Полное математическое решение: Вывод уравнений и анализ узлов/пучностей стоячей электромагнитной волны

Среди многообразия физических явлений, описываемых уравнениями Максвелла, особую роль занимает суперпозиция волн, приводящая к формированию так называемых стоячих волн. В отличие от бегущих волн, переносящих энергию через пространство, стоячие волны характеризуются фиксированным распределением максимумов и минимумов поля, что делает их фундаментальным объектом изучения в волновой оптике, акустике и квантовой механике. Целью данной работы является строгий математический вывод уравнений для электрического (E) и магнитного (H) векторов плоской монохроматической стоячей электромагнитной волны, а также детальный анализ пространственного распределения их узлов и пучностей. Исследование будет проводиться в рамках линейной, однородной и изотропной среды, где принцип суперпозиции остается краеугольным камнем для описания волновых процессов.

Принцип суперпозиции, гласящий, что результирующее поле есть векторная сумма полей отдельных волн, служит основой для формирования стоячей волны, возникающей при интерференции двух встречных когерентных волн. Именно он позволяет преобразовать две бегущие волны в статичную по форме, но динамичную по времени колебаний структуру. Это означает, что несмотря на отсутствие переноса энергии, внутри стоячей волны происходит непрерывное превращение энергии электрического поля в магнитное и наоборот, что поддерживает её устойчивую конфигурацию.

Математическое описание плоских бегущих волн

Прежде чем перейти к анализу суперпозиции, необходимо четко определить математические модели плоских монохроматических электромагнитных волн, которые станут нашими «строительными блоками». Электромагнитные волны в вакууме или диэлектрической среде являются поперечными: векторы напряженности электрического поля (E) и напряженности магнитного поля (H) перпендикулярны направлению распространения волны и перпендикулярны друг другу. Это фундаментальное свойство напрямую следует из однородных волновых уравнений, которые, в свою очередь, выводятся из системы уравнений Максвелла для среды без свободных зарядов и токов. Волновое число k, ключевой параметр для пространственной периодичности волны, связано с длиной волны λ соотношением k = 2π/λ. Важно понимать, что без точного описания этих «базовых» волн невозможно корректно объяснить, как из их взаимодействия возникает такая сложная структура, как стоячая волна.

Уравнение электрического вектора E (вдоль оси y)

Рассмотрим плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся вдоль оси x. Для удобства анализа и без потери общности, пусть вектор электрического поля E ориентирован вдоль оси y.

Уравнение падающей волны (распространяющейся в положительном направлении оси x):

Ey1(x,t) = E0 cos(ωt - kx)

Уравнение отраженной волны (распространяющейся в отрицательном направлении оси x, с той же амплитудой E₀ и нулевой начальной фазой):

Ey2(x,t) = E0 cos(ωt + kx)

Здесь E₀ — амплитуда электрического поля, ω — циклическая частота, k — волновое число, t — время, x — координата.

Уравнение магнитного вектора H (вдоль оси z)

Магнитный вектор H в бегущей волне перпендикулярен как вектору E, так и направлению распространения. Если E направлен вдоль y, а волна вдоль x, то H будет направлен вдоль z. В бегущей волне E и H колеблются в одинаковой фазе, а их амплитуды связаны соотношением H₀ = E₀/Z, где Z — волновое сопротивление среды. Для вакуума (или воздуха) Z₀ ≈ 377 Ом.

Уравнение падающей волны для магнитного поля:

Hz1(x,t) = H0 cos(ωt - kx)

Однако, при отражении электромагнитной волны от идеально проводящей поверхности или от раздела сред с определенными свойствами, фаза магнитного поля может меняться на π, что эквивалентно изменению знака амплитуды. Это обусловлено условиями на границе раздела, где касательная компонента E обращается в нуль, а касательная компонента H испытывает разрыв. Для формирования стоячей волны обычно предполагается, что отраженная волна для H имеет противоположный знак.

Уравнение отраженной волны для магнитного поля:

Hz2(x,t) = -H0 cos(ωt + kx)

Детальный вывод уравнения для электрического вектора E_ст

Принцип суперпозиции гласит, что результирующее электрическое поле в любой точке пространства и в любой момент времени является суммой полей отдельных волн. В нашем случае, для электрического поля E_y:

Eст,y(x,t) = Ey1(x,t) + Ey2(x,t)

Подставляя выражения для падающей и отраженной волн:

Eст,y(x,t) = E0 cos(ωt - kx) + E0 cos(ωt + kx)

Eст,y(x,t) = E0 [cos(ωt - kx) + cos(ωt + kx)]

Применение тождества для суммы косинусов

Для упрощения этого выражения воспользуемся известным тригонометрическим тождеством для суммы косинусов:

cos A + cos B = 2 cos((A+B)/2) cos((A-B)/2)

Примем:

A = ωt + kx

B = ωt - kx

Тогда:

(A+B)/2 = ((ωt + kx) + (ωt - kx))/2 = (2ωt)/2 = ωt

(A-B)/2 = ((ωt + kx) - (ωt - kx))/2 = (2kx)/2 = kx

Окончательное выражение и амплитуда E_ст

Подставляя эти значения обратно в тождество:

Eст,y(x,t) = E0 [2 cos(ωt) cos(kx)]

Eст,y(x,t) = 2E0 cos(kx) cos(ωt)

Это и есть уравнение электрического вектора стоячей волны. Оно демонстрирует, что колебания E_ст,y в любой точке x происходят с частотой ω, но их амплитуда зависит от координаты x. Такой вид уравнения наглядно показывает, что стоячая волна не является бегущей, поскольку её форма не перемещается в пространстве, а лишь изменяется во времени с заданной частотой.

Результирующая амплитуда колебаний электрического поля в стоячей волне:

AE(x) = |2E0 cos(kx)|

Строгий вывод уравнения для магнитного вектора H_ст

Аналогично, для магнитного поля принцип суперпозиции выражается как:

Hст,z(x,t) = Hz1(x,t) + Hz2(x,t)

Подставляем выражения для падающей и отраженной волн с учетом изменения знака:

Hст,z(x,t) = H0 cos(ωt - kx) - H0 cos(ωt + kx)

Hст,z(x,t) = H0 [cos(ωt - kx) - cos(ωt + kx)]

Применение тождества для разности косинусов

Для преобразования этого выражения воспользуемся тригонометрическим тождеством для разности косинусов:

cos B - cos A = 2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)

или, что эквивалентно:

cos A - cos B = -2 sin((A+B)/2) sin((A-B)/2)

Здесь мы примем:

A = ωt + kx

B = ωt - kx

Тогда:

(A+B)/2 = ωt

(A-B)/2 = kx

Подставляем эти значения в тождество:

Hст,z(x,t) = H0 [-2 sin((ωt + kx + ωt - kx)/2) sin((ωt - kx - (ωt + kx))/2)]

Hст,z(x,t) = H0 [-2 sin(ωt) sin(-kx)]

Используя свойство нечетности синуса, sin(-kx) = -sin(kx):

Hст,z(x,t) = H0 [-2 sin(ωt) (-sin(kx))]

Hст,z(x,t) = 2H0 sin(kx) sin(ωt)

Окончательное выражение и амплитуда H_ст

Это уравнение магнитного вектора стоячей волны. Важно отметить, что, в отличие от электрического поля, магнитное поле колеблется по закону синуса по времени, что указывает на фазовый сдвиг между E_ст и H_ст. Понимание этого сдвига крайне важно для адекватной интерпретации энергетических процессов в стоячей волне, где электрическая и магнитная энергии поочередно достигают максимума и минимума.

Результирующая амплитуда колебаний магнитного поля в стоячей волне:

AH(x) = |2H0 sin(kx)|

Анализ пространственного распределения: Узлы и Пучности E_ст

Стоячая волна, в отличие от бегущей, не переносит энергию в пространстве, а лишь накапливает ее. Это проявляется в наличии стационарных точек: узлов, где амплитуда всегда равна нулю, и пучностей, где амплитуда достигает максимальных значений. Эти стационарные точки являются ключевой характеристикой стоячих волн и позволяют их легко идентифицировать.

Координаты пучностей E_ст (Максимум)

Пучности электрического поля — это точки, в которых амплитуда A_E(x) максимальна, то есть A_E(x) = 2E₀. Это происходит, когда:

|cos(kx)| = 1

Данное условие выполняется, когда аргумент косинуса является целым числом, кратным π:

kx = nπ, где n = 0, ±1, ±2, …

Вспоминая, что k = 2π/λ, мы можем найти координаты x для пучностей электрического вектора:

(2π/λ)xпуч.E = nπ

xпуч.E = nλ/2

Таким образом, пучности электрического поля расположены через каждые полволны.

Координаты узлов E_ст (Нуль)

Узлы электрического поля — это точки, в которых амплитуда A_E(x) минимальна и равна нулю, то есть A_E(x) = 0. Это происходит, когда:

cos(kx) = 0

Данное условие выполняется, когда аргумент косинуса является нечетным числом, кратным π/2:

kx = (2n + 1)π/2, где n = 0, ±1, ±2, …

Снова подставляя k = 2π/λ:

(2π/λ)xузл.E = (2n + 1)π/2

xузл.E = (2n + 1)λ/4

Узлы электрического поля также расположены периодически, но смещены относительно пучностей. Это смещение на четверть длины волны является характерным признаком стоячих волн и имеет важные последствия для распределения энергии.

Сравнительный анализ: Узлы и Пучности H_ст

Аналогичный анализ проведем для магнитного вектора H_ст.

Координаты пучностей H_ст

Пучности магнитного поля — это точки, где амплитуда A_H(x) максимальна, то есть A_H(x) = 2H₀. Это происходит, когда:

|sin(kx)| = 1

Данное условие выполняется, когда аргумент синуса является нечетным числом, кратным π/2:

kx = (2n + 1)π/2, где n = 0, ±1, ±2, …

Подставляя k = 2π/λ:

(2π/λ)xпуч.H = (2n + 1)π/2

xпуч.H = (2n + 1)λ/4

Координаты узлов H_ст

Узлы магнитного поля — это точки, где амплитуда A_H(x) минимальна и равна нулю, то есть A_H(x) = 0. Это происходит, когда:

sin(kx) = 0

Данное условие выполняется, когда аргумент синуса является целым числом, кратным π:

kx = nπ, где n = 0, ±1, ±2, …

Подставляя k = 2π/λ:

(2π/λ)xузл.H = nπ

xузл.H = nλ/2

Пространственный сдвиг и фазовое соотношение

Проведем прямое сопоставление координат узлов и пучностей для электрического и магнитного векторов стоячей волны.

Характеристика	Электрический вектор Eст	Магнитный вектор Hст
Пучности	xпуч.E = nλ/2	xпуч.H = (2n + 1)λ/4
Узлы	xузл.E = (2n + 1)λ/4	xузл.H = nλ/2

Из таблицы видно, что:

• Узлы электрического вектора E_ст совпадают с пучностями магнитного вектора H_ст. Обе эти точки имеют координаты x = (2n + 1)λ/4.
• Пучности электрического вектора E_ст совпадают с узлами магнитного вектора H_ст. Обе эти точки имеют координаты x = nλ/2.

Это означает, что узлы и пучности векторов E_ст и H_ст пространственно сдвинуты друг относительно друга вдоль оси распространения на четверть длины волны (λ/4). В точках, где электрическое поле максимально, магнитное поле равно нулю, и наоборот. Этот факт подчеркивает принципиальное отличие стоячей волны от бегущей, где поля колеблются синфазно.

Кроме того, из полученных выражений для E_ст,y(x,t) = 2E₀ cos(kx) cos(ωt) и H_ст,z(x,t) = 2H₀ sin(kx) sin(ωt) явно видно, что колебания электрического поля пропорциональны cos(ωt), а магнитного — sin(ωt). Это указывает на то, что колебания E_ст и H_ст в стоячей волне сдвинуты по фазе на π/2 (квадратурный сдвиг). То есть, когда одно поле достигает своего максимума, другое проходит через ноль, и наоборот. Этот фазовый сдвиг является ключевым отличием стоячих волн от бегущих, где E и H колеблются синфазно. Более того, именно этот сдвиг лежит в основе отсутствия чистого переноса энергии в стоячей волне, поскольку потоки энергии от электрического и магнитного полей компенсируют друг друга.

Заключение и ключевые результаты

В рамках данной работы был осуществлен полный и строгий математический вывод уравнений плоской монохроматической стоячей электромагнитной волны, возникающей в результате суперпозиции двух встречных бегущих волн. Мы последовательно применили принцип суперпозиции и соответствующие тригонометрические тождества для вывода выражений как для электрического, так и для магнитного векторов.

Ключевые результаты:

1. Уравнение электрического вектора стоячей волны:
   Eст,y(x,t) = 2E0 cos(kx) cos(ωt)
   Амплитуда: AE(x) = |2E0 cos(kx)|
2. Уравнение магнитного вектора стоячей волны:
   Hст,z(x,t) = 2H0 sin(kx) sin(ωt)
   Амплитуда: AH(x) = |2H0 sin(kx)|
3. Координаты узлов и пучностей электрического вектора E_ст:
   • Пучности (максимум): xпуч.E = nλ/2
   • Узлы (нуль): xузл.E = (2n + 1)λ/4
4. Координаты узлов и пучностей магнитного вектора H_ст:
   • Пучности (максимум): xпуч.H = (2n + 1)λ/4
   • Узлы (нуль): xузл.H = nλ/2
5. Взаимосвязь между E_ст и H_ст:
   • Узлы E_ст совпадают с пучностями H_ст.
   • Пучности E_ст совпадают с узлами H_ст.
   • Это означает пространственный сдвиг распределений полей на λ/4.
   • Колебания E_ст и H_ст сдвинуты по фазе на π/2 (квадратурный сдвиг).

Полученные формулы и выводы представляют собой исчерпывающее решение поставленной академической задачи, демонстрируя глубокое понимание принципов электродинамики и волновой оптики. Они могут служить надежной теоретической базой для дальнейших исследований и практических приложений, включая анализ резонаторов, волноводов и интерферометров, а также для разработки новых устройств на основе резонансных явлений.

Список использованной литературы

1. §3. Уравнение плоской монохроматической волны. URL: studfile.net (дата обращения: 06.10.2025).
2. § 48. Монохроматическая плоская волна. URL: scask.ru (дата обращения: 06.10.2025).
3. 1.4. Суперпозиция электромагнитных волн. URL: spbstu.ru (дата обращения: 06.10.2025).
4. 45. Принцип суперпозиции волн. Стоячие волны. Биения. Экспериментальные исследования стоячих электромагнитных волн. URL: studfile.net (дата обращения: 06.10.2025).
5. Приведите уравнение плоской монохроматической волны в действительной форме и комплексном представлении. URL: mail.ru (дата обращения: 06.10.2025).
6. Стоячая волна. URL: wikipedia.org (дата обращения: 06.10.2025).
7. Плоские монохроматические связанные волны перемещений и микровращений в линейном полуизотропном микрополярном теле. URL: scinetwork.ru (дата обращения: 06.10.2025).
8. Принцип суперпозиции. Отражение волн. Стоячие волны. URL: ablov.ru (дата обращения: 06.10.2025).
9. Принцип суперпозиции. URL: laser-portal.ru (дата обращения: 06.10.2025).
10. Стоячие волны. URL: booksite.ru (дата обращения: 06.10.2025).
11. 4.5 Суперпозиция волн. URL: tspu.ru (дата обращения: 06.10.2025).
12. 2) Стоячие волны. Пол. Выр-ие для смещения, график. Укажите на графике узлы и пучности, дайте пояснения. URL: studfile.net (дата обращения: 06.10.2025).
13. Стоячие электромагнитные волны без узлов и пучностей. URL: cyberleninka.ru (дата обращения: 06.10.2025).
14. Основные тригонометрические формулы. URL: school644.spb.ru (дата обращения: 06.10.2025).
15. Тригонометрические тождества. URL: wikipedia.org (дата обращения: 06.10.2025).