Решение задач по физике часто напоминает детективное расследование, где каждый элемент и условие — это улика, ведущая к разгадке. Сегодня мы разберем классический случай из оптики: прохождение света через систему из скрещенных поляризаторов, между которыми установлена кварцевая пластина. Условие гласит, что интенсивность света при этом уменьшается в 3 раза. Наша цель — не просто найти ответ, а построить полную логическую цепочку, разобравшись в двух фундаментальных явлениях: оптической активности и законе Малюса. Это позволит понять физику процесса от начала и до конца.
Как устроена наша оптическая система
Чтобы понять, что происходит, давайте мысленно проследим путь луча света. Сначала он попадает на первый поляризатор, который отсекает все колебания световой волны, кроме тех, что лежат в одной плоскости. На выходе мы получаем плоскополяризованный свет.
Далее на его пути стоит второй поляризатор, который называют анализатором. В нашей задаче поляризаторы «скрещены». Это означает, что их плоскости пропускания перпендикулярны друг другу (угол 90°). Если бы между ними ничего не было, анализатор полностью заблокировал бы свет, прошедший через первый поляризатор. На выходе была бы полная темнота.
Но в систему вставлена кварцевая пластина, и она кардинально меняет ситуацию. Именно она «поворачивает» плоскость поляризации света так, что он снова может частично пройти через анализатор.
Что такое оптическая активность и какова роль кварца
Ключевой элемент, который позволяет свету «обмануть» скрещенные поляризаторы, — это кварц. Кварц относится к классу оптически активных материалов. Это означает, что при прохождении через него плоскополяризованного света он вращает саму плоскость поляризации. Причиной этого уникального свойства является винтовая кристаллическая структура кварца.
Угол, на который поворачивается плоскость поляризации, прямо пропорционален толщине пластины. Эта зависимость описывается простой, но важной формулой:
φ = αd
Где:
- φ — итоговый угол поворота плоскости поляризации (в радианах).
- α — удельное вращение, постоянная величина для конкретного материала (в нашем случае для кварца [α] = 0,52 рад/мм).
- d — толщина пластины, которую нам и предстоит найти (в миллиметрах).
Таким образом, чем толще пластина, тем на больший угол она повернет свет.
Как закон Малюса связывает угол поворота с интенсивностью
Итак, мы знаем, что кварц поворачивает свет на угол φ. Но как понять, какая часть света пройдет через второй поляризатор (анализатор)? Здесь нам на помощь приходит закон Малюса. Он устанавливает прямую связь между интенсивностью света, выходящего из анализатора, и углом между плоскостью поляризации падающего на него света и осью пропускания самого анализатора.
Формула закона Малюса выглядит так:
I = I₁ cos²θ
В этой формуле I₁ — это интенсивность света, который падает на анализатор (то есть прошел первый поляризатор и кварц), а θ — это тот самый угол. В нашей задаче угол θ — это и есть угол поворота φ, который обеспечила кварцевая пластина. Именно этот закон является мостиком между углом поворота и итоговой интенсивностью света.
Проводим пошаговый вывод расчетной формулы
Теперь у нас есть все теоретические инструменты для решения. Объединим их в строгую математическую модель, двигаясь шаг за шагом.
- Обозначим интенсивность естественного света, падающего на всю систему, как I₀. После прохождения первого поляризатора интенсивность света (обозначим ее I₁) станет в два раза меньше, так как поляризатор отсекает половину некогерентных колебаний. Таким образом, I₁ = I₀/2.
- Далее этот свет проходит через кварц (где его плоскость поляризации поворачивается на угол φ) и попадает на анализатор. Интенсивность света на выходе из анализатора (I₂) по закону Малюса будет равна: I₂ = I₁ cos²φ.
- Теперь используем ключевое условие из задачи: интенсивность света, падающего на анализатор (то есть I₁), уменьшается в 3 раза. Это значит, что интенсивность на выходе I₂ = I₁/3.
- Мы получили два выражения для I₂. Приравняем их: I₁/3 = I₁ cos²φ. Интенсивность I₁ сокращается, и мы получаем элегантное уравнение: cos²φ = 1/3.
- Извлекаем корень: cos(φ) = 1/√3. Отсюда находим сам угол поворота: φ = arccos(1/√3).
- Мы помним, что угол поворота также связан с толщиной пластины формулой φ = αd. Подставим в нее наше значение угла: αd = arccos(1/√3).
- Осталось выразить искомую толщину d. Это и есть наша финальная расчетная формула: d = arccos(1/√3) / α.
Вычисляем минимальную толщину и анализируем результат
Мы вывели общую формулу для толщины. Теперь — последний шаг: подставим в нее известные числовые значения. Из условия задачи нам дано удельное вращение кварца α = 0,52 рад/мм.
d = arccos(1/√3) / 0,52
Вычисляя значение арккосинуса (в радианах), получаем:
d ≈ 0,955 / 0,52 ≈ 1,84 мм
Почему в задаче спрашивается именно о минимальной толщине? Дело в том, что функция косинуса периодична. Тот же самый результат по интенсивности (уменьшение в 3 раза) мы бы получили, если бы пластина повернула свет на угол φ + π, φ + 2π и так далее. Это соответствовало бы большей толщине пластины. Нас же интересует самый первый, наименьший угол, который даст нужный эффект, а значит, и наименьшая толщина.
Ключевые выводы и алгоритм решения похожих задач
Разбор этой задачи дает нам четкий алгоритм, который можно применять для решения аналогичных проблем с поляризацией и оптической активностью.
- Анализ системы: Определите все элементы (поляризаторы, активные среды) и их взаимное расположение (параллельное, скрещенное, под углом).
- Применение закона Малюса: Свяжите известное изменение интенсивности света с углом между поляризатором и анализатором (или углом поворота).
- Использование формулы вращения: Свяжите найденный угол поворота с физическими параметрами оптически активной среды (в данном случае, с толщиной кварца через формулу φ = αd).
- Решение уравнения: Решите полученное уравнение относительно неизвестной величины.
Всегда обращайте пристальное внимание на условие: относительно какой интенсивности дано изменение? Интенсивности света, падающего на всю систему (I₀), или интенсивности, прошедшей через первый поляризатор (I₁)? Это ключевой момент, определяющий правильность вашего решения.