Контрольная работа по кинематике: Относительное движение. Полное академическое решение с методологическим обоснованием.

Механическое движение, как фундаментальное явление в физике, представляет собой изменение положения тела в пространстве относительно других тел с течением времени. Но что это значит «относительно других тел»? Именно этот вопрос лежит в основе понятия «относительное движение» — краеугольного камня кинематики, который позволяет нам осмыслить и описать сложность мира вокруг нас. От движения пассажира внутри движущегося поезда до навигации корабля в океане с учетом течений — все эти сценарии требуют глубокого понимания того, как скорости складываются и как одна и та же траектория может выглядеть по-разному из различных систем отсчета.

Актуальность изучения относительного движения в курсе механики обусловлена его повсеместной применимостью не только в академической физике, но и в инженерных расчетах, астрономии, навигации и даже в повседневной жизни. Понимание этих принципов позволяет точно предсказывать траектории, рассчитывать скорости и избегать ошибок, связанных с интуитивным, но зачастую некорректным восприятием движения, что в практическом смысле означает повышение безопасности и эффективности сложных систем.

Целью данной работы является не просто предоставление ответов, а разработка полного, методологически безупречного и академически оформленного решения для 10 задач по теме «Относительное движение». Каждая задача будет проанализирована с учетом теоретических основ, переведена в унифицированную систему единиц (СИ) и решена пошагово, с обязательным использованием векторных диаграмм для наглядности.

Структура отчета соответствует строгим академическим требованиям: мы начнем с глубокого погружения в теоретические основы, включая понятие инерциальной системы отсчета и принципа относительности Галилея, а также границы его применимости. Далее будет представлен детальный анализ закона сложения скоростей в векторной и скалярных формах. После этого мы подробно рассмотрим методологию решения задач и правила академического оформления, что послужит основой для основной части работы — пошагового решения каждой из десяти предложенных задач. Завершит отчет заключение, суммирующее основные выводы и подтверждающее достижение поставленных целей.

Теоретические основы и рамки применимости классической механики

Погружение в мир кинематики относительного движения начинается с осмысления фундаментальных понятий, без которых невозможно построить адекватную модель окружающего мира. Это не просто термины, а концептуальные инструменты, позволяющие разложить сложное движение на составляющие и понять его суть.

Система отсчета (СО) и Инерциальная система отсчета (ИСО)

Механическое движение — это постоянное изменение положения тела или его частей относительно других тел, происходящее с течением времени. Эта, казалось бы, простая формулировка таит в себе ключевой нюанс: относительность. Невозможно говорить о движении «вообще», всегда необходимо уточнять, относительно чего оно рассматривается. Именно здесь на сцену выходит понятие системы отсчета (СО).

Система отсчета представляет собой тщательно продуманный инструментарий, состоящий из трех неотъемлемых компонентов:

1. Тело отсчета: Выбранное тело, относительно которого определяется положение всех других тел. Важно, чтобы оно было абсолютно твердым, то есть его форма и размеры не менялись в процессе движения. Например, берег реки, платформа поезда или стенки кабины самолета.
2. Система координат: Математический аппарат, жестко связанный с телом отсчета, позволяющий однозначно определять положение любой точки в пространстве. Чаще всего используется декартова система координат (оси X, Y, Z).
3. Прибор для измерения времени (часы): Необходим для фиксации изменений положения тел во времени, поскольку движение — это всегда процесс.

Таким образом, СО — это не просто точка зрения, а полный набор инструментов для количественного описания движения. От выбора СО зависит не только численное значение скорости, но и вид траектории, и даже сам факт движения. Автомобиль, движущийся по дороге, неподвижен относительно своих пассажиров, но движется относительно дорожных знаков, что наглядно демонстрирует фундаментальное значение выбора СО для интерпретации наблюдаемых явлений.

Среди всех возможных систем отсчета выделяется особый класс — инерциальные системы отсчета (ИСО). Их уникальность определяется Первым законом Ньютона: в инерциальной системе отсчета любое свободное тело (то есть тело, на которое не действуют внешние силы или их равнодействующая равна нулю) либо сохраняет состояние покоя, либо движется равномерно и прямолинейно. Земля, движущаяся вокруг Солнца, является хорошим приближением к ИСО для большинства земных задач, хотя, строго говоря, она не является абсолютно инерциальной из-за вращения. Однако для большинства задач школьной и вузовской физики, особенно в кинематике, СО, связанная с Землей или неподвижным берегом, считается инерциальной, что упрощает расчеты без потери точности в рамках классической механики.

Принцип относительности Галилея

Принцип относительности Галилея является одним из краеугольных камней классической механики, устанавливающим глубокое физическое равноправие между всеми инерциальными системами отсчета. Сформулированный Галилео Галилеем, этот принцип гласит:

все законы механики имеют одинаковый математический вид во всех инерциальных системах отсчета.

Что это означает на практике? Представьте себе корабль, который движется равномерно и прямолинейно по спокойному морю. На его борту вы можете подбрасывать мяч, ронять предметы или наблюдать за движением маятника. Все эти механические процессы будут происходить точно так же, как если бы корабль стоял неподвижно в порту. Никакими внутренними механическими экспериментами, проводимыми внутри этой системы (корабля), невозможно определить, движется ли она равномерно и прямолинейно или покоится. Это и есть главное следствие принципа Галилея, которое позволяет универсализировать применение законов физики.

Математически принцип Галилея выражается через Преобразования Галилея, которые связывают координаты и время одного и того же события, наблюдаемого из двух разных ИСО. Пусть система отсчета K’ движется относительно системы K вдоль оси X со скоростью →v. Тогда координаты материальной точки (x, y, z) и время (t) в системе K связаны с координатами (x’, y’, z’) и временем (t’) в системе K’ следующими соотношениями:

• x’ = x — →v t
• y’ = y
• z’ = z
• t’ = t

Последнее равенство, t’ = t, отражает фундаментальное допущение классической механики об абсолютности времени: считается, что время течет одинаково во всех ИСО, независимо от их относительного движения. Дифференцирование этих преобразований по времени позволяет получить закон сложения скоростей, который является прямым следствием принципа относительности Галилея и основным инструментом для решения задач по относительному движению.

Границы применимости принципа Галилея (Закрытие «слепой зоны» конкурентов)

Хотя принцип относительности Галилея и преобразования Галилея являются мощными инструментами для описания механического движения, важно понимать их границы применимости. Как и любая физическая модель, они имеют свои ограничения, за пределами которых перестают быть точными.

Основное условие, при котором классический принцип относительности остается справедливым, заключается в том, что

скорости движения тел должны быть малы по сравнению со скоростью света (v « c).

Скорость света в вакууме, обозначаемая символом c, составляет приблизительно 3 ⋅ 10⁸ м/с.

Почему это условие так важно? В основе преобразований Галилея лежит предположение об абсолютности времени, то есть о том, что интервалы времени одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Однако, как показала Специальная теория относительности Альберта Эйнштейна, при скоростях, сравнимых со скоростью света, это предположение становится неверным. Время начинает течь по-разному в движущихся системах отсчета, и преобразования Галилея должны быть заменены на более общие Преобразования Лоренца. Это означает, что для корректного описания движения частиц в ускорителях или астрономических объектов, движущихся с релятивистскими скоростями, классическая механика будет недостаточна.

Например, даже при космических скоростях, достигающих 30 км/с (например, скорость Земли по орбите вокруг Солнца), относительная ошибка, возникающая при использовании классических формул, составляет величину порядка 10^-8 (отношение v²/c² ≈ (30 ⋅ 10³ м/с)² / (3 ⋅ 10⁸ м/с)² ≈ 10^-8). Эта ошибка настолько мала, что ею можно пренебречь в подавляющем большинстве случаев, рассматриваемых в школьной и вузовской физике. Для повседневных скоростей (автомобили, самолеты, лодки) отношение v²/c² еще меньше, и классическая механика дает практически абсолютно точные результаты, что позволяет с уверенностью применять её для решения бытовых и большинства инженерных задач.

Таким образом, в рамках классической механики, которая является основой школьного и базового университетского курса физики, принцип относительности Галилея и соответствующие преобразования применимы с высокой степенью точности. Это позволяет нам уверенно использовать их для анализа движения объектов в привычном нам мире, не углубляясь в тонкости релятивистских эффектов.

Закон сложения скоростей: Векторный и скалярный анализ

Закон сложения скоростей — это фундаментальный принцип кинематики, который позволяет описывать движение тела, когда оно одновременно участвует в нескольких движениях. Представьте себе человека, идущего по движущемуся эскалатору: его скорость относительно пола станции метро складывается из его собственной скорости относительно эскалатора и скорости самого эскалатора относительно пола. Этот принцип обобщает такую ситуацию, предоставляя универсальный метод для анализа движения в различных системах отсчета.

Основная векторная формула закона сложения скоростей

Векторная форма закона сложения скоростей является наиболее общей и универсальной. Она выражает идею о том, что абсолютная скорость тела есть векторная сумма его относительной скорости и переносной скорости системы отсчета. Эта формула позволяет учитывать как величины скоростей, так и их направления.

Основная формула:

→vа = →vотн + →vпер (1)

Где:

• →vа — абсолютная скорость (абсолютный вектор скорости). Это скорость тела относительно неподвижной системы отсчета (например, берега, Земли).
• →vотн — относительная скорость (относительный вектор скорости). Это скорость тела относительно подвижной системы отсчета (например, лодки относительно воды, человека относительно эскалатора).
• →vпер — переносная скорость (переносный вектор скорости). Это скорость подвижной системы отсчета относительно неподвижной системы отсчета (например, скорость течения реки, скорость эскалатора).

Эта формула подчеркивает, что скорости — это векторы, которые обладают не только величиной, но и направлением. Поэтому их сложение должно производиться по правилам векторной алгебры (правило треугольника или параллелограмма), а не просто арифметически, что является ключевым для точных расчетов.

Скалярные формы для типовых случаев

Хотя векторная формула является наиболее общей, на практике, для решения конкретных задач, часто удобно использовать ее скалярные проекции или модули, особенно в случаях, когда векторы скоростей ориентированы особым образом.

1. Одномерное движение, векторы сонаправлены:
   Если относительная скорость тела (v_отн) и переносная скорость (v_пер) направлены в одну и ту же сторону (то есть угол между ними α = 0°), то модуль абсолютной скорости является простой суммой их модулей:
   vа = vотн + vпер
   *Пример:* Пловец плывет по течению реки. Скорость пловца относительно воды и скорость течения направлены в одну сторону.
2. Одномерное движение, векторы противоположно направлены:
   Если относительная скорость тела (v_отн) и переносная скорость (v_пер) направлены в противоположные стороны (то есть угол между ними α = 180°), то модуль абсолютной скорости равен абсолютной величине разности их модулей:
   vа = |vотн - vпер|
   Здесь важно отметить, что направление абсолютной скорости будет совпадать с направлением вектора большей скорости. Если v_отн > v_пер, тело движется в направлении v_отн; если v_пер > v_отн, то в направлении v_пер. Это позволяет предсказать фактическое направление движения объекта.
   *Пример:* Пловец плывет против течения реки. Скорость пловца относительно воды и скорость течения направлены в противоположные стороны.
3. Движение под прямым углом (векторы взаимно перпендикулярны):
   Если векторы относительной скорости (v_отн) и переносной скорости (v_пер) взаимно перпендикулярны (угол между ними α = 90°), то модуль абсолютной скорости находится по теореме Пифагора:
   vа = √(vотн2 + vпер2)
   *Пример:* Лодка плывет строго поперек реки, а течение сносит ее вбок. Скорость лодки относительно воды перпендикулярна скорости течения.
4. Общий случай (для произвольного угла α между v_отн и v_пер):
   В наиболее общем случае, когда угол α между векторами относительной скорости (v_отн) и переносной скорости (v_пер) произволен, модуль абсолютной скорости находится с использованием теоремы косинусов:
   vа = √(vотн2 + vпер2 + 2vотнvперcosα)
   Эта формула является универсальной и включает в себя все предыдущие частные случаи. Например, при α = 0°, cos 0° = 1, и формула превращается в vа = √(vотн2 + vпер2 + 2vотнvпер) = √((vотн + vпер)2) = vотн + vпер. При α = 180°, cos 180° = -1, и формула становится vа = √(vотн2 + vпер2 - 2vотнvпер) = √((vотн - vпер)2) = |vотн - vпер|. При α = 90°, cos 90° = 0, и формула упрощается до vа = √(vотн2 + vпер2). Это демонстрирует математическую стройность и полноту закона сложения скоростей.

Таким образом, знание векторного представления и различных скалярных форм закона сложения скоростей дает полную картину для анализа и решения задач относительного движения.

Методология решения задач и правила академического оформления

Для успешного решения задач по физике, особенно в академическом контексте, недостаточно просто знать формулы. Необходим системный подход, включающий унифицированный алгоритм, точное соблюдение правил и тщательное оформление. Это обеспечивает не только корректность расчетов, но и ясность, проверяемость и соответствие научным стандартам, что критически важно для передачи знаний и исключения ошибок.

Правила перевода единиц СИ (обязательный элемент)

Одним из первых и критически важных шагов в решении любой физической задачи является перевод всех физических величин в Международную систему единиц (СИ). Это позволяет избежать ошибок, связанных с несогласованностью размерностей, и гарантирует, что конечный результат будет выражен в стандартных и понятных единицах.

Основными единицами измерения в СИ, которые мы будем использовать в кинематике, являются:

• Длина: метры (м)
• Время: секунды (с)
• Скорость: метры в секунду (м/с)

Особое внимание следует уделить переводу скорости из километров в час (км/ч) в метры в секунду (м/с). Это наиболее частая операция, требующая аккуратности.

Правило перевода: Чтобы перевести скорость из километров в час (км/ч) в метры в секунду (м/с), необходимо значение скорости в км/ч разделить на 3,6.

Вывод формулы перевода:
Это правило не является магическим числом, а логически вытекает из определений единиц:

• 1 километр (км) = 1000 метров (м)
• 1 час (ч) = 60 минут = 60 ⋅ 60 секунд = 3600 секунд (с)

Следовательно:

1 км/ч = 1 км/1 ч = 1000 м/3600 с = 1000/3600 м/с = 10/36 м/с = 5/18 м/с ≈ 0,2777... м/с

Или, что эквивалентно, для перевода из км/ч в м/с нужно умножить на ¹/_3,6, то есть разделить на 3,6.
Пример: 72 км/ч = 72 / 3,6 = 20 м/с.

Строгое соблюдение этого правила предотвращает множество вычислительных ошибок, что подтверждает его критическую важность для корректности решения.

Алгоритм решения и выбор системы отсчета

Для обеспечения единообразия и прозрачности решения каждой задачи будет использоваться следующий пошаговый алгоритм, который также включает в себя стратегию выбора о��тимальной системы отсчета:

1. Краткая запись условия задачи («Дано») с переводом всех величин в СИ:
   На этом этапе необходимо выписать все известные данные из условия задачи. Каждая величина должна быть снабжена соответствующим символом (например, v, t, S) и переведена в единицы СИ. Это дисциплинирует мышление и исключает дальнейшие ошибки в размерностях.
2. Выбор оптимальной системы отсчета (СО):
   Этот шаг часто недооценивается, но является ключевым для упрощения решения. Принцип выбора СО заключается в поиске системы, которая максимально упрощает математическое описание движения.
   • Инерциальная СО, связанная с «неподвижной» средой: Для большинства задач, где фигурируют объекты, движущиеся относительно Земли (берега, станции), целесообразно выбрать СО, связанную именно с этой «неподвижной» средой. Это будет наша абсолютная СО.
   • СО, связанная с одним из движущихся тел: Если требуется найти скорость одного тела относительно другого, или одно тело движется относительно другого, выбор СО, связанной с одним из этих тел, может значительно упростить расчеты, превратив сложное движение в более простое относительное.

   Правильный выбор СО позволяет четко определить, что является абсолютной, относительной и переносной скоростью, что напрямую влияет на простоту и корректность дальнейших вычислений.

3. Изображение условия геометрически, обозначив векторы скоростей (Построение векторной схемы):
   Визуализация задачи — мощный инструмент. Необходимо нарисовать схематический рисунок, на котором четко обозначить все известные векторы скоростей (→v_а, →v_отн, →v_пер) с учетом их направлений. Затем, используя правила сложения векторов (правило треугольника или параллелограмма), необходимо построить искомый вектор скорости. Это особенно важно для двумерных задач, где интуиция может быть обманчива.
4. Проведение аналитического расчета:
   На основе выбранной СО и построенной векторной схемы, а также с использованием закона сложения скоростей (в его векторной или одной из скалярных форм), выполняется математический расчет. Все промежуточные шаги должны быть четко записаны, формулы приведены в общем виде, а затем подставлены числовые значения.
5. Запись ответа:
   Конечный результат должен быть четко сформулирован, снабжен правильными единицами измерения и, при необходимости, указанием направления.

Соблюдение этого алгоритма гарантирует не только правильность, но и полную прозрачность каждого решения, что соответствует высоким академическим стандартам.

Детальное пошаговое решение 10 задач контрольной работы

В этом разделе представлены исчерпывающие решения 10 задач по кинематике относительного движения. Каждое решение строго следует разработанной методологии, начиная с записи условия и перевода в СИ, и заканчивая подробным расчетом и формулировкой ответа, подкрепленным графической иллюстрацией векторов скоростей.

Задача №1: Лодка в реке по течению

Условие задачи: Собственная скорость лодки в неподвижной воде составляет 10 км/ч. Скорость течения реки 2 км/ч. Определите скорость лодки относительно берега, если она движется: а) по течению; б) против течения.

Решение:

Дано:

• Скорость лодки относительно воды (собственная скорость): vл = 10 км/ч
• Скорость течения реки: vт = 2 км/ч

Перевод в СИ:

• vл = 10 км/ч = 10 / 3,6 м/с ≈ 2,78 м/с
• vт = 2 км/ч = 2 / 3,6 м/с ≈ 0,56 м/с

Выбор системы отсчета:
Неподвижная система отсчета (абсолютная СО) связана с берегом. Подвижная система отсчета связана с водой (течением реки).

• vа — скорость лодки относительно берега (искомая абсолютная скорость).
• vотн — скорость лодки относительно воды (собственная скорость лодки).
• vпер — скорость воды относительно берега (скорость течения).

Закон сложения скоростей: →vа = →vотн + →vпер

а) Движение по течению:

• Векторы →v_отн и →v_пер сонаправлены. Угол между ними α = 0°.
• Модуль абсолютной скорости: vа = vотн + vпер

Расчет:

• vа = 10 км/ч + 2 км/ч = 12 км/ч
• vа = 2,78 м/с + 0,56 м/с = 3,34 м/с

Графическая схема:

Берег (неподвижная СО)
<--------------------------------------------------------------------> Направление движения

→vт ------------> (скорость течения)
→vл_отн_воды -----> (скорость лодки относительно воды)
→vл_отн_берега -----------------> (абсолютная скорость лодки)

б) Движение против течения:

• Векторы →v_отн и →v_пер направлены противоположно. Угол между ними α = 180°.
• Модуль абсолютной скорости: vа = |vотн - vпер|

Расчет:

• vа = |10 км/ч - 2 км/ч| = 8 км/ч
• vа = |2,78 м/с - 0,56 м/с| = 2,22 м/с (направление движения лодки)

Графическая схема:

Берег (неподвижная СО)
<--------------------------------------------------------------------> Направление движения

→vт ------------> (скорость течения)
→vл_отн_воды <----- (скорость лодки относительно воды)
→vл_отн_берега <-------- (абсолютная скорость лодки)

Ответ:

1. Скорость лодки относительно берега по течению составляет 12 км/ч (или 3,34 м/с).
2. Скорость лодки относительно берега против течения составляет 8 км/ч (или 2,22 м/с).

Задача №2: Пешеход на эскалаторе

Условие задачи: Человек поднимается по движущемуся эскалатору со скоростью 0,5 м/с относительно ступенек. Скорость самого эскалатора относительно земли 1 м/с. Какова скорость человека относительно земли?

Решение:

Дано:

• Скорость человека относительно ступенек эскалатора (относительная скорость): vч = 0,5 м/с
• Скорость эскалатора относительно земли (переносная скорость): vэ = 1 м/с

Перевод в СИ: Все величины уже в СИ.

Выбор системы отсчета:
Неподвижная СО: Земля.
Подвижная СО: Эскалатор.

• vа — скорость человека относительно земли (искомая абсолютная скорость).
• vотн — скорость человека относительно эскалатора.
• vпер — скорость эскалатора относительно земли.

Закон сложения скоростей: →vа = →vотн + →vпер

Расчет (векторы сонаправлены, так как человек поднимается по движущемуся эскалатору):

vа = vч + vэ
vа = 0,5 м/с + 1 м/с = 1,5 м/с

Графическая схема:

Земля (неподвижная СО)
<--------------------------------------------------------------------> Направление движения

→vэ ------------> (скорость эскалатора)
→vч_отн_эск -----> (скорость человека относительно эскалатора)
→vч_отн_земли -----------------> (абсолютная скорость человека)

Ответ: Скорость человека относительно земли составляет 1,5 м/с.

Задача №3: Пересечение реки под прямым углом

Условие задачи: Лодка движется перпендикулярно берегу реки со скоростью 3 м/с относительно воды. Скорость течения реки 2 м/с. Определите скорость лодки относительно берега и угол, под которым лодка фактически движется к берегу.

Решение:

Дано:

• Скорость лодки относительно воды: vл = 3 м/с
• Скорость течения реки: vт = 2 м/с

Перевод в СИ: Все величины уже в СИ.

Выбор системы отсчета:
Неподвижная СО: Берег.
Подвижная СО: Вода (течение реки).

• vа — скорость лодки относительно берега (искомая абсолютная скорость).
• vотн — скорость лодки относительно воды (направлена перпендикулярно берегу).
• vпер — скорость течения реки (направлена вдоль берега).

Закон сложения скоростей: →vа = →vотн + →vпер

Расчет абсолютной скорости:
Векторы →v_отн и →v_пер взаимно перпендикулярны (угол α = 90°).
Модуль абсолютной скорости находится по теореме Пифагора:

vа = √(vотн2 + vпер2)
vа = √((3 м/с)2 + (2 м/с)2) = √(9 + 4) = √13 м/с
vа ≈ 3,61 м/с

Расчет угла движения относительно берега:
Угол φ, под которым лодка фактически движется относительно берега, можно найти, используя тангенс угла в прямоугольном треугольнике, образованном векторами скоростей. Пусть φ — это угол между вектором абсолютной скорости →v_а и направлением течения →v_пер.

tgφ = vотн / vпер
tgφ = 3 м/с / 2 м/с = 1,5
φ = arctg(1,5) ≈ 56,3°

Графическая схема:

         ^ →vл (отн. воды) = →vотн
         |
         |
<--------|--------------------> Берег (направление перпендикулярно течению)
         |
         |
  →vт = →vпер -----> (направление течения)

   /
  / →vа (абсолютная скорость)
 / φ
/------>

(Схема представляет собой прямоугольный треугольник, где катеты — →v_отн и →v_пер, а гипотенуза — →v_а. Угол φ расположен между →v_а и →v_пер.)

Ответ:

• Скорость лодки относительно берега составляет приблизительно 3,61 м/с.
• Лодка фактически движется под углом около 56,3° к направлению течения (или 33,7° к линии, перпендикулярной течению).

Задача №4: Самолет при боковом ветре

Условие задачи: Самолет летит на север со скоростью 500 км/ч относительно воздуха. Дует западный ветер со скоростью 50 км/ч. Определите скорость самолета относительно земли и направление его движения.

Решение:

Дано:

• Скорость самолета относительно воздуха (относительная скорость): vс = 500 км/ч
• Скорость ветра (переносная скорость): vв = 50 км/ч (западный ветер дует с запада на восток)

Перевод в СИ:

• vс = 500 км/ч = 500 / 3,6 м/с ≈ 138,89 м/с
• vв = 50 км/ч = 50 / 3,6 м/с ≈ 13,89 м/с

Выбор системы отсчета:
Неподвижная СО: Земля.
Подвижная СО: Воздух (ветер).

• vа — скорость самолета относительно земли (искомая абсолютная скорость).
• vотн — скорость самолета относительно воздуха (направлена на север).
• vпер — скорость ветра (направлена с запада на восток).

Закон сложения скоростей: →vа = →vотн + →vпер

Расчет абсолютной скорости:
Векторы →v_отн (на север) и →v_пер (на восток) взаимно перпендикулярны (угол α = 90°).
Модуль абсолютной скорости находится по теореме Пифагора:

vа = √(vотн2 + vпер2)
vа = √((500 км/ч)2 + (50 км/ч)2) = √(250000 + 2500) = √252500 км/ч
vа ≈ 502,5 км/ч
vа = √((138,89 м/с)2 + (13,89 м/с)2) = √(19290 + 192,9) = √19482,9 м/с
vа ≈ 139,58 м/с

Расчет направления движения:
Самолет будет двигаться не строго на север, а отклонится к востоку. Найдем угол β отклонения от направления на север.

tgβ = vпер / vотн
tgβ = 50 км/ч / 500 км/ч = 0,1
β = arctg(0,1) ≈ 5,71°

Графическая схема:

            Север (→vотн)
              ^
              |
              |
              |
    Запад <---|---> Восток (→vпер)
              |
              |
              |
            Юг

               →vотн (на Север)
               ^
               |
               | →vа (абс. скорость)
               | /
               |/ β
               |-----> →vпер (на Восток)

(Схема представляет собой прямоугольный треугольник, где →v_отн — катет, направленный на север, →v_пер — катет, направленный на восток. →v_а — гипотенуза, направленная на северо-восток. Угол β находится между →v_отн и →v_а)

Ответ:

• Скорость самолета относительно земли составляет приблизительно 502,5 км/ч (или 139,58 м/с).
• Самолет движется на северо-восток под углом около 5,71° восточнее направления на север.

Задача №5: Два поезда навстречу друг другу

Условие задачи: Два поезда движутся навстречу друг другу. Скорость первого поезда 90 км/ч, второго – 72 км/ч. Определите скорость первого поезда относительно второго.

Решение:

Дано:

• Скорость первого поезда: v1 = 90 км/ч
• Скорость второго поезда: v2 = 72 км/ч

Перевод в СИ:

• v1 = 90 км/ч = 90 / 3,6 м/с = 25 м/с
• v2 = 72 км/ч = 72 / 3,6 м/с = 20 м/с

Выбор системы отсчета:
Неподвижная СО: Земля.
Подвижная СО: Второй поезд.

• Нам нужно найти скорость первого поезда относительно второго, то есть относительную скорость.
• Абсолютная скорость: →vа1 = скорость первого поезда относительно земли.
• Переносная скорость: →vпер = скорость второго поезда относительно земли.
• Искомая относительная скорость: →vотн = скорость первого поезда относительно второго.

Закон сложения скоростей:
Из формулы →vа = →vотн + →vпер следует, что →vотн = →vа - →vпер.
В данном случае: →v1_отн_2 = →v1_отн_земли - →v2_отн_земли.
Поскольку поезда движутся навстречу друг другу, их векторы скоростей направлены противоположно. Если выбрать направление движения первого поезда за положительное, то скорость второго поезда будет отрицательной.

Расчет:
Пусть направление движения первого поезда будет положительным.

• v1 = 25 м/с
• v2 = -20 м/с (так как движется навстречу)

Тогда скорость первого поезда относительно второго:
v1_отн_2 = v1 - v2 = 25 м/с - (-20 м/с) = 25 м/с + 20 м/с = 45 м/с

Или, если рассуждать о модулях скоростей, при движении навстречу скорости складываются.

• vотн = v1 + v2 = 90 км/ч + 72 км/ч = 162 км/ч
• vотн = 25 м/с + 20 м/с = 45 м/с

Графическая схема:

 Земля (неподвижная СО)
<-------------------------------------------------------------------->

Поезд 1 --------> →v1
Поезд 2 <-------- →v2

Вектор относительной скорости →v1_отн_2 будет направлен так,
чтобы "догнать" первый поезд относительно второго.
→v1_отн_2 = →v1 - →v2 (векторно)
Поскольку →v1 и →v2 противоположны,
модуль: |→v1| + |→v2|

Ответ: Скорость первого поезда относительно второго составляет 45 м/с (или 162 км/ч).

Задача №6: Автомобиль и мотоциклист в попутном направлении

Условие задачи: Автомобиль движется по шоссе со скоростью 80 км/ч. В том же направлении движется мотоциклист со скоростью 100 км/ч. Какова скорость мотоциклиста относительно автомобиля?

Решение:

Дано:

• Скорость автомобиля: vавт = 80 км/ч
• Скорость мотоциклиста: vмот = 100 км/ч

Перевод в СИ:

• vавт = 80 км/ч = 80 / 3,6 м/с ≈ 22,22 м/с
• vмот = 100 км/ч = 100 / 3,6 м/с ≈ 27,78 м/с

Выбор системы отсчета:
Неподвижная СО: Земля (шоссе).
Подвижная СО: Автомобиль.

• Нам нужно найти скорость мотоциклиста относительно автомобиля (относительная скорость).
• Абсолютная скорость: →vа_мот = скорость мотоциклиста относительно земли.
• Переносная скорость: →vпер = скорость автомобиля относительно земли.
• Искомая относительная скорость: →vотн = скорость мотоциклиста относительно автомобиля.

Закон сложения скоростей:
Из формулы →vа = →vотн + →vпер следует, что →vотн = →vа - →vпер.
В данном случае: →vмот_отн_авт = →vмот_отн_земли - →vавт_отн_земли.
Поскольку оба транспортных средства движутся в одном направлении, их векторы скоростей сонаправлены.

Расчет:

vмот_отн_авт = vмот - vавт
vмот_отн_авт = 100 км/ч - 80 км/ч = 20 км/ч
vмот_отн_авт = 27,78 м/с - 22,22 м/с = 5,56 м/с

Графическая схема:

 Шоссе (неподвижная СО)
<--------------------------------------------------------------------> Направление движения

Автомобиль --------> →vавт
Мотоциклист --------> →vмот

→vмот_отн_авт = →vмот - →vавт (векторно)
Поскольку →vмот > →vавт, результирующий вектор будет направлен в ту же сторону.

Ответ: Скорость мотоциклиста относительно автомобиля составляет 20 км/ч (или 5,56 м/с).

Задача №7: Самолет и ветер под углом

Условие задачи: Самолет летит со скоростью 400 км/ч относительно воздуха. Ветер дует под углом 60° к направлению движения самолета со скоростью 60 км/ч. Определите скорость самолета относительно земли.

Решение:

Дано:

• Скорость самолета относительно воздуха (относительная скорость): vс = 400 км/ч
• Скорость ветра (переносная скорость): vв = 60 км/ч
• Угол между вектором скорости самолета и вектором скорости ветра: α = 60°

Перевод в СИ:

• vс = 400 км/ч = 400 / 3,6 м/с ≈ 111,11 м/с
• vв = 60 км/ч = 60 / 3,6 м/с ≈ 16,67 м/с

Выбор системы отсчета:
Непод��ижная СО: Земля.
Подвижная СО: Воздух (ветер).

• vа — скорость самолета относительно земли (искомая абсолютная скорость).
• vотн — скорость самолета относительно воздуха.
• vпер — скорость ветра.

Закон сложения скоростей (общий случай по теореме косинусов):

vа = √(vотн2 + vпер2 + 2vотнvперcosα)

Расчет:

vа = √((400 км/ч)2 + (60 км/ч)2 + 2 ⋅ (400 км/ч) ⋅ (60 км/ч) ⋅ cos(60°))
vа = √(160000 + 3600 + 2 ⋅ 400 ⋅ 60 ⋅ 0,5)
vа = √(163600 + 24000)
vа = √187600 км/ч
vа ≈ 433,13 км/ч

В единицах СИ:

vа = √((111,11 м/с)2 + (16,67 м/с)2 + 2 ⋅ (111,11 м/с) ⋅ (16,67 м/с) ⋅ 0,5)
vа = √(12345,43 + 277,89 + 1852,04)
vа = √14475,36 м/с
vа ≈ 120,31 м/с

Графическая схема:

     →vотн (скорость самолета отн. воздуха)
     ^
     |
     |  /
     | / α=60°
     |/
     -----> →vпер (скорость ветра)

       /
      / →vа (абсолютная скорость)
     /
    /
   /

(Схема представляет собой треугольник, где две стороны — →v_отн и →v_пер, а третья сторона (абсолютная скорость →v_а) находится по теореме косинусов, учитывая угол α между →v_отн и →v_пер.)

Ответ: Скорость самолета относительно земли составляет приблизительно 433,13 км/ч (или 120,31 м/с).

Задача №8: Рыба в аквариуме на поезде

Условие задачи: Поезд движется со скоростью 72 км/ч. Внутри поезда в аквариуме плавает рыба со скоростью 0,1 м/с относительно воды. Определите скорость рыбы относительно земли, если она движется: а) по направлению движения поезда; б) против направления движения поезда.

Решение:

Дано:

• Скорость поезда (переносная скорость): vп = 72 км/ч
• Скорость рыбы относительно воды (относительная скорость): vр = 0,1 м/с

Перевод в СИ:

• vп = 72 км/ч = 72 / 3,6 м/с = 20 м/с
• vр = 0,1 м/с (уже в СИ)

Выбор системы отсчета:
Неподвижная СО: Земля.
Подвижная СО: Поезд.

• vа — скорость рыбы относительно земли (искомая абсолютная скорость).
• vотн — скорость рыбы относительно воды в аквариуме (т.е. относительно поезда).
• vпер — скорость поезда относительно земли.

Закон сложения скоростей: →vа = →vотн + →vпер

а) Рыба движется по направлению движения поезда:

• Векторы →v_отн и →v_пер сонаправлены.
• Модуль абсолютной скорости: vа = vотн + vпер

Расчет:

vа = 0,1 м/с + 20 м/с = 20,1 м/с

Графическая схема:

Земля (неподвижная СО)
<--------------------------------------------------------------------> Направление движения

→vп ------------> (скорость поезда)
→vр_отн_воды -----> (скорость рыбы относительно воды)
→vр_отн_земли -----------------> (абсолютная скорость рыбы)

б) Рыба движется против направления движения поезда:

• Векторы →v_отн и →v_пер направлены противоположно.
• Модуль абсолютной скорости: vа = |vотн - vпер|

Расчет:

vа = |0,1 м/с - 20 м/с| = |-19,9 м/с| = 19,9 м/с (направление движения поезда)

Графическая схема:

Земля (неподвижная СО)
<--------------------------------------------------------------------> Направление движения

→vп ------------> (скорость поезда)
→vр_отн_воды <----- (скорость рыбы относительно воды)
→vр_отн_земли -----------------> (абсолютная скорость рыбы)

Ответ:

1. Скорость рыбы относительно земли, если она движется по направлению поезда, составляет 20,1 м/с.
2. Скорость рыбы относительно земли, если она движется против направления поезда, составляет 19,9 м/с.

Задача №9: Лодка пересекает реку, чтобы попасть в точку напротив

Условие задачи: Ширина реки 500 м, скорость течения 1 м/с. Собственная скорость лодки в неподвижной воде 3 м/с. Под каким углом к берегу должна двигаться лодка, чтобы попасть точно в точку на противоположном берегу, находящуюся прямо напротив места отправления? Сколько времени займет переправа?

Решение:

Дано:

• Ширина реки: L = 500 м
• Скорость течения реки: vт = 1 м/с
• Собственная скорость лодки относительно воды: vл = 3 м/с

Перевод в СИ: Все величины уже в СИ.

Выбор системы отсчета:
Неподвижная СО: Берег.
Подвижная СО: Вода (течение реки).

• →vа — абсолютная скорость лодки относительно берега.
• →vотн — скорость лодки относительно воды (направлена под углом к берегу).
• →vпер — скорость течения реки (направлена вдоль берега).

Условие задачи: Лодка должна двигаться перпендикулярно берегу относительно земли. Это означает, что абсолютная скорость →v_а должна быть направлена строго перпендикулярно берегу. Для этого составляющая скорости лодки, направленная вдоль берега, должна быть равна и противоположна скорости течения, что является ключевым условием для прямолинейного пересечения.

Графическая схема:

            Противоположный берег (Точка прибытия)
            ^
            |  →vа (абс. скорость лодки)
            |
            |   /  →vотн (скорость лодки отн. воды)
            |  /
            | / α (угол к линии, перпендикулярной течению)
            |/
Начало ------> →vпер (скорость течения)
            |
            |
            |
            Начало отправления (Берег)

(Схема представляет собой прямоугольный треугольник, где гипотенуза — →v_отн, один катет — →v_пер, а второй катет — →v_а. Угол α — это угол между →v_отн и перпендикуляром к берегу (→v_а).)

Пусть α — угол, под которым лодка направляет свой нос относительно линии, перпендикулярной течению (или 90° — α к берегу).
Тогда проекция →v_отн на направление течения должна компенсировать →v_пер.

vотн ⋅ sinα = vпер
sinα = vпер / vотн = 1 м/с / 3 м/с = 1/3
α = arcsin(1/3) ≈ 19,47°

Угол к берегу (φ) будет: φ = 90° - α = 90° - 19,47° = 70,53°

Расчет абсолютной скорости лодки относительно берега (v_а):
По теореме Пифагора (vотн2 = vа2 + vпер2):

vа = √(vотн2 - vпер2)
vа = √((3 м/с)2 - (1 м/с)2) = √(9 - 1) = √8 м/с
vа ≈ 2,83 м/с

Расчет времени переправы (t):
Время переправы определяется шириной реки и составляющей абсолютной скорости, перпендикулярной течению:

t = L / vа
t = 500 м / 2,83 м/с ≈ 176,68 с

Ответ:

• Лодка должна двигаться под углом приблизительно 70,53° к берегу (или 19,47° к линии, перпендикулярной течению) вверх по течению.
• Время переправы займет приблизительно 176,68 секунд (или 2 минуты 56,68 секунд).

Задача №10: Встреча двух катеров на озере

Условие задачи: Два катера одновременно отправляются из одной точки озера. Первый катер движется на восток со скоростью 15 м/с. Второй катер движется на север со скоростью 20 м/с. Определите скорость второго катера относительно первого.

Решение:

Дано:

• Скорость первого катера (на восток): v1 = 15 м/с
• Скорость второго катера (на север): v2 = 20 м/с

Перевод в СИ: Все величины уже в СИ.

Выбор системы отсчета:
Неподвижная СО: Озеро.
Подвижная СО: Первый катер.

• Нам нужно найти скорость второго катера относительно первого (относительная скорость).
• Абсолютная скорость: →vа2 = скорость второго катера относительно озера.
• Переносная скорость: →vпер = скорость первого катера относительно озера.
• Искомая относительная скорость: →vотн = скорость второго катера относительно первого.

Закон сложения скоростей:
Используем формулу: →vотн = →vа - →vпер.
В данном случае: →v2_отн_1 = →v2_отн_озера - →v1_отн_озера.
Векторы →v₁ и →v₂ взаимно перпендикулярны.

Расчет модуля относительной скорости:
Модуль разности двух взаимно перпендикулярных векторов находится по теореме Пифагора:

v2_отн_1 = √(v22 + v12)
v2_отн_1 = √((20 м/с)2 + (15 м/с)2) = √(400 + 225) = √625 м/с
v2_отн_1 = 25 м/с

Расчет направления относительной скорости:
Вектор →v_{2_отн_1} будет направлен на северо-запад. Угол θ, который он образует с направлением на север, можно найти с помощью тангенса.

tgθ = v1 / v2 = 15 м/с / 20 м/с = 0,75
θ = arctg(0,75) ≈ 36,87°
Таким образом, второй катер движется относительно первого под углом 36,87° западнее направления на север.

Графическая схема:

            Север (→v2)
              ^
              |
              |
    Запад <---|---> Восток (→v1)
              |
              |
              |
            Юг

   Представим векторы:
   →v2 ^
       |
       |
       |
   <---|-----> -→v1 (вектор, противоположный →v1)
       | /
       |/ →v2_отн_1
       / θ

(Схема представляет собой прямоугольный треугольник, где катеты — →v₂ (на север) и -→v₁ (на запад). Гипотенуза — это искомый вектор →v_{2_отн_1}, направленный на северо-запад. Угол θ между →v₂ и →v_{2_отн_1}.)

Ответ:

• Скорость второго катера относительно первого составляет 25 м/с.
• Второй катер движется относительно первого на северо-запад, под углом приблизительно 36,87° западнее направления на север.

Заключение

В рамках данной контрольной работы мы глубоко погрузились в фундаментальные аспекты кинематики относительного движения, представляющие собой неотъемлемую часть классической механики. Проведенный анализ охватил ключевые теоретические положения, начиная с определения системы отсчета и ее особого типа — инерциальной системы отсчета (ИСО), которая служит базисом для применения Первого закона Ньютона. Мы детально рассмотрели принцип относительности Галилея, подчеркнув его значение для описания физического равноправия ИСО и инвариантности законов механики относительно преобразований Галилея. Важным аспектом стало также определение границ применимости этого принципа, что позволило закрыть потенциальную «слепую зону» в понимании классической механики и ее связи с релятивистскими эффектами, подчеркивая, что каждая модель имеет свои рамки.

Центральное место в работе занял закон сложения скоростей, представленный как в универсальной векторной форме (→vа = →vотн + →vпер), так и в ее специализированных скалярных выражениях для одномерного движения, перпендикулярных векторов и общего случая по теореме косинусов. Эта совокупность формул является основным математическим инструментарием для анализа сложного движения и позволяет точно предсказывать поведение объектов в различных сценариях.

Особое внимание было уделено методологии решения задач. Подчеркнута критическая важность перевода всех физических величин в систему СИ, в частности, правила перевода км/ч в м/с. Разработанный пошаговый алгоритм, включающий запись «Дано», выбор оптимальной системы отсчета, обязательное построение векторной схемы, аналитический расчет и четкую запись ответа, послужил унифицированной основой для решения всех практических задач, обеспечивая не только правильность, но и воспроизводимость результатов.

Основная часть работы — детальное пошаговое решение десяти задач контрольной работы — подтвердила эффективность разработанной методологии. Каждая задача была проанализирована с учетом всех теоретических положений, переведена в СИ, визуализирована с помощью векторных диаграмм и решена с полной демонстрацией всех вычислительных шагов. Это позволило не просто получить численные ответы, но и глубоко осмыслить физические процессы, лежащие в их основе, что является ключевым для формирования глубокого понимания предмета.

Таким образом, цель работы — предоставление исчерпывающего, методологически строгого и академически оформленного решения контрольной работы по кинематике относительного движения — была полностью достигнута. Представленный материал не только демонстрирует правильные ответы, но и служит полноценным учебным пособием, раскрывающим логику и последовательность мысли при решении физических задач данного типа, в полном соответствии с академическими требованиями и научными стандартами.

Список использованной литературы

1. Рымкевич, А. П. Физика. Задачник. 1011 кл.: пособие для общеобразоват. учреждений / А. П. Рымкевич. — 10-е изд., стереотип. — М.: Дрофа, 2006. — 188, [4] с.: ил.