Фокусное расстояние тонкой линзы: Детальное решение задачи с глубоким теоретическим обоснованием и универсальным алгоритмом

Представьте себе мир, где зрение человечества ограничено, где микроскопы не могут раскрыть тайны микроорганизмов, а телескопы не приближают далекие галактики. Этот мир был бы немыслим без одного из величайших изобретений человечества — линзы. С момента своего появления, линзы изменили наше восприятие мира, расширив границы познания от мельчайших частиц до бескрайних просторов космоса. Сердцем этих оптических систем являются тонкие линзы, чьи характеристики, в частности фокусное расстояние, определяют их функциональность и применимость. Определение фокусного расстояния линзы в динамических условиях, когда параметры системы изменяются, является не просто академической задачей, но и фундаментальным навыком для любого, кто осваивает основы оптики.

Настоящая работа представляет собой не просто пошаговое решение типовой задачи по определению фокусного расстояния тонкой линзы. Это комплексное руководство, призванное дать студентам и учащимся технического профиля глубокое понимание принципов геометрической оптики. Мы не ограничимся только формулами; напротив, углубимся в теоретические основы, систематизируем правила знаков (часто являющиеся камнем преткновения), проанализируем условия формирования изображений и, самое главное, предложим универсальный, алгебраически строгий алгоритм для решения подобных задач. Цель — не только научить решать, но и объяснить почему решение именно такое, подготавливая читателя к самостоятельному анализу и успешному выполнению академических заданий. Что особенно важно, это поможет избежать типичных ошибок и развить интуитивное понимание поведения света в оптических системах.

Основные понятия и терминология тонких линз

Чтобы уверенно ориентироваться в мире оптики, необходимо владеть его языком — терминологией, ведь каждый термин здесь несет в себе глубокий физический смысл и является ключом к пониманию процессов преломления света.

Что такое тонкая линза?

В повседневной жизни мы часто сталкиваемся с линзами — в очках, фотоаппаратах, микроскопах. Однако в физике термин «тонкая линза» имеет строгое определение. Тонкая линза — это прозрачное тело, обычно ограниченное двумя сферическими (или одной сферической и одной плоской) поверхностями, толщина которого настолько мала, что ею можно пренебречь по сравнению с радиусами кривизны этих поверхностей и расстояниями до предмета и изображения. Это допущение значительно упрощает математическое описание, позволяя считать, что все преломления происходят в одной плоскости, перпендикулярной главной оптической оси. По сути, мы идеализируем линзу, чтобы сосредоточиться на ее преломляющих свойствах, минимизируя влияние аберраций, связанных с толщиной. Это позволяет применять упрощенные формулы, которые тем не менее дают очень точные результаты для большинства практических задач.

Типы линз и их свойства

Линзы делятся на два основных типа по их воздействию на параллельный пучок света:

• Собирающая линза (или положительная линза) — это линза, которая фокусирует параллельный пучок света в одной точке после преломления. Она обычно толще в центре и тоньше по краям. Примером такой линзы может служить обычное увеличительное стекло.
• Рассеивающая линза (или отрицательная линза) — наоборот, преобразует параллельный пучок света в расходящийся. Она тоньше в центре и толще по краям.

Каждая линза обладает рядом ключевых характеристик:

• Оптический центр линзы — это уникальная точка, расположенная внутри линзы (или на её плоскости в случае тонкой линзы), через которую любой луч света проходит, не изменяя своего направления (то есть без преломления).
• Главная оптическая ось — это прямая линия, проходящая через оптический центр линзы и перпендикулярная её плоскости. Это центральная ось симметрии оптической системы.

Фокусное расстояние и оптическая сила

Понятие фокуса является центральным в описании линз:

• Главный фокус (F) — это точка на главной оптической оси, где собираются (для собирающей линзы) или откуда кажутся исходящими (для рассеивающей линзы) параллельные лучи света после прохождения через линзу. У каждой тонкой линзы есть два главных фокуса, расположенных симметрично относительно её оптического центра.
• Фокусное расстояние (F) — это расстояние от оптического центра линзы до её главного фокуса. Это одна из важнейших характеристик линзы, определяющая её преломляющую способность. Для собирающих линз фокусное расстояние считается положительным, для рассеивающих — отрицательным.
• Оптическая сила линзы (D) — это физическая величина, количественно характеризующая преломляющую способность линзы. Она определяется как величина, обратная фокусному расстоянию, выраженному в метрах: D = 1 / F. Единицей измерения оптической силы является диоптрия (дптр). Линза с оптической силой 1 дптр имеет фокусное расстояние 1 метр. Таким образом, линза с фокусным расстоянием 0,5 м будет иметь оптическую силу 2 дптр.

Действительные и мнимые изображения/предметы

В оптике важно различать природу как объектов, так и их изображений:

• Действительный предмет — это реальный источник света (например, лампочка, свеча), от которого исходят расходящиеся лучи. Большинство задач по оптике рассматривают именно действительные предметы.
• Мнимый предмет — это изображение, созданное одной оптической системой, которое служит предметом для другой оптической системы. Лучи, падающие на линзу от мнимого предмета, сходятся к нему.
• Действительное изображение — формируется в результате пересечения самих преломленных лучей. Его можно спроецировать на экран. Действительные изображения всегда перевернуты (для собирающей линзы).
• Мнимое изображение — формируется в результате пересечения продолжений преломленных лучей. Его нельзя спроецировать на экран, но его можно увидеть глазом (например, изображение в зеркале или через лупу). Мнимые изображения обычно прямые (для собирающей линзы).

Понимание этих базовых концепций критически важно для корректного применения формул и интерпретации результатов. Без этого невозможно осмысленно анализировать оптические явления.

Фундаментальные формулы и правила знаков для собирающей линзы

Для количественного анализа оптических систем используются строгие математические модели. Две ключевые формулы геометрической оптики — формула тонкой линзы и формула линейного увеличения — позволяют связать параметры предмета, линзы и изображения. Однако их применение требует строгого соблюдения правил знаков.

Формула тонкой линзы

Формула тонкой линзы является краеугольным камнем геометрической оптики, устанавливая взаимосвязь между расстоянием от предмета до линзы, расстоянием от линзы до изображения и фокусным расстоянием. Она записывается в виде:

1/d + 1/f = 1/F

Где:

• d — расстояние от предмета до оптического центра линзы.
• f — расстояние от оптического центра линзы до изображения.
• F — фокусное расстояние линзы.

Эта формула универсальна, но для её корректного применения необходимо чётко понимать, какие знаки присваивать каждой величине.

Формула линейного увеличения

Помимо положения изображения, нас часто интересует его размер относительно размера предмета. Для этого используется понятие линейного (поперечного) увеличения, которое определяется как отношение линейного размера изображения (H’) к линейному размеру предмета (h).

Математически линейное увеличение (Γ) выражается как:

Γ = H' / h = |f / d|

Важно отметить, что для действительных изображений, которые обычно перевернуты, принято считать линейное увеличение отрицательным. В этом случае формула принимает вид:

Γ = -f / d

Это соглашение позволяет не только определить кратность увеличения, но и получить информацию об ориентации изображения (положительный знак — прямое изображение, отрицательный знак — перевернутое).

Систематизированные правила знаков для собирающей линзы

Правила знаков — это не просто формальность, а фундаментальная часть методологии геометрической оптики, которая обеспечивает согласованность и корректность результатов. Ошибки в знаках — наиболее частая причина неверных решений. Для собирающей линзы, работающей с действительными предметами, применяются следующие правила:

Величина	Описание	Знак для собирающей линзы	Пояснение
F	Фокусное расстояние	Положительное (F > 0)	Собирающие линзы фокусируют параллельные лучи, их фокус действителен.
d	Расстояние от предмета до линзы	Положительное (d > 0)	Предметы, от которых исходят расходящиеся лучи, называются действительными.
f	Расстояние от линзы до изображения	Положительное (f > 0)	Если изображение формируется за линзой и является действительным (можно спроецировать на экран).
		Отрицательное (f < 0)	Если изображение формируется перед линзой (с той же стороны, что и предмет) и является мнимым.
H’	Размер изображения	Положительное (H’ > 0)	Для прямых изображений.
		Отрицательное (H’ < 0)	Для перевернутых изображений.
Γ	Линейное увеличение	Положительное (Γ > 0)	Для прямых изображений (H’ и h имеют одинаковый знак).
		Отрицательное (Γ < 0)	Для перевернутых изображений (H’ и h имеют разные знаки).

Таким образом, для большинства типовых задач с собирающей линзой и действительным предметом:

• F всегда положительно.
• d всегда положительно.
• Если изображение действительное (и, следовательно, перевернутое), то f положительно, а Γ отрицательно.
• Если изображение мнимое (и, следовательно, прямое), то f отрицательно, а Γ положительно.

Это систематизированное представление позволяет однозначно определить знаки переменных, что критически важно при подстановке их в формулы и решении систем уравнений.

Условия формирования действительного увеличенного изображения собирающей линзой

Не каждая линза и не при любом положении предмета способна создать увеличенное изображение. Чтобы глубоко понять задачу, важно не только знать формулы, но и понимать физические условия, приводящие к определённому типу изображения. Именно здесь кроется один из ключевых моментов для предотвращения ошибок и осмысленного анализа результатов.

Предмет между F и 2F

Наиболее интересным для нас случаем, особенно в контексте увеличения, является ситуация, когда собирающая линза формирует действительное, перевернутое и увеличенное изображение. Это происходит, когда предмет расположен между её фокусом (F) и двойным фокусным расстоянием (2F). Математически это условие выражается как:

F < d < 2F

В этой конфигурации лучи, исходящие от предмета, преломляются таким образом, что собираются за двойным фокусным расстоянием (2F) с другой стороны линзы. Следовательно, расстояние до изображения (f) будет больше двойного фокусного расстояния:

f > 2F

Поскольку изображение действительное, оно всегда будет перевернутым, а его размер (H') будет больше размера предмета (h), что соответствует линейному увеличению |Γ| > 1. Это ключевое условие используется в микроскопах и проекторах для получения увеличенных изображений. Почему так важно знать эти условия? Потому что они дают возможность заранее предсказать характер изображения и проверить корректность своих расчетов.

Другие характерные случаи

Для полноты картины и лучшего понимания "поведения" собирающей линзы рассмотрим и другие положения предмета:

• Предмет на двойном фокусном расстоянии (d = 2F): Если предмет находится точно на 2F от линзы, изображение также формируется на 2F с другой стороны. Оно будет действительным, перевернутым и иметь тот же размер, что и предмет (|Γ| = 1). Это используется, например, в некоторых оптических схемах, где требуется передача изображения без изменения масштаба.
• Предмет дальше двойного фокусного расстояния (d > 2F): В этом случае изображение будет действительным, перевернутым и уменьшенным (|Γ| < 1). Оно будет расположено между F и 2F с другой стороны линзы. Этот принцип лежит в основе работы фотоаппаратов, где большое пространство проецируется на малую матрицу.
• Предмет между линзой и её фокусом (d < F): Если предмет расположен очень близко к линзе, собирающая линза образует мнимое, прямое и увеличенное изображение. Это тот самый случай, когда лупа используется для увеличения мелких объектов. В этом случае изображение находится с той же стороны линзы, что и предмет (f < 0).
• Предмет в фокусе (d = F): Лучи, исходящие из фокуса, после преломления в линзе идут параллельным пучком, и изображение формируется "в бесконечности".

Понимание этих условий позволяет не только предсказать характер изображения, но и критически оценить полученные в результате расчетов значения. Например, если при условии F < d < 2F расчетное f окажется меньше 2F, это будет сигналом к поиску ошибки.

Универсальный алгоритм решения задач по оптике тонких линз

Эффективное решение физических задач — это не просто подстановка чисел в формулы, а систематический, логически выстроенный процесс. Представленный ниже алгоритм разработан для того, чтобы минимизировать ошибки, обеспечить полноту анализа и развить глубокое понимание принципов оптики.

Шаг 1: Анализ условия и визуализация

Любая задача начинается с внимательного прочтения и глубокого понимания её условия.

1. Внимательное изучение условия задачи:
   • Определите, что дано (известные величины: расстояния, увеличения, перемещения и т.д.).
   • Определите, что требуется найти (искомые величины).
   • Укажите тип линзы (собирающая или рассеивающая).
   • Охарактеризуйте изображение (действительное/мнимое, прямое/перевернутое, увеличенное/уменьшенное). Это поможет на последующих этапах при выборе правил знаков.
2. Выполнение схематического чертежа:
   • Начертите главную оптическую ось и линзу.
   • Отметьте фокусы (F) и двойные фокусы (2F).
   • Приблизительно расположите предмет в соответствии с условием задачи.
   • Постройте ход лучей (достаточно двух из трёх характерных: проходящий через оптический центр, параллельный главной оптической оси и через фокус) для определения положения и характера изображения.
   • Этот чертёж не требует абсолютной точности, но он является мощным инструментом для визуализации процесса, предсказания свойств изображения и последующей проверки корректности алгебраического решения.

Шаг 2: Применение формул и правил знаков

После понимания физической картины переходим к математическому описанию.

1. Запись основных формул:
   • Формула тонкой линзы: 1/d + 1/f = 1/F.
   • Формула линейного увеличения: Γ = -f / d (для перевернутых изображений) или Γ = f / d (для прямых изображений).
2. Применение правил знаков:
   • Для каждой величины (d, f, F, Γ) определите её алгебраический знак в соответствии с типом линзы и характером изображения, используя систематизированные правила знаков. Это критический этап. Неверный знак неизбежно приведет к неправильному результату.
   • Например, для собирающей линзы F > 0. Если изображение действительное и перевернутое, то f > 0 и Γ < 0.

Шаг 3: Составление и алгебраическое решение системы уравнений

Задачи, особенно те, что включают изменение положения предмета или изображения, часто требуют решения систем уравнений.

1. Составление системы уравнений:
   • На основе условий задачи и выбранных формул составьте систему алгебраических уравнений. Если в задаче описаны два состояния оптической системы (например, "до" и "после" перемещения предмета), дл�� каждого состояния следует записать соответствующую формулу линзы и формулу увеличения.
   • В случае перемещения предмета или линзы, новые расстояния (d₂, f₂) будут связаны с исходными (d₁, f₁) и величиной перемещения (ΔL). Например, d₂ = d₁ ± ΔL.
2. Алгебраическое решение:
   • Решите полученную систему уравнений относительно искомых величин. Это может потребовать подстановки одних уравнений в другие, вынесения общих множителей, приведения к общему знаменателю и других алгебраических преобразований.
   • Пример пошагового алгебраического преобразования:

     Допустим, у нас есть система:

     
(1) 1/d₁ + 1/f₁ = 1/F
(2) 1/d₂ + 1/f₂ = 1/F
(3) Γ₁ = -f₁ / d₁
(4) Γ₂ = -f₂ / d₂


     Если известно F, d₁, Γ₁, а нужно найти d₂ и Γ₂, и f₂ = f₁ + Δf, то:

     • Из (3) выражаем f₁ = -Γ₁d₁.
     • Подставляем f₁ в (1), находим F.
     • Из (4) выражаем f₂ = -Γ₂d₂.
     • Подставляем f₂ в (2).
     • Используя связь между f₁ и f₂, решаем относительно неизвестных.
   • Каждый шаг должен быть чётким и логически обоснованным. Избегайте "прыжков" в вычислениях.

Шаг 4: Анализ и интерпретация результата

Последний, но не менее важный этап, который часто упускается.

1. Проверка размерности: Убедитесь, что полученный ответ имеет корректную единицу измерения (например, фокусное расстояние в метрах, сантиметрах).
2. Физическая осмысленность:
   • Соответствует ли знак полученной величины физическому смыслу? Например, фокусное расстояние собирающей линзы должно быть положительным.
   • Соответствуют ли значения величинам, предсказанным на этапе схематического чертежа и анализа условий формирования изображений? Если, например, вы ожидали получить увеличенное изображение (f > 2F), а получили f < F, это указывает на ошибку.
3. Соответствие условиям задачи: Убедитесь, что полученный результат полностью отвечает на все вопросы, поставленные в условии задачи.

Применение этого алгоритма позволит не только правильно решить задачу, но и значительно улучшить понимание фундаментальных принципов оптики. А разве не это является истинной целью обучения?

Детальное решение типовой задачи по оптике

Теперь, когда у нас есть все необходимые теоретические основы и пошаговый алгоритм, применим их для решения конкретной задачи.

Условие задачи

Предмет находится на некотором расстоянии от собирающей линзы, образующей действительное изображение с линейным увеличением Γ₁ = 2. Когда предмет передвинули на Δd = 10 см ближе к линзе, линейное увеличение изображения стало Γ₂ = 4. Определите фокусное расстояние линзы.

Построение оптической схемы (иллюстрация)

Хотя для данной задачи чертеж не является обязательным для нахождения численного значения, он помогает визуализировать процессы.

Начальное состояние (рис. 1):

• Предмет находится на расстоянии d₁ от линзы.
• Изображение действительное, увеличенное в 2 раза (Γ₁ = 2). Для собирающей линзы действительное изображение перевернуто, поэтому Γ₁ = -2.
• Из условия Γ₁ = -f₁ / d₁ следует, что f₁ = 2d₁.
• Поскольку изображение увеличенное и действительное, предмет расположен между F и 2F (F < d₁ < 2F), а изображение — за 2F (f₁ > 2F).

Конечное состояние (рис. 2):

• Предмет передвинут на Δd = 10 см ближе к линзе, то есть d₂ = d₁ - 10 см.
• Изображение действительное, увеличенное в 4 раза (Γ₂ = 4). Снова, для перевернутого изображения Γ₂ = -4.
• Из условия Γ₂ = -f₂ / d₂ следует, что f₂ = 4d₂.
• Поскольку увеличение стало больше, предмет, как и в первом случае, находится между F и 2F, но ближе к F. Соответственно, f₂ > 2F, и f₂ > f₁.

Примерный ход лучей:

• Начальное положение: Предмет AB расположен между F и 2F. Луч, идущий параллельно главной оптической оси, после преломления проходит через фокус F'. Луч, идущий через оптический центр O, не преломляется. Их пересечение дает действительное, перевернутое, увеличенное изображение A'B' за 2F'.
• Конечное положение: Предмет A₁B₁ перемещен ближе к линзе (d₂ < d₁), но всё ещё между F и 2F. Изображение A₁'B₁' будет дальше от линзы (f₂ > f₁) и ещё более увеличенным.

(Представьте себе два схематичных рисунка: на первом предмет расположен между F и 2F, изображение за 2F, увеличенное в 2 раза. На втором предмет ближе к F (но всё ещё между F и 2F), изображение ещё дальше от 2F и увеличенное в 4 раза.)

Применение формул и правил знаков для каждого состояния

Используем формулу тонкой линзы и формулу линейного увеличения, применяя правила знаков. Поскольку изображение действительное и перевернутое, фокусное расстояние F > 0, d > 0, f > 0, а линейное увеличение Γ < 0.

Для первого состояния:

• Линейное увеличение Γ₁ = -2.
• По формуле увеличения: Γ₁ = -f₁ / d₁
  -2 = -f₁ / d₁ => f₁ = 2d₁ (Уравнение 1)
• По формуле тонкой линзы: 1/d₁ + 1/f₁ = 1/F (Уравнение 2)

Для второго состояния:

• Предмет передвинули на Δd = 10 см ближе к линзе: d₂ = d₁ - 10.
• Линейное увеличение Γ₂ = -4.
• По формуле увеличения: Γ₂ = -f₂ / d₂
  -4 = -f₂ / d₂ => f₂ = 4d₂ (Уравнение 3)
• По формуле тонкой линзы: 1/d₂ + 1/f₂ = 1/F (Уравнение 4)

Алгебраическое решение системы уравнений

Теперь у нас есть система из четырех уравнений с четырьмя неизвестными (d₁, f₁, d₂, f₂, F). Наша цель — найти F.

1. Подставим (1) в (2):
   1/d₁ + 1/(2d₁) = 1/F
   Приведём к общему знаменателю: (2 + 1) / (2d₁) = 1/F => 3 / (2d₁) = 1/F
   Отсюда: F = 2d₁ / 3 (Уравнение 5)
2. Подставим (3) в (4):
   1/d₂ + 1/(4d₂) = 1/F
   Приведём к общему знаменателю: (4 + 1) / (4d₂) = 1/F => 5 / (4d₂) = 1/F
   Отсюда: F = 4d₂ / 5 (Уравнение 6)
3. Приравняем (5) и (6), так как фокусное расстояние линзы не меняется:
   2d₁ / 3 = 4d₂ / 5
4. Подставим d₂ = d₁ - 10 см в полученное уравнение:
   2d₁ / 3 = 4(d₁ - 10) / 5
5. Решим это уравнение относительно d₁:
   Умножим обе части на 15 (наименьшее общее кратное 3 и 5):
   15 ⋅ (2d₁ / 3) = 15 ⋅ (4(d₁ - 10) / 5)
   10d₁ = 12(d₁ - 10)
   10d₁ = 12d₁ - 120
   120 = 12d₁ - 10d₁
   120 = 2d₁
   d₁ = 60 см
6. Теперь, зная d₁, найдем F, используя Уравнение 5:
   F = (2 ⋅ 60 см) / 3
   F = 120 см / 3
   F = 40 см

Анализ полученного результата

1. Проверка размерности: Фокусное расстояние F получено в сантиметрах, что соответствует единицам измерения, используемым в условии.
2. Физическая осмысленность:
   • F = 40 см является положительным числом, что подтверждает, что линза действительно собирающая.
   • Найдем d₂: d₂ = d₁ - 10 см = 60 см - 10 см = 50 см.
   • Проверим условия формирования изображения:
     • Для первого случая: d₁ = 60 см. Поскольку F = 40 см, имеем F < d₁ < 2F, то есть 40 см < 60 см < 80 см. Это соответствует условию формирования действительного увеличенного изображения.
     • Для второго случая: d₂ = 50 см. Также F < d₂ < 2F, то есть 40 см < 50 см < 80 см. Это также соответствует условию формирования действительного увеличенного изображения.
   • Теперь рассчитаем соответствующие расстояния до изображения:
     • f₁ = 2d₁ = 2 ⋅ 60 см = 120 см.
     • f₂ = 4d₂ = 4 ⋅ 50 см = 200 см.
   • Оба значения f₁ и f₂ положительны, что соответствует действительным изображениям. Также f₁ > 2F (120 см > 80 см) и f₂ > 2F (200 см > 80 см), что подтверждает, что изображения увеличенные и находятся за двойным фокусом, как и должно быть.
   • Увеличение изображения с 2 до 4 при приближении предмета к линзе также является физически корректным поведением для собирающей линзы, если предмет остаётся между F и 2F.

Результат F = 40 см является физически осмысленным и полностью соответствует всем теоретическим предсказаниям и условиям задачи.

Заключение

В нашем путешествии по миру геометрической оптики мы не просто решили задачу, но и построили крепкий фундамент для понимания принципов работы тонких линз. От осмысления базовых терминов и фундаментальных формул до строгого применения правил знаков и разработки универсального алгоритма решения, каждый шаг был направлен на создание глубокого и всестороннего понимания предмета. Мы продемонстрировали, как систематический подход позволяет трансформировать запутанное условие задачи в прозрачную систему уравнений, приводящую к логически обоснованному и физически осмысленному результату.

Ценность такого подхода выходит далеко за рамки одной решенной задачи. Он развивает критическое мышление, учит структурировать информацию, применять теоретические знания на практике и, что особенно важно для студента, самостоятельно анализировать и проверять свои выводы. Это не просто "контрольная работа", это методическое руководство, которое, мы надеемся, станет надежным спутником в освоении оптики и других разделов физики, требующих точности, аналитического подхода и глубокого понимания взаимосвязей между физическими явлениями. Уверенное владение этими инструментами — залог академического успеха и глубокого понимания окружающего нас мира.

Список использованной литературы

1. Алешкевич В.А. Курс общей физики. Оптика. URL: https://alleng.org/d/phys/phys009.htm (дата обращения: 03.11.2025).
2. Алешкевич В.А., Деденко Л.Г., Караваев В.А. Механика. URL: https://chembaby.com/fizika/210-v-a-aleshkevich-l-g-dedenko-v-a-karaev-mehanika (дата обращения: 03.11.2025).
3. Ландсберг Г.С. Элементарный учебник физики. Т. 3. URL: https://alleng.org/d/phys/phys037.htm (дата обращения: 03.11.2025).
4. Открытая Физика. Тонкие линзы. URL: http://www.physics.ru/courses/op25part1/content/chapter3/section3/paragraph3/theory.html (дата обращения: 03.11.2025).
5. Оптическая сила линзы — формулы и примеры // Skysmart. URL: https://skysmart.ru/articles/fizika/opticheskaya-sila-linzy (дата обращения: 03.11.2025).
6. Решение задач по теме «Формула тонкой линзы». Видеоурок. Физика 11 Класс. URL: https://videouroki.net/video/44-reshenie-zadach-po-teme-formula-tonkoj-linzy.html (дата обращения: 03.11.2025).
7. Тонкие линзы // Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/tonkie-linzy (дата обращения: 03.11.2025).
8. Тонкие линзы. Построение изображений - материалы для подготовки к ЕГЭ по Физике. URL: https://ege-study.ru/ru/ege/materials/fizika/tonkie-linzy-postroenie-izobrazhenij/ (дата обращения: 03.11.2025).
9. Формула тонкой линзы // Физика | Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/fizika/formula-tonkoy-linzy (дата обращения: 03.11.2025).
10. Формула тонкой линзы. Увеличение линзы // Облако знаний. URL: https://oblakoz.ru/lesson/formula-tonkoj-linzy-uvelichenie-linzy (дата обращения: 03.11.2025).
11. Школково. Все о линзах. Формула тонкой линзы — Теоретическая справка по ЕГЭ. URL: https://shkolkovo.net/theory/444 (дата обращения: 03.11.2025).
12. ЭБС Лань. Курс общей физики. Оптика. URL: https://e.lanbook.com/book/5623 (дата обращения: 03.11.2025).
13. Электронная библиотека БГПУ. Занятие 2. Формула тонкой линзы. URL: https://elib.bspu.by/bitstream/doc/1359/1/Занятие%202.%20Формула%20тонкой%20линзы.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
14. Яндекс.Лекторий. Лекция 24 § 14.6. Тонкие линзы. URL: https://ftf.tsu.ru/lectures/electr-mag-opt/lecture24_optika.pdf (дата обращения: 03.11.2025).