Решение задачи по тепловому излучению: Применение закона Кирхгофа для определения поглощательной способности тела

В физике теплового излучения одной из фундаментальных задач является определение характеристик взаимодействия вещества с электромагнитным полем. В данном исследовании мы сосредоточимся на задаче определения поглощательной способности тела на заданной длине волны и температуре, исходя из известных данных об его испускательной способности. Центральным инструментом для решения этой проблемы выступает закон Кирхгофа, устанавливающий универсальную связь между этими двумя фундаментальными свойствами любого излучающего объекта и характеристиками так называемого абсолютно черного тела.

Настоящая работа представляет собой академическое решение физической задачи, структурированное таким образом, чтобы обеспечить полное понимание теоретических основ, методологии расчетов и практического применения ключевых физических законов. Это особенно актуально для студентов технических и физических специальностей, сталкивающихся с подобными задачами в рамках контрольных работ и курсовых проектов, поскольку требует не только знание формул, но и глубокое понимание физических процессов. Мы подробно рассмотрим каждый этап: от определения базовых понятий до пошагового выполнения расчетов, уделяя особое внимание точности и корректности единиц измерения. Именно это комплексное осмысление позволяет перейти от простого подставления чисел в формулы к истинному пониманию физики явления.

Тепловое излучение: Основные понятия и характеристики

Мир вокруг нас непрерывно обменивается энергией посредством излучения, и одним из наиболее универсальных механизмов этого обмена является тепловое излучение. Понимание его природы и количественных характеристик критически важно для множества областей — от астрофизики до инженерных расчетов.

Что такое тепловое излучение?

Тепловое излучение представляет собой процесс испускания электромагнитных волн веществом за счет его внутренней энергии. Это излучение является результатом теплового движения атомов и молекул, которые, находясь в постоянном хаотичном движении, постоянно сталкиваются и взаимодействуют, вызывая изменения в распределении зарядов и, как следствие, излучение фотонов. Уникальной особенностью теплового излучения является его универсальность: оно происходит при любой температуре, отличной от абсолютного нуля. Однако спектральный состав этого излучения сильно зависит от температуры объекта.

Например, при невысоких температурах (как у человека или обычных предметов окружающей среды) излучаются преимущественно длинные электромагнитные волны, лежащие в инфракрасном (ИК) диапазоне. Человеческий глаз не воспринимает этот диапазон, но мы ощущаем его как тепло. Интересно, что для тела человека со средней температурой 310 К (37 °C) максимум интенсивности теплового излучения приходится на длину волны около 9,7 мкм. Инфракрасное излучение, в свою очередь, охватывает широкий спектральный диапазон — от 0,74 мкм (граничащего с красным концом видимого света) до 1000 мкм (или 1 мм), и его можно условно разделить на ближний (0,75–1,5 мкм), средний (1,5–5,6 мкм) и дальний (5,6–100 мкм) диапазоны.

Энергетическая светимость и испускательная способность

Для количественного описания теплового излучения вводятся специфические физические величины:

• Энергетическая светимость R(T) (или интегральная излучательная способность) – это общая энергия, которую излучает единицей поверхности тела за единицу времени. Иными словами, это мощность излучения, приходящаяся на единицу площади поверхности. В Международной системе единиц (СИ) энергетическая светимость измеряется в Вт/м².
• Испускательная способность r(λ,T) (или спектральная плотность энергетической светимости) – это более детализированная характеристика. Она определяет энергию, испускаемую 1 м² поверхности светящегося тела за 1 с, но уже в узком, единичном интервале длин волн от λ до (λ + dλ). Таким образом, она описывает, как энергия распределена по спектру излучения. В СИ испускательная способность измеряется в Вт/м³, что означает энергию, излучаемую с единицы площади в единичном интервале длин волн. На практике часто используют более интуитивно понятные единицы, такие как Вт/(м²·нм).

Поглощательная способность тела

Наряду с испускательной способностью, крайне важной характеристикой является поглощательная способность:

• Поглощательная способность a(λ,T) – это безразмерная величина, которая характеризует способность тела поглощать падающее на него электромагнитное излучение. Она определяется как отношение энергии в интервале длин волн от λ до (λ + dλ), поглощаемой телом, к полной энергии в том же интервале длин волн, падающей на поверхность тела. По своей природе, поглощательная способность не может превышать единицу: 0 ≤ a(λ,T) ≤ 1. Значение, равное единице, означает полное поглощение, а ноль — полное отражение или пропускание.

Поглощательная способность не является универсальной константой для каждого материала. Она зависит от множества факторов: от длины волны (или частоты) падающего излучения, от температуры самого тела, а также от химического состава и состояния его поверхности (например, шероховатость, наличие оксидной пленки). Тело, у которого поглощательная способность a(λ,T) < 1 и при этом одинакова по всему диапазону частот, называется серым телом. Это удобная идеализация, позволяющая упростить многие расчеты, не прибегая к сложности абсолютно черного тела.

Закон Кирхгофа для теплового излучения: Теоретические основы

В 1859 году немецкий физик Густав Кирхгоф сформулировал один из краеугольных законов теории теплового излучения, который связал способность тел излучать и поглощать энергию. Этот закон стал важным шагом к пониманию природы теплового излучения и заложил основу для последующих открытий в квантовой физике.

Формулировка и физический смысл закона Кирхгофа

Закон Кирхгофа устанавливает глубокую и универсальную связь между испускательной и поглощательной способностями тел, находящихся в состоянии теплового равновесия. Его ключевая идея заключается в том, что при термодинамическом равновесии (когда температура тела и окружающей среды постоянна и равномерна) отношение испускательной способности тела к его поглощательной способности одинаково для всех тел и зависит исключительно от температуры и длины волны излучения.

Физический смысл этого закона можно интерпретировать так: если тело хорошо поглощает энергию определенной длины волны при данной температуре, то оно и хорошо излучает энергию на этой же длине волны при той же температуре. И наоборот, если тело плохо поглощает, то оно и слабо излучает. Это следствие принципа детального равновесия, который гласит, что в состоянии термодинамического равновесия каждый элементарный процесс должен быть уравновешен обратным процессом. Таким образом, любое отклонение от этого соотношения привело бы к нарушению равновесия, что противоречит второму началу термодинамики. Это означает, что тело, которое при данной температуре сильнее поглощает, должно интенсивнее излучать.

Математическое выражение закона Кирхгофа

Математически закон Кирхгофа выражается следующей фундаментальной формулой:

r(λ, T) / a(λ, T) = r₀(λ, T)

Где:

• r(λ, T) — это спектральная плотность энергетической светимости (испускательная способность) конкретного тела при температуре T и длине волны λ.
• a(λ, T) — поглощательная способность этого же тела при той же температуре T и длине волны λ.
• r₀(λ, T) — это так называемая универсальная функция Кирхгофа, которая представляет собой спектральную плотность энергетической светимости абсолютно черного тела при температуре T и длине волны λ. Это ключевой элемент закона, поскольку он связывает характеристики любого реального тела с характеристиками идеального излучателя.

Важно отметить, что закон Кирхгофа справедлив как для полного (интегрального) излучения по всему спектру, так и для монохроматического (спектрального) излучения, то есть для излучения на конкретной длине волны. Эта универсальность делает его мощным инструментом для анализа широкого круга физических задач, связанных с тепловым излучением.

Абсолютно черное тело: Идеальная модель для сравнения

Понятие абсолютно черного тела (АЧТ) является краеугольным камнем в теории теплового излучения. Хотя в природе таких объектов не существует, эта идеализированная модель играет центральную роль, предоставляя эталон для сравнения и фундаментальную основу для понимания законов излучения.

Определение и свойства абсолютно черного тела

Абсолютно черное тело (АЧТ) — это идеализированный физический объект, который характеризуется полным поглощением всего падающего на него электромагнитного излучения любой частоты и при любой температуре. Это означает, что для абсолютно черного тела поглощательная способность a(λ,T) всегда равна единице (a(λ,T) = 1) для всех длин волн. В контексте закона Кирхгофа, АЧТ является идеальным эталоном: его излучательная способность r₀(λ,T) — это та самая универсальная функция Кирхгофа, к которой стремится отношение r(λ,T) / a(λ,T) для любого другого тела.

Хотя в природе нет совершенных АЧТ, хорошей физической моделью такого тела служит замкнутая полость с отражающими внутренними стенками и очень маленьким отверстием. Любое излучение, попадающее в это отверстие, многократно отражается от внутренних стенок, прежде чем выйти обратно, и в итоге практически полностью поглощается. Таким образом, отверстие ведет себя как абсолютно черное тело.

Ключевые свойства АЧТ:

• Максимальная излучательная способность: АЧТ обладает максимально возможной испускательной способностью среди всех тел при данной температуре. Это означает, что ни одно реальное тело не может излучать больше энергии, чем АЧТ той же температуры.
• Спектр излучения зависит только от температуры: Спектр излучения абсолютно черного тела непрерывен и определяется исключительно его абсолютной температурой. Это означает, что если мы знаем температуру АЧТ, мы можем точно предсказать, как энергия распределена по длинам волн в его излучении, независимо от материала, из которого оно «сделано».

Законы излучения абсолютно черного тела

Поведение абсолютно черного тела описывается несколькими фундаментальными законами:

1. Закон Планка: Этот закон является наиболее полным и точным описанием спектральной плотности излучения абсолютно черного тела. Он был выведен Максом Планком в 1900 году и стал одним из основополагающих камней квантовой механики, постулируя квантование энергии. Формула Планка для спектральной плотности излучения абсолютно черного тела в зависимости от длины волны λ имеет вид:
   ελ(λ, T) = (2πhc²/λ⁵) · (1 / (ehc/(λkT) - 1))
   Где:
   • ε_λ(λ, T) — спектральная плотность энергетической светимости АЧТ.
   • h — постоянная Планка.
   • c — скорость света в вакууме.
   • k — постоянная Больцмана.
   • T — абсолютная температура.
   • λ — длина волны.
2. Закон Стефана-Больцмана: Этот закон описывает полную энергию, излучаемую абсолютно черным телом. Он утверждает, что полная испускательная способность (энергетическая светимость) R абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени его абсолютной температуры T:
   R = σT⁴
   Где σ — постоянная Стефана-Больцмана. Этот закон был эмпирически открыт Йозефом Стефаном в 1879 году и теоретически выведен Людвигом Больцманом на основе термодинамики.
3. Закон смещения Вина: Закон смещения Вина устанавливает связь между температурой абсолютно черного тела и длиной волны, на которой достигается максимум его излучения. Он гласит, что длина волны λ_max, на которую приходится максимум испускательной способности абсолютно черного тела, обратно пропорциональна его абсолютной температуре T:
   λmax = b/T
   Где b — постоянная Вина. Этот закон объясняет, почему нагретые тела сначала светятся красным (большие λ), а при дальнейшем повышении температуры спектр смещается в сторону синего и ультрафиолетового (меньшие λ), и тело приобретает белый или голубоватый оттенок.

Эти законы предоставляют полную картину поведения абсолютно черного тела и являются незаменимыми инструментами для анализа теплового излучения как в теоретической, так и в прикладной физике.

Зависимость излучательной и поглощательной способностей от параметров

Понимание того, как излучательная и поглощательная способности тела зависят от внешних и внутренних параметров, является ключом к объяснению широкого спектра явлений, от свечения раскаленных металлов до принципов работы тепловизоров. Эти зависимости формируют основу для инженерных расчетов в теплотехнике и оптике.

Главным параметром, определяющим характеристики теплового излучения, является температура тела. С повышением температуры происходят два ключевых изменения в излучении:

1. Увеличение общей энергии излучения: Общая энергия, испускаемая телом за единицу времени с единицы поверхности (энергетическая светимость R(T)), значительно возрастает. Это прямое следствие закона Стефана-Больцмана для абсолютно черного тела, который показывает, что R пропорционально Т⁴. Для реальных тел эта зависимость также сильна, хотя и может быть не строго степенной.
2. Смещение максимума в спектре излучения: Положение максимума в спектре излучения смещается в область меньших длин волн (или, что то же самое, в область более высоких частот). Этот феномен описывается законом смещения Вина. Например, при относительно низких температурах (сотни Кельвинов) максимум излучения приходится на инфракрасный диапазон. По мере нагревания объекта он начинает светиться тусклым красным светом, затем оранжевым, желтым, и при очень высоких температурах становится белым или даже голубоватым. Это обусловлено тем, что максимум интенсивности излучения переходит из ИК-диапазона в видимый, а затем и в ультрафиолетовый.

Помимо температуры, длина волны (или частота) также играет решающую роль. Поглощательная способность a(λ,T) тела зависит не только от температуры, но и от длины волны падающего излучения. Это означает, что материал может хорошо поглощать излучение одной длины волны и при этом быть почти прозрачным или полностью отражающим для другой. Такое свойство называется селективностью поглощения.

Для реальных (нечерных) тел эта селективность приводит к тому, что вид функции испускательной способности r(λ,T) может значительно отличаться от универсальной функции r₀(λ,T) абсолютно черного тела. Поскольку a(λ,T) для реальных тел часто зависит от частоты, их излучение также будет селективным, то есть они будут излучать энергию неравномерно по спектру. Например, поверхность, которая выглядит белой при дневном свете, может сильно поглощать в инфракрасном диапазоне и, следовательно, активно излучать тепло. И наоборот, темная поверхность, хорошо поглощающая видимый свет, может плохо излучать в других диапазонах. Эта сложная взаимосвязь является фундаментальной для понимания теплообмена и оптических свойств материалов. Можем ли мы действительно утверждать, что в каждом случае это так, или существуют исключения, которые следует учитывать при прикладных расчетах?

Физические константы, необходимые для расчета

Для выполнения точных физических расчетов в области теплового излучения необходимо использовать ряд фундаментальных физических констант. Их точные значения, установленные международными стандартами, обеспечивают воспроизводимость и надежность результатов. Ниже представлен перечень этих констант с их стандартными значениями в системе СИ:

• Постоянная Планка (h): Эта фундаментальная константа квантовой механики связывает энергию фотона с его частотой.
  h ≈ 6,626 · 10^-34 Дж·с.
• Скорость света в вакууме (c): Фундаментальная физическая константа, определяющая скорость распространения электромагнитных волн в вакууме.
  c ≈ 3 · 10⁸ м/с.
• Постоянная Больцмана (k): Связывает температуру с энергией в статистической механике.
  k ≈ 1,38 · 10^-23 Дж/К.
• Постоянная Стефана-Больцмана (σ): Коэффициент пропорциональности в законе Стефана-Больцмана, связывающий полную излучательную способность абсолютно черного тела с его температурой.
  σ ≈ 5,670367 · 10^-8 Вт/(м²·К⁴).
• Постоянная Вина (b): Коэффициент пропорциональности в законе смещения Вина, связывающий температуру абсолютно черного тела с длиной волны максимума его излучения.
  b ≈ 2,898 · 10^-3 м·К.

Эти константы будут непосредственно применяться в расчетах, представленных в следующем разделе, для обеспечения академической строгости и точности решения задачи.

Решение физической задачи: Определение поглощательной способности тела

Приступим к практическому применению теоретических знаний. Наша цель — определить поглощательную способность конкретного тела, используя данные о его испускательной способности и фундаментальные законы теплового излучения.

Условие задачи

Предположим, дано следующее условие:

Известна испускательная способность r(λ, T₁) некоторого тела при температуре T₁ = 1500 К и длине волны λ = 500 нм, которая составляет r(λ, T₁) = 1,2 · 10¹⁰ Вт/(м²·нм). Необходимо определить его поглощательную способность a(λ, T₁) на этой же длине волны и при той же температуре.

Анализ условия и выбор необходимых законов

Для решения данной задачи ключевым инструментом является закон Кирхгофа для теплового излучения, который в его спектральной форме выражается как:

a(λ, T) = r(λ, T) / r₀(λ, T)

Из этой формулы следует, что для определения поглощательной способности a(λ, T₁) нам необходимо знать две величины:

1. Испускательную способность данного тела r(λ, T₁) — она уже дана в условии задачи.
2. Спектральную плотность энергетической светимости абсолютно черного тела r₀(λ, T₁) при той же температуре T₁ и длине волны λ. Эта величина является универсальной функцией Кирхгофа и может быть рассчитана с помощью формулы Планка.

Таким образом, план решения задачи состоит в следующем:

1. Перевести все исходные данные в единицы СИ.
2. Рассчитать r₀(λ, T₁) по формуле Планка.
3. Использовать закон Кирхгофа для нахождения a(λ, T₁).

Пошаговый расчет

Представим расчет в виде последовательных шагов.

Шаг 1: Перевод исходных данных в единицы СИ

• Температура T₁ = 1500 К.
• Длина волны λ = 500 нм = 500 · 10^-9 м = 5 · 10^-7 м.
• Испускательная способность тела r(λ, T₁) = 1,2 · 10¹⁰ Вт/(м²·нм).
  Для корректного использования в формуле Планка, которая оперирует с Вт/м³, переведем r(λ, T₁) в эти единицы:
  r(λ, T₁) = 1,2 · 10¹⁰ Вт/(м²·нм) = 1,2 · 10¹⁰ Вт/(м² · 10^-9 м) = 1,2 · 10¹⁹ Вт/м³.

Используемые физические константы:

• Постоянная Планка (h) ≈ 6,626 · 10^-34 Дж·с.
• Скорость света в вакууме (c) ≈ 3 · 10⁸ м/с.
• Постоянная Больцмана (k) ≈ 1,38 · 10^-23 Дж/К.

Шаг 2: Расчет спектральной плотности энергетической светимости абсолютно черного тела r₀(λ, T₁)

Используем формулу Планка для спектральной плотности излучения абсолютно черного тела:

r₀(λ, T) = (2πhc²/λ⁵) · (1 / (ehc/(λkT) - 1))

Подставим значения:

1. Вычислим произведение hc/(λkT):
   hc = 6,626 · 10-34 Дж·с · 3 · 108 м/с = 1,9878 · 10-25 Дж·м.
λkT = 5 · 10-7 м · 1,38 · 10-23 Дж/К · 1500 К = 1,035 · 10-26 Дж·м.
hc/(λkT) = (1,9878 · 10-25 Дж·м) / (1,035 · 10-26 Дж·м) ≈ 19,2058.
   Контроль размерностей: Дж·м / (Дж·м) = 1. Безразмерная величина, что корректно для показателя экспоненты.
2. Вычислим e^hc/(λkT) — 1:
   e19,2058 - 1 ≈ 2,197 · 108 - 1 ≈ 2,197 · 108.
3. Вычислим (2πhc²/λ⁵):
   2πhc² = 2π · 6,626 · 10-34 Дж·с · (3 · 108 м/с)²
= 2π · 6,626 · 10-34 · 9 · 1016 Дж·м²/с
= 3,7418 · 10-16 Дж·м²/с.
λ⁵ = (5 · 10-7 м)⁵ = 3125 · 10-35 м⁵ = 3,125 · 10-32 м⁵.
(2πhc²/λ⁵) = (3,7418 · 10-16 Дж·м²/с) / (3,125 · 10-32 м⁵)
= 1,1974 · 1016 Дж/(с·м³) = 1,1974 · 1016 Вт/м³.
   Контроль размерностей: Дж·м²/с / м⁵ = Дж/(с·м³) = Вт/м³. Это корректная размерность для спектральной плотности энергетической светимости.
4. Теперь соберем все вместе для r₀(λ, T₁):
   r₀(λ, T₁) = (1,1974 · 1016 Вт/м³) · (1 / (2,197 · 108))
r₀(λ, T₁) ≈ 5,4502 · 107 Вт/м³.

Шаг 3: Применение закона Кирхгофа для определения поглощательной способности

Теперь, когда у нас есть r(λ, T₁) и r₀(λ, T₁), мы можем найти a(λ, T₁):

a(λ, T₁) = r(λ, T₁) / r₀(λ, T₁)

a(λ, T₁) = (1,2 · 1019 Вт/м³) / (5,4502 · 107 Вт/м³)
a(λ, T₁) ≈ 2,2017 · 1011

Внимание: При внимательном контроле размерностей, мы видим, что r(λ, T₁) было изначально дано в Вт/(м²·нм), и мы перевели его в Вт/м³. Однако, стоит перепроверить, соответствует ли формат r(λ, T₁) и r₀(λ, T₁) друг другу. Если r(λ, T₁) дано как спектральная плотность в единичном интервале длин волн, то оно должно быть в Вт/м³. Изначальное значение r(λ, T₁) = 1,2 · 10¹⁰ Вт/(м²·нм) означает мощность, излучаемую с м² поверхности в интервале 1 нм. Тогда для сопоставления с r₀(λ, T₁) в Вт/м³ (т.е. на 1 м длины волны), необходимо умножить на 10⁹ (количество нм в метре).

Пересчитаем r₀(λ, T₁) в Вт/(м²·нм):
r₀(λ, T₁) = 5,4502 · 107 Вт/м³
r₀(λ, T₁) = 5,4502 · 107 Вт/(м²·м) = 5,4502 · 107 Вт/(м² · 10⁹ нм)
r₀(λ, T₁) = 5,4502 · 10-2 Вт/(м²·нм).

Теперь применим закон Кирхгофа с согласованными единицами:
a(λ, T₁) = r(λ, T₁) / r₀(λ, T₁)
a(λ, T₁) = (1,2 · 1010 Вт/(м²·нм)) / (5,4502 · 10-2 Вт/(м²·нм))
a(λ, T₁) ≈ 2,2017 · 1011.

Вывод: Исходное значение r(λ, T₁) = 1,2 · 10¹⁰ Вт/(м²·нм) для реального тела при T=1500 К и λ=500 нм, по всей видимости, является ошибочным или нереалистичным для данной задачи, так как даже для абсолютно черного тела r₀(λ, T₁) значительно меньше (5,4502 · 10^-2 Вт/(м²·нм)). Если испускательная способность реального тела намного превосходит испускательную способность абсолютно черного тела, то это противоречит самой природе теплового излучения (АЧТ — максимальный излучатель).

Предположим, что в условии задачи произошло недопонимание, и значение r(λ, T₁) на самом деле должно быть меньше, чем r₀(λ, T₁). Либо, что более вероятно для контрольной работы, в условии задачи подразумевалось, что r(λ, T₁) = 1,2 · 10¹⁰ Вт/(м²·нм) является испускательной способностью абсолютно черного тела при другой температуре или длине волны, но для данной задачи оно дано как испускательная способность данного тела.

Коррекция гипотезы: Возможно, значение r(λ, T₁) в условии задачи дано в других единицах, или его числовое значение не соответствует реальности. Однако, мы должны следовать условию. Физический смысл поглощательной способности a(λ, T) ≤ 1. Следовательно, r(λ, T) ≤ r₀(λ, T).
Если r(λ, T₁) = 1,2 · 10¹⁰ Вт/(м²·нм) = 1,2 · 10¹⁰ Вт/(м²·(10^-9 м)) = 1,2 · 10¹⁹ Вт/м³.
И r₀(λ, T₁) = 5,4502 · 10⁷ Вт/м³.
Тогда получается r(λ, T₁) >> r₀(λ, T₁), что невозможно.

Предположим, что исходное значение r(λ, T₁) в задаче было опечаткой, и должно было быть, например, r(λ, T₁) = 1,2 · 10^-2 Вт/(м²·нм).
В этом случае:
r(λ, T₁) = 1,2 · 10-2 Вт/(м²·нм)
r₀(λ, T₁) ≈ 5,4502 · 10-2 Вт/(м²·нм) (используем уже пересчитанное значение АЧТ в этих единицах)

Тогда:
a(λ, T₁) = (1,2 · 10-2 Вт/(м²·нм)) / (5,4502 · 10-2 Вт/(м²·нм))
a(λ, T₁) ≈ 0,22017

Это значение является физически корректным (0 ≤ a(λ, T) ≤ 1).
Для целей решения задачи, мы будем следовать условию, но укажем на этот нюанс. Если задача подразумевает реальное тело, то его испускательная способность не может быть выше, чем у абсолютно черного тела при той же температуре и длине волны. Если же мы строго следуем числовым значениям, поглощательная способность окажется больше 1, что противоречит физике.

В рамках академической задачи, где важен метод решения, а не реалистичность входных данных:

a(λ, T₁) = r(λ, T₁) / r₀(λ, T₁)

где r(λ, T₁) = 1,2 · 1019 Вт/м³
и r₀(λ, T₁) = 5,4502 · 107 Вт/м³

a(λ, T₁) = (1,2 · 1019 Вт/м³) / (5,4502 · 107 Вт/м³) ≈ 2,2017 · 1011

Шаг 4: Детальный контроль размерностей

Как показано выше, все промежуточные расчеты с константами и переменными дали корректные размерности. Отношение двух величин с одинаковыми размерностями Вт/м³ (или Вт/(м²·нм)) в итоге дает безразмерную величину, что ожидается для поглощательной способности.

Окончательный ответ

Следуя строго заданным в условии задачи числовым значениям, поглощательная способность тела составляет:

a(λ, T₁) ≈ 2,2017 · 1011

Важное замечание: Полученное значение поглощательной способности значительно превышает единицу, что физически невозможно для реального тела (a(λ, T) всегда должно быть в диапазоне от 0 до 1). Это указывает на то, что исходные данные в условии задачи (величина r(λ, T₁)) могут быть нереалистичными или некорректно интерпретированными в контексте физических законов. В условиях реальной физической задачи или эксперимента, такое расхождение сигнализировало бы о необходимости перепроверки исходных измерений или условий. Однако, при строгом следовании методике решения, основанной на законе Кирхгофа и формуле Планка, математический результат является таковым.

Заключение

В рамках данной работы мы детально рассмотрели процесс определения поглощательной способности тела на заданной длине волны и температуре, используя фундаментальный закон Кирхгофа для теплового излучения. Путем последовательного анализа основных понятий, таких как энергетическая светимость, испускательная и поглощательная способности, а также свойств абсолютно черного тела, мы заложили теоретическую основу для решения задачи. Были подробно изложены формулировки и математические выражения закона Кирхгофа, закона Планка, закона Стефана-Больцмана и закона смещения Вина, подчеркивая их роль в описании теплового излучения.

Ключевым этапом стало пошаговое решение конкретной физической задачи. В процессе расчета спектральной плотности излучения абсолютно черного тела по формуле Планка и последующего применения закона Кирхгофа мы продемонстрировали методику вычисления и контроля размерностей. Несмотря на то, что полученное численное значение поглощательной способности оказалось физически нереалистичным (превышающим единицу), что, вероятно, связано с особенностями исходных данных задачи, сам алгоритм решения, теоретическое обоснование и методический подход остаются корректными.

Данная работа подтверждает значимость закона Кирхгофа как мощного инструмента для понимания и анализа теплового излучения как идеальных, так и реальных тел. Он позволяет связать излучательные и поглощательные свойства различных материалов, что имеет критическое значение в таких областях, как теплотехника, астрофизика, материаловедение и разработка оптических приборов. Подобные задачи развивают у студентов не только навыки точных расчетов, но и критическое мышление, необходимое для анализа полученных результатов и их сопоставления с фундаментальными физическими принципами, обеспечивая глубокое понимание сути явлений.

Список использованной литературы

1. Савельев, И.В. Курс общей физики: в 3 т. / И.В. Савельев. – М.: Наука, Лань.
2. Сивухин, Д.В. Общий курс физики: в 5 т. / Д.В. Сивухин. – М.: Физматлит.
3. Ландсберг, Г.С. Оптика / Г.С. Ландсберг. – М.: Наука, Физматлит.
4. Густав Кирхгоф и закон испускательной и поглощательной способности тела. URL: https://infrar.ru/gustav-kirchhoff-and-the-law-of-emissive-and-absorptive-capacity-of-a-body/ (дата обращения: 03.11.2025).
5. Закон Кирхгофа. URL: https://studfile.net/preview/5354972/page:3/ (дата обращения: 03.11.2025).
6. Закон Кирхгофа — Оптика. URL: https://ozlib.com/834316/fizika/zakon_kirhgofa (дата обращения: 03.11.2025).
7. Кирхгофа закон излучения. URL: https://bse.sci-lib.com/article061214.html (дата обращения: 03.11.2025).
8. 4.2.2 Законы теплового излучения. Ленинградский государственный университет им. А.С. Пушкина.
9. Определение постоянной Стефана-Больцмана. УрФУ. URL: https://study.urfu.ru/modules/m32/course/view.php?id=381 (дата обращения: 03.11.2025).
10. Тепловое излучение. Гипотеза квантов. Лекционный материал. URL: https://kovalenok.com/download/kovalenok/Lec7_Part3_Kovalenok.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
11. 5.3. Тепловое излучение. URL: https://studfile.net/preview/4427498/page:8/ (дата обращения: 03.11.2025).
12. Элементы физики — Испускательная способность. URL: https://physics.ru/courses/op25part1/content/element-003.html (дата обращения: 03.11.2025).
13. 1.1. Тепловое излучение — Атомная физика. URL: https://energo.edu.ru/files/docs/atom_2011/atom_1_1.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
14. Тепловое излучение. Кафедра ПиТФ НГТУ. URL: https://nstu.ru/media/f/library_file_attach/e_lectures/L_9_Teplovoe_izluchenie.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
15. Тепловое излучение и люминесценция Закон Кирхгофа Закон Стефана-Больцмана Закон смещения Вина Формула Рэлея-Джинса Теория Планка. URL: https://www.xumuk.ru/bse/1344.html (дата обращения: 03.11.2025).
16. Тепловое излучение. URL: https://www.1sept.ru/article.php?ID=200900306 (дата обращения: 03.11.2025).
17. 114. Формула Кирхгофа—Клаузиуса. URL: https://phyzika.ru/termika/114.php (дата обращения: 03.11.2025).
18. Поглощательная способность. URL: https://bse.sci-lib.com/article090886.html (дата обращения: 03.11.2025).
19. Изучение закона Стефана – Больцмана. Методические указания. ТПУ. URL: https://edu.tpu.ru/course/view.php?id=1063 (дата обращения: 03.11.2025).
20. Излучение абсолютно чёрного тела. МФТИ. URL: https://mipt.ru/education/chair/physics/works/quantum/quantum-lecture-3-18082017.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
21. 1.4. Закон излучения Планка — Атомная физика. URL: https://energo.edu.ru/files/docs/atom_2011/atom_1_4.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
22. Применение законов квантовой физики в физических измерениях. УрФУ. URL: https://urfu.ru/fileadmin/user_upload/site_files/2018/k_10.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
23. ЛЕКЦИЯ 12 КВАНТОВАЯ ОПТИКА 1 ТЕПЛОВОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ТЕЛ 1.1 Основные свойства. ТПУ. URL: https://edu.tpu.ru/course/view.php?id=1063 (дата обращения: 03.11.2025).