Контрольная по оптике, и в билете — задача на бипризму Френеля. Знакомая ситуация, которая у многих вызывает ступор. Главная сложность здесь, как правило, не в громоздких математических выкладках, а в том, чтобы собрать воедино физическую картину явления и правильную последовательность формул. Простое заучивание не поможет, если условие немного изменится. Цель этой статьи — не просто дать готовое решение, а провести вас по всему пути: от фундаментальных принципов интерференции до финального расчета. Мы вместе построим четкий и универсальный алгоритм, который поможет вам уверенно справиться с любой подобной задачей.
Что нужно знать об интерференции света, чтобы решить задачу
Чтобы понять, как работает бипризма, нужно сперва разобраться с самим явлением, которое она помогает создать. Интерференция света — это перераспределение интенсивности света, которое происходит при наложении нескольких световых волн. В одних точках пространства волны усиливают друг друга, создавая максимумы яркости, а в других — гасят, приводя к появлению минимумов. В результате мы видим на экране характерную картину из чередующихся светлых и темных полос.
Однако это «волшебство» происходит не всегда. Ключевое условие для наблюдения устойчивой интерференционной картины — когерентность волн. Это означает, что волны должны иметь одинаковую частоту и постоянную во времени разность фаз. Именно поэтому мы не видим интерференции от света двух обычных лампочек: их атомы излучают свет независимо друг от друга, короткими цугами, и разность фаз между их волнами постоянно и хаотично меняется.
Математически условия наблюдения ярких и темных полос описываются через разность хода волн (Δ) — то есть, на какое расстояние одна волна «отстала» от другой на пути к экрану.
- Условие максимума (светлая полоса): разность хода равна целому числу длин волн. Δ = mλ, где m = 0, 1, 2, …
- Условие минимума (темная полоса): разность хода равна полуцелому числу длин волн. Δ = (m + 1/2)λ, где m = 0, 1, 2, …
Итак, главная задача для получения интерференции — создать два когерентных источника света. Именно эту проблему и решает наш главный инструмент.
Как бипризма Френеля создает условия для чуда
Бипризма Френеля — это остроумное оптическое устройство, предназначенное для решения одной конкретной задачи: получения двух когерентных источников света из одного реального. Конструктивно она представляет собой две одинаковые стеклянные призмы с очень малыми преломляющими углами, сложенные своими основаниями. Чаще всего ее изготавливают из цельного куска стекла.
Принцип ее работы основан на явлении, которое называется делением волнового фронта. Проследим путь света пошагово:
- Свет от одного точечного источника S падает на бипризму.
- Верхняя половина бипризмы преломляет проходящий через нее свет, отклоняя его немного вниз.
- Нижняя половина, соответственно, преломляет свою часть света, отклоняя его вверх.
- В результате за бипризмой формируются два расходящихся световых пучка. Важно, что эти пучки абсолютно когерентны, так как они являются частями одного и того же исходного волнового фронта.
Для наблюдателя, находящегося за бипризмой, эти два пучка распространяются так, как будто они были испущены из двух разных точек — мнимых источников S1 и S2. Именно эти мнимые источники и играют роль когерентных источников, необходимых для возникновения интерференции. В области, где эти пучки света перекрываются, и возникает та самая интерференционная картина, которую мы видим на экране.
Формулы, которые описывают интерференционную картину
Теперь, когда физика процесса ясна, можно переходить к его математическому описанию. Вся геометрия установки и результат на экране связываются двумя ключевыми формулами.
Первая — это универсальная формула для ширины интерференционной полосы. Ширина полосы (Δx) — это расстояние на экране между центрами двух соседних светлых (или темных) полос. Она напрямую зависит от трех параметров:
Δx = λl / d
Где:
- λ (лямбда) — длина волны падающего света.
- l — расстояние от мнимых источников до экрана.
- d — расстояние между двумя мнимыми источниками S1 и S2.
Вторая формула является специфической именно для бипризмы Френеля. Она связывает расстояние между мнимыми источниками (d) с параметрами самой установки:
d = 2a(n — 1)α
Здесь:
- a — расстояние от реального источника света до бипризмы.
- n — показатель преломления материала, из которого сделана призма.
- α (альфа) — преломляющий угол призмы, выраженный в радианах.
Эта формула выводится из геометрии преломления лучей в призме при условии, что преломляющий угол α очень мал. В некоторых учебниках вы можете встретить вариант с тангенсом: d = 2a(n-1)tg(α). Для малых углов (что почти всегда верно для бипризм) значения угла в радианах и его тангенса практически совпадают, поэтому обе формулы равнозначны. Именно эти два уравнения и являются нашим главным инструментом для решения задачи.
Анализируем условие задачи, прежде чем начать расчеты
Вооружившись теорией и формулами, приступаем к практике. Вот условие нашей задачи:
Определить преломляющий угол (α) бипризмы Френеля, если при расстоянии от источника до бипризмы a = 50 см и от бипризмы до экрана b = 150 см на экране наблюдается восемь интерференционных полос на 1 мм. Длина волны света λ = 0,41 мкм, показатель преломления стекла n = 1,53.
Первый и самый важный шаг — правильно организовать данные и составить план. Переведем все величины в систему СИ, чтобы избежать ошибок в расчетах.
Дано:
- a = 50 см = 0,5 м
- b = 150 см = 1,5 м
- Количество полос: N=8 на L=1 мм = 0,001 м
- Длина волны: λ = 0,41 мкм = 0,41 * 10-6 м
- Показатель преломления: n = 1,53
Найти:
- Преломляющий угол α
Логический план решения будет состоять из трех последовательных шагов:
- Исходя из данных о количестве полос на миллиметр, найти ширину одной интерференционной полосы Δx.
- Используя первую основную формулу (Δx = λl/d), найти расстояние между мнимыми источниками d.
- Используя вторую формулу (d = 2a(n-1)tg(α)), выразить и найти искомый преломляющий угол α.
Шаг 1. Вычисляем ширину интерференционной полосы
Это первый и самый простой вычислительный этап. Ширина интерференционной полосы (Δx) — это, по определению, расстояние между центрами соседних максимумов. В условии нам сказано, что на отрезке шириной L = 1 мм умещается N = 8 таких полос. Следовательно, чтобы найти ширину одной полосы, нужно общую ширину отрезка разделить на количество полос, которые на нем помещаются.
Δx = L / N
Перед расчетом обязательно переводим миллиметры в метры, так как все остальные параметры у нас в системе СИ.
L = 1 мм = 0,001 м
Теперь подставляем значения:
Δx = 0,001 м / 8 = 0,000125 м
Это наш первый ключевой результат. Он описывает то, что мы физически наблюдаем на экране. Теперь наша задача — связать этот наблюдаемый параметр с характеристиками самой установки.
Шаг 2. Находим расстояние между мнимыми источниками света
Теперь мы используем главную формулу интерференции, которая связывает ширину полосы Δx с параметрами установки.
Δx = λl / d
В этой формуле нам известны Δx (из Шага 1) и длина волны λ (из условия). Нам нужно найти расстояние между мнимыми источниками d. Но что такое l? Это полное расстояние от мнимых источников до экрана. Из схемы опыта видно, что оно равно сумме расстояния от источника до бипризмы (a) и расстояния от бипризмы до экрана (b).
l = a + b = 0,5 м + 1,5 м = 2,0 м
Теперь у нас есть все необходимое, чтобы выразить d из основной формулы:
d = λl / Δx
Подставляем все известные нам значения в системе СИ:
d = (0,41 * 10-6 м * 2,0 м) / 0,000125 м
d = (0,82 * 10-6) / (1,25 * 10-4) м = 0,656 * 10-2 м = 0,00656 м
Итак, мы получили второй ключевой результат: расстояние между мнимыми когерентными источниками составляет 6,56 мм. Мы почти у цели.
Шаг 3. Рассчитываем искомый преломляющий угол бипризмы
Мы добрались до финального этапа. У нас есть расстояние между мнимыми источниками d, и мы знаем формулу, которая связывает эту величину с искомым преломляющим углом α.
d = 2a(n-1)tg(α)
Наша цель — найти α. Для этого сначала выразим из формулы тангенс угла:
tg(α) = d / [2a(n — 1)]
Теперь подставим в нее все известные и ранее вычисленные значения: d из Шага 2, а также a и n из условия задачи.
tg(α) = 0,00656 / [2 * 0,5 * (1,53 — 1)]
tg(α) = 0,00656 / [1 * 0,53] = 0,00656 / 0,53 ≈ 0,01238
Мы нашли тангенс угла. Поскольку для бипризм Френеля преломляющие углы всегда очень малы, можно с высокой точностью считать, что тангенс угла равен самому углу, выраженному в радианах: tg(α) ≈ α.
Таким образом, α ≈ 0,0124 рад.
При необходимости этот результат можно перевести в градусы, зная, что π радиан = 180°:
α ≈ 0,0124 * (180 / 3,14159) ≈ 0,71°
Ответ: Преломляющий угол бипризмы Френеля составляет приблизительно 0,0124 радиан или 0,71 градуса.
Выводы и универсальный алгоритм решения
Задача решена, но давайте закрепим главное. Дело не в конкретных цифрах, а в логике, которая применима к большинству подобных задач. Весь процесс можно свести к простому и надежному алгоритму.
- Анализ и подготовка: Внимательно прочитайте условие. Выпишите все известные величины («Дано») и то, что нужно найти. Сразу переведите все единицы в систему СИ.
- Расчет наблюдаемых параметров (Δx): Найдите ширину интерференционной полосы, исходя из данных о количестве полос на определенной длине.
- Связь с параметрами установки (d): Используйте основную формулу интерференции (Δx = λl/d) для нахождения промежуточной величины — чаще всего это расстояние между мнимыми источниками d. Помните, что l = a + b.
- Расчет искомой величины (α): Используйте специфическую для бипризмы формулу (d = 2a(n-1)tg(α)), чтобы найти конечную величину — преломляющий угол.
Главный совет: всегда начинайте с физики явления. Если вы четко понимаете, что такое когерентность, как бипризма создает мнимые источники и от чего зависит ширина полос, вы никогда не запутаетесь в формулах. Этот подход превращает решение задачи из механического подставления чисел в осмысленный процесс. Удачи на контрольной!