Электростатика: Подробное пошаговое руководство по решению задач для контрольной работы

В мире, где доминируют технологии – от смартфонов до ускорителей частиц, – фундаментальное понимание электричества является краеугольным камнем прогресса. Электростатика, раздел физики, изучающий взаимодействие неподвижных электрических зарядов, их полей и потенциалов, лежит в основе всей электродинамики и имеет решающее значение для множества технических и естественно-научных специальностей. От умения анализировать поведение заряженных частиц до проектирования сложных электронных систем – все это начинается с прочного освоения основ, ведь без базовых знаний невозможно двигаться вперед.

Данное руководство призвано стать вашим надежным компаньоном в подготовке к контрольной работе по электростатике. Мы не просто представим формулы, но и шаг за шагом проведем вас через лабиринты теоретических концепций, демонстрируя, как они воплощаются в практических задачах. Структура материала тщательно продумана: от базовых определений до тонкостей движения частиц и поведения поля в диэлектриках, завершаясь исчерпывающим набором примеров, которые не только покажут «как», но и объяснят «почему», помогая вам не только успешно сдать контрольную, но и глубоко понять сам предмет.

Фундаментальные основы электростатики: Заряды, поля и их взаимодействие

В основе всего электрического мира лежит понятие заряда, невидимой, но всепроникающей сущности, которая определяет, как частицы и тела взаимодействуют друг с другом. Чтобы понять электростатику, нам необходимо заложить прочный фундамент, начиная с этих базовых элементов и законов, которые ими управляют.

Электрический заряд и его свойства

Исторически человечество впервые столкнулось с электричеством в виде статического электричества, наблюдая, как натертый янтарь притягивает легкие предметы. Сегодня мы знаем, что за этим явлением стоит электрический заряд – фундаментальная физическая величина, характеризующая способность частиц или тел участвовать в электромагнитных взаимодействиях. Это не просто абстрактное число; заряд является неотъемлемым свойством материи, таким же, как масса, и его невозможно отделить от частицы.

Ключевые свойства электрического заряда:

• Дискретность: Заряд не может принимать произвольные значения. Он всегда кратен элементарному заряду e, который является наименьшим по модулю зарядом, существующим в природе.
  • e ≈ 1,602 · 10^-19 Кл (Кулон). Более точное значение: e = 1,602176634 · 10^-19 Кл.
  • Таким образом, заряд любого тела q всегда может быть выражен как q = N|e|, где N — целое число. Это означает, что не существует, например, заряда, равного 0,5e, что является прямым следствием квантовой природы электричества.
• Сохранение: В любой замкнутой системе алгебраическая сумма электрических зарядов остается постоянной. Это один из самых фундаментальных законов природы, известный как закон сохранения электрического заряда. Если в системе произошло перераспределение зарядов (например, при трении или контакте), то общий заряд до и после процесса останется неизменным, подтверждая невозможность создания или уничтожения заряда.
• Инвариантность: В отличие от массы, которая может изменяться со скоростью согласно теории относительности, электрический заряд не зависит от скорости частицы. Это делает его особенно устойчивой характеристикой, применимой во всех инерциальных системах отсчета.
• Два типа: Существуют два рода зарядов: положительные и отрицательные. Общепринято, что электроны несут отрицательный элементарный заряд, а протоны – положительный.
• Взаимодействие: Одноименные заряды (положительный с положительным, отрицательный с отрицательным) отталкиваются, а разноименные (положительный с отрицательным) притягиваются. Это взаимодействие является основой всех электростатических явлений, определяя динамику поведения заряженных частиц.

Электрическое поле: Понятие и характеристики

Если заряд – это источник взаимодействия, то электрическое поле – это посредник, через который это взаимодействие осуществляется. Электрическое поле – это особый вид материи, существующий вокруг электрически заряженных тел и распространяющий их влияние на другие заряды. Это не просто математическая абстракция, а реальный физический объект, обладающий энергией и импульсом, что подтверждается его способностью совершать работу.

Основные характеристики электрического поля:

• Материальность: Электрическое поле не является пустым пространством. Оно реально, обладает энергией и может передавать взаимодействие на расстоянии со скоростью света.
• Источники поля: Электрическое поле создается электрическими зарядами. Если заряды неподвижны, поле называется электростатическим.
• Действие на заряды: Главное свойство электрического поля – оно действует с силой на любой заряд, помещенный в это поле. Эта сила и есть то, что мы ощущаем как притяжение или отталкивание.
• Графическое представление: Для визуализации электрических полей используются силовые линии (или линии напряженности). Они начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных (или уходят в бесконечность). Густота силовых линий указывает на интенсивность поля, при этом их направление всегда совпадает с направлением вектора напряженности.

Закон Кулона: Взаимодействие точечных зарядов

Именно закон Кулона стал первым количественным законом электростатики, открыв дорогу к пониманию электрических взаимодействий. В 1785 году Шарль Кулон установил эмпирически, что сила взаимодействия между двумя точечными зарядами подчиняется простой зависимости.

Закон Кулона гласит: Сила взаимодействия F двух точечных зарядов q₁ и q₂ в вакууме направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды, прямо пропорциональна произведению их величин и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними.

Математически это выражается формулой:

F = k ⋅ |q1q2| / r2

Где:

• F – сила взаимодействия (измеряется в Ньютонах, Н).
• q₁, q₂ – величины точечных зарядов (измеряются в Кулонах, Кл). Модуль |q₁q₂| указывает, что сила всегда положительна, а направление определяется знаками зарядов.
• r – расстояние между зарядами (измеряется в метрах, м).
• k – коэффициент пропорциональности, который зависит от выбранной системы единиц. В СИ он выражается как k = 1 / (4πε0).

Численное значение k в СИ составляет приблизительно 9 · 10⁹ Н·м²/Кл². Более точное значение k = 8,9875517873681764 · 10⁹ Н·м²/Кл².

Взаимодействие в диэлектрической среде:
Когда заряды находятся не в вакууме, а в однородном изотропном диэлектрике (веществе, не проводящем ток), сила Кулона уменьшается. Это происходит из-за поляризации диэлектрика, которая создает внутреннее поле, ослабляющее внешнее. Коэффициент ослабления характеризуется диэлектрической проницаемостью среды ε.

F = k ⋅ |q1q2| / (εr2)

Важно помнить, что сила Кулона является векторной величиной, что требует при решении задач с несколькими зарядами не только учета направления каждой силы, но и выполнения векторного сложения, что значительно усложняет расчеты.

Принцип суперпозиции электрических полей

Когда в пространстве присутствует несколько зарядов, каждый из них создает свое собственное электрическое поле. Возникает вопрос: как эти поля взаимодействуют и что представляет собой результирующее поле? Ответ дает принцип суперпозиции, который является одним из фундаментальных в электродинамике.

Принцип суперпозиции электрических полей гласит: Напряженность электрического поля E, созданного несколькими неподвижными точечными зарядами, равна векторной сумме напряженностей электрических полей, которые создавал бы каждый из этих зарядов в той же точке наблюдения в отсутствие остальных.

Математически это выглядит как:

Eобщ = E1 + E2 + ... + En

Где E_i – напряженность поля, создаваемого i-м зарядом.

Аналогично, для электрического потенциала, который является скалярной величиной, принцип суперпозиции формулируется так:

Принцип суперпозиции потенциалов: Потенциал электрического поля, созданного системой зарядов в данной точке, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым зарядом в этой точке в отсутствие остальных.

φобщ = φ1 + φ2 + ... + φn

При решении задач, связанных с принципом суперпозиции, крайне важно уделять внимание векторному характеру напряженности, так как неправильное сложение векторов является частой причиной ошибок, тогда как для скалярного потенциала задача значительно упрощается, поскольку потенциалы просто суммируются алгебраически.

Напряженность и потенциал: Основные характеристики электростатического поля

Представьте себе электрическое поле как невидимую сеть, пронизывающую пространство. Чтобы описать эту сеть, физики используют две ключевые характеристики: напряженность, которая говорит нам о силовом воздействии поля, и потенциал, который раскрывает его энергетическую природу. Эти два понятия тесно связаны и дают полное представление о состоянии электростатического поля в любой точке.

Напряженность электрического поля: Определение и расчет

Напряженность электрического поля – это своего рода «визитная карточка» поля, указывающая на его способность действовать с силой на заряды.

Определение: Напряженность электрического поля E – это векторная физическая величина, характеризующая электрическое поле в данной точке и численно равная отношению силы F, действующей на неподвижный точечный пробный заряд q₀, помещенный в данную точку поля, к величине этого заряда.

E = F / q0

Единица измерения напряженности в СИ – вольт на метр (В/м) или ньютон на кулон (Н/Кл). Эти единицы эквивалентны.

Напряженность поля точечного заряда:
Пользуясь законом Кулона, можно вывести формулу для напряженности поля, создаваемого точечным зарядом q на расстоянии r от него в вакууме:

E = k ⋅ |q| / r2

Где k = 1 / (4πε0).

Направление вектора E всегда совпадает с направлением силы, действующей на положительный пробный заряд. То есть, от положительного заряда E направлено наружу, а к отрицательному – внутрь.

Напряженность поля системы зарядов:
Для системы зарядов используется принцип суперпозиции. Результирующая напряженность E_общ в любой точке пространства равна векторной сумме напряженностей E_i, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

Eобщ = ΣEi

Это означает, что для нахождения результирующего вектора необходимо разложить каждый вектор E_i на компоненты по осям координат и затем сложить эти компоненты.

Графическое представление (силовые линии):

• Силовые линии – это линии, касательные к которым в каждой точке совпадают по направлению с вектором напряженности E.
• Они всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных (или уходят в бесконечность).
• Они никогда не пересекаются.
• Их густота пропорциональна величине напряженности поля (где линии плотнее, поле сильнее).

Электрический потенциал: Определение и расчет

В отличие от напряженности, потенциал – это скалярная характеристика поля, которая отражает его энергетический потенциал, или способность совершать работу.

Определение: Электрический потенциал φ – это скалярная энергетическая характеристика электростатического поля, определяющая потенциальную энергию, которой обладает единичный положительный пробный заряд, помещенный в данную точку поля.

φ = Wp / q0

Единица измерения потенциала в СИ – вольт (В). Один вольт – это потенциал такой точки поля, в которой единичный положительный заряд в один кулон обладает потенциальной энергией в один джоуль.

Потенциал поля точечного заряда:
Потенциал, создаваемый точечным зарядом q на расстоянии r от него в вакууме, определяется формулой:

φ = k ⋅ q / r

Где k = 1 / (4πε0).

Важно отметить, что в отличие от напряженности, потенциал точечного заряда может быть как положительным (для положительного заряда), так и отрицательным (для отрицательного заряда). В формуле для потенциала мы используем знак заряда, а не его модуль. Потенциал в бесконечности обычно принимается за ноль, поскольку именно там влияние заряда становится пренебрежимо малым.

Потенциал поля системы зарядов:
Благодаря скалярности потенциала, для системы зарядов он находится простым алгебраическим суммированием потенциалов, создаваемых каждым зарядом:

φобщ = Σφi

Эквипотенциальные поверхности:
Эквипотенциальные поверхности – это поверхности, во всех точках которых потенциал электрического поля имеет одно и то же значение. Представьте их как линии уровня на географической карте – они показывают, где «высота» (потенциал) одинакова.

• Перемещение заряда вдоль эквипотенциальной поверхности не требует совершения работы электрическим полем, поскольку Δφ = 0, а работа A = qΔφ = 0.
• Силовые линии напряженности поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Это логично, ведь сила F = qE совершает работу только при перемещении вдоль линий напряженности (где меняется потенциал), а не перпендикулярно им.

Связь между напряженностью и потенциалом

Между векторной характеристикой E и скалярной φ существует глубокая и фундаментальная связь, которая позволяет переходить от одной к другой.

Формула связи:

E = -grad φ (или E = -∇φ)

В одномерном случае, например, вдоль оси x, это соотношение упрощается до:

Ex = - dφ / dx

Физический смысл знака «минус» заключается в том, что вектор напряженности E всегда направлен в сторону наибольшего убывания потенциала. То есть, силовые линии поля указывают на «спуск» с более высоких потенциальных «холмов» к более низким «долинам», что и обуславливает движение положительного заряда в этом направлении.

Эта связь также объясняет, почему линии напряженности всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям. Если бы у вектора E была компонента, параллельная эквипотенциальной поверхности, это означало бы, что потенциал изменяется вдоль этой поверхности, что противоречит ее определению. Таким образом, E может иметь компоненты только перпендикулярно эквипотенциальным поверхностям, указывая на направление изменения потенциала.

Разность потенциалов (Напряжение):
Разность потенциалов U между двумя точками поля (напряжение) численно равна работе электрического поля по перемещению единичного положительного заряда из начальной точки в конечную.

U12 = φ1 - φ2 = A12 / q

Эта формула демонстрирует, что потенциал – это энергетический уровень поля, а разность потенциалов – это мера энергии, которая может быть получена или затрачена при перемещении заряда между двумя точками, что имеет критическое значение для понимания работы электрических цепей.

Работа электрического поля и потенциальная энергия зарядов

Электрическое поле не просто существует в пространстве; оно способно совершать работу над зарядами, перемещая их, и обладает потенциальной энергией, которая может переходить в другие виды энергии. Понимание этих концепций критически важно для анализа динамики заряженных частиц и энергетических процессов.

Работа электрического поля по перемещению заряда

Одним из наиболее важных свойств электростатического поля является то, что работа его сил по перемещению заряда не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек. Это свойство характерно для консервативных полей, к которым относится и гравитационное поле.

Формула для работы:
Работа A₁₂ сил электростатического поля по перемещению электрического заряда q из точки 1 с потенциалом φ₁ в точку 2 с потенциалом φ₂ вычисляется по формуле:

A12 = q(φ1 - φ2)

Где:

• A₁₂ – работа электрического поля (измеряется в Джоулях, Дж).
• q – величина перемещаемого заряда (измеряется в Кулонах, Кл).
• φ₁ и φ₂ – потенциалы поля в начальной и конечной точках соответственно (измеряются в Вольтах, В).

Независимость работы от траектории:
Этот ключевой факт означает, что если заряд перемещается из точки А в точку Б по прямой, по ломаной линии или по сложной кривой, работа поля будет одной и той же. Это свойство вытекает из консервативности электростатического поля и позволяет значительно упрощать расчеты, поскольку нет необходимости учитывать сложную форму траектории, что также позволяет ввести понятие потенциальной энергии.

Потенциальная энергия взаимодействия зарядов

Работа, совершаемая полем, тесно связана с изменением потенциальной энергии системы. Подобно тому, как тело в поле тяжести обладает потенциальной энергией, зависящей от его высоты, заряд в электрическом поле обладает потенциальной энергией, зависящей от его положения в этом поле.

Связь работы и потенциальной энергии:
Работа электростатического поля равна убыли потенциальной энергии системы зарядов:

A12 = -ΔWp = Wp1 - Wp2

Где W_p1 и W_p2 – потенциальные энергии заряда в начальной и конечной точках.

Потенциальная энергия заряда в электрическом поле:
Потенциальная энергия W_p заряда q в электрическом поле с потенциалом φ определяется как:

Wp = qφ

Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов:
Для системы из двух точечных зарядов q₁ и q₂, расположенных на расстоянии r друг от друга в вакууме, потенциальная энергия взаимодействия:

Wp = k ⋅ q1q2 / r

Где k = 1 / (4πε0).

Анализ знака потенциальной энергии:

• Если заряды одноименные (оба положительные или оба отрицательные), то W_p > 0. Это соответствует отталкиванию: для их сближения необходимо совершить работу против сил поля, а поле совершает отрицательную работу.
• Если заряды разноименные (один положительный, другой отрицательный), то W_p < 0. Это соответствует притяжению: поле совершает положительную работу при их сближении.

Потенциальная энергия системы из нескольких зарядов:
В системе, состоящей из нескольких зарядов, полная потенциальная энергия равна сумме энергий взаимодействия всех возможных пар зарядов. Например, для трех зарядов q₁, q₂, q₃:

Wp = (k ⋅ q1q2 / r12) + (k ⋅ q1q3 / r13) + (k ⋅ q2q3 / r23)

Закон сохранения энергии в электростатическом поле

Когда заряженная частица движется в электростатическом поле, ее энергия может преобразовываться из одного вида в другой, но полная энергия системы остается постоянной – это проявление фундаментального закона сохранения энергии.

Формула закона сохранения энергии:
Сумма кинетической энергии E_к и потенциальной энергии W_p заряженной частицы в электростатическом поле остается постоянной:

Eк1 + Wp1 = Eк2 + Wp2 = const

Или, более подробно:

(1/2)mv12 + qφ1 = (1/2)mv22 + qφ2 = const

Где:

• m – масса частицы.
• v₁, v₂ – скорости частицы в начальной и конечной точках.
• q – заряд частицы.
• φ₁, φ₂ – потенциалы поля в начальной и конечной точках.

Кинетическая энергия:

Eк = (1/2)mv2

Этот закон позволяет решать задачи, связанные с изменением скорости частицы при прохождении ею определенных участков поля, или определять потенциалы, необходимые для достижения частицей заданной скорости. Если поле совершает положительную работу (потенциальная энергия уменьшается), кинетическая энергия частицы увеличивается. И наоборот, если частица движется против сил поля (потенциальная энергия увеличивается), ее кинетическая энергия уменьшается, что подтверждает общность закона сохранения энергии во всех физических процессах.

Движение заряженных частиц в электрическом поле: Анализ и примеры

Поведение микромира зачастую определяется действием электрических сил. Электроны в электронно-лучевых трубках, ионы в масс-спектрометрах, заряженные частицы в ускорителях – все они подчиняются законам движения в электрических полях. Понимание этих законов открывает путь к глубокому анализу и предсказанию их траекторий.

Сила, действующая на заряженную частицу в поле

Если заряженная частица находится в электрическом поле, на нее действует электрическая сила. Это прямое следствие определения напряженности электрического поля.

Формула силы:
На заряженную частицу с зарядом q, движущуюся (или находящуюся в покое) в электрическом поле с напряженностью E, действует электрическая сила F_E:

FE = qE

Где:

• F_E – электрическая сила (вектор).
• q – величина заряда частицы.
• E – напряженность электрического поля (вектор).

Направление силы:

• Если заряд q положительный, то вектор силы F_E совпадает по направлению с вектором E.
• Если заряд q отрицательный, то вектор силы F_E направлен противоположно вектору E.

Связь со вторым законом Ньютона:
Согласно второму закону Ньютона, сила, действующая на частицу, вызывает ее ускорение:

FE = ma

Следовательно, уравнение движения заряженной частицы в электрическом поле будет:

ma = qE

Из этого следует, что ускорение частицы a = (q/m)E. Это уравнение является ключом к анализу движения, поскольку оно связывает динамические параметры частицы (массу, ускорение) с электрическими (заряд, напряженность поля), что позволяет предсказывать ее траекторию.

Движение в однородном электрическом поле (прямолинейное и криволинейное)

Особый интерес представляет движение заряженной частицы в однородном электрическом поле, где вектор E постоянен по величине и направлению во всех точках. В таком поле сила F_E, действующая на частицу, также постоянна. Это делает анализ движения аналогичным движению тела в однородном поле тяжести (например, свободное падение или бросок тела).

Прямолинейное движение:
Если начальная скорость частицы направлена вдоль линий напряженности поля (или частица покоится), то движение будет прямолинейным равноускоренным (или равнозамедленным, если F_E противоположна v).

• Скорость: v = v0 + at
• Пройденный путь: s = v0t + (1/2)at2
• Ускорение: a = qE / m

Криволинейное движение (аналогия с параболой):
Если начальная скорость v₀ частицы перпендикулярна линиям напряженности однородного электрического поля, частица будет двигаться по параболической траектории, подобно камню, брошенному горизонтально в поле тяжести.
Рассмотрим систему координат: ось x направлена вдоль начальной скорости, ось y – вдоль электрической силы (параллельно E, если q > 0).

• Движение по оси x (перпендикулярно полю): Равномерное движение, так как в этом направлении сила не действует.
  • x = v0t
• Движение по оси y (вдоль поля): Равноускоренное движение.
  • ay = qE / m
  • vy = ayt
  • y = (1/2)ayt2 = (qEt2) / (2m)

Исключая время t = x / v0 из уравнений, получаем уравнение траектории:

y = (qE / (2mv02))x2

Это уравнение параболы.

Формулы для отклонения и угла отклонения:
При прохождении расстояния L в поле (по оси x), величина отклонения от первоначального направления y будет:

y = (qEL2) / (2mv02)

Тангенс угла отклонения α (угла между конечным вектором скорости и осью x) равен:

tan α = vy / vx = (ayt) / v0 = (qEL) / (mv02)

Эти формулы используются для расчета отклонения пучка частиц в электростатических полях, например, в электронно-лучевых трубках, где точность управления траекторией имеет решающее значение.

Учет удельного заряда частиц

Как видно из формул для ускорения a = (q/m)E и отклонения y = (qEL2) / (2mv02), ключевую роль в движении заряженной частицы играет отношение ее заряда к массе, называемое удельным зарядом (q/m).

• Влияние удельного заряда: Частицы с большим удельным зарядом (например, электроны, у которых масса намного меньше, чем у протонов при одинаковом по модулю заряде) будут испытывать большее ускорение и, соответственно, сильнее отклоняться в электрическом поле по сравнению с частицами с меньшим удельным зарядом (например, протонами или альфа-частицами), что является основой для их разделения.
• Применение: Этот принцип активно используется в масс-спектрометрии, где частицы разделяются по их удельному заряду, что позволяет анализировать изотопный состав вещества. Сравнивая отклонения различных частиц (электронов, протонов, альфа-частиц) в одном и том же электрическом поле, можно делать выводы об их природе и составе.

Тип частицы	Заряд (q)	Масса (m)	Удельный заряд (q/m) (приблизительно)
Электрон	—e	me	-1,758 · 1011 Кл/кг
Протон	+e	mp	+9,579 · 107 Кл/кг
α-частица	+2e	mα	+4,822 · 107 Кл/кг

Как видно, удельный заряд электрона значительно больше по модулю, чем у протона или альфа-частицы, что объясняет их высокую чувствительность к электрическим полям, позволяя использовать их в таких устройствах как электронно-лучевые трубки.

Электрическое поле в диэлектриках и дополнительные силы

До сих пор мы преимущественно рассматривали электрические поля в вакууме. Однако большинство реальных систем содержат вещество, и чаще всего это диэлектрики. Их присутствие существенно меняет картину поля и порождает новые виды сил, о которых важно знать.

Поляризация диэлектриков и диэлектрическая проницаемость

Диэлектрик – это вещество, которое не проводит электрический ток (или проводит его крайне незначительно), поскольку не содержит свободных зарядов, способных перемещаться на макроскопические расстояния. Однако это не означает, что диэлектрики полностью индифферентны к электрическому полю, напротив, они активно реагируют на его присутствие.

Механизм поляризации:
При помещении диэлектрика во внешнее электрическое поле происходит его поляризация. Это означает, что:

1. Для полярных молекул: Молекулы-диполи (например, вода), имеющие собственный электрический дипольный момент, ориентируются вдоль внешнего поля, стремясь выстроиться в направлении силовых линий.
2. Для неполярных молекул: Во внешнем поле центры тяжести положительных и отрицательных зарядов в атомах или молекулах смещаются друг относительно друга, создавая наведенные диполи, что приводит к появлению дипольного момента там, где его раньше не было.

В обоих случаях на поверхности диэлектрика образуются нескомпенсированные связанные заряды: отрицательные на одной стороне и положительные на другой. Эти связанные заряды создают внутри диэлектрика собственное электрическое поле E_внутр, которое направлено против внешнего поля E_внеш.

Ослабление поля и диэлектрическая проницаемость (ε):
Результирующее электрическое поле E_рез внутри диэлектрика становится меньше внешнего поля:

Eрез = Eвнеш - Eвнутр

Степень ослабления поля характеризуется безразмерной величиной – диэлектрической проницаемостью среды ε.

Eрез = Eвнеш / ε

Аналогично, сила взаимодействия двух точечных зарядов F в диэлектрике также уменьшается в ε раз по сравнению с вакуумом:

F = (1 / (4πεε0)) ⋅ |q1q2| / r2

Значение ε всегда больше или равно 1 (ε ≥ 1). Для вакуума ε = 1. Для воздуха ε ≈ 1,00059. Для воды ε ≈ 81. Высокие значения ε указывают на сильную поляризуемость вещества, что позволяет эффективно хранить электрическую энергию, например, в конденсаторах.

Пондеромоторные и диэлектрофоретические силы

Помимо ослабления поля внутри диэлектриков, электрические поля могут оказывать механическое воздействие на сами диэлектрики или проводники, приводя их в движение или деформируя. Эти силы называются пондеромоторными силами.

Пондеромоторные силы:
Это силы, действующие на сторонние и связанные заряды в электрическом поле, которые приводят к макроскопическим механическим эффектам. Они возникают из-за того, что электрическое поле неоднородно на границе раздела сред или вблизи заряженных объектов.

• Примеры:
  • Расталкивание зарядов на поверхности заряженного металлического шара: Каждый элемент заряда на поверхности шара отталкивается от других зарядов, создавая давление, направленное наружу, что может привести к деформации.
  • Силы, втягивающие диэлектрик внутрь конденсатора: Если частично заполнить конденсатор диэлектриком, он будет втягиваться внутрь. Это происходит потому, что энергия поля системы уменьшается при увеличении объема, занятого диэлектриком, и система стремится к состоянию с минимальной энергией, что является универсальным принципом природы.
  • Силы, действующие на проводники: В электрическом поле на проводник действует сила, стремящаяся втянуть его в область более сильного поля.

Диэлектрофоретические силы:
Это особый вид пондеромоторных сил, которые действуют на диэлектрики, помещенные в неоднородное электрическое поле. В однородном поле диэлектрик лишь поляризуется, но не перемещается как целое, поскольку силы, действующие на его связанные заряды, компенсируются. Однако в неоднородном поле это равновесие нарушается.

• Механизм: Наведенные диполи, образующиеся в диэлектрике, испытывают силу, направленную в сторону областей с большей напряженностью поля. Часть диполя, которая находится в более сильной области поля, испытывает большую силу, чем часть в более слабой области, что приводит к результирующему движению.
• Направление: Диэлектрик втягивается в область, где поле сильнее. Например, небольшой диэлектрический шарик будет притягиваться к заряженному телу, даже если он изначально не заряжен, демонстрируя скрытое влияние электрического поля.
• Зависимость: Диэлектрофоретическая сила пропорциональна градиенту квадрата напряженности электрического поля (∇E²). Она также зависит от диэлектрической проницаемости тела, его размеров и формы.
• Применение: Явление диэлектрофореза используется в микрофлюидике для манипуляции с биологическими клетками и наночастицами, позволяя их разделять, концентрировать или перемещать без прямого контакта, что открывает широкие возможности в биотехнологиях.

Учет других сил в задачах

При решении реальных задач по электростатике редко когда действуют только электрические силы. Часто необходимо учитывать и другие виды механических сил, особенно если заряженные тела имеют массу, что требует комплексного подхода.

• Сила тяжести (F_g = mg): Это наиболее часто встречающаяся «дополнительная» сила. Примером может быть заряженный шарик, висящий на нити в электрическом поле, или капля, движущаяся в поле под действием электрической силы и силы тяжести.
• Сила Архимеда (F_A = ρ_жgV_т): Если заряженное тело находится в жидкости, необходимо учитывать выталкивающую силу Архимеда. Это актуально, например, для задач с каплями масла в поле конденсатора (эксперимент Милликена), где ее учет критически важен.
• Сила натяжения нити, сила упругости: В задачах на равновесие заряженных тел, закрепленных на нитях или пружинах, необходимо учитывать и эти силы, поскольку они напрямую влияют на условия равновесия.
• Силы трения или сопротивления среды: Если движение происходит в вязкой среде, силы сопротивления среды могут быть значительными и требуют включения в уравнение движения.

При решении таких задач крайне важно выполнить полный анализ сил, действующих на тело, построить векторную диаграмму и применить законы Ньютона для статики (равновесие: ΣF = 0) или динамики (движение: ΣF = ma), что позволяет получить точное и полное решение.

Физические константы: Точные значения для расчетов

В мире физики точность измерений и расчетов играет ключевую роль. Для решения задач по электростатике необходимо использовать не только правильные формулы, но и максимально точные значения фундаментальных физических констант. Округленные значения, хотя и удобны для быстрых оценок, могут привести к заметным погрешностям в контрольной работе или инженерных расчетах, что недопустимо.

Ниже приведена таблица с точными значениями основных констант, которые понадобятся вам при работе с задачами по электростатике. Также мы рассмотрим их взаимосвязи, что подчеркивает единство физической картины мира.

Константа	Обозначение	Приблизительное значение	Более точное значение	Единицы СИ
Электрическая постоянная (диэлектрическая проницаемость вакуума)	ε0	8,854 · 10-12	8,854187817 · 10-12	Ф/м
Элементарный заряд	e	1,602 · 10-19	1,602176634 · 10-19	Кл
Масса покоя электрона	me	9,109 · 10-31	9,1093837015 · 10-31	кг
Масса покоя протона	mp	1,672 · 10-27	1,67262192369 · 10-27	кг
Масса α-частицы	mα	6,644 · 10-27	6,6446573357 · 10-27	кг
Заряд α-частицы	qα	3,204 · 10-19	2e = 3,204353268 · 10-19	Кл
Коэффициент Кулона (k = 1 / (4πε0))	k	9 · 109	8,9875517873681764 · 109	Н·м2/Кл2
Магнитная постоянная	μ0	4π · 10-7	1,25663706212 · 10-6	Гн/м
Скорость света в вакууме	c	3 · 108	299 792 458	м/с

Взаимосвязь фундаментальных констант:
Одной из удивительных демонстраций единства электромагнитного поля является связь между электрической постоянной ε₀, магнитной постоянной μ₀ и скоростью света c в вакууме. Эта связь была предсказана Максвеллом и подтверждена экспериментально:

ε0μ0 = 1 / c2

Эта формула говорит о том, что свет – это электромагнитная волна, и его скорость определяется фундаментальными свойствами вакуума, связанными с его способностью поддерживать электрические и магнитные поля. При решении задач, особенно повышенной сложности, понимание этих взаимосвязей может быть полезным для проверки полученных результатов.

Важность точности:
Для задач контрольной работы, где часто требуется точный числовой ответ, использование более точных значений констант поможет избежать накопления погрешностей округления и получить результат, максимально приближенный к эталонному. Всегда проверяйте, какой уровень точности требуется в конкретной задаче или учебном заведении, чтобы гарантировать максимальную достоверность ваших расчетов.

Методы и алгоритмы решения типовых задач по электростатике

Электростатика – это не только набор формул, но и искусство их применения. Чтобы успешно справляться с задачами, необходимо обладать систематизированным подходом, который позволяет разложить сложную проблему на простые шаги. Здесь мы рассмотрим основные методы и универсальные алгоритмы, которые станут вашим надежным инструментарием.

Общий алгоритм решения задач

Независимо от конкретной темы, каждая физическая задача требует структурированного подхода. Этот универсальный алгоритм поможет вам эффективно решать любые проблемы:

1. Анализ условия задачи:
   • Внимательно прочитайте условие.
   • Определите, что дано (известные величины, их значения и единицы измерения).
   • Определите, что требуется найти.
   • Обратите внимание на ключевые слова (например, «вакуум», «диэлектрик», «однородное поле», «равновесие» и т.д.), так как они указывают на специфические условия задачи.
2. Построение физической модели:
   • Сделайте схематический рисунок. Это критически важно, особенно для задач с несколькими зарядами или сложной геометрией.
   • Обозначьте на рисунке все заряды, расстояния, векторы сил, напряженности, скорости.
   • Выберите подходящую систему координат.
3. Выбор законов и принципов:
   • Определите, какие физические законы и принципы применимы к данной ситуации (Закон Кулона, Принцип суперпозиции, Закон сохранения энергии, Второй закон Ньютона и т.д.), исходя из анализа условия.
4. Вывод/выбор формул:
   • Запишите все необходимые формулы в общем виде (без подстановки чисел).
   • При необходимости выведите промежуточные формулы, связав известные и искомые величины.
5. Математическое решение:
   • Составьте систему уравнений.
   • Выразите искомую величину в буквенном виде. Это позволяет проверить логику решения и упрощает подстановку числовых значений.
   • Подставьте числовые значения (с учетом единиц измерения) и выполните расчеты.
6. Анализ размерности:
   • После получения буквенного выражения для искомой величины, проверьте его размерность. Если размерность не соответствует искомой величине, значит, в решении допущена ошибка. Это мощный инструмент самоконтроля.
7. Проверка результата:
   • Проанализируйте полученное числовое значение. Является ли оно разумным с физической точки зрения? (Например, скорость не может быть отрицательной, а энергия не может быть слишком большой для типичных лабораторных условий).
   • При необходимости выполните оценку порядка величины.

Алгоритмы для определения напряженности и потенциала

Алгоритм определения напряженности поля системы зарядов:

1. Рисунок: Нарисуйте все заряды и точку наблюдения P.
2. Направления: В каждой точке P изобразите векторы напряженностей E_i, создаваемые каждым зарядом q_i отдельно. Помните: от +q – наружу, к —q – внутрь.
3. Вычисление модулей: Вычислите модуль напряженности для каждого заряда по формуле Ei = k ⋅ |qi| / ri2 (с учетом диэлектрической проницаемости, если среда не вакуум).
4. Векторное сложение: Сложите векторы напряженностей E_i геометрически.
   • Если векторы сонаправлены, их модули складываются.
   • Если векторы противоположно направлены, их модули вычитаются.
   • Если векторы перпендикулярны, используйте теорему Пифагора: E = √(Ex2 + Ey2).
   • Для произвольных углов разложите векторы на компоненты по осям координат, суммируйте компоненты, затем найдите результирующий вектор.

Алгоритм определения потенциала поля системы зарядов:

1. Рисунок (опционально): Нарисуйте заряды и точку наблюдения. Для потенциала это не так критично, как для напряженности.
2. Вычисление потенциалов: Вычислите потенциал φ_i, создаваемый каждым зарядом q_i в точке наблюдения по формуле φi = k ⋅ qi / ri (обратите внимание, что здесь берется сам заряд q_i со своим знаком, а не модуль).
3. Алгебраическое суммирование: Сложите все потенциалы алгебраически: φобщ = Σφi.

Алгоритмы для задач на работу и энергию

Алгоритм для задач на работу и потенциальную энергию:

1. Идентификация начальной и конечной точек: Четко определите начальное и конечное положение заряда или системы зарядов.
2. Расчет потенциалов: Найдите потенциалы φ₁ и φ₂ в начальной и конечной точках, используя алгоритм для потенциала поля системы зарядов. Если поле создано одним зарядом, φ = k ⋅ q / r.
3. Расчет работы: Используйте формулу A12 = q(φ1 - φ2).
4. Расчет изменения потенциальной энергии: Используйте ΔWp = Wp2 - Wp1 = qφ2 - qφ1. Помните, что A12 = -ΔWp.
5. Для систем зарядов: Если нужно найти потенциальную энергию системы, суммируйте энергии взаимодействия всех пар зарядов: Wp = Σ (k ⋅ qiqj / rij) для всех i < j.

Алгоритм для применения закона сохранения энергии (движение частиц):

1. Определение состояний: Выделите начальное (точка 1) и конечное (точка 2) состояния движения частицы.
2. Определение параметров: Для каждого состояния определите:
   • Массу m и заряд q частицы.
   • Начальную и конечную скорости v₁, v₂.
   • Потенциалы φ₁, φ₂ в начальной и конечной точках (или потенциальные энергии W_p1, W_p2).
3. Запись закона сохранения энергии: Запишите уравнение: (1/2)mv12 + qφ1 = (1/2)mv22 + qφ2.
4. Решение: Выразите искомую величину из уравнения.

Алгоритмы для задач на движение заряженных частиц

Алгоритм для задач на движение в однородном электрическом поле:

1. Рисунок и оси координат: Сделайте рисунок, покажите вектор E, начальную скорость v₀ и выберите систему координат. Если v₀ перпендикулярна E, одну ось направьте вдоль E, другую – вдоль v₀.
2. Сила и ускорение: Определите электрическую силу F = qE и ускорение a = qE / m. Учитывайте знак заряда q для определения направления силы.
3. Разложение движения: Разложите движение на две независимые составляющие по выбранным осям.
   • По оси, перпендикулярной силе, движение будет равномерным.
   • По оси, вдоль которой действует сила, движение будет равноускоренным (или равнозамедленным).
4. Запись кинематических уравнений: Запишите уравнения для координат и скоростей по каждой оси:
   • x(t) = x0 + v0xt + (1/2)axt2
   • y(t) = y0 + v0yt + (1/2)ayt2
   • vx(t) = v0x + axt
   • vy(t) = v0y + ayt
5. Решение: Решите систему уравнений для нахождения искомых величин (траектория, время движения, конечная скорость, отклонение).
6. Учет других сил: Если в задаче есть сила тяжести или другие механические силы, включите их в суммарную силу ΣF = ma по соответствующим осям, чтобы получить полное и корректное описание движения.

Эти алгоритмы обеспечивают системный подход к решению задач, минимизируя вероятность ошибок и помогая глубоко понять физические процессы, стоящие за формулами, что превращает решение из механического действия в осознанный анализ.

Примеры решения задач контрольной работы

Теперь, вооружившись теоретическими знаниями и методическими алгоритмами, мы перейдем к практике. Этот раздел предлагает 10 типовых задач, специально разработанных для контрольной работы. Каждая задача сопровождается подробным пошаговым решением, включающим анализ условия, выбор законов, вывод формул, численные расчеты и проверку размерности, чтобы вы могли уверенно применять полученные знания.

Задача 1: Расчет силы Кулона и напряженности поля

Условие: Два точечных заряда q₁ = +5 нКл и q₂ = -10 нКл находятся на расстоянии r = 30 см друг от друга в вакууме.
1. Определите силу взаимодействия между ними.
2. Найдите напряженность электрического поля в точке A, расположенной точно посередине между зарядами.

Решение:

1. Анализ условия:

• Дано: q₁ = +5 нКл = 5 · 10^-9 Кл; q₂ = -10 нКл = -10 · 10^-9 Кл; r = 30 см = 0,3 м.
• Найти: F, E в точке A.
• Среда: вакуум (ε = 1).

2. Построение физической модели:
Рисунок:
q₁ ——— A ——— q₂
|——-r/2——|——r/2——|
|————-r————|

3. Выбор законов и принципов:

• Для силы: Закон Кулона.
• Для напряженности: Принцип суперпозиции, формула напряженности точечного заряда.

4. Вывод/выбор формул:

• Сила Кулона: F = k ⋅ |q1q2| / r2.
• Напряженность точечного заряда: E = k ⋅ |q| / r2.
• Расстояние до точки A от каждого заряда: rA = r / 2.
• Результирующая напряженность EA = E1 + E2 (векторная сумма).

5. Математическое решение:

Часть 1: Сила взаимодействия
F = (8,98755 ⋅ 109 Н⋅м2/Кл2) ⋅ |(5 ⋅ 10-9 Кл) ⋅ (-10 ⋅ 10-9 Кл)| / (0,3 м)2
F = (8,98755 ⋅ 109) ⋅ (50 ⋅ 10-18) / 0,09
F = 449,3775 ⋅ 10-9 / 0,09
F ≈ 4,99 ⋅ 10-6 Н

Поскольку заряды разноименные, они притягиваются.

Часть 2: Напряженность в точке A
Расстояние от каждого заряда до точки A: rA = 0,3 м / 2 = 0,15 м.

Напряженность от q₁:
E1 = k ⋅ |q1| / rA2 = (8,98755 ⋅ 109) ⋅ (5 ⋅ 10-9) / (0,15)2
E1 = (8,98755 ⋅ 5) / 0,0225 = 44,93775 / 0,0225 ≈ 1997,23 В/м.
Вектор E₁ направлен от q₁, т.е., в сторону q₂.

Напряженность от q₂:
E2 = k ⋅ |q2| / rA2 = (8,98755 ⋅ 109) ⋅ (10 ⋅ 10-9) / (0,15)2
E2 = (8,98755 ⋅ 10) / 0,0225 = 89,8755 / 0,0225 ≈ 3994,47 В/м.
Вектор E₂ направлен к q₂ (так как q₂ отрицателен), т.е., также в сторону q₂.

Так как E₁ и E₂ сонаправлены, их модули складываются:
EA = E1 + E2 = 1997,23 + 3994,47 = 5991,7 В/м.

6. Анализ размерности:

• Сила: Н·м²/Кл² · Кл²/м² = Н. Верно.
• Напряженность: Н·м²/Кл² · Кл/м² = Н/Кл (что эквивалентно В/м). Верно.

7. Проверка результата:
Сила притяжения между зарядами ожидаемо мала из-за малых значений заряда. Напряженность в центре достаточно велика, поскольку оба вектора складываются, а заряды относительно велики для нанометровых масштабов. Результаты выглядят разумными, подтверждая корректность расчетов.

Задача 2: Определение потенциала и работы поля

Условие: Точечный заряд q = +20 нКл находится в начале координат. Определите:
1. Потенциал электрического поля в точке P с координатами (4 м, 3 м).
2. Работу, которую совершит электрическое поле при перемещении другого точечного заряда q₀ = +2 нКл из точки P в точку Q с координатами (1 м, 1 м).

Решение:

1. Анализ условия:

• Дано: q = +20 нКл = 20 · 10^-9 Кл; q₀ = +2 нКл = 2 · 10^-9 Кл.
• Точка P: (x_P = 4 м, y_P = 3 м).
• Точка Q: (x_Q = 1 м, y_Q = 1 м).
• Найти: φ_P, A_PQ.
• Среда: вакуум.

2. Построение физической модели:
Заряд q в начале координат (0,0). Точки P и Q в плоскости.

3. Выбор законов и принципов:

• Потенциал точечного заряда: φ = k ⋅ q / r.
• Работа электрического поля: A = q0(φP - φQ).

4. Вывод/выбор формул:

• Расстояние от начала координат до точки (x, y): r = √(x2 + y2).
• Потенциал в точке P: φP = k ⋅ q / rP.
• Потенциал в точке Q: φQ = k ⋅ q / rQ.

5. Математическое решение:

Часть 1: Потенциал в точке P
Расстояние до P: rP = √(42 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5 м.
φP = (8,98755 ⋅ 109 Н⋅м2/Кл2) ⋅ (20 ⋅ 10-9 Кл) / (5 м)
φP = (8,98755 ⋅ 20) / 5 = 8,98755 ⋅ 4 = 35,9502 В.

Часть 2: Работа поля при перемещении заряда q₀
Расстояние до Q: rQ = √(12 + 12) = √2 ≈ 1,4142 м.
Потенциал в точке Q: φQ = k ⋅ q / rQ = (8,98755 ⋅ 109) ⋅ (20 ⋅ 10-9) / 1,4142
φQ = (8,98755 ⋅ 20) / 1,4142 = 179,751 / 1,4142 ≈ 127,105 В.

Работа поля:
APQ = q0(φP - φQ)
APQ = (2 ⋅ 10-9 Кл) ⋅ (35,9502 В - 127,105 В)
APQ = (2 ⋅ 10-9) ⋅ (-91,1548)
APQ ≈ -1,823 ⋅ 10-7 Дж.

6. Анализ размерности:

• Потенциал: Н·м²/Кл² · Кл/м = Н·м/Кл = Дж/Кл = В. Верно.
• Работа: Кл · В = Кл · Дж/Кл = Дж. Верно.

7. Проверка результата:
Потенциал уменьшается по мере удаления от положительного заряда. Точка Q ближе к заряду q, поэтому φ_Q > φ_P. При перемещении положительного заряда q₀ из P в Q (т.е. ближе к другому положительному заряду q) поле совершает отрицательную работу, что соответствует увеличению потенциальной энергии системы. Результат A_PQ < 0 является физически обоснованным.

Задача 3: Движение заряженной частицы в однородном поле

Условие: Электрон с начальной скоростью v₀ = 10⁶ м/с влетает в однородное электрическое поле напряженностью E = 100 В/м. Начальная скорость электрона направлена перпендикулярно линиям напряженности поля. Длина области поля L = 5 см.
1. Определите, на какое расстояние y отклонится электрон от первоначального направления.
2. Найдите конечную скорость электрона v в момент вылета из поля.

Решение:

1. Анализ условия:

• Дано: Электрон (q = —e = -1,602 · 10^-19 Кл, m = m_e = 9,109 · 10^-31 кг).
• Начальная скорость v₀ = 10⁶ м/с (перпендикулярно E).
• Напряженность E = 100 В/м.
• Длина поля L = 5 см = 0,05 м.
• Найти: y, v.

2. Построение физической модели:

• Оси: x вдоль v₀, y вдоль E.
• Сила F = qE действует на электрон против E (т.к. q отрицателен). Значит, ускорение a направлено против E, т.е. против оси y.
• Движение по x: равномерное.
• Движение по y: равноускоренное с ay < 0.

3. Выбор законов и принципов:

• Второй закон Ньютона: F = ma.
• Кинематические уравнения для равноускоренного движения.
• Принцип суперпозиции движений.

4. Вывод/выбор формул:

• Сила: Fy = qE.
• Ускорение: ay = qE / m.
• Время прохождения поля: t = L / v0.
• Отклонение: y = (1/2)ayt2 (начальная vy0 = 0).
• Конечные скорости: vx = v0, vy = ayt.
• Конечная полная скорость: v = √(vx2 + vy2).

5. Математическое решение:

Часть 1: Отклонение y
Ускорение по оси y:
ay = (-1,602 ⋅ 10-19 Кл) ⋅ (100 В/м) / (9,109 ⋅ 10-31 кг)
ay ≈ -1,758 ⋅ 1013 м/с2 (знак минус указывает на направление против оси y).

Время прохождения поля:
t = L / v0 = 0,05 м / (106 м/с) = 5 ⋅ 10-8 с.

Отклонение y:
y = (1/2)ayt2 = (1/2) ⋅ (-1,758 ⋅ 1013 м/с2) ⋅ (5 ⋅ 10-8 с)2
y = (1/2) ⋅ (-1,758 ⋅ 1013) ⋅ (25 ⋅ 10-16)
y = - (1/2) ⋅ 1,758 ⋅ 25 ⋅ 10-3 = -21,975 ⋅ 10-3 м ≈ -0,022 м ≈ -2,2 см.
Модуль отклонения |y| = 2,2 см.

Часть 2: Конечная скорость v
Скорость по оси x: vx = v0 = 106 м/с.
Скорость по оси y при вылете:
vy = ayt = (-1,758 ⋅ 1013 м/с2) ⋅ (5 ⋅ 10-8 с)
vy ≈ -8,79 ⋅ 105 м/с.

Конечная полная скорость:
v = √(vx2 + vy2) = √((106)2 + (-8,79 ⋅ 105)2)
v = √(1012 + 0,772641 ⋅ 1012) = √(1,772641 ⋅ 1012)
v ≈ 1,331 ⋅ 106 м/с.

6. Анализ размерности:

• Ускорение: Кл · В/м / кг = Кл · Дж/(Кл·м) / кг = Дж/(м·кг) = Н·м/(м·кг) = Н/кг = м/с². Верно.
• Время: м / (м/с) = с. Верно.
• Отклонение: м/с² · с² = м. Верно.
• Скорость: √(м²/с²) = м/с. Верно.

7. Проверка результата:
Отклонение в несколько сантиметров для электрона в таком поле и на такой длине вполне ожидаемо. Конечная скорость электрона увеличилась, что логично, так как сила поля совершает положительную работу (электрон разгоняется), хотя его скорость по оси x не меняется, увеличивается общая скорость из-за компоненты v_y, что отражает преобразование потенциальной энергии в кинетическую.

Задача 4: Электростатическое поле в диэлектрике

Условие: Два точечных заряда q₁ = +2 нКл и q₂ = -4 нКл помещены в керосин (ε = 2,0) на расстоянии r = 10 см друг от друга.
1. Определите силу взаимодействия между ними.
2. Найдите напряженность электрического поля в точке, расположенной на середине отрезка, соединяющего заряды.

Решение:

1. Анализ условия:

• Дано: q₁ = +2 нКл = 2 · 10^-9 Кл; q₂ = -4 нКл = -4 · 10^-9 Кл.
• Расстояние r = 10 см = 0,1 м.
• Среда: керосин (ε = 2,0).
• Найти: F, E в середине отрезка.

2. Построение физической модели:
Аналогично Задаче 1, но в диэлектрической среде.
q₁ ——— A ——— q₂
|——-r/2——|——r/2——|
|————-r————|

3. Выбор законов и принципов:

• Закон Кулона для диэлектрика.
• Принцип суперпозиции для напряженности.

4. Вывод/выбор формул:

• Сила Кулона в диэлектрике: F = k ⋅ |q1q2| / (εr2).
• Напряженность точечного заряда в диэлектрике: E = k ⋅ |q| / (εr2).
• Расстояние до точки A: rA = r / 2.

5. Математическое решение:

Часть 1: Сила взаимодействия
F = (8,98755 ⋅ 109 Н⋅м2/Кл2) ⋅ |(2 ⋅ 10-9 Кл) ⋅ (-4 ⋅ 10-9 Кл)| / (2,0 ⋅ (0,1 м)2)
F = (8,98755 ⋅ 109) ⋅ (8 ⋅ 10-18) / (2,0 ⋅ 0,01)
F = (8,98755 ⋅ 8) ⋅ 10-9 / 0,02
F = 71,9004 ⋅ 10-9 / 0,02 ≈ 3,595 ⋅ 10-6 Н.
Заряды разноименные, значит, сила притяжения.

Часть 2: Напряженность в середине отрезка A
Расстояние от каждого заряда до точки A: rA = 0,1 м / 2 = 0,05 м.

Напряженность от q₁:
E1 = k ⋅ |q1| / (εrA2) = (8,98755 ⋅ 109) ⋅ (2 ⋅ 10-9) / (2,0 ⋅ (0,05)2)
E1 = (8,98755 ⋅ 2) / (2,0 ⋅ 0,0025) = 17,9751 / 0,005 = 3595,02 В/м.
Вектор E₁ направлен от q₁, т.е. в сторону q₂.

Напряженность от q₂:
E2 = k ⋅ |q2| / (εrA2) = (8,98755 ⋅ 109) ⋅ (4 ⋅ 10-9) / (2,0 ⋅ (0,05)2)
E2 = (8,98755 ⋅ 4) / (2,0 ⋅ 0,0025) = 35,9502 / 0,005 = 7190,04 В/м.
Вектор E₂ направлен к q₂, т.е. также в сторону q₂.

Так как E₁ и E₂ сонаправлены, их модули складываются:
EA = E1 + E2 = 3595,02 + 7190,04 = 10785,06 В/м.

6. Анализ размерности:

• Сила: Н·м²/Кл² · Кл² / (м²) = Н. Верно.
• Напряженность: Н·м²/Кл² · Кл / (м²) = Н/Кл = В/м. Верно.

7. Проверка результата:
Силы и напряженности в диэлектрике (ε = 2) должны быть в 2 раза меньше, чем в вакууме при тех же зарядах и расстояниях. Если сравнить с Задачей 1, заряды в 2,5 и 4 раза меньше, а расстояние в 3 раза меньше, при этом ε = 2. Результаты выглядят логичными, демонстрируя предсказуемое ослабление поля в диэлектрической среде.

Задача 5: Равновесие заряженного тела

Условие: Металлический шарик массой m = 10 г, имеющий заряд q = +5 мкКл, находится в однородном электрическом поле. Он подвешен на невесомой нерастяжимой нити и находится в равновесии, когда нить отклонена на угол α = 30° от вертикали. Определите напряженность электрического поля E.

Решение:

1. Анализ условия:

• Дано: m = 10 г = 0,01 кг; q = +5 мкКл = 5 · 10^-6 Кл; α = 30°.
• Найти: E.
• Состояние: равновесие.
• Силы: электрическая сила F_E, сила тяжести F_g, сила натяжения нити T.

2. Построение физической модели:
Рисунок: Шарик внизу, нить отклонена вправо-вверх на 30°.

• F_g направлена вертикально вниз.
• T направлена вдоль нити.
• F_E должна уравновешивать F_g и T. Поскольку q > 0, F_E сонаправлена с E.
• Если нить отклонена вправо, значит F_E направлена горизонтально вправо. (Можно предположить и другое направление E, но для равновесия, исходя из рисунка, горизонтальная компонента F_E должна быть вправо).
• Выберем оси: x горизонтально вправо, y вертикально вверх.

3. Выбор законов и принципов:

• Условия равновесия: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0.
• Сила тяжести: Fg = mg.
• Электрическая сила: FE = qE.

4. Вывод/выбор формул:
Разложим T на компоненты:

• Tx = T sin α
• Ty = T cos α

Уравнения равновесия:

• По оси x: FE - T sin α = 0 ⇒ qE = T sin α (1)
• По оси y: T cos α - Fg = 0 ⇒ T cos α = mg (2)

Из (2) находим T = mg / cos α.
Подставляем T в (1): qE = (mg / cos α) sin α = mg tan α.
Искомая напряженность: E = mg tan α / q.

5. Математическое решение:
E = (0,01 кг ⋅ 9,81 м/с2 ⋅ tan 30°) / (5 ⋅ 10-6 Кл)
E = (0,01 ⋅ 9,81 ⋅ 0,57735) / (5 ⋅ 10-6)
E = 0,056637 / (5 ⋅ 10-6)
E ≈ 11327,4 В/м.

6. Анализ размерности:
E = (кг · м/с²) / Кл = Н/Кл = В/м. Верно.

7. Проверка результата:
Напряженность поля в десятки тысяч вольт на метр является типичной для таких задач. Результат выглядит физически обоснованным, подтверждая, что для удержания шарика в таком положении требуется значительное электрическое поле.

Задача 6: Система зарядов и потенциальная энергия

Условие: Три точечных заряда q₁ = +1 нКл, q₂ = -2 нКл и q₃ = +3 нКл расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной a = 10 см. Определите потенциальную энергию взаимодействия этой системы зарядов.

Решение:

1. Анализ условия:

• Дано: q₁ = 1 · 10^-9 Кл; q₂ = -2 · 10^-9 Кл; q₃ = 3 · 10^-9 Кл.
• Сторона треугольника a = 10 см = 0,1 м.
• Найти: W_p системы.
• Среда: вакуум.

2. Построение физической модели:
Равносторонний треугольник. Расстояние между любой парой зарядов равно a.

3. Выбор законов и принципов:

• Потенциальная энергия взаимодействия двух точечных зарядов: Wp = k ⋅ q1q2 / r.
• Принцип суперпозиции для потенциальной энергии (суммирование энергий парных взаимодействий).

4. Вывод/выбор формул:
Полная потенциальная энергия W_p системы трех зарядов равна сумме энергий взаимодействия трех пар зарядов:
Wp = Wp12 + Wp13 + Wp23 = (k ⋅ q1q2 / a) + (k ⋅ q1q3 / a) + (k ⋅ q2q3 / a)
Можно вынести k/a за скобки:
Wp = (k / a) ⋅ (q1q2 + q1q3 + q2q3)

5. Математическое решение:
k / a = (8,98755 ⋅ 109 Н⋅м2/Кл2) / (0,1 м) = 8,98755 ⋅ 1010 Н⋅м/Кл2.

Произведения зарядов:

• q1q2 = (1 ⋅ 10-9) ⋅ (-2 ⋅ 10-9) = -2 ⋅ 10-18 Кл2
• q1q3 = (1 ⋅ 10-9) ⋅ (3 ⋅ 10-9) = 3 ⋅ 10-18 Кл2
• q2q3 = (-2 ⋅ 10-9) ⋅ (3 ⋅ 10-9) = -6 ⋅ 10-18 Кл2

Сумма произведений:
(-2 + 3 - 6) ⋅ 10-18 = -5 ⋅ 10-18 Кл2

Полная потенциальная энергия:
Wp = (8,98755 ⋅ 1010 Н⋅м/Кл2) ⋅ (-5 ⋅ 10-18 Кл2)
Wp = -44,93775 ⋅ 10-8 Дж ≈ -4,49 ⋅ 10-7 Дж.

6. Анализ размерности:
Н·м/Кл² · Кл² = Н·м = Дж. Верно.

7. Проверка результата:
Отрицательное значение потенциальной энергии означает, что система имеет тенденцию к самоупорядочиванию (притяжению) и для ее разделения требуется совершить работу. Это логично, так как есть две пары разноименных зарядов, дающих отрицательный вклад в энергию, и только одна пара одноименных, что указывает на преобладание сил притяжения.

Задача 7: Связь напряженности и потенциала

Условие: Потенциал электрического поля в некоторой области пространства задан функцией φ(x, y, z) = Cxy2z, где C – константа. Определите компоненты вектора напряженности электрического поля E в этой области.

Решение:

1. Анализ условия:

• Дано: φ(x, y, z) = Cxy2z.
• Найти: E_x, E_y, E_z.

2. Выбор законов и принципов:

• Связь между напряженностью и потенциалом: E = -grad φ или E = -∇φ.
• Компоненты градиента: Ex = -∂φ/∂x, Ey = -∂φ/∂y, Ez = -∂φ/∂z.

3. Вывод/выбор формул:
Необходимо взять частные производные от функции потенциала по каждой координате.

4. Математическое решение:

φ(x, y, z) = Cxy2z

Компонента E_x:
Ex = -∂φ/∂x = -∂(Cxy2z)/∂x = -C y2z

Компонента E_y:
Ey = -∂φ/∂y = -∂(Cxy2z)/∂y = -C x (2y) z = -2Cxyz

Компонента E_z:
Ez = -∂φ/∂z = -∂(Cxy2z)/∂z = -Cxy2

Таким образом, вектор напряженности E имеет компоненты:
E = (-Cy2z, -2Cxyz, -Cxy2)

5. Анализ размерности:
Если φ измеряется в Вольтах (В), а координаты в метрах (м), то E будет измеряться в В/м, что соответствует единице напряженности. Константа C должна иметь размерность В/м⁴. Верно.

6. Проверка результата:
Данный тип задач на применение оператора градиента является стандартным. Результат логичен, так как каждая компонента напряженности зависит от тех координат, по которым изменяется потенциал, что подтверждает общие принципы векторного анализа.

Задача 8: Определение заряда/массы частицы по ее движению

Условие: Протон, ускоренный разностью потенциалов U = 1000 В, влетает в однородное электрическое поле напряженностью E = 10⁴ В/м перпендикулярно линиям напряженности. Определите, на какое расстояние h он сместится в направлении поля, пролетев в нем расстояние L = 20 см. Массой протона m_p ≈ 1,672 · 10^-27 кг, зарядом q_p = e ≈ 1,602 · 10^-19 Кл.

Решение:

1. Анализ условия:

• Дано: Протон (q_p, m_p). U = 1000 В. E = 10⁴ В/м. L = 20 см = 0,2 м.
• Найти: h.

2. Построение физической модели:

• Два этапа: ускорение протона, затем движение в отклоняющем поле.
• Ускорение: закон сохранения энергии.
• Движение в отклоняющем поле: аналогично Задаче 3. Оси x вдоль v₀, y вдоль E.

3. Выбор законов и принципов:

• Закон сохранения энергии для первого этапа: qU = (1/2)mv02.
• Второй закон Ньютона и кинематика для второго этапа.

4. Вывод/выбор формул:

• Начальная скорость v₀ после ускорения: v0 = √(2qU / m).
• Время пролета в отклоняющем поле: t = L / v0.
• Ускорение в отклоняющем поле: ay = qE / m.
• Смещение h: h = (1/2)ayt2.

Подставим a_y и t в формулу для h:
h = (1/2) ⋅ (qE / m) ⋅ (L / v0)2 = (qEL2) / (2mv02)
Подставим mv02 = 2qU:
h = (qEL2) / (2 ⋅ (2qU))
h = (qEL2) / (4qU)
h = EL2 / (4U)

5. Математическое решение:
Это прекрасный пример, когда многие константы (масса, заряд частицы) сокращаются, упрощая расчет, что указывает на глубокую взаимосвязь физических величин.

h = (104 В/м) ⋅ (0,2 м)2 / (4 ⋅ 1000 В)
h = (104) ⋅ (0,04) / 4000
h = 400 / 4000 = 0,1 м.
h = 10 см.

6. Анализ размерности:
h = (В/м) · м² / В = м. Верно.

7. Проверка результата:
Смещение в 10 см кажется разумным для протона, ускоренного таким напряжением и движущегося в поле такой напряженности. Удивительная простота конечной формулы h = EL2 / (4U) для такого типа задач является хорошим признаком корректности решения, подчеркивая красоту физических законов.

Задача 9: Работа по перемещению заряда в поле нескольких источников

Условие: Четыре точечных заряда q₁ = q, q₂ = 2q, q₃ = —q, q₄ = -2q расположены в вершинах квадрата со стороной a. Определите работу, которую необходимо совершить внешним силам, чтобы переместить точечный заряд q₀ из центра квадрата в одну из его вершин, например, в вершину с зарядом q₁. Принять q = 1 нКл, a = 10 см, q₀ = 0,5 нКл.

Решение:

1. Анализ условия:

• Дано: q₁ = q, q₂ = 2q, q₃ = —q, q₄ = -2q. q = 1 нКл = 10^-9 Кл.
• Сторона квадрата a = 10 см = 0,1 м.
• Перемещаемый заряд q₀ = 0,5 нКл = 0,5 · 10^-9 Кл.
• Найти: Работу внешних сил A_внеш по перемещению q₀ из центра O в вершину 1.
• Среда: вакуум.

2. Построение физической модели:
Квадрат. Заряды q₁, q₂, q₃, q₄ расставлены по вершинам.
Пусть q₁ находится в верхнем левом углу, q₂ в верхнем правом, q₃ в нижнем правом, q₄ в нижнем левом (по часовой стрелке).
Центр квадрата O. Вершина с q₁ назовем V₁.

3. Выбор законов и принципов:

• Работа внешних сил равна изменению потенциальной энергии системы: Aвнеш = ΔWp = Wp_кон - Wp_нач.
• Потенциальная энергия заряда в поле: Wp = q0φ.
• Принцип суперпозиции для потенциала.

4. Вывод/выбор формул:

• Aвнеш = q0(φV1 - φO).
• Диагональ квадрата: d = a√2.
• Расстояние от центра до любой вершины: rO = d / 2 = a√2 / 2.
• Потенциал в центре O: φO = Σ (k ⋅ qi / rO) = (k / rO) ⋅ (q1 + q2 + q3 + q4).
• Потенциал в вершине V₁:
  • От q₁: φ1 = k ⋅ q1 / r11 (здесь r11 = 0, этот член не учитывается при расчете потенциала от других зарядов, или же мы считаем, что q₀ находится рядом с q₁, а не в самой точке). Для упрощения, потенциал в точке V₁ от остальных зарядов (q₂, q₃, q₄).
  • Расстояния от V₁ до других зарядов:
    • До q₂: a.
    • До q₃: a√2.
    • До q₄: a.
  • φV1 = k ⋅ (q2/a + q3/(a√2) + q4/a).

5. Математическое решение:

Шаг 1: Потенциал в центре O
q1 + q2 + q3 + q4 = q + 2q - q - 2q = 0.
Следовательно, φO = 0.

Шаг 2: Потенциал в вершине V₁ (где находится q₁) от остальных зарядов
rO = a√2 / 2 = 0,1 ⋅ √2 / 2 ≈ 0,0707 м.
q₁ = 1 нКл, q₂ = 2 нКл, q₃ = -1 нКл, q₄ = -2 нКл.
φV1 = k ⋅ (q2/a + q3/(a√2) + q4/a)
φV1 = k/a ⋅ (q2 + q3/√2 + q4)
φV1 = (8,98755 ⋅ 109/0,1) ⋅ (2q + (-q)/√2 + (-2q))
φV1 = (8,98755 ⋅ 1010) ⋅ q ⋅ (2 - 1/√2 - 2)
φV1 = (8,98755 ⋅ 1010) ⋅ (10-9 Кл) ⋅ (-1/√2)
φV1 = 8,98755 ⋅ 101 ⋅ (-0,7071)
φV1 ≈ -63,55 В.

Шаг 3: Работа внешних сил
Aвнеш = q0(φV1 - φO)
Aвнеш = (0,5 ⋅ 10-9 Кл) ⋅ (-63,55 В - 0 В)
Aвнеш = 0,5 ⋅ 10-9 ⋅ (-63,55)
Aвнеш ≈ -3,1775 ⋅ 10-8 Дж.

6. Анализ размерности:
Кл · В = Дж. Верно.

7. Проверка результата:
Отрицательное значение работы внешних сил означает, что поле само совершает положительную работу по перемещению заряда. Это логично, так как q₀ положительный, а потенциал в точке V₁ отрицательный, и заряд движется из области нулевого потенциала в область отрицательного, что означает, что внешним силам пришлось бы препятствовать естественному движению заряда.

Задача 10: Пондеромоторные силы (повышенная сложность)

Условие: В плоский горизонтальный конденсатор, пластины которого имеют длину L = 10 см и ширину W = 5 см, вставляется тонкая диэлектрическая пластина шириной W и толщиной d_пл, имеющая диэлектрическую проницаемость ε = 3. Напряжение на конденсаторе U = 1000 В. Определите силу, втягивающую диэлектрическую пластину в конденсатор. Толщина диэлектрической пластины равна расстоянию d = 1 мм между пластинами конденсатора.

Решение:

1. Анализ условия:

• Дано: L = 10 см = 0,1 м; W = 5 см = 0,05 м. ε = 3. U = 1000 В. d = 1 мм = 0,001 м.
• Найти: Силу F, втягивающую диэлектрик.
• Сред��: вакуум вне диэлектрика (ε₀).

2. Построение физической модели:
Частично заполненный диэлектриком плоский конденсатор. Сила втягивания – это пондеромоторная сила, которая возникает из-за стремления системы уменьшить свою энергию.

3. Выбор законов и принципов:
Сила, действующая на диэлектрик, может быть найдена как производная энергии системы по координате x (глубина вхождения диэлектрика), взятая с обратным знаком, при постоянном напряжении (или заряде).
При постоянном напряжении U: F = -∂W/∂x (где W – энергия конденсатора).
Энергия конденсатора: W = (1/2)CU2.
Емкость частично заполненного конденсатора.

4. Вывод/выбор формул:
Представим конденсатор как два параллельно соединенных конденсатора: один заполнен диэлектриком, другой – воздухом (вакуумом). Пусть x – глубина вхождения диэлектрика в конденсатор.
Площадь, заполненная диэлектриком: Sε = Wx.
Площадь, заполненная воздухом: Sвозд = W(L - x).
Емкость заполненной части: Cε = εε0Sε / d = εε0Wx / d.
Емкость воздушной части: Cвозд = ε0Sвозд / d = ε0W(L - x) / d.

Полная емкость конденсатора:
C(x) = Cε + Cвозд = (εε0Wx / d) + (ε0W(L - x) / d)
C(x) = (ε0W / d) ⋅ (εx + L - x) = (ε0W / d) ⋅ (L + (ε - 1)x)

Энергия конденсатора:
W(x) = (1/2)C(x)U2 = (1/2) ⋅ (ε0W / d) ⋅ (L + (ε - 1)x) ⋅ U2

Сила: F = -dW/dx.
F = -(1/2) ⋅ (ε0W / d) ⋅ (ε - 1) ⋅ U2.
Знак минус показывает, что сила направлена в сторону увеличения x, то есть втягивает пластину. Модуль силы:
F = (1/2) ⋅ (ε0W / d) ⋅ (ε - 1) ⋅ U2.

5. Математическое решение:
ε₀ = 8,854 · 10^-12 Ф/м.
W = 0,05 м.
d = 0,001 м.
ε = 3.
U = 1000 В.

F = (1/2) ⋅ (8,854 ⋅ 10-12 Ф/м ⋅ 0,05 м / 0,001 м) ⋅ (3 - 1) ⋅ (1000 В)2
F = (1/2) ⋅ (8,854 ⋅ 10-12 ⋅ 50) ⋅ (2) ⋅ (106)
F = (1/2) ⋅ (442,7 ⋅ 10-12) ⋅ (2) ⋅ (106)
F = 442,7 ⋅ 10-6 Н ≈ 4,43 ⋅ 10-4 Н.

6. Анализ размерности:
Ф/м · м/м · В² = (Кл/В)/м · В² = Кл·В/м = Дж/м = Н. Верно.

7. Проверка результата:
Величина силы в миллиньютонах или сотнях микроньютон является типичной для пондеромоторных сил в лабораторных условиях. Результат выглядит физически разумным, подтверждая, что диэлектрик стремится минимизировать энергию системы, перемещаясь в область сильного поля.

Заключение

Мы прошли долгий, но увлекательный путь по просторам электростатики, от элементарных зарядов до сложных взаимодействий в диэлектрических средах. Надеемся, что это руководство стало для вас не просто набором формул и решений, а путеводной нитью, раскрывающей красоту и логику физических законов, а также помогающей освоить системный подход к решению задач.

Ключ к успешной сдаче контрольной работы – это не просто запоминание, а глубокое понимание. Мы стремились показать, как каждый закон, каждая формула выводятся из фундаментальных принципов, и как они взаимодействуют в рамках одной задачи. Помните о важности системного подхода: начните с анализа условия, постройте физическую модель, выберите подходящие законы, аккуратно выведите формулы, проведите расчеты и всегда проверяйте размерность и физическую осмысленность результата. Только такой подход гарантирует не только успешную сдачу, но и формирование прочных, фундаментальных знаний.

Электростатика – это лишь первый шаг в необъятный мир электродинамики, который продолжит удивлять вас своей сложностью и элегантностью. Желаем вам не только успешно справиться с контрольной работой, но и, возможно, развить в себе подлинный интерес к дальнейшему изучению этой захватывающей области физики. Пусть ваши знания будут крепкими, а решения – точными!

Список использованной литературы

1. Рымкевич, А. П. Физика. Задачник. 10-11 кл.: пособие для общеобразоват. учреждений / А. П. Рымкевич. 10-е изд., стереотип. М.: Дрофа, 2006. 188, [4] с.: ил.
2. Юго-Западный государственный университет. Движение заряженных частиц в однородном электрическом поле. URL: https://www.elib.swsu.ru/index.php?option=com_content&view=article&id=516%3A5-1&catid=1%3Aphysics&Itemid=3 (дата обращения: 11.10.2025).
3. Слободянюк, А. И. Физика 10/14.1 — PhysBook: Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях. URL: http://www.physbook.ru/index.php/Заряженная_частица_в_электростатическом_поле (дата обращения: 11.10.2025).
4. Национальный минерально-сырьевой университет «Горный». Связь между напряжённостью и потенциалом. URL: http://window.edu.ru/catalog/pdf2txt/687/78687/55694 (дата обращения: 11.10.2025).
5. Ландсберг, Г. С. Элементарный учебник физики, том 2. URL: http://obuchalka.org/books/fizika-10-klass-landsberg-g-s-tom-2.html (дата обращения: 11.10.2025).
6. Skysmart. Напряженность электрического поля — как найти? Правила и примеры. URL: https://skysmart.ru/articles/fizika/napryazhennost-elektricheskogo-polya (дата обращения: 11.10.2025).
7. ЯКласс. Электрические заряды, заряженные тела и их взаимодействие. URL: https://www.yaklass.ru/p/fizika/8_klass/elektricheskie-iavleniia-17684/elektricheskie-zariady-zariazhennye-tela-i-ikh-vzaimodeistvie-17685/re-57f920f5-566b-4e1b-b467-f3c1533038a8 (дата обращения: 11.10.2025).
8. ЯКласс. Взаимодействие заряженных тел. Электрическое поле. URL: https://www.yaklass.ru/p/fizika/8_klass/elektricheskie-iavleniia-17684/elektricheskoe-pole-zakon-kulona-17686/re-f9478f24-7e87-43f1-b1e6-23f25c798993 (дата обращения: 11.10.2025).
9. ЯКласс. Соотношение между разностью потенциалов и напряжённостью электростатического поля. URL: https://www.yaklass.ru/p/fizika/10_klass/rabota-sil-elektrostaticheskogo-polia-raznost-potentsialov-17988/sootnoshenie-mejdu-raznostiu-potentsialov-i-napriajennostiu-elektrostaticheskogo-polia-17990/re-8927e1f5-19a9-4b47-b86a-74b59523e9a4 (дата обращения: 11.10.2025).
10. Объединение учителей Санкт-Петербурга. Напряженность поля точечного заряда. URL: http://uchitel.edu.ru/node/561 (дата обращения: 11.10.2025).
11. DPVA.info Инженерный справочник. Электростатика. Основные понятия. Электрический заряд. Закон сохранения электрического заряда. Закон Кулона. Принцип суперпозиции. Теория близкодействия. Потенциал электрического поля. Конденсатор. URL: http://www.dpva.info/Guide/GuidePhysics/ElectricCharge/ElectricChargeCoulombLawSuperpositionPrinciplePotential/ (дата обращения: 11.10.2025).
12. УрФУ. ЭЛЕКТРОСТАТИКА. ЗАДАЧИ, ИХ АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ. 2012. URL: https://elar.urfu.ru/bitstream/10995/10708/1/978-5-7996-0810-7_2012.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
13. Sanish1.ru. Методические указания к решению задач по курсу общей физики Раздел «Электростатика». URL: https://sanish1.ru/metodicheskie-ukazaniya-k-resheniyu-zadach-po-kursu-obschey-fiziki-razdel-elektrostatika/ (дата обращения: 11.10.2025).
14. Физические постоянные. URL: http://vpl.nmu.org.ua/fiz/phcons.htm (дата обращения: 11.10.2025).
15. Национальная металлургическая академия Украины. Физические константы. URL: http://www.nmetau.edu.ua/file/phisical_constants.doc (дата обращения: 11.10.2025).
16. Ядерная физика в интернете: Электрон. URL: http://nuclphys.sinp.msu.ru/elements/e.htm (дата обращения: 11.10.2025).
17. Компьютерные обучающие программы. Курс общей физики, том II. Электричество. URL: http://www.edu.dsvfu.ru/courses/savelyev_vol2/ (дата обращения: 11.10.2025).
18. Fireman.club. Электрическое поле и электрический ток: напряженность и сила. URL: https://fireman.club/konspekt-lekcii/elektricheskoe-pole-i-elektricheskii-tok-napryazhennost-i-sila/ (дата обращения: 11.10.2025).
19. Эликс. Диэлектрическая проницаемость. URL: https://eliks.ru/informatsiya/spravochnik/dielektricheskaya-pronitsaemost (дата обращения: 11.10.2025).
20. Технический университет УГМК. 3.7. Силы, действующие на диэлектрик в электрическом поле и на сторонние заряды в диэлектрике. URL: https://www.ugmk-university.ru/upload/iblock/c53/c534125a0735706249ee929e46a75f0a.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
21. Учебные материалы по физике (сайт преподавателя). Основные формулы. URL: http://physics-lectures.ru/wp-content/uploads/2012/11/Основные-формулы.pdf (дата обращения: 11.10.2025).
22. Все для студента. Савельев И.В. Курс общей физики, Том 2, Электричество. URL: https://www.studmed.ru/savelev-iv-kurs-obschey-fiziki-tom-2-elektrichestvo_5e1b69739a2.html (дата обращения: 11.10.2025).