Представьте, что вы бросаете мяч в стену. Что произойдет? Очевидно, он отскочит. В нашем привычном, макроскопическом мире у объекта с недостаточной энергией нет ни единого шанса преодолеть барьер. Но стоит нам спуститься на уровень элементарных частиц, как привычные законы перестают работать. Здесь частицы ведут себя как призраки, способные проходить сквозь стены, которые для них, казалось бы, непреодолимы. Это явление, противоречащее всей нашей интуиции, называется квантовым туннелированием. В этой статье мы не просто примем на веру это «чудо» микромира, а вооружимся формулами и математически рассчитаем его вероятность на примере конкретной контрольной задачи о протоне, который пытается «просочиться» через энергетический барьер.
Но прежде чем браться за калькулятор, необходимо разобраться в физических принципах, которые делают этот феномен возможным.
Что такое квантовый туннельный эффект и почему он возможен
В контексте нашей задачи, «стена» — это потенциальный барьер. Проще говоря, это область пространства, где потенциальная энергия частицы резко возрастает и становится выше, чем ее собственная полная энергия. Для классического мяча это непреодолимая преграда. Но в квантовой механике главный герой — не частица-шарик, а волновая функция, описываемая уравнением Шредингера. Эта функция определяет вероятность найти частицу в той или иной точке пространства.
Ключевой момент в том, что эта волна вероятности не обрывается резко на границе барьера. Вместо этого она проникает внутрь и начинает затухать по экспоненциальному закону. Если барьер не бесконечно толстый, то волна не успевает затухнуть до нуля. Она выходит с другой стороны, сохранив небольшую, но вполне реальную, ненулевую амплитуду. А раз есть амплитуда волны, значит, есть и вероятность обнаружить частицу за барьером!
Философски это можно объяснить через принцип неопределенности Гейзенберга. Соотношение ΔE·Δt ≥ ħ/2 как бы позволяет частице «одолжить» недостающую энергию на очень короткое время, достаточное для того, чтобы «проскочить» барьер.
Из этого следует главный вывод, который нам понадобится для решения задачи: вероятность туннелирования не является постоянной величиной. Она критически зависит от трех параметров:
- Массы частицы: чем тяжелее частица, тем сложнее ей туннелировать.
- Ширины барьера: чем шире «стена», тем сильнее затухает волновая функция и тем меньше шанс пройти.
- Высоты барьера: чем выше барьер по сравнению с энергией частицы, тем ниже вероятность.
Вооружившись этой теорией, мы готовы перейти к анализу конкретных числовых данных нашей задачи.
Как звучит наша задача и что нам дано для ее решения
Формулировка задачи, которую мы будем решать, звучит следующим образом: «Протон с энергией Е = 5 эВ движется в положительном направлении оси х, встречая на своем пути прямоугольный потенциальный барьер высотой U = 10 эВ и шириной l = 0,1 нм. Определите вероятность прохождения протоном этого барьера. Во сколько раз надо сузить барьер, чтобы вероятность прохождения его протоном была такой же, как для электрона при вышеприведенных условиях?»
Систематизируем все исходные данные и сразу переведем их в Международную систему единиц (СИ), чтобы избежать ошибок в расчетах:
- Частица: протон (p)
- Энергия частицы (E): 5 эВ (что равно 8.01 × 10-19 Дж)
- Высота барьера (U): 10 эВ (что равно 16.02 × 10-19 Дж)
- Ширина барьера (l): 0,1 нм (что равно 10-10 м)
Нам необходимо найти две величины:
- Вероятность прохождения для протона, также известную как коэффициент прозрачности D.
- Во сколько раз нужно изменить ширину барьера l, чтобы новый коэффициент D для протона стал равен коэффициенту D для электрона при старой ширине.
Теперь, когда все данные подготовлены и цели ясны, мы можем приступить к пошаговому вычислению.
Пошаговый расчет вероятности туннелирования для протона
Для решения задачи мы будем использовать приближенную формулу для коэффициента прохождения D, которая хорошо работает, когда высота барьера U превышает энергию частицы E и сам барьер достаточно «мощный». Она выглядит так:
D ≈ exp(-2 * (l/ħ) * sqrt(2m(U-E)))
где m — масса частицы, а ħ — редуцированная постоянная Планка (ħ ≈ 1.054 × 10-34 Дж·с).
Расчет удобно разбить на несколько шагов:
- Расчет подкоренного выражения. Сначала найдем величину 2m(U-E), подставив массу протона (mp ≈ 1.672 × 10-27 кг) и разность энергий (U-E = 8.01 × 10-19 Дж):
2 * (1.672 × 10-27) * (8.01 × 10-19) ≈ 2.678 × 10-45 кг²·м²/с² - Расчет показателя экспоненты. Теперь вычислим полный показатель степени. Для этого извлечем корень из предыдущего результата и умножим его на 2l/ħ:
Показатель = (2 * 10-10 / 1.054 × 10-34) * sqrt(2.678 × 10-45) ≈ 31.04 - Финальный расчет D. Осталось только возвести основание натурального логарифма e в степень -31.04:
Dпротон ≈ e-31.04 ≈ 2.22 × 10-14
Полученный результат — это чрезвычайно малое число. Оно означает, что только примерно 2 из 100 триллионов протонов с заданной энергией смогут преодолеть такой барьер. Вероятность крайне низкая, но, что самое важное в квантовом мире, — она ненулевая.
Мы получили конкретное число. Но насколько оно мало или велико? Чтобы это понять, необходимо сравнение. Давайте посмотрим, как поведет себя в тех же условиях гораздо более легкая частица — электрон.
Почему электрон проходит барьер легче протона. Сравнительный анализ
Фундаментальный принцип туннелирования гласит: при прочих равных условиях, чем меньше масса частицы, тем выше вероятность туннелирования. Физически это можно интерпретировать так: у более легких частиц сильнее выражены волновые свойства, их волна вероятности «неохотнее» затухает в барьере и легче «просачивается» наружу.
Проверим это расчетом. Проделаем те же вычисления для электрона, масса которого (me ≈ 9.109 × 10-31 кг) примерно в 1836 раз меньше массы протона. Поскольку масса стоит под корнем в показателе экспоненты, показатель для электрона будет в √1836 ≈ 42.85 раз меньше, чем для протона.
Новый показатель ≈ 31.04 / 42.85 ≈ 0.724
Тогда вероятность прохождения для электрона составит:
Dэлектрон ≈ e-0.724 ≈ 0.485
Сравните эти два числа: 2.22 × 10-14 для протона и 0.485 для электрона. Разница колоссальная! Если для протона прохождение барьера — событие почти невероятное, то для электрона оно становится обыденностью — почти каждый второй электрон успешно туннелирует. Это наглядно демонстрирует, насколько сильно масса частицы влияет на этот квантовый эффект.
Это колоссальное различие подводит нас ко второй части нашей задачи: можно ли что-то сделать с барьером, чтобы «уравнять шансы» для тяжелого протона?
Как изменить барьер, чтобы протон прошел так же легко, как электрон
Вторая часть задачи требует найти новую ширину барьера lновая, при которой вероятность прохождения протона станет такой же, как у электрона при старой ширине lстарая (0,1 нм). Математически это условие выглядит так:
Dпротон(lновая) = Dэлектрон(lстарая)
Поскольку вероятности равны, то должны быть равны и показатели в их формулах:
(2 * lновая/ħ) * sqrt(2mp(U-E)) = (2 * lстарая/ħ) * sqrt(2me(U-E))
После сокращения одинаковых множителей (2, ħ, U-E) мы получаем простое соотношение:
lновая * sqrt(mp) = lстарая * sqrt(me)
Отсюда выражаем искомую новую ширину:
lновая = lстарая * sqrt(me / mp)
Отношение, в которое нужно сузить барьер, равно lстарая / lновая, что составляет sqrt(mp / me). Мы уже считали эту величину — она равна примерно 42.85.
Таким образом, ответ на второй вопрос задачи: чтобы вероятность прохождения протона стала такой же, как у электрона, барьер необходимо сузить примерно в 43 раза. Его новая ширина должна составить всего около 0.0023 нм.
Таким образом, мы не только рассчитали вероятности, но и научились «управлять» ими, изменяя параметры системы. Это подводит нас к финальным выводам.
Итак, какие выводы мы можем сделать? Во-первых, туннельный эффект — это реальное физическое явление, которое можно рассчитать. Во-вторых, мы наглядно убедились, что он критически зависит от массы частицы и ширины барьера, причем зависимость эта — экспоненциальная, что приводит к огромным различиям в вероятностях. Но разобранная нами задача — не просто упражнение для ума. Она моделирует реальные процессы, лежащие в основе важнейших явлений и технологий. Именно туннельный эффект объясняет альфа-распад тяжелых ядер, позволяет работать сканирующим туннельным микроскопам, «видящим» отдельные атомы, и даже является одним из ключевых условий для протекания реакций термоядерного синтеза внутри звезд, включая наше Солнце. Понимание таких фундаментальных принципов открывает человечеству двери к управлению материей на самом глубоком уровне.