Контрольная по физике, а в задании — стальной шарик, медленно тонущий в цилиндре с касторовым маслом. Знакомая ситуация? Возникает ступор: с чего начать, какие формулы применять, как не запутаться в единицах измерения? Какая-то невидимая сила явно мешает шарику свободно падать, но как ее «поймать» и рассчитать? Эта сила — вязкость.
В этой статье мы превратим панику перед контрольной в уверенность. Мы не просто дадим вам готовую формулу, а разберем всю логику решения задачи по определению вязкости методом Стокса — от физических принципов до пошагового алгоритма и разбора реального примера. К концу прочтения вы будете точно знать, что делать.
Что такое динамическая вязкость и почему она важна
Представьте, что вы одновременно переворачиваете два стакана: один с водой, а другой — с густым медом. Вода выльется практически мгновенно, а мед будет лениво стекать еще долго. Причина этой разницы — динамическая вязкость. Если говорить проще, это внутреннее трение жидкости, ее сопротивление течению.
Формально, динамическая вязкость (обозначается греческой буквой η, «эта») — это мера сопротивления жидкости сдвигу ее слоев относительно друг друга. Чем она выше, тем «гуще» жидкость и тем сложнее привести ее в движение.
В Международной системе единиц (СИ) вязкость измеряется в Паскаль-секундах (Па·с). Это свойство критически важно в самых разных областях: от расчета смазочных материалов для двигателей, где нужно снизить трение, до гидродинамики и моделирования течения лавы. Понимание вязкости — ключ к управлению поведением жидкостей.
Физические основы метода, или какие силы действуют на падающий шарик
Чтобы понять, откуда берется формула для расчета, нужно представить себя на месте падающего шарика и проанализировать все действующие на него силы. Их всего три, и они находятся в постоянном противоборстве.
- Сила тяжести (Fg). Это главная движущая сила, которая тянет шарик вниз. Она зависит от массы шарика (а значит, от его плотности ρs и объема V) и ускорения свободного падения g. Формула проста: Fg = ρs * V * g.
- Выталкивающая сила Архимеда (FA). Жидкость сопротивляется погружению шарика, выталкивая его вверх. Эта сила равна весу вытесненной шариком жидкости и рассчитывается похоже на силу тяжести, но с использованием плотности жидкости ρf: FA = ρf * V * g.
- Сила вязкого сопротивления Стокса (F). Это и есть наше «внутреннее трение» в действии. Она направлена вверх, против движения шарика, и напрямую зависит от вязкости жидкости η, радиуса шарика r и скорости его падения v. Формула этой силы известна как закон Стокса: F = 6 * π * r * η * v.
Ключевой момент всего процесса: когда шарик только начинает падать, его скорость растет. Вместе со скоростью растет и сила сопротивления Стокса. В определенный момент она становится настолько большой, что вместе с силой Архимеда полностью уравновешивает силу тяжести. Наступает состояние равновесия: Fg = FA + F. С этого момента ускорение становится равным нулю, и шарик продолжает падать с постоянной, установившейся скоростью.
Вывод рабочей формулы для расчета вязкости по закону Стокса
Именно состояние равновесия сил дает нам ключ к расчету вязкости. Давайте возьмем уравнение равновесия и выведем из него итоговую рабочую формулу. Это не магия, а простая алгебра.
Начнем с нашего «золотого» правила:
Fg = FA + F
Теперь подставим в него выражения для каждой из трех сил, которые мы рассмотрели выше:
ρs * V * g = ρf * V * g + 6 * π * r * η * v
Наша цель — выразить вязкость η. Для этого сначала перенесем слагаемое с плотностью жидкости в левую часть уравнения:
ρs * V * g — ρf * V * g = 6 * π * r * η * v
Вынесем общий множитель V * g за скобки:
(ρs — ρf) * V * g = 6 * π * r * η * v
Теперь вспомним, что объем шара (сферы) V вычисляется по формуле V = (4/3) * π * r³. Подставим это в наше уравнение:
(ρs — ρf) * (4/3) * π * r³ * g = 6 * π * r * η * v
Можно немного сократить: π в обеих частях и одну степень радиуса r. После этого остается выразить η, разделив левую часть на все, что стоит рядом с η в правой части.
η = (2 * r² * g * (ρs — ρf)) / (9 * v)
Это и есть та самая рабочая формула, которая является мощным инструментом для решения любой задачи на нахождение динамической вязкости методом падающего шарика.
Пошаговый алгоритм решения задачи, от данных к результату
Чтобы избежать ошибок в расчетах и не упустить важные детали, лучше всего действовать по четкому плану. Вот универсальный алгоритм из пяти шагов, который гарантирует правильное решение.
- Анализ условия и запись «Дано». Внимательно прочитайте задачу. Выпишите в столбик все известные величины: диаметр или радиус шарика, его плотность, плотность жидкости, скорость или время и расстояние падения. Четко обозначьте, какую величину нужно найти (η).
- Перевод всех величин в систему СИ. Это самый важный шаг, где чаще всего допускают ошибки. Перед любыми расчетами убедитесь, что все ваши данные приведены к стандартным единицам СИ:
- Расстояния (диаметр, радиус, путь) — в метрах (м).
- Плотность — в килограммах на кубический метр (кг/м³).
- Скорость — в метрах в секунду (м/с).
- Масса — в килограммах (кг).
- Расчет производных величин. Если в условии дан диаметр шарика (d), первым делом найдите радиус: r = d / 2. Если даны расстояние (L) и время падения (t), рассчитайте установившуюся скорость: v = L / t.
- Подстановка значений в рабочую формулу. Теперь, когда все данные подготовлены и находятся в правильных единицах, аккуратно подставьте их в выведенную нами формулу для η.
- Вычисление и проверка размерности. Проведите финальный расчет на калькуляторе. После получения числового ответа полезно провести проверку размерности, подставив в формулу единицы измерения вместо чисел. В итоге вы должны получить Паскаль-секунды (Па·с), что подтвердит правильность ваших действий.
Разбор типовой задачи из контрольной работы на практике
Теория и алгоритм ясны. Давайте применим их для решения конкретной задачи: «Стальной шарик диаметром d = 1 мм падает с постоянной скоростью v = 0,185 см/с в большом сосуде, наполненном касторовым маслом. Плотность стали — 7850 кг/м³, плотность касторового масла — 960 кг/м³. Найти динамическую вязкость η касторового масла.»
Действуем строго по нашему алгоритму.
Шаг 1: Анализ условия (Дано)
- Диаметр шарика, d = 1 мм
- Скорость падения, v = 0,185 см/с
- Плотность стали, ρs = 7850 кг/м³
- Плотность масла, ρf = 960 кг/м³
- Ускорение свободного падения, g ≈ 9,81 м/с²
- Найти: η — ?
Шаг 2: Перевод в СИ
- d = 1 мм = 0,001 м
- v = 0,185 см/с = 0,00185 м/с
- Остальные величины уже в СИ.
Шаг 3: Расчет производных величин
Нам нужен радиус шарика:
r = d / 2 = 0,001 м / 2 = 0,0005 м
Шаг 4 и 5: Подстановка в формулу и вычисление
Используем нашу итоговую формулу: η = (2 * r² * g * (ρs — ρf)) / (9 * v)
η = (2 * (0,0005)² * 9,81 * (7850 — 960)) / (9 * 0,00185)
η = (2 * 0,00000025 * 9,81 * 6890) / 0,01665
η = 0,03379 / 0,01665 ≈ 2,029 Па·с
Примечание: Полученный ответ отличается от справочного значения для касторового масла (около 0.99 Па·с). Это нормально для учебных задач, где числа могут быть подобраны для удобства расчетов или для имитации конкретных лабораторных условий (например, другой температуры). Главное — правильность применения формулы и алгоритма.
Практические аспекты эксперимента и возможные источники погрешностей
Мы научились решать идеализированную задачу на бумаге. В реальной лаборатории эксперимент по определению вязкости выглядит как высокий стеклянный цилиндр с метками, набор шариков, штангенциркуль для их измерения и секундомер. И, как в любом настоящем эксперименте, здесь есть свои нюансы и источники ошибок.
- Влияние стенок сосуда: Формула Стокса выведена для жидкости бесконечных размеров. В реальном цилиндре стенки оказывают дополнительное тормозящее действие. Чтобы минимизировать этот эффект, шарик должен падать строго по центру сосуда, а диаметр цилиндра должен быть значительно больше диаметра шарика.
- Недостижение установившейся скорости: Измерять время падения нужно не от самой поверхности, а между двумя метками, расположенными ниже. Это гарантирует, что шарик уже успел достичь своей постоянной, критической скорости.
- Ошибки измерений: Неточности при измерении диаметра шарика штангенциркулем, расстояния между метками или времени падения секундомером напрямую влияют на конечный результат.
- Температура: Вязкость жидкостей, особенно масел, очень сильно зависит от температуры. Небольшое изменение температуры в лаборатории может существенно исказить результат. Поэтому при точных измерениях температуру необходимо строго контролировать.
Когда метод Стокса неприменим, или что такое число Рейнольдса
Важно понимать, что у метода Стокса, как и у любого физического закона, есть свои границы применимости. Его формула верна только при определенных условиях.
Ключевое условие — течение жидкости вокруг шарика должно быть ламинарным. Это спокойное, упорядоченное, слоистое течение без завихрений. Если шарик будет падать слишком быстро, течение станет турбулентным (вихревым), и сила сопротивления будет гораздо больше, чем предсказывает формула Стокса.
Чтобы определить режим течения, ученые используют безразмерный критерий — число Рейнольдса (Re). Оно учитывает скорость, размер тела и свойства жидкости. Для справедливости закона Стокса число Рейнольдса должно быть низким, как правило, Re < 1. Это означает, что метод идеально подходит для очень вязких жидкостей или очень медленного движения. Кроме того, метод применим к так называемым ньютоновским жидкостям, вязкость которых не зависит от скорости потока (вода, масла, спирты).
Заключение: от страха к уверенности
Давайте подведем итог. Мы начали с типичной проблемы студента перед контрольной и прошли полный путь: разобрались в физическом смысле вязкости, детально изучили баланс сил, действующих на падающий шарик, самостоятельно вывели рабочую формулу и, что самое главное, освоили четкий пошаговый алгоритм решения задач. Мы даже заглянули «за кулисы» метода, обсудив его экспериментальные нюансы и границы применимости.
Главный вывод прост: успешное решение задачи на закон Стокса — это не зубрежка сложной формулы, а понимание физики процесса и строгое следование алгоритму, особенно на этапе перевода единиц в систему СИ. Теперь, вооружившись этими знаниями, любая подобная задача вам по силам.