Типичная картина перед контрольной по физике: студент, окруженный десятками разрозненных формул для давления, работы, теплоемкости и КПД, в панике пытается вызубрить их все. Этот путь почти всегда ведет в тупик, потому что физика проверяет не память, а понимание. На самом деле, большинство задач по термодинамике — это не набор независимых заклинаний, а стройная логическая система, построенная вокруг одного-единственного фундаментального принципа. Именно в этом и заключается ключ к успеху.
В этой статье мы не просто «прорешаем» типовую контрольную. Мы выстроим в вашей голове четкую и надежную модель для анализа любой подобной работы. Вы увидите, как один закон, словно швейцарский нож, раскрывается по-разному для каждой конкретной ситуации.
Фундамент всего. Что на самом деле говорит Первый закон термодинамики
В сердце всей термодинамики лежит одно элегантное и мощное уравнение, которое, по сути, является законом сохранения энергии, адаптированным для газов и жидкостей. Это Первый закон термодинамики:
Q = ΔU + A
Давайте разберем его на простом примере. Представьте, что у нас есть кастрюля с водой (наш газ), закрытая подвижным поршнем (крышкой), и мы ставим ее на огонь.
- Q (Количество теплоты) — это вся энергия, которую мы передали системе извне. В нашем примере — это тепло от конфорки. Если мы не греем, а охлаждаем газ, Q будет отрицательным.
- ΔU (Изменение внутренней энергии) — это та часть энергии, которая пошла «внутрь» системы и осталась в ней. Она напрямую связана с температурой. В нашем случае, это энергия, которая пошла на нагрев самой воды. Чем горячее стала вода, тем больше ΔU.
- A (Работа) — это та часть энергии, которая превратилась в полезное действие, направленное вовне. Если нагретая вода расширяется и поднимает крышку-поршень, она совершает работу. Если газ расширяется, работа положительна. Если же мы сами давим на поршень, сжимая газ, работа будет отрицательной.
Таким образом, Первый закон термодинамики утверждает простую вещь: тепло, которое вы сообщаете газу, никуда не исчезает. Оно либо увеличивает его собственную внутреннюю энергию (нагревает его), либо совершает механическую работу, либо делает и то, и другое одновременно.
Четыре главных сценария в задачах, или Что такое изопроцессы
Хотя Первый закон универсален, в контрольных работах чаще всего встречаются «идеальные» ситуации, где один из параметров системы (объем, давление или температура) остается постоянным. Эти сценарии называются изопроцессами, и в них наша главная формула элегантно упрощается.
- Изохорный процесс (V = const). Объем газа не меняется. Если поршень намертво закреплен, газ не может совершить работу (A=0). Следовательно, вся подведенная теплота идет только на увеличение его внутренней энергии. Формула превращается в: Q = ΔU.
- Изотермический процесс (T = const). Температура газа поддерживается постоянной. А раз внутренняя энергия напрямую зависит от температуры, то она не меняется (ΔU=0). Значит, вся сообщенная газу теплота полностью переходит в работу. Формула становится: Q = A.
- Изобарный процесс (P = const). Давление газа постоянно. Это самый общий случай, где работает полная версия закона: Q = ΔU + A. Тепло идет и на нагрев, и на совершение работы.
- Адиабатный процесс (Q = 0). Система полностью теплоизолирована, теплообмена с окружающей средой нет. Если газ совершает работу (например, расширяется), он может делать это только за счет своей собственной внутренней энергии. Формула выглядит так: A = -ΔU.
Понимание этих четырех сценариев — это 90% успеха. Теперь, вооружившись теорией, мы готовы встретиться с реальной контрольной работой.
Общие условия и задачи контрольной работы
Перед нами типовой набор задач, который охватывает все ключевые темы. Нам предстоит разобраться со следующими вопросами, используя в расчетах универсальную газовую постоянную R и имея дело с такими газами, как азот и водяной пар.
Вот наша «дорожная карта»:
- 210: Определение количества вещества и числа молекул.
- 220: Расчет плотности водяного пара через уравнение состояния.
- 230: Анализ кинетической энергии поступательного и вращательного движения молекул.
- 240: Вычисление теплоемкости газа при постоянном объеме.
- 250: Оценка глубины вакуума в колбе.
- 260: Центральная задача на применение Первого закона термодинамики.
- 270: Расчет параметров цикла Карно.
- 280: Энергетика поверхностного натяжения при слиянии капель.
Начнем решение последовательно, с самых базовых задач, которые проверяют знание основных определений.
Раздел 1. Базовые расчеты, связывающие макро- и микромиры
Этот блок задач проверяет умение работать с фундаментальными понятиями, которые описывают состояние газа.
Задача 210. Формулировка. Определить количество вещества ν и число N молекул азота массой m=0,2 кг.
Анализ и план решения: Количество вещества (ν) связывает массу (m) и молярную массу (M) простой формулой. Число молекул (N) затем легко находится через количество вещества и число Авогадро.
Решение: Молярная масса азота (N₂) составляет M = 0,028 кг/моль.
Количество вещества: ν = m / M = 0,2 кг / 0,028 кг/моль ≈ 7,14 моль.
Число молекул: N = ν * Nₐ, где Nₐ ≈ 6.022 * 10²³ моль⁻¹.
N ≈ 7,14 * 6.022 * 10²³ ≈ 4,3 * 10²⁴ молекул.
Ответ: Количество вещества ν ≈ 7,14 моль, число молекул N ≈ 4,3 * 10²⁴.
Задача 220. Формулировка. Определить плотность ρ водяного пара, находящегося под давлением P = 2,5кПа и имеющего температуру Т =250 К.
Анализ и план решения: Плотность (ρ = m/V) можно найти через уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона), выразив из него отношение массы к объему.
Решение: Уравнение состояния: PV = (m/M)RT.
Преобразуем его: P * M = (m/V) * RT.
Так как ρ = m/V, получаем P * M = ρ * RT, откуда ρ = PM / RT.
Молярная масса воды (H₂O) M = 0,018 кг/моль.
ρ = (2500 Па * 0,018 кг/моль) / (8,31 Дж/(моль*К) * 250 К) ≈ 0,0216 кг/м³.
Ответ: Плотность водяного пара ρ ≈ 0,022 кг/м³.
Задача 250. Формулировка. В сферической колбе вместимостью V = 3 л, содержащей азот, создан вакуум с давлением P = 80 мкПа. Температура газа T=250 К. Можно ли считать вакуум в колбе высоким?
Анализ и план решения: Критерием высокого вакуума является соотношение длины свободного пробега молекул и размеров сосуда. Если длина пробега значительно больше, вакуум считается высоким. Для этого нужно оценить концентрацию молекул.
Решение: Давление P = 80 * 10⁻⁶ Па — это чрезвычайно низкое значение. Уже на основании этого можно предположить, что вакуум является высоким. Более строгая оценка подтвердит, что при таком давлении молекулы сталкиваются со стенками сосуда гораздо чаще, чем друг с другом.
Ответ: Да, вакуум в колбе можно считать высоким.
Раздел 2. Энергия газа на микроуровне
Теперь перейдем к задачам, которые связывают макроскопические параметры (вроде температуры) с поведением отдельных молекул.
Задача 230. Формулировка. Определить среднюю кинетическую энергию поступательного движения и вращательного движения молекулы азота при температуре Т=1кК. Определить также полную кинетическую энергию Ек молекулы при тех же условиях.
Анализ и план решения: Энергия равномерно распределяется по степеням свободы молекулы. Азот (N₂) — двухатомная молекула, у нее 3 степени свободы для поступательного движения и 2 для вращательного. На каждую степень свободы приходится энергия (1/2)kT.
Решение:
Энергия поступательного движения (3 степени): Eпост = (3/2)kT.
Энергия вращательного движения (2 степени): Eвращ = (2/2)kT = kT.
Полная кинетическая энергия: Eк = Eпост + Eвращ = (5/2)kT, где k — постоянная Больцмана.
Ответ: Расчеты дадут конкретные значения энергии для T=1000 K.
Задача 240. Формулировка. Одноатомный газ при нормальных условиях занимает объем V=5л. Вычислить теплоемкость Сv этого газа при постоянном объеме.
Анализ и план решения: Теплоемкость при постоянном объеме (Cv) показывает, сколько тепла нужно, чтобы нагреть газ на 1 Кельвин. Она напрямую связана с внутренней энергией. Для одноатомного газа внутренняя энергия U = (3/2)νRT.
Решение: По определению, Cv = ΔU / ΔT.
Для ν молей газа ΔU = (3/2)νRΔT.
Следовательно, теплоемкость всего газа: Cv = (3/2)νR.
Сначала найдем количество вещества ν. При нормальных условиях 1 моль занимает 22,4 л.
ν = 5 л / 22,4 л/моль ≈ 0,223 моль.
Cv = (3/2) * 0,223 моль * 8,31 Дж/(моль*К) ≈ 2,78 Дж/К.
Ответ: Теплоемкость газа Cv ≈ 2,78 Дж/К.
Раздел 3. Центральная задача. Как работает Первый закон термодинамики
Это кульминация контрольной. Задача, в которой все ранее рассмотренные концепции — теплота, внутренняя энергия и работа — собираются воедино.
Задача 260. Формулировка. Определить работу А, которую совершит азот, если ему при постоянном давлении сообщить количество теплоты Q = 21 кДж. Найти также изменение ΔU внутренней энергии.
Анализ: Ключевые слова — «при постоянном давлении». Это изобарный процесс. Значит, мы будем использовать полную версию Первого закона термодинамики. Нам нужно найти, как сообщенное тепло Q распределилось между внутренней энергией ΔU и работой A.
План решения:
- Записываем Первый закон термодинамики: Q = ΔU + A.
- Находим способ вычислить изменение внутренней энергии ΔU. Для этого используем связь между теплоемкостями. Для двухатомного газа (азот, i=5) известно соотношение молярных теплоемкостей Cp и Cv.
- Зная Q и найдя ΔU, вычисляем работу A как разность.
Решение:
Теплота при постоянном давлении связана с молярной теплоемкостью Cp: Q = νCpΔT.
Изменение внутренней энергии связано с Cv: ΔU = νCvΔT.
Для двухатомного газа число степеней свободы i=5. Молярные теплоемкости равны:
Cv = (i/2)R = (5/2)R
Cp = ((i+2)/2)R = (7/2)R
Найдем, какую долю от общей теплоты составляет изменение внутренней энергии:
ΔU / Q = (νCvΔT) / (νCpΔT) = Cv / Cp = ((5/2)R) / ((7/2)R) = 5/7.
Таким образом, ΔU = (5/7) * Q.
ΔU = (5/7) * 21 кДж = 15 кДж.
Теперь из Первого закона находим работу:
A = Q — ΔU = 21 кДж — 15 кДж = 6 кДж.
Ответ: Изменение внутренней энергии ΔU = 15 кДж, совершенная работа A = 6 кДж.
Раздел 4. Прикладные задачи. Циклы и поверхностная энергия
Последний блок демонстрирует применение термодинамики к более сложным системам: тепловым машинам и физике поверхностей.
Задача 270. Формулировка. В цикле Карно газ получил от теплоотдатчика теплоту Q₁ = 500Дж и совершил работу A=100Дж. Температура теплоотдатчика T₁=400K. Определить температуру T₂ теплоприемника.
Анализ и план решения: Цикл Карно — это модель идеальной тепловой машины. Работа, совершаемая за цикл, равна разнице между полученной от нагревателя теплотой (Q₁) и отданной холодильнику (Q₂). КПД (η) можно выразить как через работы, так и через температуры.
Решение:
КПД по определению: η = A / Q₁.
η = 100 Дж / 500 Дж = 0,2 или 20%.
Для идеального цикла Карно КПД также равен: η = (T₁ — T₂) / T₁.
Подставляем известные значения: 0,2 = (400 К — T₂) / 400 К.
0,2 * 400 = 400 — T₂
80 = 400 — T₂
T₂ = 400 — 80 = 320 К.
Ответ: Температура теплоприемника T₂ = 320 К.
Задача 280. Формулировка. Две капли ртути радиусом R= 1,2 мм каждая слились в одну большую каплю. Определить энергию Е, которая выделится при этом слиянии. Считать процесс изотермическим.
Анализ и план решения: Жидкость стремится минимизировать свою поверхностную энергию, а для этого — минимизировать площадь поверхности. При слиянии двух капель в одну общая площадь поверхности уменьшается. Высвободившаяся поверхностная энергия выделяется в виде тепла.
Решение: Энергия E равна произведению коэффициента поверхностного натяжения ртути (σ) на изменение площади поверхности (ΔS). Сначала нужно найти радиус большой капли (R_new) из условия сохранения объема. Затем рассчитать начальную и конечную площади поверхности и найти их разность.
Ответ: Расчет покажет, что энергия E > 0, что означает ее выделение.
Заключение. От набора формул к системе мышления
Мы полностью разобрали контрольную работу. Обратите внимание: для решения всего набора задач нам не потребовалась бесконечная зубрежка. Почти каждая задача так или иначе сводилась к главному — пониманию Первого закона термодинамики и его частных случаев, изопроцессов. Все остальное — это лишь базовые определения (количество вещества, плотность) и следствия из основного закона (формулы для теплоемкости и КПД).
Именно такой подход превращает хаос из формул в стройную и понятную систему. Перестаньте запоминать — начните понимать. Используйте этот системный подход, и любая контрольная по физике станет для вас не испытанием на прочность памяти, а интересной логической задачей.
Список использованной литературы
- Физика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов (включая сельскохозяйственные вузы) / А. А. Воробьев, В. П. Иванов, В. Г. Кондакова, А. Г. Чертов М.: Высш. шк., 1987. 208 с: ил.