Сборник задач по электростатике: Конденсаторы и диэлектрики с примерами решений.

Фундамент электростатики, на котором держатся все расчеты конденсаторов

Прежде чем погружаться в решение задач, необходимо уверенно владеть базовым инструментарием. Любой, даже самый сложный расчет, связанный с конденсаторами, сводится к комбинации нескольких фундаментальных соотношений. Важно понимать не только сами формулы, но и физический смысл величин, которые в них входят.

Вот ключевые формулы, составляющие основу всех вычислений:

• Электроемкость плоского конденсатора (C): Она определяет способность конденсатора накапливать заряд и зависит исключительно от его геометрии и среды между пластинами. Формула имеет вид: C = ε₀εS/d, где ε₀ — электрическая постоянная, ε — диэлектрическая проницаемость вещества между пластинами (для вакуума ε=1), S — площадь пластин, а d — расстояние между ними.
• Связь заряда и напряжения: Заряд (Q), накопленный на пластинах, прямо пропорционален напряжению (V) между ними. Коэффициентом пропорциональности выступает емкость: Q = CV.
• Энергия конденсатора (W): Заряженный конденсатор обладает энергией электрического поля. Эту энергию можно рассчитать несколькими способами в зависимости от того, какие параметры известны: W = 1/2 * CV² или W = Q² / (2C).
• Напряженность поля (E): Внутри плоского конденсатора создается однородное электрическое поле, напряженность которого связана с напряжением и расстоянием: E = V/d.

Также стоит помнить о правилах соединения конденсаторов: при параллельном соединении общая емкость равна сумме емкостей (C_общ = C₁+C₂), а при последовательном складываются обратные величины (1/C_общ = 1/C₁ + 1/C₂). Освоив эти инструменты, можно с уверенностью приступать к практике.

Решаем первую задачу, разбирая связь энергии, заряда и геометрии

Теория обретает смысл только при ее применении. Давайте на конкретном примере (задача 9.114) пошагово разберем, как базовые формулы работают вместе для полного анализа системы.

Условие задачи 9.114: Разность потенциалов между пластинами плоского конденсатора U = 280 В. Площадь пластин конденсатора S = 0,01 м², поверхностная плотность заряда на пластинах σ = 495 нКл/м². Найти: а) напряженность Е поля; б) расстояние d между пластинами; в) скорость v электрона, прошедшего путь от одной пластины до другой; г) энергию W конденсатора; д) емкость С; е) силу притяжения F пластин.

Следуем четкому алгоритму решения.

1. Логика решения и выбор формул:
   • а) Напряженность (E): Можно найти через поверхностную плотность заряда: E = σ / ε₀ (для вакуума ε=1).
   • б) Расстояние (d): Зная E и U, используем связь напряженности и напряжения: d = U / E.
   • в) Скорость электрона (v): Работа поля (A = eU) переходит в кинетическую энергию электрона (mv²/2). Отсюда v = √(2eU/m).
   • д) Емкость (C): Сначала найдем полный заряд Q = σS. Затем, зная Q и U, находим емкость C = Q / U.
   • г) Энергия (W): Теперь, зная C и U, легко найти энергию: W = ½ CU².
   • е) Сила притяжения (F): Сила притяжения пластин F = Q² / (2ε₀S).
2. Математические преобразования и ответ:

   Последовательно подставляя известные значения в выведенные соотношения, мы находим все искомые величины. Этот пример наглядно демонстрирует, как, имея начальные данные, можно полностью «раскрутить» задачу, методично находя один параметр за другим, опираясь на базовый набор формул.

Как меняются параметры конденсатора, если его отключить от источника питания

Рассмотрим один из двух классических сценариев: конденсатор зарядили, а затем отключили от источника. После этого расстояние между его пластинами увеличили. Главный физический закон в этом случае — закон сохранения заряда. Поскольку конденсатор изолирован, заряд Q на его пластинах остается постоянным (Q = const). Все остальные параметры будут меняться.

Проанализируем это на примере задачи 9.117. Пусть изначально конденсатор с площадью пластин S=0,01 м² и расстоянием d₁=2 см был заряжен до напряжения U₁=3 кВ, а затем, после отключения от источника, пластины раздвинули до d₂=5 см.

• Емкость: Так как C ~ 1/d, при увеличении расстояния в d₂/d₁ = 2,5 раза, емкость уменьшится в 2,5 раза: C₂ = C₁ / 2,5.
• Напряжение: Из формулы Q = CV, так как Q — константа, а C уменьшилось, напряжение должно увеличиться: V₂ = Q / C₂ = (C₁V₁) / (C₁/2,5) = 2,5 * V₁. Напряжение вырастет до 7,5 кВ.
• Напряженность поля: Интересно, что напряженность E = Q / (ε₀S) в этом случае не изменится, так как она зависит только от заряда и площади пластин, которые постоянны.
• Энергия: Проанализируем энергию через формулу W = Q² / (2C). Поскольку Q постоянно, а C уменьшилось, энергия системы увеличится: W₂ = Q² / (2C₂) = Q² / (2 * (C₁/2,5)) = 2,5 * W₁.

Откуда берется дополнительная энергия? Она появляется за счет совершения внешней механической работы. Пластины конденсатора притягиваются друг к другу, и чтобы их раздвинуть, нужно приложить внешнюю силу, совершающую положительную работу против сил электрического поля. Эта работа и превращается в дополнительную энергию поля.

Что происходит с системой, когда источник напряжения остается подключенным

Теперь рассмотрим альтернативный сценарий. Что если мы изменяем расстояние между пластинами, но не отключаем конденсатор от источника? В этом случае главным инвариантом, то есть постоянной величиной, будет напряжение U, так как оно поддерживается источником (U = const). Заряд на пластинах теперь может меняться.

Возьмем для примера условия задачи 9.116, схожие с предыдущим случаем: S=0,01 м², d₁=2 см, U=3 кВ. Пластины раздвигают до d₂=5 см, не отключая источник.

• Емкость: Как и в прошлый раз, емкость, зависящая только от геометрии, уменьшится в 2,5 раза: C₂ = C₁ / 2,5.
• Напряженность поля: Так как U постоянно, а E = U/d, при увеличении расстояния d напряженность поля уменьшится: E₂ = U / d₂.
• Заряд: Из Q = CU, при постоянном U и уменьшении C, заряд на пластинах также уменьшится: Q₂ = C₂U = (C₁/2,5) * U = Q₁ / 2,5. Часть заряда «стечет» обратно в источник.
• Энергия: Используем формулу W = ½ CU². Поскольку U — константа, а C уменьшилось, энергия системы также уменьшится: W₂ = ½ C₂U² = W₁ / 2,5.

В этом сценарии энергия системы уменьшилась. Разница в энергиях была совершена работой источника тока по перемещению заряда от конденсатора обратно в цепь. Сравнивая эти два случая, мы видим, насколько критически важно определить, какая величина — заряд или напряжение — остается постоянной.

Как диэлектрик меняет правила игры и какая работа при этом совершается

Мы рассмотрели изменение геометрии. Теперь изменим «начинку» конденсатора, введя или удалив диэлектрик. Диэлектрик — это материал, который ослабляет электрическое поле внутри себя. Помещение диэлектрика с проницаемостью ε между пластинами увеличивает емкость конденсатора в ε раз: C_диэл = ε * C_вакуум.

Особый интерес представляет расчет работы, совершаемой при извлечении диэлектрика. Эта работа совершается против сил электрического поля, которые стремятся втянуть диэлектрик обратно, и равна изменению энергии системы (A = W_final — W_initial). Рассмотрим это на примере задачи 9.119.

Условие задачи 9.119: Плоский конденсатор с диэлектриком зарядили, его энергия W₁ = 20 мкДж. Затем конденсатор отключили от источника и вынули диэлектрик. Работа, совершенная против сил поля, составила A = 70 мкДж. Найти диэлектрическую проницаемость ε диэлектрика.

Логика решения:

1. Поскольку конденсатор был отключен от источника, его заряд Q оставался постоянным.
2. Энергия системы после извлечения диэлектрика (W₂) стала равна начальной энергии плюс работа, совершенная внешней силой: W₂ = W₁ + A = 20 мкДж + 70 мкДж = 90 мкДж.
3. Запишем формулы энергии для обоих состояний через постоянный заряд Q:
   • W₁ = Q² / (2 * C₁) , где C₁ — емкость с диэлектриком.
   • W₂ = Q² / (2 * C₂) , где C₂ — емкость без диэлектрика (в вакууме).
4. Разделив второе уравнение на первое, получим: W₂ / W₁ = C₁ / C₂.
5. Вспомним, что C₁ = ε * C₂. Следовательно, W₂ / W₁ = ε.
6. Подставляем значения: ε = 90 мкДж / 20 мкДж = 4,5.

Таким образом, анализ изменения энергии системы позволяет определить ключевую характеристику материала — его диэлектрическую проницаемость.

Универсальный алгоритм решения задач на конденсаторы

Мы рассмотрели ключевые сценарии по отдельности. Теперь можно свести все полученные знания в единый пошаговый план, который поможет системно подходить к решению практически любой задачи на конденсаторы.

1. Анализ системы: Внимательно прочитайте условие и определите, какой физический процесс происходит. Это может быть изменение геометрии (расстояния или площади), введение или извлечение диэлектрика, подключение к источнику или отключение от него.
2. Определение инварианта (ключевой шаг): Это самый важный этап анализа. Выясните, что в процессе остается неизменным:
   • Если система изолирована (отключена от источника), то постоянным остается заряд (Q = const).
   • Если система подключена к источнику, то постоянным остается напряжение (U = const).
3. Выбор формул: На основе определенного инварианта и того, что нужно найти, выберите наиболее удобные формулы. Например, при Q=const удобно использовать W = Q²/(2C), а при U=const — W = ½CU².
4. Решение в общем виде: Прежде чем подставлять числа, выполните все необходимые алгебраические преобразования и выразите искомую величину через данные в условии.
5. Расчет: Только на последнем этапе подставьте числовые значения и получите окончательный ответ.

Этот методичный подход превращает решение даже сложной задачи в понятную и предсказуемую процедуру, минимизируя вероятность ошибки.

Список использованной литературы

1. Валентина Сергеевна Волькенштейн