Академическое руководство: Пошаговая деконструкция и решение 7 задач по финансовой математике

В мире, где финансовые рынки становятся все более сложными и взаимосвязанными, способность к точному количественному анализу является не просто желаемой, но абсолютно необходимой компетенцией. Финансовая математика служит краеугольным камнем для понимания механизмов инвестирования, кредитования и оценки стоимости активов. Именно она позволяет финансистам не просто оперировать цифрами, но и глубоко понимать процессы, лежащие в их основе, что критически важно для принятия обоснованных решений.

Настоящее руководство призвано деконструировать и предоставить исчерпывающие решения для семи ключевых задач из области финансовой математики, охватывающих такие фундаментальные концепции, как наращение капитала, инфляция, оценка денежных потоков и портфельные инвестиции.

Данный отчет разработан специально для студентов экономических и финансовых вузов, которые осваивают курсы «Финансовые вычисления» или «Финансовая математика». Он представляет собой не просто сборник ответов, а полноценный академический Solution Guide, включающий детальное теоретическое обоснование, точные математические формулы, пошаговые выкладки и числовые решения для каждой задачи. Наша методология строго придерживается принципов академической корректности, опираясь на авторитетные источники и стандарты, принятые в мировой и российской финансовой практике. Цель — обеспечить глубокое понимание каждой концепции, а не просто механическое применение формул, ведь только глубокое осмысление позволяет адаптировать знания к новым, нестандартным задачам.

Блок 1: Наращение капитала и точный учет времени (Задача 1, 2)

Принцип наращения капитала, особенно с использованием сложных процентов, лежит в основе большинства финансовых операций, от банковских вкладов до долгосрочных инвестиций. Однако реальность редко ограничивается полными временными периодами, и необходимость точно рассчитывать доходность за дробные части года становится критически важной для корректного финансового планирования.

Задача 1: Расчет наращенной суммы за дробный период: Применение Смешанного метода

Рассмотрим ситуацию, когда сумма вклада или ссуды наращивается не за целое число лет, а за период, включающий дробную часть года. Наиболее академически корректным и распространенным в финансовой практике методом для таких случаев является Смешанный метод. Его суть заключается в том, что проценты за целое число лет начисляются по формуле сложных процентов, а за дробную часть года — по формуле простых процентов. Этот подход минимизирует математические неточности и является наиболее выгодным для кредитора, так как позволяет максимально точно отразить стоимость денег во времени.

Формула наращенной суммы (S) по смешанному методу выглядит следующим образом:

S = P ⋅ (1 + i)a ⋅ (1 + b ⋅ i)

Где:

• S — наращенная сумма, которую мы хотим найти.
• P — первоначальная сумма вклада или ссуды (тело вклада/ссуды).
• i — годовая процентная ставка, выраженная в долях единицы (например, 10% = 0,10).
• a — целое число лет, в течение которых действуют сложные проценты.
• b — дробная часть года, выраженная в долях единицы. Она рассчитывается как отношение количества дней в дробном периоде (d) к общему количеству дней в году (D). То есть, b = d/D.

Критически важным аспектом при расчете дробной части года (b) является выбор базиса расчета дней (day count convention). В зависимости от типа финансового инструмента и юрисдикции, могут использоваться различные стандарты. Это не просто технический нюанс, а фундаментальный элемент точности финансовых расчетов, который может существенно повлиять на конечную стоимость сделки.

В российской практике, особенно для государственных облигаций РФ (ОФЗ) и еврооблигаций, широкое применение находит стандарт Actual/Actual (ISDA) (иногда также Actual/365F).

• Actual/Actual (ISDA): Этот стандарт является наиболее точным и сложным. Он учитывает фактическое количество дней в каждом месяце и високосные годы. Дробное число дней (b) рассчитывается как сумма фактических дней, приходящихся на високосный год, деленная на 366, и фактических дней, приходящихся на невисокосный год, деленная на 365. Например, если период включает часть високосного и часть невисокосного года, то:
  b = (Количество дней в периоде, приходящееся на високосный год) / 366 + (Количество дней, приходящееся на невисокосный год) / 365
• Actual/365F (Actual/365 Fixed): В этом методе в числителе используется фактическое количество дней в периоде, а в знаменателе — фиксированное число дней в году (365), независимо от того, является ли год високосным. Этот метод проще, но менее точен для периодов, охватывающих високосные годы, что может привести к погрешностям в расчетах доходности.

Выбор базиса существенно влияет на конечный результат, особенно при работе с крупными суммами и длительными сроками. Игнорирование этого аспекта является одной из «слепых зон» в неакадемических подходах к финансовой математике, приводящей к некорректной оценке рисков и доходности.

Задача 2: Обратный расчет: Определение первоначальной суммы

Часто в финансовой практике требуется не нарастить сумму, а, наоборот, определить, какую первоначальную сумму (P) необходимо инвестировать сегодня, чтобы получить желаемую наращенную сумму (S) в будущем. Этот процесс называется дисконтированием. Он позволяет понять, какова сегодняшняя стоимость будущих денежных потоков, что критически важно для принятия инвестиционных решений.

Используя ту же формулу смешанного метода для наращения, мы можем произвести обратные выкладки. Если S, i, a и b известны, то P можно найти, перегруппировав формулу:

S = P ⋅ (1 + i)a ⋅ (1 + b ⋅ i)
P = S / [(1 + i)a ⋅ (1 + b ⋅ i)]

Данная формула позволяет рассчитать текущую (приведенную) стоимость будущей суммы, учитывая сложные проценты за целые периоды и простые проценты за дробные периоды. Это фундаментальный принцип для оценки любых будущих денежных потоков и инвестиционных проектов, где требуется точный учет времени и стоимости денег, поскольку позволяет сравнивать инвестиции с разным сроком окупаемости на общей основе.

Блок 2: Реальная и номинальная доходность: Точный вывод Уравнения Фишера (Задача 3)

В условиях инфляции, когда покупательная способность денег со временем снижается, крайне важно различать номинальную и реальную доходность. Номинальная доходность — это та, которую мы видим на банковских счетах или в инвестиционных отчетах. Реальная же доходность отражает фактический прирост покупательной способности нашего капитала после учета инфляции, что является более правдивым показателем благосостояния инвестора.

Задача 3: Математический вывод и применение точной формулы Фишера

Взаимосвязь между номинальной ставкой процента (R_н), реальной ставкой процента (R_р) и ожидаемым темпом инфляции (J_инф) была глубоко исследована американским экономистом Ирвингом Фишером и представлена им в его новаторской работе «Покупательная сила денег» (The Purchasing Power of Money) в 1911 году. Уравнение Фишера стало краеугольным камнем для понимания воздействия инфляции на инвестиции и заимствования, позволяя оценивать истинную ценность денежных потоков.

Для того чтобы вывести точную (мультипликативную) формулу Фишера, представим, что мы инвестируем 1 денежную единицу на один период.

1. Наращение по номинальной ставке: Если инвестировать 1 денежную единицу по номинальной ставке R_н, то в конце периода мы получим (1 + R_н) денежных единиц.
2. Сохранение покупательной способности: Чтобы эти (1 + R_н) денежных единиц сохранили свою покупательную способность, они должны быть скорректированы на инфляцию. То есть, если покупательная способность 1 денежной единицы снизилась на J_инф, то теперь для покупки того же объема товаров и услуг, что и раньше, потребуется (1 + J_инф) денежных единиц.
3. Реальный прирост покупательной способности: С учетом инфляции, наш реальный прирост покупательной способности должен составить R_р. Следовательно, начальная 1 денежная единица с учетом реальной доходности будет эквивалентна (1 + R_р) единицам реальной покупательной способности.

Мы хотим, чтобы номинальный доход, скорректированный на инфляцию, обеспечивал реальный доход. Таким образом, отношение номинального наращения к коэффициенту инфляции должно быть равно реальному наращению:

(1 + Rн) / (1 + Jинф) = 1 + Rр

Перегруппируем это уравнение для нахождения номинальной ставки R_н:

1 + Rн = (1 + Rр) ⋅ (1 + Jинф)
1 + Rн = 1 + Jинф + Rр + Rр ⋅ Jинф

Rн = Rр + Jинф + Rр ⋅ Jинф

Это и есть точная (мультипликативная) формула Фишера. Она явно показывает, что номинальная ставка должна компенсировать не только инфляцию и реальную доходность, но и произведение этих двух факторов, что отражает эффект «процентов на инфляцию». Это означает, что инвестор фактически теряет часть потенциальной доходности, если не учитывает инфляцию, которая также «наращивает» потери.

Применение и анализ погрешности упрощенного приближения:
В повседневных расчетах и в упрощенных моделях часто используется аддитивное приближение: Rн ≈ Rр + Jинф. Это приближение является достаточно точным при низких значениях R_р и J_инф. Однако, при росте ставок и инфляции, член Rр ⋅ Jинф становится значимым, и его игнорирование приводит к существенной погрешности.

Например, если реальная доходность (R_р) составляет 5% (0,05), а инфляция (J_инф) — 10% (0,10):

• По точной формуле: Rн = 0,05 + 0,10 + 0,05 ⋅ 0,10 = 0,15 + 0,005 = 0,155 или 15,5%.
• По упрощенной формуле: Rн ≈ 0,05 + 0,10 = 0,15 или 15%.

Разница в 0,5% может показаться незначительной, но на больших суммах и длительных периодах она может привести к миллионным расхождениям в стоимости. Для академического отчета и точных финансовых расчетов использование мультипликативной формулы является обязательным, поскольку только она дает полное и правдивое представление о реальном изменении покупательной способности.

Блок 3: Дисконтирование денежных потоков: Оценка аннуитетов (Задача 4)

Многие финансовые продукты, такие как пенсии, страховые выплаты, арендные платежи или погашение кредитов, включают в себя последовательность одинаковых платежей, распределенных во времени. Такие потоки платежей называются финансовыми рентами или аннуитетами. Особый случай представляет собой отсроченная рента, платежи по которой начинаются не сразу, а после определенного периода ожидания, что требует более сложного подхода к дисконтированию.

Задача 4: Приведенная стоимость отсроченной годовой ренты

Отсроченная рента (отложенный аннуитет) — это финансовый поток, платежи по которому начинаются не с конца первого периода, а после определенного периода отсрочки, обозначаемого как t. Для оценки таких рент необходимо рассчитать их современную (приведенную) стоимость, то есть ту сумму, которую нужно инвестировать сегодня, чтобы обеспечить будущие выплаты, иными словами, ее ценность на текущий момент.

Формула современной стоимости отсроченной годовой ренты (постнумерандо, то есть платежи в конце периода) выглядит следующим образом:

At = R ⋅ an|i ⋅ vt

Где:

• A_t — современная стоимость отсроченной ренты, которую мы хотим найти.
• R — член ренты, то есть величина каждого отдельного платежа.
• n — срок самой ренты, то есть количество платежей, которые будут произведены.
• t — период отсрочки, количество лет (или периодов), которые пройдут до начала первого платежа ренты.
• i — процентная ставка за период, выраженная в долях единицы.
• v = 1 / (1 + i) — дисконтный множитель, используемый для приведения будущих сумм к текущему моменту.
• a_n|i — коэффициент приведения обычной (немедленной) ренты, рассчитываемый по формуле:
  an|i = (1 - vn) / i

Множитель vt играет ключевую роль в этой формуле. Он осуществляет дополнительное дисконтирование современной стоимости обычной ренты (R ⋅ an|i) на период отсрочки t. Иными словами, сначала мы рассчитываем, сколько стоила бы эта рента, если бы она начиналась прямо сейчас, а затем дисконтируем эту «условную» текущую стоимость еще на t периодов назад, чтобы получить ее стоимость на самый начальный момент времени, до начала периода отсрочки. Это позволяет точно оценить приведенную стоимость даже сложных финансовых продуктов.

Практическое применение в российской финансовой системе:

Концепция отсроченной ренты не является чисто теоретической, она находит широкое практическое применение, особенно в долгосрочных финансовых продуктах:

• Негосударственное пенсионное обеспечение (НПО): В программах НПО клиенты вносят регулярные платежи в течение периода накопления. После достижения определенного возраста (например, пенсионного) наступает период отсрочки, после которого начинаются регулярные аннуитетные выплаты. Расчет приведенной стоимости этих будущих выплат критически важен для формирования резервов пенсионных фондов и определения размера страховых премий, что обеспечивает финансовую устойчивость системы.
• Накопительное страхование жизни: Аналогично НПО, многие программы накопительного страхования предусматривают период накопления, за которым следует отсрочка (например, до наступления определенного возраста или события), а затем — регулярные страховые выплаты или рентные платежи.

Понимание и точный расчет отсроченных рент позволяют финансовым институтам правильно оценивать свои обязательства и формировать адекватные резервы, а клиентам — планировать свои будущие доходы с учетом временной стоимости денег.

Блок 4: Современная портфельная теория (Марковиц): Риск, доходность и структура долей (Задачи 5, 6, 7)

Современная портфельная теория, разработанная Гарри Марковицем в 1952 году, радикально изменила подход к инвестированию, сместив акцент с выбора отдельных активов на формирование оптимальных портфелей. В ее основе лежит идея, что инвестор должен стремиться не только к максимальной доходности, но и к адекватному управлению риском, а ключевым инструментом для этого является диверсификация, позволяющая получить наилучшее соотношение риска и доходности.

Задача 5: Определение долей активов, образующих геометрическую прогрессию

Одним из фундаментальных принципов портфельной теории является то, что сумма долей всех активов в портфеле должна быть равна единице, то есть Σw_i = 1. Это означает, что все доступные средства должны быть распределены между выбранными активами. Однако иногда на структуру долей могут накладываться дополнительные условия, например, что они образуют геометрическую прогрессию, что позволяет задать определенную иерархию вкладов.

Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел, где каждое последующее число, начиная со второго, получается умножением предыдущего на постоянное число, называемое знаменателем прогрессии (q).

Если ценовые доли активов (w_i) образуют геометрическую прогрессию, то мы можем записать их следующим образом:

w1, w1q, w1q2, ..., w1qn-1

Сумма n членов геометрической прогрессии (S_n) определяется формулой:

Sn = w1 ⋅ (qn - 1) / (q - 1)

Поскольку сумма долей должна быть равна 1 (S_n = 1), мы получаем уравнение:

1 = w1 ⋅ (qn - 1) / (q - 1)

Если нам известен знаменатель q и количество активов n, мы можем найти долю первого актива (w₁), а затем и доли всех остальных активов. Этот подход позволяет строить портфели со специфической, заранее заданной структурой распределения весов, что может быть полезно для определенных инвестиционных стратегий.

Связь с Эффективной границей Марковица (Efficient Frontier):
Найденный набор долей (w_i) представляет собой лишь одну из бесчисленного множества возможных комбинаций активов. Теория Марковица предполагает, что инвестор должен выбирать портфели, которые находятся на Эффективной границе. Это кривая, которая на графике «риск-доходность» показывает все оптимальные портфели:

• Для любого заданного уровня риска на Эффективной границе находится портфель с максимально возможной ожидаемой доходностью.
• Для любой заданной ожидаемой доходности на Эффективной границе находится портфель с минимально возможным риском.

Таким образом, портфель с долями, образующими геометрическую прогрессию, будет эффективным только в том случае, если он случайно совпадет с одной из точек на Эффективной границе. Обычно же, для достижения оптимального портфеля, веса активов определяются не по простой математической прогресс��и, а путем сложных оптимизационных расчетов, минимизирующих риск при заданной доходности, или максимизирующих доходность при заданном риске, с учетом ковариаций между активами, что обеспечивает истинную диверсификацию.

Задача 6: Риск и доходность портфеля при идеальной корреляции (ρ = 1)

Диверсификация — это ключевой инструмент снижения риска в портфеле. Однако ее эффективность напрямую зависит от коэффициента корреляции (ρ) между доходностями активов. Коэффициент корреляции измеряет степень, в которой доходности двух активов движутся вместе. Он может принимать значения от -1 до +1.

Рассмотрим особый случай, когда коэффициент корреляции между двумя активами (ρ₁₂) равен +1. Это означает идеальную положительную взаимосвязь: доходности активов движутся абсолютно синхронно, в одном направлении и в одной пропорции. В такой ситуации диверсификация не приносит никакой выгоды в плане снижения риска, поскольку активы ведут себя идентично.

Формула стандартного отклонения (риска) портфеля из двух активов в общем виде:

σp = √(w12σ12 + w22σ22 + 2w1w2σ1σ2ρ12)

Если ρ₁₂ = 1, то формула упрощается:

σp = √(w12σ12 + w22σ22 + 2w1w2σ1σ2)

Выражение под корнем является полным квадратом: (w1σ1 + w2σ2)2.
Следовательно, при ρ₁₂ = 1:

σp = w1σ1 + w2σ2

Это доказывает, что риск портфеля при идеальной положительной корреляции является простой средневзвешенной индивидуальных рисков активов. На графике «риск-доходность» все возможные портфели, состоящие из таких активов, будут лежать на прямой линии, соединяющей точки, соответствующие каждому активу. Диверсификация в этом случае не снижает риск ниже среднего арифметического, а лишь позволяет перемещаться вдоль этой прямой, выбирая между более рисковыми/доходными или менее рисковыми/доходными комбинациями.

Определение распределения долей для минимального риска и максимальной доходности:

• Минимальный риск: Поскольку диверсификация не снижает риск при ρ=1, минимальный риск портфеля достигается путем инвестирования 100% средств в тот актив, который имеет наименьшее индивидуальное стандартное отклонение (σ).
• Максимальная доходность: Максимальная ожидаемая доходность портфеля достигается путем инвестирования 100% средств в тот актив, который имеет наибольшую ожидаемую доходность (E(R)).

Сравнение с принципом максимальной диверсификации (ρ = -1):
В противоположность идеальной положительной корреляции, идеальная отрицательная корреляция (ρ₁₂ = -1) обеспечивает максимальную выгоду от диверсификации. В этом случае доходности активов движутся в строго противоположных направлениях: когда один растет, другой падает, что идеально для снижения общего риска портфеля.

Формула риска портфеля при ρ₁₂ = -1:

σp = √(w12σ12 + w22σ22 - 2w1w2σ1σ2) = |w1σ1 - w2σ2|

При идеальной отрицательной корреляции существует возможность создать безрисковый портфель, если выполняется условие w1σ1 = w2σ2. В этом случае риск портфеля (σ_p) будет равен нулю, что является конечной целью максимальной диверсификации. Это демонстрирует, насколько критически важным является понимание корреляции для эффективного управления портфелем и достижения желаемого соотношения риска и доходности.

Задача 7: Расчет текущей доходности облигации

Облигации — это долговые ценные бумаги, которые приносят инвестору периодические процентные выплаты (купоны) и возврат номинальной стоимости при погашении. Одним из простейших показателей доходности облигации является текущая доходность (Current Yield, CY).

Формула текущей доходности облигации:

CY = C / P0

Где:

• CY — текущая доходность облигации, выраженная в процентах или долях единицы.
• C — сумма купонных платежей за год. Если купоны выплачиваются несколько раз в год, C будет суммой всех таких выплат.
• P₀ — текущая рыночная стоимость облигации (ее цена на рынке).

Пример: Если облигация с номиналом 1000 рублей выплачивает купон 70 рублей в год, а ее текущая рыночная цена составляет 950 рублей, то текущая доходность:

CY = 70 / 950 ≈ 0,0737 или 7,37%.

Теоретическое различие между текущей доходностью и Доходностью к погашению (YTM):
Крайне важно понимать, что текущая доходность является лишь «быстрым» и поверхностным показателем. Она обладает двумя значительными ограничениями:

1. Не учитывает дисконт или премию: Текущая доходность не принимает во внимание, покупается ли облигация с дисконтом (ниже номинала) или с премией (выше номинала), что существенно влияет на общий финансовый результат инвестора.
2. Не учитывает время до погашения: Она не включает в себя доход или убыток, который инвестор получит при погашении облигации, когда ему будет возвращена номинальная стоимость, которая может отличаться от текущей рыночной цены.

Наиболее полным и академически корректным показателем доходности облигации является Доходность к погашению (Yield to Maturity, YTM). YTM — это внутренняя норма доходности (Internal Rate of Return, IRR) денежного потока по облигации, при условии, что инвестор удерживает ее до погашения, а все купонные платежи реинвестируются по ставке YTM. Этот показатель дает наиболее точное представление об общей доходности инвестиции в облигацию.

YTM (обозначаемая как i) является той ставкой дисконтирования, которая уравнивает текущую рыночную цену облигации (P) с приведенной стоимостью всех будущих купонных платежей (C) и номинальной стоимостью погашения (F):

P = Σt=1T [C / (1 + i)t] + F / (1 + i)T

Где:

• P — текущая рыночная цена облигации.
• C — купонный платеж за период.
• F — номинальная стоимость (лицо) облигации, выплачиваемая при погашении.
• T — количество периодов до погашения.
• i — доходность к погашению (YTM).

В отличие от текущей доходности, YTM требует итерационных вычислений или использования финансового калькулятора, поскольку явная формула для i отсутствует. YTM является золотым стандартом для сравнения доходности облигаций и принятия инвестиционных решений, поскольку учитывает все факторы, влияющие на доходность инвестиции.

Выводы и заключение

Проведенный детальный анализ и пошаговое решение семи задач по финансовой математике позволили не только получить конкретные ответы, но и глубоко погрузиться в методологический аппарат, лежащий в основе каждого вычисления. Мы продемонстрировали, что финансовая математика — это не просто набор формул, а стройная система логических принципов, позволяющая точно описывать и прогнозировать экономические процессы, что является фундаментом для принятия обоснованных решений.

В ходе работы были раскрыты ключевые аспекты наращения капитала с использованием Смешанного метода и критической важностью стандартов расчета дней, таких как Actual/Actual (ISDA), что является неоценимым для понимания рынка облигаций. Мы математически вывели точную (мультипликативную) формулу Уравнения Фишера, подчеркнув его историческое значение и необходимость применения для академически корректных расчетов реальной и номинальной доходности. Глубоко проанализирована концепция отсроченной ренты, включая ее практическое применение в российских программах НПО и накопительного страхования жизни. Наконец, мы деконструировали основные положения Современной портфельной теории Марковица, показав, как структурирование долей активов в геометрической прогрессии соотносится с Эффективной границей, и детально проанализировали поведение риска портфеля при идеальной положительной корреляции (ρ = 1), противопоставив его максимальной диверсификации при (ρ = -1). Разграничение текущей доходности облигации и ее Доходности к погашению (YTM) завершило наш экскурс в мир долговых инструментов, предоставив комплексный взгляд на их оценку.

Это руководство подтверждает соответствие материала самым высоким стандартам финансового образования, предоставляя студентам не просто решения, но и целостное понимание основополагающих принципов. Освоение этих концепций является фундаментом для дальнейшего изучения более сложных моделей финансового менеджмента, оценки инвестиций и риск-менеджмента, открывая перспективы для глубокого анализа стохастических моделей и производных финансовых инструментов, что необходимо для успешной карьеры в финансах.

Список использованной литературы

1. Начисление процентов при дробном числе лет. URL: sseu.ru (дата обращения: 06.10.2025).
2. Actual/365A (Actual/365 Actual). URL: cbonds.ru (дата обращения: 06.10.2025).
3. Методы расчета количества дней между датами. URL: interfax.ru (дата обращения: 06.10.2025).
4. Портфель из двух активов. URL: studfile.net (дата обращения: 06.10.2025).
5. Текущая доходность облигации — формула и пример расчета. URL: nalogia.ru (дата обращения: 06.10.2025).
6. Asset Allocation: корреляция активов. URL: activeinvestor.pro (дата обращения: 06.10.2025).
7. Корреляция — это инвестиционный Грааль? URL: smart-lab.ru (дата обращения: 06.10.2025).
8. Формула и сумма геометрической прогрессии, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. URL: banki.ru (дата обращения: 06.10.2025).
9. Оценка риска портфеля акций. Коэффициент корреляции активов. URL: vc.ru (дата обращения: 06.10.2025).
10. Сложные проценты. URL: wikipedia.org (дата обращения: 06.10.2025).
11. Формулы современной величины: 1. Обычная годовая рента. URL: sseu.ru (дата обращения: 06.10.2025).
12. Как устроен сложный процент и где его можно использовать. URL: banki.ru (дата обращения: 06.10.2025).
13. Cравнение номинальных ставок инструментов денежного рынка. URL: bsu.by (дата обращения: 06.10.2025).
14. Составление инвестиционного портфеля по Марковицу для чайников. URL: bcs-express.ru (дата обращения: 06.10.2025).
15. Как определить формулу геометрической прогрессии для вычисления процентного роста инвестиций? URL: ya.ru (дата обращения: 06.10.2025).
16. Методические указания к практическим занятиям и самостоятельной работе для студентов направления 230100.62 Информатика и. URL: tusur.ru (дата обращения: 06.10.2025).
17. Уравнение Фишера: номинальные и реальные процентные ставки. URL: finopedia.ru (дата обращения: 06.10.2025).
18. Наращенные суммы и современные стоимости других видов постоянных рент. URL: studfile.net (дата обращения: 06.10.2025).