Детальное решение задачи по квантовой физике: Изменение энергии электрона и его дебройлевская длина волны

В мире, где технологии шагнули далеко за пределы классического понимания физических явлений, квантовая механика стала не просто абстрактной теорией, но и фундаментом для инноваций. Одним из краеугольных камней этой науки является концепция корпускулярно-волнового дуализма, наглядно демонстрируемая дебройлевской длиной волны. Понимание того, как энергия частицы связана с её волновыми свойствами, критически важно для разработки таких приборов, как электронные микроскопы, и для исследования структуры вещества на атомном и субатомном уровнях. Это знание позволяет не только глубже осмыслить природу материи, но и открывает двери к созданию технологий, меняющих мир.

Актуальность задачи и структура руководства

В основе квантового мира лежит удивительное противоречие: частицы могут вести себя как волны, а волны – как частицы, именуемое корпускулярно-волновым дуализмом. Именно эта двойственность заставляет нас переосмысливать привычные законы классической физики при работе с микрообъектами. Задача, которую мы рассмотрим, напрямую связана с этой фундаментальной концепцией: как изменение волновых свойств электрона, выраженных через его дебройлевскую длину волны, влияет на его кинетическую энергию. Для студента технического или физического вуза эта тема является не просто упражнением из учебника, но и ключом к пониманию принципов, лежащих в основе современной электроники, материаловедения и даже медицины.

Она позволяет применить абстрактные квантовые постулаты к конкретным, измеримым величинам, формируя таким образом мостик между теорией и практикой. Цель данного руководства — предоставить исчерпывающее, детально обоснованное решение типовой задачи, объясняя каждый шаг, используемые формулы и физические принципы. Мы не просто покажем «как решить», но и углубимся в «почему так решается», делая акцент на методологической строгости и академической точности. Структура руководства построена таким образом, чтобы читатель мог последовательно освоить все аспекты задачи: от базовых определений до пошагового алгоритма расчета. Мы начнем с погружения в теоретические основы корпускулярно-волнового дуализма, затем перейдем к анализу условий применимости различных физических приближений, соберем необходимые фундаментальные константы, подробно выведем рабочую формулу и, наконец, представим методологию пошагового расчета, завершив всё обстоятельным заключением.

Теоретические основы: Корпускулярно-волновой дуализм и длина волны де Бройля

В начале XX века физический мир столкнулся с парадоксом, который радикально изменил наше понимание реальности. Свет, долгое время считавшийся волновым явлением, обнаружил корпускулярные свойства в фотоэффекте. Луи де Бройль, опираясь на эту идею, в 1923–1924 годах выдвинул смелую гипотезу: если свет обладает двойственной природой, то и материальные частицы, такие как электроны, тоже должны иметь волновые свойства. Так родилось понятие дебройлевской длины волны (λ) — фундаментального проявления корпускулярно-волнового дуализма для любых частиц в квантовой механике.

Эта гипотеза стала одним из столпов квантовой физики, постулируя, что каждая частица с импульсом p имеет связанную с ней волну, длина которой определяется простым, но глубоким соотношением:

λ = h / p

где h — это постоянная Планка, универсальная константа, связывающая энергетические характеристики квантовых объектов с их волновыми свойствами.

Дебройлевская длина волны в нерелятивистском приближении

Для большинства задач, с которыми сталкиваются студенты, скорость частицы значительно меньше скорости света (v << c). В этом случае мы можем использовать нерелятивистское приближение. Импульс частицы в классической механике определяется как произведение её массы m на скорость v:

p = mv

Кинетическая энергия (E_k) нерелятивистской частицы, в свою очередь, выражается формулой:

Ek = mv2 / 2

Из этих двух соотношений мы можем выразить импульс через кинетическую энергию. Из формулы для кинетической энергии получаем v = √(2E_k / m). Подставив это в выражение для импульса, получим:

p = m √(2Ek / m) = √(2m2 · 2Ek / m) = √(2mEk)

Теперь, подставив это выражение для импульса в основную формулу де Бройля, мы получаем связь дебройлевской длины волны с кинетической энергией для нерелятивистского случая:

λ = h / √(2mEk)

Эта формула является ключевой для решения большинства задач, связанных с электронами и другими микрочастицами при относительно небольших энергиях. Ее важность заключается в том, что она позволяет напрямую связать наблюдаемое волновое свойство с энергией частицы, без необходимости знать ее скорость.

Дебройлевская длина волны в релятивистском приближении

Хотя для нашей задачи основным будет нерелятивистское приближение, для полноты картины и понимания границ применимости необходимо упомянуть и релятивистский случай. Когда скорость частицы становится сопоставимой со скоростью света, или когда её кинетическая энергия становится сравнимой или превышает энергию покоя (E₀ = mc²), классические формулы импульса и энергии перестают быть корректными, и необходимо использовать соотношения специальной теории относительности.

В релятивистской механике импульс p связан с полной энергией E и энергией покоя E₀ соотношением:

E2 = (pc)2 + E02

Отсюда импульс выражается как:

p = (1 / c) √(E2 - E02)

Кинетическая энергия в релятивистском случае определяется как разность между полной энергией и энергией покоя: E_k = E — E₀. Следовательно, полная энергия E = E_k + E₀. Подставив это в выражение для импульса, получим:

p = (1 / c) √((Ek + E0)2 - E02) = (1 / c) √(Ek2 + 2EkE0 + E02 - E02) = (1 / c) √(Ek2 + 2EkE0)

И тогда дебройлевская длина волны для релятивистской частицы принимает вид:

λ = h / p = hc / √(Ek2 + 2EkE0)

Эта формула демонстрирует, что в релятивистском случае зависимость длины волны от энергии становится более сложной, и её необходимо учитывать при высоких энергиях частиц. Игнорирование релятивистских эффектов в этих условиях привело бы к значительным ошибкам в расчетах.

Критерии применимости нерелятивистского приближения для электрона

Выбор правильного физического приближения — это не просто вопрос академической строгости, а залог точности и корректности расчетов. Использование нерелятивистского приближения для описания движения частиц является краеугольным камнем во многих студенческих задачах, однако его применимость не безгранична.

Когда нерелятивистское приближение работает?

Нерелятивистское приближение применимо, когда скорость частицы (v) значительно меньше скорости света (c). Это означает, что эффекты, предсказываемые специальной теорией относительности (такие как изменение массы с ростом скорости), пренебрежимо малы. Для электрона это условие можно переформулировать через его кинетическую энергию (E_k) и энергию покоя (E₀ = m_ec²). Если кинетическая энергия электрона значительно меньше его энергии покоя, то нерелятивистское приближение будет вполне корректным.

Количественная оценка: пороговая энергия покоя

Энергия покоя электрона (E₀ = m_ec²) является фундаментальной величиной, которая служит своеобразным «квантовым барьером». Её значение составляет приблизительно 0,511 МэВ (мегаэлектронвольт), или 511 кэВ (килоэлектронвольт).

Параметр	Значение
Масса электрона (me)	~9,109 × 10-31 кг
Скорость света (c)	299792458 м/с
Энергия покоя (E0)	~0,511 МэВ

Если кинетическая энергия электрона составляет, например, несколько десятков или даже сотен электронвольт (эВ), то она будет многократно меньше 511 кэВ, и нерелятивистское приближение будет абсолютно оправдано. Даже при энергиях в несколько десятков килоэлектронвольт (кэВ) относительная ошибка при использовании нерелятивистского подхода будет мала.

Например, если кинетическая энергия электрона равна его энергии покоя (E_k = E₀), это соответствует скорости приблизительно 0,866c, или около 2,6 × 10⁸ м/с. В таких случаях, а тем более при более высоких энергиях, применение релятивистских формул становится обязательным. Ярким примером являются электроны и позитроны, образующиеся при бета-распаде атомных ядер, энергии которых часто превышают или сравнимы с 511 кэВ, что делает их релятивистскими частицами.

Волны де Бройля: от микромира к макромиру

Важно понимать, почему волновые свойства проявляются именно у микрочастиц. Для макроскопических объектов, даже при сравнительно небольших скоростях, дебройлевская длина волны становится настолько ничтожной, что лежит далеко за пределами любых измерительных возможностей. Например, для тела массой 200 г, движущегося со скоростью 3 м/с, длина волны составляет порядка 10^-31 см. Это объясняет, почему в повседневной жизни мы не наблюдаем «волновых» эффектов у движущихся объектов, а воспринимаем их исключительно как частицы. Почему же этот эффект так незаметен в обыденности?

В то же время для микрочастиц, таких как электроны, дебройлевские длины волн оказываются вполне осязаемыми. Электрон, ускоренный разностью потенциалов в 100 В, приобретает кинетическую энергию в 100 эВ, и его дебройлевская длина волны составляет около 10^-8 см, что сопоставимо с размерами атома. Именно поэтому волновые свойства электронов так важны в атомной физике и электронной микроскопии.

Таким образом, для большинства стандартных задач по квантовой физике, касающихся электронов и их дебройлевской длины волны, если в условии задачи не указаны чрезвычайно высокие энергии (порядка сотен кэВ или МэВ), нерелятивистское приближение является не только достаточным, но и методологически обоснованным.

Фундаментальные физические константы, необходимые для расчетов

Точность физических расчетов напрямую зависит от точности используемых констант. В квантовой физике, особенно при работе с микрочастицами, мы оперируем величинами, которые определены с крайне высокой точностью и являются столпами современной физики. Для решения нашей задачи нам потребуются три ключевые фундаментальные константы.

Постоянная Планка (h)

Постоянная Планка, названная в честь Макса Планка, является одной из наиболее значимых констант в квантовой теории. Она служит «квантом действия», связывая энергию кванта электромагнитного излучения с его частотой, а также импульс частицы с её дебройлевской длиной волны. Её существование стало первым шагом к пониманию дискретной природы энергии в микромире.

Рекомендованное значение постоянной Планка, принятое Генеральной Ассамблеей CODATA (Комитет по данным для науки и техники), составляет:

h = 6,62607010 × 10-34 Дж·с

Иногда в литературе используется редуцированная (приведенная) постоянная Планка ħ (читается как «h с чертой» или «h-бар»), которая равна h / (2π). Однако для формулы де Бройля мы используем полную постоянную Планка h.

Масса электрона (m_e)

Электрон — это элементарная частица, являющаяся одним из основных компонентов атома. Его масса, хоть и очень мала, является критически важной константой при расчетах, связанных с его динамикой и волновыми свойствами.

Рекомендованное значение массы электрона:

me ≈ 9,1093836 × 10-31 кг

Для справки, в атомных единицах массы (а.е.м.) масса электрона составляет примерно 5,4858026 × 10^-4 а.е.м. Однако в наших расчетах, использующих систему СИ, мы будем применять значение в килограммах.

С массой электрона неразрывно связана его энергия покоя (E₀ = m_ec²), которая, как мы уже обсуждали, составляет приблизительно 0,511 МэВ. Эта величина служит важным ориентиром для оценки применимости приближений.

Скорость света в вакууме (c)

Скорость света в вакууме — это не просто скорость распространения света, но и фундаментальная физическая константа, определяющая максимальную скорость передачи информации и взаимодействия в нашей Вселенной. Её значение зафиксировано по определению метра.

Её точное значение:

c = 299792458 м/с

Хотя в нерелятивистском приближении мы напрямую не используем скорость света в формуле дебройлевской длины волны, она необходима для расчета энергии покоя электрона и оценки границ применимости приближений.

Сводная таблица фундаментальных констант:

Константа	Символ	Значение в СИ
Постоянная Планка	h	6,62607010 × 10-34 Дж·с
Масса электрона	me	9,1093836 × 10-31 кг
Скорость света в вакууме	c	299792458 м/с

Использование этих точных значений обеспечивает высокую надежность и корректность всех последующих расчетов.

Вывод формулы для изменения кинетической энергии электрона при изменении дебройлевской длины волны

Чтобы глубоко понять процесс изменения энергии электрона при вариации его дебройлевской длины волны, необходимо не просто знать конечную формулу, но и самостоятельно пройти путь её вывода. Этот процесс позволяет увидеть логическую связь между фундаментальными принципами и прикладными расчетами. Мы будем исходить из нерелятивистского приближения, применимость которого была обоснована ранее.

Исходное соотношение

Наш отправной пункт — это связь между дебройлевской длиной волны (λ) и кинетической энергией (E_k) нерелятивистской частицы, которую мы вывели в теоретическом разделе:

λ = h / √(2mEk)

где h — постоянная Планка, m — масса частицы (в нашем случае, электрона), а E_k — кинетическая энергия.

Шаг 1: Выражение кинетической энергии через длину волны де Бройля

Для того чтобы найти изменение энергии, нам сначала нужно выразить саму кинетическую энергию E_k через дебройлевскую длину волны. Для этого возведем обе части исходного уравнения в квадрат:

λ2 = (h / √(2mEk))2

λ2 = h2 / (2mEk)

Теперь выразим E_k из этого уравнения, перенеся её в левую часть, а λ² — в правую:

Ek = h2 / (2mλ2)

Эта формула показывает, что кинетическая энергия электрона обратно пропорциональна квадрату его дебройлевской длины волны. Чем короче длина волны, тем больше энергия. Это интуитивно понятно, ведь меньшая длина волны подразумевает более высокую частоту и, соответственно, большую энергию кванта.

Шаг 2: Формулировка изменения кинетической энергии

Предположим, что дебройлевская длина волны электрона изменяется с начального значения λ₁ до конечного значения λ₂. Соответственно, начальная и конечная кинетические энергии будут выглядеть следующим образом:

Начальная кинетическая энергия:

Ek1 = h2 / (2mλ12)

Конечная кинетическая энергия:

Ek2 = h2 / (2mλ22)

Изменение кинетической энергии (ΔE) определяется как разность между конечной и начальной энергиями. Важно отметить, что если λ₂ < λ₁, то E_k2 > E_k1, и ΔE будет положительным, что означает увеличение энергии. И наоборот, если λ₂ > λ₁, то энергия уменьшится.

ΔE = Ek2 - Ek1

Шаг 3: Окончательный вывод формулы

Теперь подставим выражения для E_k1 и E_k2 в формулу для ΔE:

ΔE = h2 / (2mλ22) - h2 / (2mλ12)

Мы видим, что множитель h² / (2m) является общим для обоих членов. Вынесем его за скобки:

ΔE = (h2 / (2m)) × (1 / λ22 - 1 / λ12)

Это и есть искомая формула для расчета изменения кинетической энергии электрона при изменении его дебройлевской длины волны в нерелятивистском приближении.

Физический смысл выведенной формулы

Выведенная формула ясно демонстрирует, что для уменьшения дебройлевской длины волны (т.е., когда λ₂ < λ₁), необходимо увеличить кинетическую энергию электрона. Чем сильнее требуется уменьшить длину волны, тем больший вклад в изменение энергии вносит этот процесс, поскольку зависимость квадратичная. И наоборот, если длина волны увеличивается, энергия электрона уменьшается. Этот результат находится в полном соответствии с принципами квантовой механики, где более короткие волны ассоциируются с более высокими энергиями и импульсами. Это объясняет, например, почему для получения более высокого разрешения в электронных микроскопах используются электроны с высокой энергией.

Изменение длины волны	Изменение кинетической энергии	Физический смысл
λ2 < λ1	ΔE > 0 (увеличение)	Электрон ускоряется, его импульс и энергия растут, волновые свойства проявляются на меньших масштабах.
λ2 > λ1	ΔE < 0 (уменьшение)	Электрон замедляется, его импульс и энергия падают, волновые свойства распространяются на большие масштабы.

Эта формула является мощным инструментом для количественного анализа поведения электронов в условиях, когда проявляются их волновые свойства.

Методология решения задачи: Пошаговый расчет изменения энергии ΔE

Теперь, когда мы имеем теоретическую базу и выведенную формулу, перейдем к практической части — пошаговому решению задачи. Предположим, нам дана задача: определить энергию ΔE, необходимую для уменьшения дебройлевской длины волны электрона с λ₁ до λ₂.

Шаг 1: Сбор и подготовка исходных данных

Первоочередная задача — собрать все необходимые числовые значения и убедиться, что они представлены в согласованных единицах измерения, предпочтительно в системе СИ (Международная система единиц).

• Начальная дебройлевская длина волны электрона (λ₁): Это заданное значение. Убедитесь, что оно переведено в метры. Например, если дано в ангстремах (Å), то 1 Å = 10^-10 м.
• Конечная дебройлевская длина волны электрона (λ₂): Также заданное значение, переведенное в метры.
• Постоянная Планка (h): Используем точное значение: h = 6,62607010 × 10^-34 Дж·с.
• Масса электрона (m_e): Используем точное значение: m_e ≈ 9,1093836 × 10^-31 кг.

Шаг 2: Оценка применимости нерелятивистского приближения

Прежде чем бросаться в расчеты, необходимо убедиться, что выбранное нами нерелятивистское приближение корректно.

• Рассчитайте энергию покоя электрона: E₀ = m_ec². Используйте c = 299792458 м/с.
  • E₀ = (9,1093836 × 10^-31 кг) × (299792458 м/с)² ≈ 8,187 × 10^-14 Дж.
  • Для удобства сравнения, переведем это в электронвольты: E₀ ≈ 8,187 × 10^-14 Дж / (1,602176634 × 10^-19 Дж/эВ) ≈ 510998,9 эВ ≈ 511 кэВ.
• Используя формулу E_k = h² / (2mλ²), оцените начальную и конечную кинетические энергии (E_k1 и E_k2).
• Сравните E_k1 и E_k2 с E₀. Если обе кинетические энергии значительно меньше E₀ (например, на 1-2 порядка), то нерелятивистское приближение применимо. Если же они сопоставимы или превышают E₀, то следует использовать релятивистские формулы. Для большинства учебных задач нерелятивистское приближение будет работать.

Шаг 3: Применение выведенной формулы

Теперь подставим собранные значения в выведенную формулу для изменения кинетической энергии:

ΔE = (h2 / (2me)) × (1 / λ22 - 1 / λ12)

Шаг 4: Выполнение расчетов

Выполните расчеты пошагово, аккуратно подставляя числовые значения.

1. Вычислите константный множитель:
   • h² = (6,62607010 × 10^-34 Дж·с)² ≈ 4,390494 × 10^-67 Дж²·с²
   • 2m_e = 2 × (9,1093836 × 10^-31 кг) ≈ 1,82187672 × 10^-30 кг
   • Константный множитель h² / (2m_e) ≈ 2,40995 × 10^-37 Дж·м².
2. Вычислите разность обратных квадратов длин волн:
   • 1 / λ₂²
   • 1 / λ₁²
   • (1 / λ₂² — 1 / λ₁²). Единицы измерения: 1 / м².
3. Перемножьте результаты:
   • ΔE = (2,40995 × 10^-37 Дж·м²) × (1 / λ₂² — 1 / λ₁²) (1 / м²).
   • Конечный результат будет в Джоулях (Дж).

Шаг 5: Контроль единиц измерения и интерпретация результата

• Проверка единиц: На каждом этапе расчета убедитесь, что единицы измерения согласуются. Это критически важно для получения правильного численного ответа.
• Результат в Джоулях (Дж): Полученное значение ΔE будет в Джоулях.
• Перевод в электронвольты (эВ): В атомной и квантовой физике часто удобнее выражать энергию в электронвольтах. Для перевода используйте соотношение:
  • 1 эВ = 1,602176634 × 10^-19 Дж.
  • ΔE (эВ) = ΔE (Дж) / (1,602176634 × 10^-19).
• Интерпретация знака:
  • Если ΔE > 0, это означает, что энергия электрона увеличилась. Это соответствует случаю, когда дебройлевская длина волны уменьшилась (λ₂ < λ₁), то есть электрон был ускорен.
  • Если ΔE < 0, это означает, что энергия электрона уменьшилась. Это соответствует случаю, когда дебройлевская длина волны увеличилась (λ₂ > λ₁), то есть электрон замедлился.

Следуя этой методологии, студент сможет не только получить правильный численный ответ, но и продемонстрировать глубокое понимание физических принципов, лежащих в основе задачи.

Заключение

Мы прошли путь от фундаментальных постулатов корпускулярно-волнового дуализма до конкретного алгоритма расчета изменения энергии электрона. Центральным звеном нашего анализа стало понятие дебройлевской длины волны, которая служит мостом между волновыми и корпускулярными свойствами микрочастиц. Мы подробно рассмотрели, как эта длина волны связана с импульсом и кинетической энергией электрона, как в нерелятивистском, так и в релятивистском приближениях, подчеркнув условия применимости каждого из них.

Ключевым достижением стало выведение формулы для изменения кинетической энергии электрона:
ΔE = (h2 / (2me)) × (1 / λ22 - 1 / λ12)

Эта формула является мощным аналитическим инструментом, позволяющим количественно оценить, сколько энергии необходимо затратить (или получить) для изменения волновых свойств электрона. Мы убедились, что более короткие длины волн соответствуют более высоким энергиям, что интуитивно понятно и согласуется с принципами квантовой механики.

Глубокое понимание этих принципов и способность применять их на практике — это не просто навык решения задач, а основа для дальнейшего изучения физики микромира, разработки новых технологий и осмысления фундаментальных законов природы. Важность точного использования физических констант, строгое соблюдение методологии и постоянный контроль единиц измерения не могут быть переоценены, поскольку именно они гарантируют достоверность и корректность научных изысканий.

Представленный материал служит не только руководством по решению конкретной задачи, но и методическим пособием, призванным углубить понимание студентами одной из самых захватывающих областей современной физики. В дальнейшем, можно будет рассмотреть задачи с релятивистскими поправками, а также исследовать связь дебройлевской длины волны с другими квантовыми явлениями, такими как дифракция электронов и туннельный эффект.

Список использованной литературы

1. Физика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов (включая сельскохозяйственные вузы) / А. А. Воробьев, В. П. Иванов, В. Г. Кондакова, А. Г. Чертов. М.: Высш. шк., 1987. 208 с.
2. Физические постоянные [Электронный ресурс] // Femto.com.ua. URL: http://femto.com.ua/articles/part_1/3592.html (дата обращения: 07.11.2025).
3. Физические константы и их значение: методические материалы на Инфоурок [Электронный ресурс] // Infourok.ru. URL: https://infourok.ru/fizicheskie-konstanti-i-ih-znachenie-7212450.html (дата обращения: 07.11.2025).
4. Справочник. Фундаментальные физические константы [Электронный ресурс] // Томский политехнический университет. URL: https://portal.tpu.ru/SHARED/s/SVS/study/Tablici_fiz_vel/Tabl_phys_vel.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
5. Важные физические константы [Электронный ресурс] // Freechemistry.ru. URL: https://www.freechemistry.ru/konst/ (дата обращения: 07.11.2025).
6. Фундаментальные константы и тонкая настройка Вселенной [Электронный ресурс] // Фестиваль науки. URL: https://festival.msu.ru/news/fundamentalnye-konstanty-i-tonkaya-nastroyka-vselennoy (дата обращения: 07.11.2025).
7. Волны де Бройля [Электронный ресурс] // Ядерная физика в интернете. URL: http://nuclphys.sinp.msu.ru/enc/e009.htm (дата обращения: 07.11.2025).
8. Понятие волн де Бройля. Уравнения де Бройля [Электронный ресурс] // Studfile.net. URL: https://studfile.net/preview/6659556/page:19/ (дата обращения: 07.11.2025).
9. Волны Де Бройля (1).pdf [Электронный ресурс] // Uchebnik.online. URL: https://uchebnik.online/doc/15-volny-de-brojlya-1-pdf (дата обращения: 07.11.2025).
10. Когда дебройлевская длина волны частицы равна комптоновской [Электронный ресурс] // YouTube. URL: https://www.youtube.com/watch?v=F_S6pE35TfA (дата обращения: 07.11.2025).
11. ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ [Электронный ресурс] // ОмГТУ. URL: https://www.omgtu.ru/upload/docs/umkd/2017/osnovy_kvantovoy_mekhaniki.pdf (дата обращения: 07.11.2025).
12. Задача № 3 [Электронный ресурс] // Sanish1.ru. URL: http://sanish1.ru/physics/zadachi-po-fizike/zadacha-3.html (дата обращения: 07.11.2025).
13. Задача № 2 [Электронный ресурс] // Sanish1.ru. URL: http://sanish1.ru/physics/zadachi-po-fizike/zadacha-2.html (дата обращения: 07.11.2025).
14. Длина волны де бройля увеличиться в 2 раза, если кинетическая энергия микрочастицы уменьшится в 4 раза объясните почему [Электронный ресурс] // Ответы Mail.ru. URL: https://otvet.mail.ru/question/101869811 (дата обращения: 07.11.2025).
15. Релятивистская частица [Электронный ресурс] // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A0%D0%B5%D0%BB%D1%8F%D1%82%D0%B8%D0%B2%D0%B8%D1%81%D1%81%D0%BA%D0%B0%D1%8F_%D1%87%D0%B0%D1%81%D1%82%D0%B8%D1%86%D0%B0 (дата обращения: 07.11.2025).
16. Волн де Бройля [Электронный ресурс] // Profspo.ru. URL: http://profspo.ru/lessons/fizika/fizika_11_klass/voln_de_brojlya.html (дата обращения: 07.11.2025).