составьте уравнение на основе закона сохранения и алгебраически выразите искомую величину.

Этот подход применим не только к вращающимся стержням, но и к маятникам, катящимся без проскальзывания телам и многим другим системам, где выполняется закон сохранения полной механической энергии.