Решение задачи о расчете выделившейся теплоты при неупругом ударе катящегося шара

Каждый из нас наблюдал, как мяч, ударившись о стену, отскакивает уже не с такой скоростью. Интуитивно мы понимаем, что он «потерял» часть энергии. Но куда она делась? В физике ничего не исчезает бесследно. Этот простой пример — прекрасная иллюстрация того, как законы механики переплетаются с термодинамикой. Энергия движения не пропадает, а переходит в другую, менее заметную форму — тепло.

В этой статье мы разберем конкретную задачу, чтобы не просто понять этот принцип, а научиться его точно измерять. Условие таково: сплошной шар массой 1 кг катится без скольжения. Его скорость до удара о стенку составляет 10 см/с, а после отскока — 8 см/с. Наша главная цель — найти точное количество теплоты (Q), которое выделилось в момент этого неупругого столкновения.

Чтобы точно рассчитать эту превращенную энергию, нам сначала нужно разобраться в фундаментальных законах, которые управляют этим процессом.

Какие физические законы лежат в основе решения

Для осознанного решения задачи нам нужно опереться на несколько ключевых идей. Главная из них — это разница между двумя типами столкновений и всеобъемлющий закон сохранения энергии.

Во-первых, в нашей задаче происходит неупругий удар. В физике это строгое определение:

• При упругом ударе (идеализированный случай) полная кинетическая энергия системы сохраняется. Представьте бильярдные шары — они отскакивают почти без потерь.
• При неупругом ударе часть кинетической энергии системы переходит в другие формы. Именно это мы и наблюдаем: скорость шара уменьшилась с 10 см/с до 8 см/с, а значит, его кинетическая энергия очевидно стала меньше.

Во-вторых, возникает вопрос: куда делась эта «потерянная» энергия? Ответ дает фундаментальный закон сохранения энергии: энергия никогда не исчезает, она лишь переходит из одной формы в другую. В нашем случае механическая энергия (энергия движения) превратилась во внутреннюю энергию. Это проявилось в микроскопической деформации материалов и, как следствие, в нагреве шара и стенки в точке их контакта.

Из этого следует главный вывод и ключевая формула для нашего решения. Количество выделившейся теплоты Q в точности равно той самой «потерянной», а точнее — преобразованной, кинетической энергии.

Q = K_нач — K_кон

Таким образом, вся сложная на первый взгляд задача сводится к двум расчетным шагам: найти полную кинетическую энергию шара до удара и после него. Вооружившись этой идеей, мы можем приступить к вычислениям.

Шаг 1. Рассчитываем полную энергию шара до удара

Ключевой момент в условии — шар катится без скольжения. Это означает, что он одновременно участвует в двух видах движения: поступательном (перемещение центра масс) и вращательном (вокруг своей оси). Его полная кинетическая энергия является суммой этих двух составляющих:

K_нач = K_пост + K_вращ

Давайте рассчитаем каждую часть по отдельности.

1. Энергия поступательного движения (K_пост)
   Это самая известная форма кинетической энергии. Формула проста: Kпост = 0.5 * m * v2. Прежде чем считать, переведем скорость в систему СИ: v = 10 см/с = 0.1 м/с.
   
   K_пост = 0.5 * 1 кг * (0.1 м/с)² = 0.5 * 0.01 = 0.005 Дж.
2. Энергия вращательного движения (K_вращ)
   Здесь формула выглядит так: Kвращ = 0.5 * I * ω2, где I — момент инерции, а ω — угловая скорость.
   • Для сплошного шара момент инерции равен I = (2/5) * m * r2.
   • При качении без скольжения линейная скорость (v) и угловая (ω) связаны соотношением v = ω * r, откуда ω = v / r.

   Теперь подставим это в формулу вращательной энергии:
   
   K_вращ = 0.5 * ( (2/5) * m * r² ) * ( v / r )² = 0.5 * (2/5) * m * r² * (v² / r²).
   Радиус (r²) сокращается, и мы получаем элегантную формулу: Kвращ = (1/5) * m * v2.
   
   K_вращ = (1/5) * 1 кг * (0.1 м/с)² = 0.2 * 0.01 = 0.002 Дж.

3. Полная начальная энергия (K_нач)
   Складываем обе части:
   
   K_нач = 0.005 Дж + 0.002 Дж = 0.007 Дж.

Можно также вывести общую формулу: K_нач = (1/2)mv² + (1/5)mv² = (7/10) * m * v². Проверим: (7/10) * 1 * (0.1)² = 0.7 * 0.01 = 0.007 Дж. Результат совпадает. Мы определили исходную точку — энергию системы до взаимодействия. Теперь, по той же логике, проанализируем состояние системы сразу после него.

Шаг 2. Вычисляем полную энергию шара после удара

Логика расчета полной кинетической энергии шара после отскока абсолютно идентична. Единственное, что изменилось, — это его линейная скорость. Теперь она составляет u = 8 см/с.

Полная конечная энергия K_кон также складывается из поступательной и вращательной компонент:

K_кон = K’_пост + K’_вращ

Повторим процедуру расчета с новым значением скорости.

1. Перевод единиц
   Сначала переведем конечную скорость в систему СИ: u = 8 см/с = 0.08 м/с.
2. Энергия поступательного движения (K’_пост)
   Используем ту же формулу: K'пост = 0.5 * m * u2.
   
   K’_пост = 0.5 * 1 кг * (0.08 м/с)² = 0.5 * 0.0064 = 0.0032 Дж.
3. Энергия вращательного движения (K’_вращ)
   Формула для вращательной энергии, как мы вывели ранее, также сохраняет свою структуру: K'вращ = (1/5) * m * u2.
   
   K’_вращ = (1/5) * 1 кг * (0.08 м/с)² = 0.2 * 0.0064 = 0.00128 Дж.
4. Полная конечная энергия (K_кон)
   Суммируем полученные значения:
   
   K_кон = 0.0032 Дж + 0.00128 Дж = 0.00448 Дж.

Используя общую формулу, которую мы вывели в первом шаге, K_кон = (7/10) * m * u², получаем тот же результат: (7/10) * 1 * (0.08)² = 0.7 * 0.0064 = 0.00448 Дж.

Теперь у нас есть два ключевых значения: энергия до удара и энергия после. Разница между ними — это именно та энергия, которую мы ищем. Перейдем к финальному вычислению.

Шаг 3. Находим потерянную энергию как выделившуюся теплоту

Мы подошли к заключительному и самому главному этапу. Как мы установили в самом начале, количество выделившейся теплоты Q равно убыли полной кинетической энергии шара. Математически это записывается так:

Q = ΔK = K_нач — K_кон

Мы можем просто вычесть полученные на предыдущих шагах числовые значения:

Q = 0.007 Дж — 0.00448 Дж = 0.00252 Дж.

Однако для большей элегантности и понимания физики процесса лучше подставить выведенные нами общие формулы:

Q = ( (7/10) * m * v² ) — ( (7/10) * m * u² )

Вынесем общий множитель за скобки, чтобы получить красивую итоговую формулу для расчета:

Q = (7/10) * m * (v² — u²)

Теперь подставим в нее все наши числовые значения:

• m = 1 кг
• v = 0.1 м/с
• u = 0.08 м/с

Q = 0.7 * 1 * ( (0.1)² — (0.08)² ) = 0.7 * (0.01 — 0.0064) = 0.7 * 0.0036 = 0.00252 Дж.

Ответ получен. Но работа настоящего физика на этом не заканчивается. Важно осмыслить результат и убедиться в его корректности.

Что означает полученный результат и как проверить его корректность

Мы получили число — 0.00252 Джоуля. Что это значит? Это и есть та самая энергия, которая при ударе пошла на микроскопические процессы: необратимую деформацию материалов шара и стенки, порождение звуковых волн и, в подавляющей доле, на увеличение амплитуды колебаний атомов в кристаллической решетке — то есть, попросту говоря, на их нагрев.

Стоит кратко упомянуть и про закон сохранения импульса. Хотя кинетическая энергия в нашей системе не сохранилась, суммарный импульс системы «шар-стенка» сохранился. Однако, поскольку масса стены (и планеты, с которой она связана) условно бесконечна по сравнению с массой шара, ее скорость после удара пренебрежимо мала. Поэтому мы можем с высокой точностью анализировать только изменение энергии самого шара, что мы и сделали.

Наконец, один из самых мощных инструментов проверки в физике — проверка размерности. Давайте убедимся, что наша итоговая формула дает энергию в Джоулях.

Q = [кг] * ( [м/с]² — [м/с]² ) = [кг] * [м²/с²]

Эта комбинация, кг·м²/с², и есть определение Джоуля. Размерность сходится, что дает нам дополнительную уверенность в правильности решения.

Мы не только решили задачу, но и убедились в правильности нашего пути. Давайте теперь соберем воедино всю логическую цепочку наших рассуждений.

Синтез решения и выводы

Чтобы найти количество тепла, выделившееся при неупругом ударе катящегося шара, мы прошли четкую логическую последовательность шагов. Эта методология универсальна для многих похожих задач.

1. Сначала мы определили, что столкновение является неупругим, поскольку скорость шара уменьшилась. Это стало сигналом к тому, что часть кинетической энергии перешла в тепло.
2. Затем мы осознали, что полная кинетическая энергия катящегося тела — это сумма поступательной и вращательной энергий.
3. Мы последовательно рассчитали эту полную энергию до удара (K_нач) и после него (K_кон), учитывая оба вида движения.
4. Наконец, мы нашли разницу между этими энергиями (K_нач — K_кон), которая и оказалась искомым количеством теплоты Q.

Главный вывод: ключ к решению — это правильное применение закона сохранения энергии и внимательный учет всех видов движения, из которых состоит полная механическая энергия системы.

Теперь, возвращаясь к образу из введения, мы можем сказать нечто большее. Мы знаем не просто что мяч замедляется после отскока, но и можем точно рассчитать, сколько энергии при этом превращается в тепло. Понимание таких фундаментальных принципов и умение применять подобный алгоритмический подход открывает двери к решению гораздо более сложных инженерных и научных задач, где управление энергией играет решающую роль.