Анализ и решение задачи на расчет намагниченности парамагнетика в поле кругового тока.

Жидкий кислород, вопреки интуиции, обладает удивительным свойством — он является парамагнетиком. Это означает, что он способен взаимодействовать с магнитным полем, притягиваясь к нему. Это явление лежит в основе множества физических задач, которые часто ставят студентов в тупик из-за необходимости оперировать сразу тремя векторными величинами: индукцией (B), напряженностью (H) и намагниченностью (M). Типичные сложности возникают при попытке понять, какая из этих величин является причиной, а какая — следствием, и как они связаны друг с другом в конкретной среде.

Цель этой статьи — не просто предоставить готовое решение задачи о намагниченности жидкого кислорода в поле кругового тока. Наша миссия — разобрать этот кейс по косточкам и вооружить вас универсальной методологией. К концу прочтения вы будете не просто знать ответ, но и понимать логику, которая позволит вам уверенно решать целый класс подобных задач по электромагнетизму.

Первый шаг к решению — это глубокий анализ условия задачи

Профессиональный подход к любой физической задаче начинается не с судорожного поиска формул, а с внимательной «деконструкции» условия. Давайте выделим ключевую информацию, определим искомую величину и построим четкую физическую модель.

Нам даны следующие исходные данные:

  • Радиус кругового контура: r = 40 см
  • Сила тока в контуре: I = 1 А
  • Магнитная восприимчивость жидкого кислорода: χ = 3,4 * 10⁻³ (безразмерная величина)

Первым делом переведем все единицы в систему СИ для корректных расчетов: r = 40 см = 0,4 м.

Что от нас требуется найти? Искомая величина — это намагниченность (M) жидкого кислорода в центре контура. Физическая система выглядит так: у нас есть источник внешнего магнитного поля (круговой виток с током) и среда (жидкий кислород), которая на это поле реагирует. Ключевая деталь, указанная в условии, заключается в том, что кислород — парамагнетик. Это говорит нам о том, что его магнитная восприимчивость χ положительна, и он будет намагничиваться в направлении внешнего поля.

Фундаментальные законы в действии, или как связаны поле, ток и намагниченность вещества

Разобравшись с условием, необходимо построить теоретический фундамент. Взаимодействие магнитного поля с веществом описывается тремя ключевыми векторами: B, H и M. Давайте разберемся в роли каждого из них.

  1. Индукция магнитного поля (B): Это фундаментальная силовая характеристика магнитного поля. В нашем случае первоначальное поле создается электрическим током, текущим по витку. В вакууме (или воздухе) это поле полностью описывается вектором B. Для центра кругового витка его значение рассчитывается по формуле: B = (μ₀ * I) / (2 * R).
  2. Намагниченность (M): Когда внешнее поле B проникает в вещество, подобное жидкому кислороду, оно воздействует на микроскопические магнитные моменты атомов (или молекул). В парамагнетике эти моменты выстраиваются преимущественно по направлению поля, создавая собственное, внутреннее магнитное поле среды. Намагниченность M — это как раз и есть мера этого отклика, то есть суммарный магнитный момент единицы объема вещества.
  3. Напряженность магнитного поля (H): Это вспомогательная, но чрезвычайно удобная величина. Вектор H описывает магнитное поле, создаваемое только внешними источниками (в нашем случае — током в витке), и как бы «игнорирует» отклик самой среды. Это позволяет разделить поле на внешнюю причину (H) и реакцию вещества (M).

Эти три величины связаны между собой двумя ключевыми уравнениями, которые являются основой для решения нашей задачи:

B = μ₀(H + M)
M = χ * H

Первая формула показывает, что полная индукция B в веществе складывается из поля от внешних источников (через H) и поля отклика самого вещества (M). Вторая формула определяет сам этот отклик: намагниченность прямо пропорциональна напряженности поля H, где коэффициентом пропорциональности выступает магнитная восприимчивость χ. Именно эта система уравнений является ключом к решению.

Разработка стратегии, которая превращает вычисления в логическую цепочку

Имея на руках условие и теоретический аппарат, мы можем составить четкий и логичный план действий. Напрямую вычислить намагниченность M мы не можем. Однако мы знаем, что она связана с напряженностью H через известную нам восприимчивость χ. Следовательно, наша промежуточная цель — найти величину H.

Как найти H? Вектор H по своему определению связан с внешними токами, которые создают поле. А поле от внешних токов мы можем рассчитать напрямую — это индукция B, которую создает наш виток. Таким образом, выстраивается простая и эффективная стратегия из трех шагов:

  1. Шаг 1: Рассчитать индукцию магнитного поля B в центре витка, используя известные параметры тока (I) и радиуса (R).
  2. Шаг 2: Используя найденное значение B, определить напряженность магнитного поля H.
  3. Шаг 3: Зная напряженность H и магнитную восприимчивость жидкого кислорода χ, рассчитать искомую намагниченность M.

Этот алгоритм превращает решение из хаотичного набора формул в последовательный и ясный процесс. Приступим к его реализации.

Шаг 1. Расчет индукции магнитного поля B, создаваемого круговым током

Начнем с первого пункта нашего плана — расчета индукции B. Это поле создается исключительно током в контуре. Формула для расчета индукции в центре кругового витка с током хорошо известна:

B = (μ₀ * I) / (2 * R)

Разберем компоненты этой формулы:

  • B — искомая индукция, измеряется в Теслах (Тл).
  • μ₀ — магнитная постоянная, фундаментальная константа, равная 4π * 10⁻⁷ Тл·м/А.
  • I — сила тока в витке, по условию 1 А.
  • R — радиус витка, по условию 0,4 м.

Теперь подставим наши числовые значения в формулу и проведем вычисление:

B = (4π * 10⁻⁷ Тл·м/А * 1 А) / (2 * 0,4 м) ≈ (12,57 * 10⁻⁷) / 0,8 ≈ 1,57 * 10⁻⁶ Тл.

Давайте проведем проверку размерности, чтобы убедиться в корректности формулы. [Тл·м/А] * [А] / [м] = [Тл]. Размерность верна. Итак, мы нашли индукцию магнитного поля, которую создает наш виток в пустоте. Это значение является отправной точкой для дальнейших расчетов.

Шаг 2. Переход к напряженности поля H как ключевой этап при работе с магнетиками

Мы рассчитали индукцию B, создаваемую внешним током. Теперь нам нужно найти напряженность H внутри жидкого кислорода. В этом и заключается ключевой физический смысл вектора H: он характеризует поле, создаваемое только внешними токами, и не зависит от отклика среды.

Связь между индукцией поля от внешних источников B и напряженностью H очень проста:

B = μ₀ * H

Отсюда мы можем легко выразить искомую напряженность:

H = B / μ₀

Здесь B — это то самое значение, которое мы рассчитали на предыдущем шаге, так как оно полностью определяется внешним током в витке. Подставим значения:

H = (1,57 * 10⁻⁶ Тл) / (4π * 10⁻⁷ Тл·м/А) ≈ (1,57 * 10⁻⁶) / (12,57 * 10⁻⁷) ≈ 1,25 А/м.

Проверим размерность: [Тл] / [Тл·м/А] = [А/м]. Все верно, напряженность магнитного поля измеряется в Амперах на метр. Мы успешно вычислили величину, которая непосредственно «возбуждает» нашу парамагнитную среду. Остался финальный шаг.

Шаг 3. Финал вычислений, или как магнитная восприимчивость определяет намагниченность

Мы подошли к завершающему этапу решения задачи. У нас есть значение напряженности поля H, которое действует на жидкий кислород, и мы знаем, насколько этот материал «отзывчив» на внешнее поле — это определяется его магнитной восприимчивостью χ. Физика реакции вещества на поле описывается простой и элегантной формулой:

M = χ * H

В этой формуле заключен весь смысл процесса: намагниченность среды (M) прямо пропорциональна возбуждающему полю (H). Нам известны обе величины в правой части уравнения:

  • χ = 3,4 * 10⁻³ (из условия)
  • H ≈ 1,25 А/м (рассчитано на Шаге 2)

Подставляем значения и находим итоговый ответ:

M = (3,4 * 10⁻³) * 1,25 А/м ≈ 0,00425 А/м.

Так как магнитная восприимчивость χ является безразмерной величиной, размерность намагниченности M совпадает с размерностью напряженности H, то есть А/м.

Таким образом, окончательный ответ на задачу:

Намагниченность жидкого кислорода в центре кругового контура составляет приблизительно 4,25 * 10⁻³ А/м.

Задача решена. Но что более важно — мы освоили универсальный метод. Давайте подведем итоги и закрепим полученные знания, чтобы они остались с вами и для решения будущих задач.

Мы прошли полный путь от анализа условия до получения ответа, следуя четкой стратегии: B → H → M. Этот путь является фундаментальным при решении большинства задач на магнетизм в веществе. Главный методический вывод, который стоит запомнить: ключевым действием является логический переход от индукции поля B к напряженности H, так как именно H напрямую связана с внешними источниками поля (токами). После того как H найдена, отклик среды (намагниченность M) определяется элементарно через магнитную восприимчивость.

Не забывайте также про полезную привычку — проверку размерностей на каждом этапе вычислений. Это простой, но мощный инструмент самоконтроля, который убережет вас от досадных ошибок. Теперь вы обладаете не просто решением одного частного случая, а надежным алгоритмом для анализа широкого круга проблем электромагнетизма.

Похожие записи