Решение задачи на определение вязкости жидкости с применением закона Стокса

Контрольная работа по физике, и вам достается задача на вязкость и закон Стокса. Знакомая ситуация? Многие студенты сталкиваются с трудностями: путаются в понятиях динамической и кинематической вязкости, не знают, с чего начать расчет и как правильно составить уравнение. Но паниковать не стоит. Эта статья — не просто сухая теория, а подробный пошаговый алгоритм, который проведет вас от условия задачи к правильному ответу на конкретном, живом примере. Мы разберем все до последнего винтика, и вы увидите, что задача решается проще, чем кажется.

Глава 1. Физическая суть вязкости, или почему мед течет медленнее воды

Чтобы понять, как решать задачу, нужно сначала разобраться с главным героем — вязкостью. Представьте, что жидкость состоит из множества тончайших слоев. Когда она течет, эти слои скользят друг относительно друга. Вязкость — это, по сути, мера внутреннего трения в жидкости, которое мешает этому скольжению. Чем сильнее внутреннее трение, тем большее усилие нужно приложить, чтобы заставить жидкость течь.

Именно поэтому мед, обладающий высокой вязкостью, течет медленно и неохотно, а вода — быстро и легко. Количественной мерой этого сопротивления течению является динамическая вязкость (обозначается греческой буквой μ или η). Она характеризует именно «густоту» или «текучесть» вещества. В международной системе единиц (СИ) динамическая вязкость измеряется в Паскаль-секундах (Па·с). Например, касторовое масло, которое фигурирует в нашей задаче, как раз известно своей высокой динамической вязкостью при комнатной температуре.

Глава 2. Динамическая и кинематическая вязкость, как они связаны

Итак, с динамической вязкостью (μ) мы разобрались — это абсолютная характеристика внутреннего трения жидкости. Однако в задачах и технических расчетах часто встречается и другой термин — кинематическая вязкость (ν). Это создает путаницу, но на самом деле все просто. Эти две величины тесно связаны через плотность.

Кинематическая вязкость — это отношение динамической вязкости к плотности жидкости (ρ):

ν = μ / ρ

Какой в этом физический смысл? Если динамическая вязкость описывает, как жидкость сопротивляется сдвигу под действием внешней силы, то кинематическая вязкость показывает, насколько быстро эта жидкость будет течь под действием собственной тяжести. То есть она учитывает не только внутреннее трение, но и инертность жидкости (ее плотность).

• Динамическая вязкость (μ): характеризует внутреннее трение. Единица измерения — Па·с.
• Кинематическая вязкость (ν): характеризует скорость течения под действием гравитации. Единица измерения — м²/с или Стоксы (Ст).

Четкое разграничение этих двух понятий — ключ к тому, чтобы не запутаться в расчетах и правильно подставлять величины в формулы.

Глава 3. Закон Стокса как ключ к решению нашей задачи

Теперь, когда мы понимаем, что такое вязкость, нам нужен инструмент для ее измерения в движении. В нашей задаче таким инструментом выступает закон Стокса. Этот закон описывает силу сопротивления, которую испытывает небольшой сферический объект, когда он медленно и плавно движется внутри вязкой жидкости.

Формула закона Стокса выглядит так:

F_с = 6πηrv

Давайте расшифруем каждый компонент:

• F_с — это сама сила сопротивления Стокса.
• π (пи) — математическая константа (≈ 3,14159).
• η (эта) — это как раз наша искомая динамическая вязкость жидкости.
• r — радиус нашего сферического тела (шарика).
• v — скорость движения этого тела относительно жидкости.

Таким образом, эта формула напрямую связывает легко измеряемые параметры (радиус шарика и его скорость) с фундаментальным свойством самой жидкости — ее вязкостью. Важно помнить ключевое ограничение: закон Стокса работает корректно только для медленного, ламинарного (бесвихревого) течения. Это условие выполняется при малых числах Рейнольдса.

Глава 4. Формулировка задачи и анализ исходных данных

Теоретическая база заложена. Теперь давайте применим эти знания для решения конкретной задачи. Вот ее условие:

Пробковый шарик радиусом r = 5мм всплывает в сосуде, наполненном касторовым маслом. Найти динамическую и кинематическую вязкости касторового масла, если шарик всплывает с постоянной скоростью v = 3,5 см/с.

Первый и самый важный шаг в решении любой физической задачи — правильно записать «Дано» и перевести все величины в Международную систему единиц (СИ). Это убережет от ошибок в расчетах.

Дано:

• Радиус шарика (r) = 5 мм = 0,005 м
• Скорость всплытия (v) = 3,5 см/с = 0,035 м/с

Условие понятно, данные подготовлены. Приступаем к пошаговому решению.

Глава 5. Алгоритм решения, который мы применим для нахождения вязкости

Это ядро нашего решения. Мы пройдем по четкому алгоритму, чтобы найти сначала динамическую, а затем и кинематическую вязкость.

Шаг 1. Анализ действующих сил

Ключевая фраза в условии задачи — «постоянной скоростью«. Согласно первому закону Ньютона, если скорость тела постоянна, значит, его ускорение равно нулю. А это, в свою очередь, означает, что сумма всех действующих на тело сил равна нулю. Давайте определим эти силы. На наш всплывающий шарик действуют три силы:

1. Сила тяжести (F_тяж): направлена вертикально вниз.
2. Сила Архимеда (F_арх): выталкивающая сила, направлена вертикально вверх.
3. Сила сопротивления Стокса (F_стокс): так как шарик движется вверх, сила сопротивления среды направлена в противоположную сторону, то есть вертикально вниз.

Шаг 2. Составление уравнения равновесия

Поскольку шарик движется равномерно, эти силы уравновешивают друг друга. Сила, направленная вверх, равна сумме сил, направленных вниз. Запишем это в виде уравнения:

F_арх = F_тяж + F_стокс

Из этого уравнения нам нужно выразить силу Стокса, так как именно в ней «спрятана» искомая вязкость:

F_стокс = F_арх — F_тяж

Шаг 3. Расчет динамической вязкости

Теперь распишем каждую силу через известные формулы (m = ρV, V_шара = 4/3πr³) и приравняем к выражению для силы Стокса:

6πηrv = (ρ_масла * g * V_шарика) — (ρ_пробки * g * V_шарика)

Вынесем общие множители за скобки:

6πηrv = g * (4/3)πr³ * (ρ_масла — ρ_пробки)

Теперь из этого уравнения выразим нашу цель — динамическую вязкость η. После сокращений получим:

η = (2gr² * (ρ_масла — ρ_пробки)) / 9v

Для расчета нам потребуются справочные данные: плотность касторового масла (ρ_масла) ≈ 961 кг/м³, а плотность пробки (ρ_пробки) ≈ 240 кг/м³. Подставляем все числовые значения:

η = (2 * 9.8 м/с² * (0.005 м)² * (961 кг/м³ — 240 кг/м³)) / (9 * 0.035 м/с) ≈ 1.12 Па·с

Таким образом, мы нашли первую искомую величину: динамическая вязкость касторового масла составляет примерно 1,12 Па·с.

Глава 6. Финальный расчет, или как мы находим кинематическую вязкость

Отлично, мы нашли первую из двух искомых величин. Теперь найти вторую — дело техники. Напомним формулу, которая связывает динамическую (μ или η) и кинематическую (ν) вязкость:

ν = η / ρ

Динамическая вязкость η нами уже найдена на предыдущем шаге (≈ 1,12 Па·с). Плотность касторового масла ρ — известная нам справочная величина (≈ 961 кг/м³). Осталось только подставить значения и выполнить расчет:

ν = 1,12 Па·с / 961 кг/м³ ≈ 0,001165 м²/с

Чтобы получить более наглядное число, результат часто переводят в Стоксы (1 м²/с = 10 000 Ст) или сантистоксы (1 м²/с = 1 000 000 сСт).

ν ≈ 1165 сСт

Итак, вторая искомая величина — кинематическая вязкость касторового масла — составляет примерно 0,001165 м²/с.

Заключение. Формулировка выводов

Задача полностью решена. Как вы убедились, залог успеха — это четкая последовательность действий и понимание физического смысла каждой величины. Давайте еще раз закрепим ключевые шаги пройденного алгоритма:

• Шаг 1. Анализ сил: Определили все силы, действующие на шарик (Архимеда, тяжести, Стокса).
• Шаг 2. Уравнение равновесия: Записали уравнение баланса сил, исходя из условия равномерного движения.
• Шаг 3. Выражение силы Стокса: Алгебраически выразили силу сопротивления через разность силы Архимеда и силы тяжести.
• Шаг 4. Расчет динамической вязкости: Приравняли полученное выражение к формуле Стокса и нашли η.
• Шаг 5. Расчет кинематической вязкости: Используя найденную динамическую вязкость и известную плотность, по простой формуле нашли ν.

Всегда помните о важности перевода всех исходных данных в систему СИ и не забывайте про условие применимости закона Стокса — он работает для медленных, ламинарных течений. Теперь, вооружившись этим алгоритмом, любая подобная задача из контрольной работы будет вам по силам.