Полный комплект решений 12 задач по классической механике: Законы сохранения импульса и энергии (С академическим выводом формул)

В мире, где инженерные и научные вызовы становятся все сложнее, фундаментальное понимание принципов классической механики остается краеугольным камнем успеха. Данный аналитический материал разработан как исчерпывающее руководство для студентов технических и естественнонаучных вузов, сталкивающихся с расчетно-графическими работами по курсу Общей физики. Основная цель — не просто представить правильные ответы, но и дать глубокое, поэтапное понимание процесса решения задач, фокусируясь на корректном применении Законов сохранения импульса и энергии.

Мы стремимся предоставить полный комплект решений 12 типовых задач, полностью соответствующих академическим стандартам. Методология подхода к каждой задаче будет строго последовательной: всегда начинать с детального анализа применимости Закона сохранения импульса (ЗСИ) и Закона сохранения энергии (ЗСЭ), обосновывая выбор инерциальной системы отсчета (ИСО), а также корректно выполняя проекции векторных уравнений на координатные оси. Особое внимание будет уделено алгебраическому выводу всех ключевых формул «из первых принципов», что позволит студентам не только использовать готовые решения, но и глубоко понимать их происхождение и физический смысл.

Векторное представление величин, четкое разграничение внешних и внутренних сил, а также аккуратная работа с работой неконсервативных сил (таких как трение) — эти элементы станут основой для формирования строгого, академического стиля изложения, необходимого для успешного выполнения контрольных работ. Освоение этих принципов позволит не просто получить верный ответ, но и корректно аргументировать каждый шаг решения, что критически важно в академической среде.

Теоретические основы: Условия применимости Законов сохранения

В основе классической механики лежат фундаментальные законы сохранения, которые позволяют описывать взаимодействия тел и их движение без детального анализа конкретных сил в каждый момент времени. Однако их применимость не универсальна и требует строгого соблюдения определенных условий.

Импульс и Закон сохранения импульса (ЗСИ)

Импульс тела, или количество движения, является одной из ключевых характеристик его механического состояния. Он определяется как векторная величина, равная произведению массы тела $m$ на его вектор скорости $\vec{v}$:

&vec;p = m &vec;v

Закон сохранения импульса гласит, что векторная сумма импульсов всех тел, входящих в замкнутую систему, остается неизменной во времени, независимо от внутренних взаимодействий между этими телами. Математически это выражается как:

∑ &vec;pдо = ∑ &vec;pпосле или &vec;Pсистемы = const

Этот закон является прямым следствием третьего закона Ньютона. Условия его применимости критически важны:

• Инерциальная система отсчета (ИСО): ЗСИ действует только в инерциальных системах отсчета. Это значит, что система не должна ускоряться или вращаться относительно «неподвижных» звезд.
• Замкнутая система: Система считается замкнутой, если векторная сумма всех внешних сил, действующих на нее, равна нулю (∑ &vec;Fext = 0). В этом случае полный импульс системы абсолютно сохраняется.
• Сохранение проекции импульса: Если главный вектор внешних сил не равен нулю, но его проекция на какую-либо ось равна нулю, то импульс системы сохраняется только вдоль этой оси. Например, при движении тела по наклонной плоскости, сила тяжести (внешняя сила) действует, и полный импульс не сохраняется, но если мы рассматриваем систему из нескольких тел, движущихся по горизонтали, а внешние силы (тяжесть и реакции опоры) скомпенсированы по вертикали, то горизонтальная проекция импульса может сохраняться. Важно понимать, что сохранение проекции импульса является мощным инструментом анализа для неполностью замкнутых систем.

Энергия и Закон сохранения полной энергии (ЗСЭ)

Понятие энергии позволяет взглянуть на механические процессы с иной стороны, фокусируясь на способности системы совершать работу. Различают несколько видов энергии.

Кинетическая энергия (K) — это энергия движения, зависящая от массы тела и квадрата его скорости:

K = m v2 / 2

Потенциальная энергия (Π) — это энергия взаимодействия тел или их частей, зависящая от их взаимного расположения. Для различных видов консервативных сил она имеет специфические формы:

• Для силы тяжести: Π = m g h, где h — высота относительно выбранного нулевого уровня.
• Для упругой деформации пружины: Π = k x2 / 2, где k — жесткость пружины, x — ее деформация.

Закон сохранения механической энергии утверждает, что полная механическая энергия (Eмех = K + Π) замкнутой системы остается неизменной, если между телами этой системы действуют только консервативные силы (гравитационные, упругие).

Однако реальные системы часто подвержены действию неконсервативных сил, таких как сила трения или сопротивление среды. В таких случаях механическая энергия не сохраняется, но сохраняется более широкое понятие — полная энергия системы.

Закон сохранения полной энергии (Первый закон термодинамики для механической системы): Полная энергия системы, включающая механическую и внутреннюю (тепловую) энергии, всегда остается постоянной:

Eполн = Eмех + Eвнутр = const

Это означает, что любые изменения механической энергии в замкнутой системе компенсируются соответствующими изменениями внутренней энергии. Если механическая энергия уменьшается, она преобразуется во внутреннюю (тепловую) энергию, и наоборот. Математически это выражается как:

ΔEмех = - ΔEвнутр

Работа неконсервативных (диссипативных) сил, таких как сила трения (Anon-cons), прямо связана с этим преобразованием. Эта работа всегда отрицательна и приводит к увеличению внутренней энергии системы (нагреву):

Anon-cons = ΔEвнутр

Следовательно, изменение механической энергии равно работе неконсервативных сил:

ΔEмех = Anon-cons

Это фундаментальное соотношение позволяет анализировать процессы, где механическая энергия рассеивается, переходя в тепло. Понимание этого принципа критически важно для решения задач, где присутствует трение или сопротивление среды, поскольку оно позволяет количественно оценить энергетические потери. Подробнее о работе сил трения см. в разделе «Задачи на Теорему об изменении энергии и работу сил трения».

Задачи на Динамику системы и принцип относительности движения (Задачи 4, 5, 6)

Решение задач, где тела перемещаются относительно друг друга внутри системы (например, человек идет по лодке), часто требует применения Теоремы о движении центра масс. Эта теорема позволяет анализировать движение всей системы как единого целого.

Вывод формулы смещения лодки

Теорема о движении центра масс гласит, что произведение массы системы (M) на ускорение ее центра масс (&vec;ac) равно геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему:

M &vec;ac = ∑ &vec;Fext

Если главный вектор внешних сил равен нулю (∑ &vec;Fext = 0), то ускорение центра масс равно нулю (&vec;ac = 0), а значит, скорость центра масс системы остается постоянной (&vec;Vc = const). В случае, когда система изначально покоилась, ее центр масс остается неподвижным относительно инерциальной системы отсчета.

Рассмотрим систему «человек + лодка», изначально покоящуюся в воде. Внешние силы, действующие на систему (сила тяжести, сила Архимеда), скомпенсированы по вертикали. В горизонтальном направлении внешние силы отсутствуют (или пренебрежимо малы, если нет сопротивления воды). Следовательно, горизонтальная координата центра масс системы должна оставаться неизменной:

Δ&vec;Rc = 0

Пусть mч — масса человека, mл — масса лодки.
Пусть человек переместился на расстояние L относительно лодки (например, от одного конца к другому).
Обозначим:

• Δxч — перемещение человека относительно берега.
• Δxл — перемещение лодки относительно берега.

Условие неизменности положения центра масс в проекции на ось Ox:

mч Δxч + mл Δxл = 0  (1)

Перемещение человека относительно берега можно выразить через перемещение лодки относительно берега и перемещение человека относительно лодки (L). Если человек двигался в положительном направлении, а лодка сместилась в противоположную сторону (в отрицательном направлении), то:

Δxч = Δxл + L  (2)

Подставим (2) в (1):

mч (Δxл + L) + mл Δxл = 0

Раскроем скобки:

mч Δxл + mч L + mл Δxл = 0

Вынесем Δxл за скобки:

Δxл (mч + mл) = - mч L

И окончательно, формула для смещения лодки относительно берега:

Δxл = - (mч L) / (mч + mл)

Знак минус указывает на то, что лодка движется в направлении, противоположном движению человека. Эта формула является универсальной для задач типа «человек в лодке» или «груз на платформе», когда отсутствуют внешние горизонтальные силы. Практическая ценность этой формулы в её простоте и универсальности для подобных систем, что значительно упрощает анализ кажущихся сложными задач.

Решение типовых задач (4, 5, 6)

Применение выведенной формулы для конкретных задач (4, 5, 6) будет заключаться в подстановке данных о массах человека (груза) и лодки (платформы), а также расстояния, на которое перемещается человек (груз) относительно лодки (платформы). Например, если человек массой 70 кг переходит по лодке массой 100 кг на расстояние 3 м, то лодка сместится на:

Δxл = - (70 кг · 3 м) / (70 кг + 100 кг) = - 210 / 170 м ≈ -1.24 м

Это означает, что лодка сместится на 1.24 м в сторону, противоположную движению человека. Аналогично решаются задачи с перемещением груза или другими вариациями, где ключевым является сохранение положения центра масс системы.

Задачи на Векторное разложение и анализ ударов/взрывов (Задачи 1, 2, 7)

Взаимодействия, такие как удары или взрывы, характеризуются кратковременностью и большой силой, что позволяет пренебречь действием внешних сил (например, силы тяжести) в момент самого взаимодействия и эффективно применять Закон сохранения импульса.

Абсолютно неупругий удар и потеря энергии

При абсолютно неупругом ударе взаимодействующие тела «слипаются» и продолжают движение как единое целое. В этом процессе сохраняется импульс системы, но механическая энергия не сохраняется — часть ее переходит во внутреннюю (тепловую) энергию.

Закон сохранения импульса для абсолютно неупругого удара:

m1 &vec;V1 + m2 &vec;V2 = (m1 + m2) &vec;u

где m1, m2 — массы тел, &vec;V1, &vec;V2 — их скорости до удара, &vec;u — общая скорость тел после удара.
Скорость объединенной системы после удара &vec;u фактически является скоростью центра масс системы до удара:

&vec;u = &vec;Vc = (m1 &vec;V1 + m2 &vec;V2) / (m1 + m2)

Потеря кинетической энергии при абсолютно неупругом ударе:
Несмотря на сохранение импульса, механическая энергия при абсолютно неупругом ударе всегда уменьшается. Максимальная потеря кинетической энергии происходит именно при абсолютно неупругом ударе, поскольку в этом случае максимально количество механической энергии переходит во внутреннюю (тепловую) энергию и энергию деформации. Это ключевой нюанс, отличающий неупругий удар от упругого, где механическая энергия сохраняется полностью.

Эта потеря энергии может быть вычислена по формуле:

ΔKпотеря = Kдо - Kпосле = m1 V12 / 2 + m2 V22 / 2 - (m1 + m2) u2 / 2

Подставив выражение для u:

ΔKпотеря = (m1 m2) / (2 (m1 + m2)) (&vec;V1 - &vec;V2)2

Если движение происходит вдоль одной прямой, то (&vec;V1 - &vec;V2)2 заменяется на (V1 - V2)2. Эта формула всегда дает положительное значение, подтверждая, что кинетическая энергия уменьшается. Это фундаментальное отличие от взрывов, где кинетическая энергия системы увеличивается за счет внутренней энергии.

Взрыв снаряда в полете

Взрыв снаряда — это внутренний процесс для системы «снаряд + осколки». В момент взрыва внутренние силы, действующие между частями снаряда, многократно превосходят внешние силы (например, силу тяжести). Поэтому в течение короткого времени взрыва можно считать, что система «снаряд + осколки» замкнута, и ее импульс сохраняется.

Если снаряд массой M летел со скоростью &vec;V0 и разорвался на два осколка массами m1 и m2 со скоростями &vec;v1 и &vec;v2 соответственно, то ЗСИ имеет вид:

M &vec;V0 = m1 &vec;v1 + m2 &vec;v2

Это векторное уравнение. Для его решения необходимо выбрать оси координат и спроецировать его на эти оси. Например, если взрыв происходит в горизонтальной плоскости, и снаряд летел вдоль оси Ox:

M V0x = m1 v1x + m2 v2x
0 = m1 v1y + m2 v2y (если до взрыва движение было только по Ox)

Связь с энергией при взрыве:
В отличие от абсолютно неупругого удара, при взрыве внутренняя энергия (энергия взрывчатого вещества) переходит в кинетическую энергию осколков. Поэтому полная механическая энергия системы увеличивается. Скалярное уравнение сохранения полной энергии (механической + внутренней) принимает вид:

Kдо + ΔE = Kпосле

или

M V02 / 2 + ΔE = m1 v12 / 2 + m2 v22 / 2

где ΔE — энергия, выделившаяся при взрыве.
Комбинация ЗСИ и энергетических соотношений позволяет найти скорости и направления движения осколков после взрыва. Это подчеркивает фундаментальный принцип преобразования энергии, где одна форма энергии переходит в другую, не исчезая бесследно.

Задачи на Кинематику и связанное движение (Продолжение Задач 1, 2, 7)

После определения скоростей осколков в момент взрыва, их дальнейшее движение описывается законами кинематики, как движение тела, брошенного под углом к горизонту.

Уравнения движения тела, брошенного под углом

Движение тела, брошенного под углом α к горизонту, является классическим примером сложного движения, которое можно представить как суперпозицию двух независимых движений:

1. Равномерное движение по горизонтали (ось Ox): На тело не действуют горизонтальные силы (пренебрегаем сопротивлением воздуха).
2. Равноускоренное движение по вертикали (ось Oy): На тело действует постоянная сила тяжести, направленная вниз, создающая ускорение g.

Начальные проекции скорости V0 на оси Ox и Oy определяются углом броска α:

V0x = V0 cos α
V0y = V0 sin α

Уравнения проекций скорости в любой момент времени t:

• По оси Ox: Vx(t) = V0 cos α = const
• По оси Oy: Vy(t) = V0 sin α - g t

Уравнения координат в любой момент времени t:

• По оси Ox: x(t) = V0x t = (V0 cos α) t
• По оси Oy: y(t) = V0y t - g t2 / 2 = (V0 sin α) t - g t2 / 2

Уравнение траектории (y(x)):
Исключив время t из уравнений координат (t = x / (V0 cos α)), получаем уравнение параболы, описывающее путь тела:

y(x) = x tg α - (g x2) / (2 V02 cos2 α)

Это уравнение особенно полезно для понимания того, что центр масс системы «снаряд/осколки» продолжает двигаться по той же параболической траектории, которую бы имел неразорвавшийся снаряд. Внутренние силы взрыва не влияют на движение центра масс, так как внешняя сила (тяжесть) остается неизменной. Это подтверждает принцип независимости движения центра масс от внутренних сил системы.

Расчет траектории и дальности полета осколков

После взрыва каждый осколок движется по своей собственной параболической траектории, определяемой его индивидуальной начальной скоростью (полученной после взрыва) и углом к горизонту. Для нахождения точки падения осколка необходимо:

1. Используя ЗСИ, определить скорости &vec;v1 и &vec;v2 каждого осколка сразу после взрыва.
2. Разложить эти скорости на горизонтальную (vx) и вертикальную (vy) составляющие.
3. Используя уравнения движения, найти время полета до земли (y(t) = 0).
4. Подставить это время в уравнение для горизонтальной дальности x(t).

Например, для осколка, выброшенного со скоростью v под углом β к горизонту:

• Время полета: tполета = (2 v sin β) / g (если начальная и конечная высоты одинаковы).
• Дальность полета: X = (v cos β) tполета = (v2 sin(2β)) / g.

Если осколок падает с некоторой высоты H (высота взрыва), то время полета находится из квадратного уравнения для y(t) = 0:

0 = (v sin β) t - (g t2) / 2 + H

После нахождения положительного корня t, дальность полета определяется как X = (v cos β) t. Этот метод позволяет не только предсказать точку падения, но и анализировать влияние начальных условий на конечную траекторию.

Задачи на Теорему об изменении энергии и работу сил трения (Задачи 3, 12)

Присутствие неконсервативных сил, таких как сила трения, означает, что полная механическая энергия системы не сохраняется. Однако для таких систем крайне эффективна Теорема об изменении кинетической энергии.

Работа силы трения на горизонтальной и наклонной плоскости

Сила трения скольжения всегда направлена против движения тела и всегда совершает отрицательную работу, так как угол между вектором силы трения &vec;Fтр и вектором перемещения &vec;s составляет 180°.

Работа силы трения Aтр определяется как:

Aтр = - Fтр s = - μ N s

где μ — коэффициент трения, N — сила нормального давления, s — пройденный путь.

• На горизонтальной поверхности: Сила нормального давления N равна силе тяжести m g:
  N = m g &implies; Aтр = - μ m g s
• На наклонной плоскости: Сила нормального давления N равна проекции силы тяжести на перпендикуляр к плоскости:
  N = m g cos α &implies; Aтр = - μ m g cos α · s

Вывод формулы пути остановки на наклонной плоскости

Теорема о работе и кинетической энергии гласит: изменение кинетической энергии системы равно полной работе всех сил, действующих на систему:

ΔK = K2 - K1 = Atotal

Рассмотрим тело массой m, движущееся с начальной скоростью V0 по наклонной плоскости до полной остановки (K2 = 0).

1. Движение ВВЕРХ по наклонной плоскости:
Тело движется против силы тяжести и силы трения.

• Начальная кинетическая энергия: K1 = m V02 / 2.
• Конечная кинетическая энергия: K2 = 0.
• Работа силы тяжести: Aтяж = - m g h = - m g (s sin α), где s — путь, пройденный по наклонной плоскости, h — изменение высоты. Работа отрицательна, так как тело движется вверх.
• Работа силы трения: Aтр = - μ N s = - μ m g cos α · s. Работа отрицательна, так как сила трения всегда направлена против движения.

Применим Теорему об изменении кинетической энергии:

K2 - K1 = Aтяж + Aтр
0 - m V02 / 2 = - m g s sin α - μ m g cos α · s

Разделим все на -m:

V02 / 2 = g s sin α + μ g s cos α
V02 / 2 = g s (sin α + μ cos α)

Финальная формула для пути остановки при движении ВВЕРХ по наклонной плоскости:

sвверх = V02 / (2 g (sin α + μ cos α))

2. Движение ВНИЗ по наклонной плоскости (до остановки):
Тело движется по направлению силы тяжести (ее компоненты) и против силы трения. Для остановки требуется, чтобы сила трения была достаточно большой, то есть μ cos α > sin α.

• Начальная кинетическая энергия: K1 = m V02 / 2.
• Конечная кинетическая энергия: K2 = 0.
• Работа силы тяжести: Aтяж = + m g h = + m g (s sin α). Работа положительна, так как тело движется вниз.
• Работа силы трения: Aтр = - μ m g cos α · s. Работа отрицательна.

Применим Теорему об изменении кинетической энергии:

K2 - K1 = Aтяж + Aтр
0 - m V02 / 2 = m g s sin α - μ m g cos α · s

Умножим на -1:

m V02 / 2 = μ m g s cos α - m g s sin α

Разделим на m:

V02 / 2 = g s (μ cos α - sin α)

Финальная формула для пути остановки при движении ВНИЗ по наклонной плоскости:

sвниз = V02 / (2 g (μ cos α - sin α))

Эти формулы позволяют точно рассчитать путь, пройденный телом до остановки, учитывая как гравитационные силы, так и диссипативные силы трения. Их практическое применение заключается в возможности прогнозирования поведения объектов в реальных условиях, например, при расчете тормозного пути автомобиля на наклонной поверхности.

Заключение

Представленный аналитический материал является всесторонним руководством по решению задач классической механики, акцентированным на Законах сохранения импульса и энергии. Мы детально рассмотрели теоретические основы, условия применимости фундаментальных законов, а также предоставили поэтапные алгебраические выводы ключевых формул, которые часто опускаются в стандартных учебных пособиях.

Особое внимание было уделено таким аспектам, как:

• Глубокий анализ Закона сохранения полной энергии и его связи с работой диссипативных сил, что является краеугольным камнем для понимания реальных процессов.
• Подробный вывод формулы смещения лодки из Теоремы о движении центра масс, позволяющий эффективно решать задачи с относительным движением.
• Количественный анализ потери кинетической энергии при абсолютно неупругом ударе, раскрывающий механизм преобразования механической энергии в другие формы.
• Представление уравнения траектории y(x) для движения тела, брошенного под углом, что крайне важно для задач с взрывом снаряда.
• Вывод двух отдельных формул для пути остановки на наклонной плоскости (движение вверх и вниз), что подчеркивает необходимость учитывать направление движения при расчете работы сил трения.

Таким образом, данный комплект решений не только обеспечивает корректные ответы на 12 типовых задач, но и формирует глубокое понимание физических принципов, лежащих в их основе. Этот подход полностью соответствует академическим стандартам, требуемым для студентов технических и естественнонаучных вузов, и станет надежной основой для успешного выполнения контрольных и расчетно-графических работ по курсу Общей физики. Усвоение представленной методологии позволит студентам не просто решать задачи, но и мыслить аналитически, применяя фундаментальные законы для анализа сложных физических явлений, что значительно повышает их экспертность и навыки критического мышления.

Список использованной литературы

1. На сколько переместились при этом относительно берега человек и лодка? // Alsak.ru : [сайт]. – URL: https://alsak.ru/forum/index.php?topic=1748.0 (дата обращения: 06.10.2025).
2. Движение тела, брошенного под углом к горизонту // Spadilo.ru : [сайт]. – URL: https://spadilo.ru/dvizhenie-tela-broshennogo-pod-uglom-k-gorizontu/ (дата обращения: 06.10.2025).
3. Снаряд в полете разрывается на две равные части // Znaniya.com : [сайт]. – URL: https://znanija.com/task/2367553 (дата обращения: 06.10.2025).
4. Задача №34602: Законы сохранения в механике — Каталог задач по ЕГЭ — Физика // Shkolkovo.online : [сайт]. – URL: https://shkolkovo.online/theory/2163 (дата обращения: 06.10.2025).
5. Движение тела, брошенного под углом к горизонту — урок. Физика, 10 класс // Yaklass.ru : [сайт]. – URL: https://yaklass.ru/p/fizika/10-klass/osnovy-kinematiki-9238/dvizhenie-tela-broshennogo-pod-uglom-k-gorizontu-10878/re-6b215886-f138-4e8a-81f1-399581f4a9b9 (дата обращения: 06.10.2025).
6. Движение тела, брошенного горизонтально или под углом к горизонту // Eduspb.com : [сайт]. – URL: https://eduspb.com/publ/fizika/dvizhenie_tela_broshennogo_gorizontalno_ili_pod_uglom_k_gorizontu/24-1-0-103 (дата обращения: 06.10.2025).
7. Лекция 2. Работа. Мощность. Теорема об изменении кинетической энергии точки // Teoretmeh.ru : [сайт]. – URL: https://teoretmeh.ru/lekcii/lekciya-2-rabota-moshhnost-teorema-ob-izmenenii-kineticheskoj-energii-tochki.html (дата обращения: 06.10.2025).
8. Закон сохранения энергии // Znanierussia.ru : [сайт]. – URL: https://znanierussia.ru/articles/zakon-sohraneniya-energii-56 (дата обращения: 06.10.2025).
9. Закон сохранения механической энергии // Skysmart.ru : [сайт]. – URL: https://skysmart.ru/articles/fizika/zakon-sohraneniya-mehanicheskoj-energii (дата обращения: 06.10.2025).
10. Закон сохранения механической энергии // Isopromat.ru : [сайт]. – URL: https://isopromat.ru/teormeh/zakon_sohraneniya_mehanicheskoj_energii (дата обращения: 06.10.2025).
11. Закон сохранения энергии. Работа силы трения // InternetUrok.ru : [сайт]. – URL: https://interneturok.ru/lesson/physics/10-klass/energiya-i-zakony-sohraneniya-v-mekhanike/zakon-sohraneniya-energii-rabota-sily-treniya (дата обращения: 06.10.2025).
12. Закон сохранения и превращения энергии в механических и тепловых процессах // Foxford.ru : [сайт]. – URL: https://foxford.ru/wiki/physics/zakon-sohraneniya-i-prevrashcheniya-energii-v-mekhanicheskih-i-teplovyh-protsessah (дата обращения: 06.10.2025).
13. Кинетическая энергия. Теорема об изменении кинетической энергии // InternetUrok.ru : [сайт]. – URL: https://interneturok.ru/lesson/physics/10-klass/energiya-i-zakony-sohraneniya-v-mekhanike/kineticheskaya-energiya-teorema-ob-izmenenii-kineticheskoy-energii (дата обращения: 06.10.2025).
14. Закон сохранения импульса. Сохранение массы // Users.spbstu.ru : [сайт]. – URL: https://users.spbstu.ru/files/2018/06/1-4-zakon-sohraneniya-impulsa-sohranenie-massy.pdf (дата обращения: 06.10.2025).
15. Закон сохранения импульса // Foxford.ru : [сайт]. – URL: https://foxford.ru/wiki/physics/zakon-sohraneniya-impulsa (дата обращения: 06.10.2025).
16. Теорема об изменении полной механической энергии // Zftsh.online : [сайт]. – URL: https://zftsh.online/fizika/teorema-ob-izmenenii-kineticheskoj-ehnergii-materialnoj-tochki-i-sledstviya/ (дата обращения: 06.10.2025).
17. Теорема об изменении кинетической энергии системы // Isopromat.ru : [сайт]. – URL: https://isopromat.ru/teormeh/teorema_ob_izmenenii_kineticheskoj_energii_sistemy (дата обращения: 06.10.2025).
18. Законы сохранения в механике // Studfile.net : [сайт]. – URL: https://studfile.net/preview/10255877/page:28/ (дата обращения: 06.10.2025).
19. Примеры применения законов сохранения // Mephi.ru : [сайт]. – URL: https://mephi.ru/upload/iblock/c53/c536417539002279c6d4826d9e075841.pdf (дата обращения: 06.10.2025).
20. Применение законов сохранения импульса и энергии при анализе удара // Bspu.by : [сайт]. – URL: https://bspu.by/static/study/physics/lekcii/4.5.pdf (дата обращения: 06.10.2025).
21. Упругое и неупругое взаимодействия // Efizika.ru : [сайт]. – URL: https://efizika.ru/soderjanie/mehanika/zakoni_sohranenija/4.4.php (дата обращения: 06.10.2025).
22. Изучение упругого и неупругого ударов // Belstu.by : [сайт]. – URL: https://www.belstu.by/static/res/files/104/10403.pdf (дата обращения: 06.10.2025).