Анализ и решение задачи на закон сохранения импульса и выделение теплоты

Контрольная работа по физике часто подкидывает задачи, где нужно применить сразу несколько законов. Одна из таких классических проблем — анализ столкновения, где требуется найти и импульс силы, и выделившуюся теплоту. Давайте разберем условие: стальной шарик массой 20 г падает с высоты 1 м на стальную плиту и отскакивает на 81 см. Наша цель — найти импульс силы, который получила плита, и количество теплоты, выделившееся при ударе. Мы не просто решим эту конкретную задачу, а выстроим четкий пошаговый алгоритм, который поможет вам справиться с любым подобным заданием.

Какие законы физики лежат в основе решения?

Чтобы наши вычисления были осмысленными, нужно понимать два ключевых физических принципа, управляющих процессом удара. Во-первых, это закон сохранения импульса. Удар — это очень кратковременное взаимодействие. За эти доли секунды действием внешних сил, таких как сила тяжести, можно пренебречь. Это означает, что суммарный импульс системы «шарик-плита» остается неизменным.

Во-вторых, нужно понимать природу неупругого удара. Если бы удар был абсолютно упругим, шарик отскочил бы на первоначальную высоту, а механическая энергия системы сохранилась бы. Но в нашей задаче он отскакивает на меньшую высоту. Это говорит о том, что удар является неупругим: импульс системы сохраняется, но часть механической энергии теряется. Эта «потерянная» энергия не исчезает, а переходит в другие формы — в основном во внутреннюю энергию (нагрев тел), а также в энергию звука и деформации. Именно эту превращенную энергию нам и предстоит найти.

Этап 1. Вычисляем импульс силы, действующей на плиту

Найти импульс силы, полученный плитой, напрямую — задача нетривиальная. Гораздо проще использовать следствие из законов Ньютона: импульс силы, полученный одним телом, равен по модулю и противоположен по направлению изменению импульса другого тела. Поэтому наш план действий будет таким:

  1. Найдем скорость шарика за мгновение до его столкновения с плитой.
  2. Определим его скорость сразу после отскока.
  3. Вычислим изменение импульса самого шарика, не забывая, что импульс — это вектор.

Результат, полученный в третьем пункте, и будет ответом на первый вопрос задачи (с противоположным знаком).

Шаг 1.1. Как найти скорость шарика перед столкновением?

Здесь нам на помощь приходит закон сохранения механической энергии. В начальный момент, на высоте h1 = 1 м, шарик покоится, и вся его механическая энергия является потенциальной: E_p1 = mgh1. Его кинетическая энергия в этот момент равна нулю. Прямо перед ударом о плиту (которую мы примем за нулевой уровень высоты) вся потенциальная энергия перейдет в кинетическую: E_k1 = mv1²/2.

Приравнивая эти две величины, получаем:
mgh1 = mv1²/2

Массу можно сократить, и мы получим рабочую формулу для скорости:

v1 = √(2gh1)

Подставляем наши значения (примем g ≈ 9.8 м/с²):
v1 = √(2 * 9.8 м/с² * 1 м) = √19.6 м²/с² ≈ 4.43 м/с.

Шаг 1.2. Определяем скорость шарика после отскока

Для нахождения скорости после отскока мы применяем ту же самую логику, но в обратном порядке. Сразу после удара шарик обладает начальной кинетической энергией E_k2 = mv2²/2, которая позволяет ему подняться на максимальную высоту h2 = 81 см = 0.81 м. В этой верхней точке вся его кинетическая энергия перейдет в потенциальную E_p2 = mgh2.

Снова приравниваем энергии:

mv2²/2 = mgh2

Используем ту же формулу для скорости, но уже с новой высотой:

v2 = √(2gh2)

Подставляем значения:
v2 = √(2 * 9.8 м/с² * 0.81 м) = √15.876 м²/с² ≈ 3.98 м/с.

Шаг 1.3. Расчет изменения импульса и ответ на первый вопрос

Теперь у нас есть все данные для ключевого расчета. Важнейший момент: импульс (p = mv) — это векторная величина. Чтобы правильно вычислить его изменение, введем ось Y, направленную вертикально вниз. В такой системе координат:

  • Скорость перед ударом v1 направлена вниз, значит, ее проекция положительна: v1y = +4.43 м/с.
  • Скорость после отскока v2 направлена вверх, значит, ее проекция отрицательна: v2y = -3.98 м/с.

Изменение импульса шарика (Δp) вычисляется по формуле Δp = p_конечный — p_начальный. В проекции на ось Y:

Δp_шарика = m*v2y — m*v1y = m * (v2y — v1y)

Не забудем перевести массу в килограммы: 20 г = 0.02 кг.
Δp_шарика = 0.02 кг * (-3.98 м/с — 4.43 м/с) = 0.02 кг * (-8.41 м/с) = -0.1682 кг·м/с.

Знак «минус» показывает, что вектор изменения импульса шарика направлен вверх. Согласно третьему закону Ньютона, импульс силы, полученный плитой, равен по модулю и противоположен по направлению. Следовательно, он направлен вниз и равен 0.1682 кг·м/с (или 0.1682 Н·с).

Этап 2. Находим количество выделившейся теплоты

Как мы уже выяснили, удар был неупругим, а значит, часть механической энергии была потеряна. Эта потерянная энергия и есть искомое количество теплоты (Q), которое выделилось в результате деформации и нагрева шарика и плиты. Найти его можно как разницу между кинетической энергией шарика непосредственно до удара и кинетической энергией сразу после удара.

Q = E_k1 — E_k2

Скорости v1 и v2 мы уже рассчитали на предыдущем этапе, поэтому все, что нам осталось, — это аккуратно подставить их в формулы и найти разницу.

Шаг 2.1. Финальные вычисления и получение ответа

Рассчитаем обе кинетические энергии, используя скорости, найденные в шагах 1.1 и 1.2, и массу шарика m = 0.02 кг.

  1. Кинетическая энергия до удара (E_k1):
    E_k1 = m*v1²/2 = 0.02 кг * (4.43 м/с)² / 2 = 0.02 * 19.6 / 2 = 0.196 Дж.
  2. Кинетическая энергия после удара (E_k2):
    E_k2 = m*v2²/2 = 0.02 кг * (3.98 м/с)² / 2 = 0.02 * 15.876 / 2 = 0.15876 Дж.

Теперь находим их разницу, чтобы определить количество выделившейся теплоты:

Q = E_k1 — E_k2 = 0.196 Дж — 0.15876 Дж = 0.03724 Дж.

Таким образом, при ударе выделилось примерно 0.037 Джоуля теплоты.

Задача полностью решена. Мы получили численные ответы на оба поставленных вопроса, но что еще важнее — мы выстроили логическую цепочку рассуждений и вычислений, которую теперь можно применить к аналогичным задачам.

Выводы и универсальный алгоритм

Решение этой комплексной задачи можно свести к простому и универсальному алгоритму, который поможет вам на любой контрольной работе:

  1. Анализ и теория: Внимательно прочтите условие. Определите, какие законы применимы: закон сохранения энергии для движения под действием силы тяжести и закон сохранения импульса для момента удара.
  2. Расчет скоростей: Используя формулу v = √(2gh), найдите скорости тела непосредственно до и сразу после столкновения.
  3. Векторный расчет импульса: Введите систему координат (например, ось Y) и вычислите изменение импульса тела Δp = m(v_конечная — v_начальная) с учетом знаков проекций скоростей. Импульс силы, действующей на препятствие, будет равен -Δp.
  4. Расчет потерь энергии: Найдите количество выделившейся теплоты как разницу кинетических энергий до и после удара: Q = m*v_начальная²/2 — m*v_конечная²/2.

Главный вывод, который можно сделать: ключ к успеху в решении таких задач — не в слепом заучивании формул, а в четком понимании физических процессов, которые за ними стоят.

Похожие записи