Расчет работы выталкивающей силы при всплытии шара: Подробное решение задачи по гидростатике с применением интегрального исчисления

В мире, где корабли бороздят океаны, а подводные аппараты исследуют морские глубины, понимание принципов гидростатики становится не просто академическим интересом, но и фундаментом для инженерных решений. Для студентов технических вузов и старшеклассников, сталкивающихся с физикой, задача о работе выталкивающей силы при всплытии шара является классическим примером, который требует не только знания базовых законов, но и владения аппаратом высшей математики, в частности интегрального исчисления. Она позволяет глубоко погрузиться в динамику взаимодействия тела и жидкости, демонстрируя, как переменные силы совершают работу.

Эта задача — своего рода мост между теоретическими знаниями и их практическим применением. Мы не просто рассчитаем число, а проследим весь путь всплывающего шара, анализируя каждое мгновение его движения через призму законов Архимеда и механики, а также методов интегрального исчисления. Цель этого детального разбора — предоставить исчерпывающее пошаговое решение, которое станет надежным ориентиром в контрольной работе или при подготовке к экзамену, ведь именно такие задачи раскрывают глубинную взаимосвязь между теоретической физикой и ее математическим инструментарием.

Основные понятия гидростатики и закон Архимеда

Чтобы понять суть всплытия любого тела в жидкости, необходимо прежде всего освоить базовые понятия гидростатики, поскольку эти фундаментальные кирпичики, на которых строится вся теория плавания, не просто определения, а мощные инструменты для анализа физических явлений, позволяющие предсказывать поведение объектов в водной среде.

Плотность жидкости и тела

Представьте себе два одинаковых по объему контейнера: один наполнен водой, другой — мёдом. Очевидно, что мёд будет тяжелее. Это различие обусловлено плотностью. Плотность (ρ) — это фундаментальная физическая характеристика вещества, которая определяет, какая масса (m) содержится в единице объема (V). Математически она выражается формулой:

ρ = m/V

Где:

• ρ (ро) — плотность, измеряется в кг/м³ или г/см³.
• m — масса вещества, измеряется в килограммах (кг) или граммах (г).
• V — объем, измеряется в кубических метрах (м³) или кубических сантиметрах (см³).

Для пресной воды при стандартных условиях (температура 4 °C) плотность составляет 1 г/см³, что в системе СИ эквивалентно 1000 кг/м³. Эта величина является своего рода эталоном при многих гидростатических расчетах. Ускорение свободного падения (g) — еще одна константа, играющая ключевую роль. Обычно для технических расчетов используют значение 9,81 м/с², но в учебных задачах и общих физических расчетах часто допускается округление до 9,8 м/с². Важно помнить, что даже небольшие изменения плотности или ускорения свободного падения могут существенно повлиять на результаты расчетов, особенно в высокоточных инженерных проектах.

Выталкивающая сила (сила Архимеда)

История гласит, что древнегреческий ученый Архимед, принимая ванну, сделал свое великое открытие. Он заметил, что на тело, погруженное в жидкость, действует сила, направленная вверх. Эта сила, ныне известная как сила Архимеда (F_A), является краеугольным камнем гидростатики.

Её физический смысл кроется в разности давлений. Гидростатическое давление в жидкости увеличивается с глубиной. Следовательно, на нижнюю часть погруженного тела давление жидкости будет больше, чем на верхнюю. Эта разница давлений создает результирующую силу, направленную вертикально вверх.

Закон Архимеда гласит: на тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная по модулю весу вытесненной жидкости (или газа) и направленная вертикально вверх.

Формула для расчета силы Архимеда:

FA = ρж ⋅ g ⋅ Vпч

Где:

• FA — сила Архимеда, измеряется в Ньютонах (Н).
• ρж — плотность жидкости, в которую погружено тело (кг/м³).
• g — ускорение свободного падения (м/с²).
• Vпч — объем погруженной части тела (м³).

Понимание этого закона критически важно, поскольку именно сила Архимеда является движущей силой всплытия шара в нашей задаче. Без осознания этого принципа невозможно корректно объяснить, почему тела плавают, всплывают или тонут.

Условия плавания тел и определение глубины погружения

Поведение тела в жидкости — будет ли оно плавать, всплывать или тонуть — зависит от тонкого баланса между силой Архимеда и силой тяжести, и данное динамическое взаимодействие можно анализировать как через соотношение сил, так и через сравнение плотностей, что дает комплексное понимание процесса.

Соотношение силы Архимеда и силы тяжести

Представим тело, находящееся в жидкости. На него действуют две основные силы:

1. Сила тяжести (F_тяж), направленная вниз, определяемая как Fтяж = mтела ⋅ g, где mтела — масса тела.
2. Сила Архимеда (F_A), направленная вверх.

Именно соотношение этих двух сил определяет дальнейшую «судьбу» тела:

• Всплытие: Если FA > Fтяж, то результирующая сила направлена вверх, и тело будет всплывать до тех пор, пока не достигнет поверхности и не установится равновесие.
• Равновесие (плавание): Если FA = Fтяж, тело находится в состоянии равновесия. Оно может плавать внутри жидкости, если полностью погружено (безразличное равновесие), или на её поверхности, если частично погружено.
• Потопление: Если FA < Fтяж, то сила тяжести преобладает, и тело будет тонуть, пока не достигнет дна или не изменится плотность жидкости.

Соотношение плотностей тела и жидкости

Условия плавания можно более изящно выразить через сравнение плотностей самого тела (ρ_тела) и окружающей его жидкости (ρ_ж). Это более фундаментальный подход, так как плотность — внутренняя характеристика вещества.

• Если ρ_тела < ρ_ж, тело будет всплывать и плавать на поверхности, погруженным лишь частично. Это происходит потому, что для вытеснения объема жидкости, вес которой равен весу всего тела, требуется погрузить лишь часть тела.
• Если ρ_тела = ρ_ж, тело будет плавать в толще жидкости, полностью погруженным, находясь в безразличном равновесии. Любое его перемещение вверх или вниз не будет приводить к изменению соотношения сил.
• Если ρ_тела > ρ_ж, тело будет тонуть, поскольку вес вытесненной им жидкости (даже при полном погружении) будет меньше его собственного веса.

Для случая, когда тело плавает на поверхности (ρтела < ρж), существует важное соотношение, которое вытекает из условия равновесия (FA = Fтяж):

ρж ⋅ g ⋅ Vпч = ρтела ⋅ g ⋅ Vтела

Сокращая g с обеих сторон, получаем:

ρж ⋅ Vпч = ρтела ⋅ Vтела

Отсюда следует ключевая формула для определения глубины погружения или доли объема:

Vпч / Vтела = ρтела / ρж

Эта формула позволяет точно определить, какая часть объема тела будет погружена в жидкость, когда оно достигнет равновесия на поверхности. А задумывались ли вы, насколько сильно может измениться глубина погружения, если плотность жидкости чуть-чуть отличается?

Объем шара

Поскольку наша задача рассматривает всплытие шара, нам понадобится формула для расчета его объема. Объем шара (V_шара) радиуса R определяется как:

Vшара = (4/3) ⋅ π ⋅ R3

Где:

• R — радиус шара.

Эта формула будет использоваться для вычисления полного объема шара, а также как основа для определения объема погруженной части, когда шар находится на различных глубинах.

Механическая работа переменной силы

В классической механике работа силы — это не просто абстрактное понятие, а конкретная мера передачи энергии. Однако, когда сила, действующая на тело, изменяется в процессе движения, расчет работы становится более сложной, но и более интересной задачей.

Определение механической работы

Механическая работа (А) — это скалярная физическая величина, которая характеризует изменение энергии системы при действии силы. Проще говоря, работа совершается, когда сила вызывает перемещение объекта в направлении действия этой силы.

Если сила F постоянна и направлена под углом α к перемещению s, работа определяется как:

A = F ⋅ s ⋅ cos(α)

В векторной форме, элементарная работа (dA) силы, действующей на материальную точку при бесконечно малом перемещении ds, является скалярным произведением вектора силы (F) на вектор элементарного перемещения:

dA = F ⋅ ds

Если сила перпендикулярна перемещению (α = 90°), работа не совершается (cos(90°) = 0). Если сила совпадает с направлением движения (α = 0°), работа положительна и максимальна. Если сила направлена против движения (α = 180°), работа отрицательна.

Расчет работы переменной силы через интеграл

В реальных физических системах, особенно в жидкостях, силы часто бывают переменными. Например, сила Архимеда при всплытии шара меняется по мере того, как объем погруженной части уменьшается. Для таких случаев классическая формула A = F ⋅ s неприменима.

Здесь на помощь приходит интегральное исчисление. Если сила F зависит от координаты x, то есть F(x), и тело движется вдоль оси X от начальной точки a до конечной точки b, то полная работа, совершаемая этой переменной силой, вычисляется как определенный интеграл:

A = ∫ab F(x) dx

Этот интеграл представляет собой «сумму» всех элементарных работ dA = F(x) dx, совершаемых силой на каждом бесконечно малом участке пути. Геометрически, это площадь под графиком зависимости силы от координаты. Этот математический аппарат является ключевым для решения нашей задачи о работе силы Архимеда, поскольку именно он позволяет учесть непрерывное изменение выталкивающей силы по мере всплытия шара.

Алгоритм решения задачи: Работа выталкивающей силы при всплытии шара

Теперь, вооружившись теоретической базой, мы готовы приступить к пошаговому решению самой задачи, интегрируя знания из гидростатики и механики с математическим аппаратом интегрального исчисления.

Анализ изменяющейся силы Архимеда

Центральный момент в задаче о всплытии шара – понимание, что сила Архимеда не является постоянной. Когда шар полностью погружен в жидкость, объем вытесненной жидкости равен полному объему шара, и сила Архимеда максимальна и постоянна. Однако, как только шар начинает приближаться к поверхности и его часть выходит из воды, объем погруженной части (Vпч) начинает уменьшаться. Соответственно, уменьшается и выталкивающая сила, поскольку она прямо пропорциональна Vпч.

Это изменение FA по мере перемещения шара означает, что мы имеем дело с переменной силой, и для расчета ее работы нам необходимо применить интегральное исчисление. Введем систему координат: ось Y направлена вертикально вверх, начало координат (y=0) находится на поверхности жидкости. Пусть центр шара имеет координату y.

Выражение объема погруженной части шара как функции глубины

Для того чтобы интегрировать силу Архимеда, нам нужно выразить объем погруженной части (Vпч) как функцию от координаты y центра шара. Когда шар частично погружен, его погруженная часть представляет собой шаровой сегмент.

Высота погруженного сегмента h связана с радиусом шара R и координатой центра y следующим образом:

• Когда центр шара находится на поверхности (y=0), высота сегмента равна R.
• Когда нижняя точка шара касается поверхности (y=-R), высота сегмента равна R.
• Когда верхняя точка шара касается поверхности (y=R), высота сегмента равна R.

Однако, при перемещении центра шара вверх, от y = -R (нижняя точка шара касается поверхности) до y = R (шар полностью выходит из воды), высота погруженной части h изменяется. Если y — координата центра шара относительно поверхности жидкости (y = 0), то высота погруженного сегмента h будет:

h = R - y

Это выражение справедливо, пока шар находится в процессе всплытия, то есть y изменяется от -R до R.

Формула для объема шарового сегмента с высотой h из шара радиуса R выглядит так:

Vсегм = (1/3) ⋅ π ⋅ h2 ⋅ (3R - h)

Подставляя h = R - y в формулу объема сегмента, мы получаем объем погруженной части Vпч(y) как функцию координаты y:

Vпч(y) = (1/3) ⋅ π ⋅ (R - y)2 ⋅ (3R - (R - y))
Vпч(y) = (1/3) ⋅ π ⋅ (R - y)2 ⋅ (2R + y)

Теперь мы можем записать выражение для силы Архимеда FA(y) как функцию от y:

FA(y) = ρж ⋅ g ⋅ Vпч(y) = ρж ⋅ g ⋅ (1/3) ⋅ π ⋅ (R - y)2 ⋅ (2R + y)

Это критически важный шаг, так как он позволяет нам перейти к интегрированию.

Интегрирование для расчета работы выталкивающей силы

Теперь, когда сила Архимеда выражена как функция координаты y, мы можем рассчитать работу WA, совершаемую этой силой при всплытии шара от начального положения y₁ до конечного y₂, используя формулу определенного интеграла:

WA = ∫y₁y₂ FA(y) dy

Рассмотрим пример расчета работы для полного всплытия шара, когда его центр перемещается от положения, где нижняя точка шара только касается поверхности жидкости (то есть y₁ = -R), до положения, где верхняя точка шара выходит из воды (то есть y₂ = R).

WA = ∫-RR ρж ⋅ g ⋅ (1/3) ⋅ π ⋅ (R - y)2 ⋅ (2R + y) dy

Вынесем константы за знак интеграла:

WA = (1/3) ⋅ π ⋅ ρж ⋅ g ⋅ ∫-RR (R - y)2 ⋅ (2R + y) dy

Раскроем скобки в подынтегральном выражении:

(R - y)2 ⋅ (2R + y) = (R2 - 2Ry + y2) ⋅ (2R + y)
= 2R3 + R2y - 4R2y - 2Ry2 + 2Ry2 + y3
= 2R3 - 3R2y + y3

Теперь подставим это обратно в интеграл:

WA = (1/3) ⋅ π ⋅ ρж ⋅ g ⋅ ∫-RR (2R3 - 3R2y + y3) dy

Вычислим неопределенный интеграл:

∫ (2R3 - 3R2y + y3) dy = 2R3y - (3/2)R2y2 + (1/4)y4 + C

Теперь подставим пределы интегрирования от -R до R:

WA = (1/3) ⋅ π ⋅ ρж ⋅ g ⋅ [ (2R3(R) - (3/2)R2(R)2 + (1/4)(R)4) - (2R3(-R) - (3/2)R2(-R)2 + (1/4)(-R)4) ]
WA = (1/3) ⋅ π ⋅ ρж ⋅ g ⋅ [ (2R4 - (3/2)R4 + (1/4)R4) - (-2R4 - (3/2)R4 + (1/4)R4) ]

Раскроем скобки и упростим:

WA = (1/3) ⋅ π ⋅ ρж ⋅ g ⋅ [ 2R4 - (3/2)R4 + (1/4)R4 + 2R4 + (3/2)R4 - (1/4)R4 ]
WA = (1/3) ⋅ π ⋅ ρж ⋅ g ⋅ [ (2 + 2)R4 + (-3/2 + 3/2)R4 + (1/4 - 1/4)R4 ]
WA = (1/3) ⋅ π ⋅ ρж ⋅ g ⋅ [ 4R4 ]
WA = (4/3) ⋅ π ⋅ ρж ⋅ g ⋅ R4

Таким образом, работа, совершаемая силой Архимеда при полном всплытии шара, выражается элегантной формулой WA = (4/3) ⋅ π ⋅ ρж ⋅ g ⋅ R4.

Применение теоремы о работе и кинетической энергии

Для комплексного анализа движения шара можно также использовать теорему о работе и кинетической энергии. Она утверждает, что изменение кинетической энергии тела (ΔE_k) равно полной работе всех сил (A_полн), действующих на него:

ΔEk = Aполн

В случае всплытия шара, на него действуют две основные силы: сила тяжести и сила Архимеда.

• Работа силы тяжести (A_тяж): Если шар перемещается вверх на расстояние Δy, работа силы тяжести будет отрицательной, так как сила тяжести направлена вниз: Aтяж = -m ⋅ g ⋅ Δy. Здесь m — масса шара.
• Работа силы Архимеда (W_A): Это та работа, которую мы только что рассчитали.

Следовательно, полная работа Aполн будет суммой работ этих двух сил:

Aполн = Aтяж + WA

Если известны начальная и конечная скорости шара, то можно связать их с работой сил. Например, если шар начинает всплывать из состояния покоя и достигает поверхности с некоторой скоростью, или наоборот, его движение замедляется до полной остановки. Эта теорема позволяет перейти от силового анализа к энергетическому, что зачастую упрощает решение динамических задач, особенно если трение и другие диссипативные силы пренебрежимо малы.

Заключение

Путь от постановки задачи о всплытии шара до получения конечной формулы для работы силы Архимеда — это увлекательное путешествие по лабиринтам физики и математики. Мы начали с фундаментальных определений плотности и закона Архимеда, которые являются краеугольным камнем гидростатики. Затем, углубившись в условия плавания тел, мы осознали динамическую природу взаимодействия между телом и жидкостью.

Ключевым моментом стало понимание того, что выталкивающая сила при всплытии шара не является постоянной, а изменяется по мере выхода тела из воды. Это потребовало обращения к мощному аппарату интегрального исчисления, который позволил нам точно рассчитать работу переменной силы. Выведя зависимость объема погруженной части от координаты центра шара и затем проинтегрировав её, мы получили искомую формулу, демонстрирующую, как глубоко математика может раскрывать физические процессы.

Это решение не просто набор математических выкладок; оно демонстрирует взаимосвязь различных разделов физики — от статики жидкостей до динамики и работы сил. Для студентов технических вузов и старшеклассников эта задача является отличным упражнением, которое не только закрепляет теоретические знания, но и развивает аналитическое мышление, а также навыки применения высшей математики к реальным физическим проблемам. Глубокое понимание таких принципов является фундаментом для дальнейшего изучения гидродинамики, судостроения, аэродинамики и множества других инженерных дисциплин.

Список использованной литературы

1. Шар и его свойства // Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/mathematics/shar-i-ego-svoystva (дата обращения: 04.11.2025).
2. Свойства воды как жидкости. URL: https://energomash.pro/articles/svojstva-vody-kak-zhidkosti (дата обращения: 04.11.2025).
3. Архимедова сила — урок. Физика, 7 класс // ЯКласс. URL: https://yaklass.ru/p/fizika/7-klass/davlenie-tverdykh-tel-jidkostei-i-gazov-14068/deistvie-jidkosti-i-gaza-na-pogrujennoe-v-nikh-telo-plavanie-tel-14070/re-e62a40b9-1158-45e3-b6d3-2410a62529d2 (дата обращения: 04.11.2025).
4. §6. Закон Архимеда // ЗФТШ, МФТИ. URL: https://study.mipt.ru/courses/8-class/fizika-8-klass-2016/zadaniye-1-gidrostatika-aerostatika/zakon-arhimeda/ (дата обращения: 04.11.2025).
5. Архимедова сила — закон, формула, определение // Skysmart. URL: https://skysmart.ru/articles/physics/arhimedova-sila (дата обращения: 04.11.2025).
6. Сила Архимеда: формула, определение, закон Архимедовой силы // Дневник Лиса. URL: https://blog.dnevnik-lisa.ru/fizika/sila-arhimeda-formula-opredelenie-zakon-arhimedovoj-sily (дата обращения: 04.11.2025).
7. Условия плавания тел, теория и онлайн калькуляторы // Webmath.ru. URL: https://webmath.ru/poleznoe/fizi4eskie_formuly/usloviya_plavaniya_tel.php (дата обращения: 04.11.2025).
8. Плавание тел. Условия плавания тел. // Фоксфорд Учебник. URL: https://foxford.ru/wiki/physics/plavanie-tel-usloviya-plavaniya-tel (дата обращения: 04.11.2025).
9. 7. Плавание тел // ЗФТШ. URL: https://zftsh.online/lessons/8-class/fizika/hydroaerostatics/plavanie-tel (дата обращения: 04.11.2025).
10. Гидравлика систем водоснабжения и водоотведения // Электронный универс. URL: http://www.complexdoc.ru/lib/doc/15720 (дата обращения: 04.11.2025).
11. Второй закон Ньютона // Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D1%82%D0%BE%D1%80%D0%BE%D0%B9_%D0%B7%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%9D%D1%8C%D1%8E%D1%82%D0%BE%D0%BD%D0%B0 (дата обращения: 04.11.2025).
12. Савельев И.В. Курс общей физики, том I. Механика, колебания и волны, моле. URL: https://www.twirpx.com/file/113886/ (дата обращения: 04.11.2025).
13. Понимание плотности воды: изучение плотности воды с пояснениями // Hopeful. URL: https://hopeful.ru/science/water-density-understanding/ (дата обращения: 04.11.2025).
14. Физические свойства жидкостей // infobos.ru. URL: http://infobos.ru/load/2012-01-11-209 (дата обращения: 04.11.2025).
15. Курс общей физики. Том 1. Механика, колебания и волны, молекулярная физика, изд. 4. URL: https://poisk-ru.ru/s6253t1.html (дата обращения: 04.11.2025).
16. 4.1. Работа силы // Физика. Механика. URL: http://www.plib.ru/library/book/17833.html (дата обращения: 04.11.2025).