Решение типовых задач по молекулярной физике: Кинетическая теория газов

Кинетическая теория газов — это один из фундаментальных разделов молекулярной физики, который объясняет макроскопические свойства вещества, такие как давление и температура, через движение его микроскопических составляющих — молекул и атомов. Однако многие студенты сталкиваются с общей проблемой: они знают ключевые формулы, но теряются, когда нужно применить их для решения конкретной, нестандартной задачи. Возникает разрыв между теоретическими знаниями и практическими навыками. Эта статья создана, чтобы устранить этот разрыв. Мы не просто приведем формулы, а последовательно разберем методологию их применения на примере типовых задач, превратив набор уравнений в мощный аналитический инструмент.

Теперь, когда мы определили нашу цель — научиться решать задачи, — давайте заложим первый теоретический камень в наш фундамент и разберемся с тем, как давление газа зависит от высоты.

Фундамент первый, или всё о барометрической формуле

Представьте себе атмосферу или любой газ, находящийся в поле тяготения. Интуитивно понятно, что у поверхности земли давление и плотность воздуха выше, чем на вершине горы. Барометрическая формула — это математический инструмент, который точно описывает это явление. Она показывает, как давление или концентрация частиц газа изменяются с высотой.

В наиболее общем виде для давления она выглядит так:

$P(h) = P_0 \cdot e^{-\frac{mgh}{kT}}$

Давайте разберем каждый компонент, чтобы понять физический смысл, заложенный в этом уравнении:

• $P(h)$ — это давление на искомой высоте h.
• $P_0$ — давление на начальном уровне (h=0), наша точка отсчета.
• $m$ — масса одной молекулы газа. Это важный нюанс. Ее можно найти, разделив молярную массу $M$ на число Авогадро $N_A$.
• $g$ — ускорение свободного падения.
• $T$ — абсолютная температура в Кельвинах. Формула предполагает, что температура газа постоянна по всей высоте (изотермическая атмосфера).
• $k$ — постоянная Больцмана, фундаментальная константа, связывающая температуру с энергией. Она равна отношению универсальной газовой постоянной $R$ к числу Авогадро $N_A$ ($k = R/N_A$).

Аналогичная формула существует и для концентрации частиц: $n(h) = n_0 \cdot e^{-\frac{mgh}{kT}}$. Обе формулы показывают, что и давление, и концентрация убывают с высотой по экспоненциальному закону. Важно помнить условия применимости этого закона: температура $T$ и ускорение $g$ должны быть постоянными на рассматриваемом участке высоты.

Теория ясна. Давайте посмотрим, как этот мощный инструмент работает на практике при решении реальной экспериментальной задачи.

Практическое применение, где мы вычисляем постоянную Авогадро

Рассмотрим знаменитый опыт Перрена (задача 5.112), в котором он смог экспериментально оценить значение постоянной Авогадро, наблюдая за распределением взвешенных частиц в жидкости. Это прекрасный пример применения барометрической формулы (а точнее, ее следствия — распределения Больцмана) к не-газовой системе.

Анализ условия («Дано»)

Сначала четко выпишем все известные нам величины:

• Разность высот между слоями: $\Delta h = 100 \text{ мкм} = 10^{-4} \text{ м}$.
• Отношение концентраций: $n_1 / n_2 = 2$.
• Температура: $t = 20^\circ\text{С}$, что в абсолютной шкале $T = 273 + 20 = 293 \text{ К}$.
• Диаметр частиц: $\sigma = 0,3 \text{ мкм} = 3 \cdot 10^{-7} \text{ м}$.
• Разность плотностей жидкости и частиц: $\Delta\rho = 0,2 \cdot 10^3 \text{ кг/м}^3$.
• Найти: Постоянную Авогадро $N_A$.

Построение алгоритма

Логика решения такова: мы знаем, что концентрация частиц подчиняется распределению Больцмана. В этом распределении фигурирует масса частицы $m$ и постоянная Больцмана $k$. Мы можем выразить массу через плотность и объем, а постоянную Больцмана — через искомую $N_A$ ($k=R/N_A$). Ключевой момент — учесть, что на частицу в жидкости действует не только сила тяжести, но и выталкивающая сила Архимеда.

Пошаговое решение

1. Запишем формулу распределения концентрации для двух уровней: $n_1 = n_0 e^{-\frac{m_{eff}gh_1}{kT}}$ и $n_2 = n_0 e^{-\frac{m_{eff}gh_2}{kT}}$. Здесь $m_{eff}$ — «эффективная» масса частицы с учетом плавучести.
2. Найдем их отношение: $\frac{n_1}{n_2} = e^{\frac{m_{eff}g(h_2-h_1)}{kT}}$. По условию $h_2 — h_1 = \Delta h$ и $n_1/n_2=2$, значит: $2 = e^{\frac{m_{eff}g\Delta h}{kT}}$.
3. Прологарифмируем обе части: $\ln(2) = \frac{m_{eff}g\Delta h}{kT}$.
4. Теперь найдем $m_{eff}$. Сила тяжести $F_g = mg = \rho Vg$. Сила Архимеда $F_A = \rho_{liquid}Vg$. Результирующая сила, стремящаяся «осадить» частицу, равна $F_g — F_A = (\rho — \rho_{liquid})Vg = \Delta\rho Vg$. Этой силе соответствует эффективная масса $m_{eff} = \Delta\rho V$.
5. Объем частицы (считаем ее шариком) $V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{1}{6}\pi\sigma^3$.
6. Подставим все в наше уравнение: $\ln(2) = \frac{\frac{1}{6}\pi\sigma^3 \Delta\rho g \Delta h}{kT}$.
7. Заменим $k = R/N_A$ и выразим $N_A$:
   $N_A = \frac{R}{\ln(2)kT} \cdot \frac{1}{6}\pi\sigma^3 \Delta\rho g \Delta h = \frac{R \cdot (\frac{1}{6}\pi\sigma^3 \Delta\rho g \Delta h)}{\ln(2) \cdot T}$.

Проверка и ответ

Подставив числовые значения (R ≈ 8.31 Дж/(моль·К), g ≈ 9.8 м/с²), мы можем провести расчет и получить значение $N_A$, близкое к реальному. Этот пример идеально демонстрирует, как фундаментальный закон управляет поведением системы, позволяя измерять мировые константы.

Мы освоили первый тип задач. Теперь перейдем к другому фундаментальному понятию кинетической теории, которое описывает хаотичное движение молекул — длине свободного пробега.

Фундамент второй, который раскрывает суть длины свободного пробега

Внутри газа молекулы находятся в непрерывном хаотичном движении, постоянно сталкиваясь друг с другом. Средняя длина свободного пробега ($\lambda$) — это одна из важнейших характеристик этого движения. Она определяет, какое среднее расстояние молекула успевает пролететь «в одиночестве», то есть между двумя последовательными столкновениями.

Это понятие описывается формулой:

$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$

Давайте проанализируем ее. Длина пробега $\lambda$ обратно пропорциональна:

• Концентрации молекул $n$: Чем больше молекул в единице объема, тем чаще они сталкиваются, и тем короче будет их свободный пробег. Это логично.
• Квадрату эффективного диаметра молекулы $d^2$: Чем крупнее «мишени» (молекулы), тем выше вероятность столкновения, и, соответственно, тем меньше $\lambda$.

Часто решать задачи удобнее, используя макропараметры системы — давление $P$ и температуру $T$. Вспомнив уравнение состояния идеального газа в форме $P=nkT$, мы можем выразить концентрацию $n = P/kT$ и подставить в первую формулу. Получится альтернативное, но полностью эквивалентное выражение:

$\lambda = \frac{kT}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$

Эта формула позволяет сделать важные качественные выводы. Как изменится $\lambda$, если при постоянной температуре увеличить давление? Давление стоит в знаменателе, значит, $\lambda$ уменьшится. А если при постоянном давлении нагреть газ? Температура $T$ стоит в числителе, значит, $\lambda$ увеличится.

Теперь, вооружившись двумя вариантами формулы, мы готовы к решению задач разного типа. Начнем с самого простого случая.

Практическое применение для расчета пробега в заданных условиях

Рассмотрим типичную задачу (на основе 5.113): найти среднюю длину свободного пробега молекул углекислого газа при заданных давлении и температуре.

Анализ условия («Дано»)

• Тип газа: Углекислый газ ($CO_2$).
• Давление: $p = 13,3 \text{ Па}$.
• Температура: $t = 100^\circ\text{С}$. Критически важный шаг — переводим в Кельвины: $T = 100 + 273 = 373 \text{ К}$.
• Эффективный диаметр молекул: $\sigma = 0,32 \text{ нм} = 0,32 \cdot 10^{-9} \text{ м}$.

Выбор инструмента

Поскольку нам даны макропараметры — давление $P$ и температура $T$ — наиболее удобной для расчета будет вторая формула: $\lambda = \frac{kT}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$.

Пошаговое решение

Теперь просто подставляем все значения в формулу, используя значение константы Больцмана $k \approx 1,38 \cdot 10^{-23} \text{ Дж/К}$.

1. Вычисляем числитель: $kT = (1,38 \cdot 10^{-23}) \cdot 373 \approx 5,15 \cdot 10^{-21}$.
2. Вычисляем знаменатель: $\sqrt{2} \pi d^2 P = \sqrt{2} \cdot \pi \cdot (0,32 \cdot 10^{-9})^2 \cdot 13,3 \approx 6,05 \cdot 10^{-18}$.
3. Находим результат: $\lambda = \frac{5,15 \cdot 10^{-21}}{6,05 \cdot 10^{-18}} \approx 8,5 \cdot 10^{-4} \text{ м}$ или 0,85 мм.

Анализ результата

Полученное значение (почти миллиметр) на много порядков больше, чем размер самой молекулы ($~0,3$ нм). Это полностью физически осмысленно: в условиях довольно низкого давления (13,3 Па — это примерно в 7600 раз меньше атмосферного) молекулы пролетают значительные по их меркам расстояния, прежде чем столкнуться.

Мы научились находить $\lambda$ по макропараметрам. А что, если нам известны микропараметры, например, концентрация частиц, как это бывает в условиях вакуума?

Решаем задачу о длине пробега в условиях космоса

Теперь рассмотрим другую ситуацию — движение искусственного спутника на большой высоте (задача 5.114). Здесь давление и температура нам неизвестны, зато манометр измерил концентрацию частиц.

Анализ условия («Дано»)

• Высота: $h = 300 \text{ км}$ (это контекст, а не расчетная величина).
• Концентрация частиц: $n = 10^{15} \text{ м}^{-3}$.
• Диаметр частиц (условно): $\sigma = 0,2 \text{ нм} = 0,2 \cdot 10^{-9} \text{ м}$.

Выбор инструмента

В этой задаче нам напрямую дана концентрация $n$. Поэтому нет никакого смысла использовать формулу с давлением и температурой. Мы выбираем основной, определяющий вид уравнения: $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$.

Пошаговое решение

Подставляем известные значения в эту простую формулу.

1. Рассчитываем знаменатель: $\sqrt{2} \pi d^2 n = \sqrt{2} \cdot \pi \cdot (0,2 \cdot 10^{-9})^2 \cdot 10^{15}$.
2. Это равно $\approx 1,414 \cdot 3,1416 \cdot (4 \cdot 10^{-20}) \cdot 10^{15} \approx 1,78 \cdot 10^{-4}$.
3. Находим $\lambda$: $\lambda = \frac{1}{1,78 \cdot 10^{-4}} \approx 5600 \text{ м}$ или 5,6 км.

Физический смысл

Результат поражает: на высоте 300 км среднее расстояние, которое пролетает частица газа до столкновения, составляет несколько километров! Это наглядно демонстрирует, насколько разреженной является атмосфера в ближнем космосе. Хотя там все еще есть частицы ($10^{15}$ в кубометре — это квадриллион), они находятся так далеко друг от друга, что среда представляет собой глубокий вакуум.

Длина пробега тесно связана с тем, как часто молекулы сталкиваются. Давайте углубимся в этот аспект и научимся рассчитывать частоту столкновений.

Углубляемся в детали и вычисляем частоту столкновений

Если мы знаем, какое среднее расстояние $\lambda$ пролетает молекула и с какой средней скоростью $$ она движется, мы легко можем найти, как часто она сталкивается с другими. Средняя частота столкновений для одной молекулы ($z$) определяется простой и логичной формулой:

$z = \frac{<v>}{\lambda}$

То есть, чтобы найти частоту, нам нужно знать и длину пробега, и среднюю скорость. Разберем это на примере задачи 5.117.

Анализ условия (задача 5.117)

• Газ: Азот ($N_2$).
• Давление: $p = 53,33 \text{ кПа} = 53330 \text{ Па}$.
• Температура: $t = 27^\circ\text{С}$, то есть $T = 300 \text{ К}$.
• Найти: среднее число столкновений в единицу времени ($z$).

Алгоритм из трех этапов

Наш план состоит из трех последовательных шагов: сначала находим $\lambda$, затем $$, и в конце — их отношение $z$.

1. Этап 1: Нахождение $\lambda$.

   Используем формулу через давление и температуру. Для азота эффективный диаметр $d \approx 0,37 \text{ нм} = 3,7 \cdot 10^{-10} \text{ м}$.

   $\lambda = \frac{kT}{\sqrt{2} \pi d^2 P} = \frac{(1,38 \cdot 10^{-23}) \cdot 300}{\sqrt{2} \pi (3,7 \cdot 10^{-10})^2 \cdot 53330} \approx 1,28 \cdot 10^{-7} \text{ м}$.

2. Этап 2: Нахождение средней арифметической скорости $$.

   Формула для средней арифметической скорости: $ = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}}$.

   Сначала найдем массу одной молекулы азота $N_2$. Молярная масса $M \approx 0,028 \text{ кг/моль}$, число Авогадро $N_A \approx 6,02 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$. Масса $m = M/N_A \approx 4,65 \cdot 10^{-26} \text{ кг}$.

   Теперь считаем скорость: $ = \sqrt{\frac{8 \cdot (1,38 \cdot 10^{-23}) \cdot 300}{\pi \cdot (4,65 \cdot 10^{-26})}} \approx 476 \text{ м/с}$.

3. Этап 3: Финальный расчет частоты $z$.

   $z = \frac{<v>}{\lambda} = \frac{476 \text{ м/с}}{1,28 \cdot 10^{-7} \text{ м}} \approx 3,72 \cdot 10^9 \text{ с}^{-1}$.

Вывод

Полученное число ошеломляет: при данных условиях каждая молекула азота испытывает почти 4 миллиарда столкновений в секунду! Это прекрасно иллюстрирует, насколько интенсивна жизнь на микроуровне, даже в газе при давлении вдвое ниже атмосферного.

Мы прошли полный путь: от понимания базовых формул до решения комплексных, многоэтапных задач. Пора подвести итоги.

Мы убедились, что успешное решение любой задачи по физике — это не судорожный поиск подходящего уравнения, а применение четкого алгоритма. Этот алгоритм всегда включает в себя анализ условия, выбор правильной физической модели (например, модель изотермической атмосферы или модель хаотичных столкновений), подбор соответствующего математического инструмента (барометрической формулы или формулы для длины пробега) и только после этого — аккуратный расчет и анализ результата. Понимание таких фундаментальных концепций, как распределение Больцмана и средняя длина свободного пробега, открывает путь к осмысленному решению широкого класса практических задач. Надеемся, этот детальный разбор поможет вам в дальнейшем изучении увлекательного мира молекулярной физики.