Разбор и решение физической задачи о подъеме тела из воды

Фундамент решения, или какие законы здесь работают

Прежде чем погружаться в расчеты, важно понять теоретическую основу. За этой, на первый взгляд, простой задачей стоят три мощных физических принципа, которые работают в связке. Понимание их сути — ключ к осознанному решению.

• Второй закон Ньютона: Это фундаментальный закон динамики, который гласит, что результирующая всех сил, действующих на тело, равна произведению массы тела на его ускорение ($F = ma$). Именно он позволяет нам связать воедино все силы, которые тянут отливку вверх и вниз, и учесть, что она движется не равномерно, а ускоренно.
• Закон Архимеда: Этот закон объясняет, почему любой объект в воде кажется легче. Он утверждает, что на тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной им жидкости. Без учета этой «помогающей» силы, направленной вверх, наши расчеты нагрузки на трос были бы сильно завышены.
• Закон Гука: Этот закон описывает поведение упругих материалов, таких как наш трос. Он устанавливает прямую пропорциональность между силой, приложенной к тросу, и его удлинением ($F = kx$). Именно благодаря этому закону мы можем перейти от найденной нами силы натяжения к конкретной величине — тому, на сколько сантиметров или метров растянется трос.

Теперь, вооружившись этой теоретической базой, мы можем применить ее к конкретным цифрам и условиям нашей задачи.

Анализируем условие, или что нам дано для работы

Правильный анализ исходных данных — это половина успеха. Давайте четко определим, с какими параметрами мы будем работать, основываясь на условии задачи: «Стальную отливку массой m поднимают из воды при помощи троса, жесткость которого равна k, с ускорением а. Плотность стали ρ1, плотность воды ρ2. Найти удлинение х троса. Силой сопротивления воды пренебречь.»

Систематизируем наши входные данные:

1. m: Масса стальной отливки. Это основная мера ее инертности и гравитационного притяжения.
2. ρ1 (ро-один): Плотность стали. Этот параметр нужен нам, чтобы, зная массу, вычислить объем отливки.
3. ρ2 (ро-два): Плотность воды. Этот параметр является ключевым для расчета выталкивающей силы Архимеда.
4. a: Ускорение, с которым отливку поднимают вверх. Важно, что движение неравномерное, это создает дополнительную нагрузку на трос.
5. k: Жесткость троса. Это физическая характеристика самого троса, показывающая, насколько он сопротивляется растяжению.

Все данные собраны. Следующий критически важный шаг — визуализировать все силы, которые вовлечены в этот процесс.

Шаг 1. Составляем карту сил, действующих на отливку

Чтобы не запутаться, представим нашу отливку как объект и определим все силы, которые на него действуют в момент подъема под водой. В физике это называется составлением диаграммы свободного тела. В нашем случае на отливку действуют три основные силы, направленные вдоль вертикальной оси:

• Сила тяжести ($F_{тяжести}$): Всегда направлена вертикально вниз. Это сила, с которой Земля притягивает отливку, и рассчитывается она как $mg$.
• Выталкивающая сила Архимеда ($F_A$): Направлена вертикально вверх. Это сила поддержки со стороны воды, которая «облегчает» нашу отливку.
• Сила натяжения троса (T): Направлена вертикально вверх. Это сила, с которой трос тянет отливку, преодолевая ее вес и сопротивление воды, и именно она вызывает его растяжение.

Именно баланс (или, в нашем случае, дисбаланс, поскольку есть ускорение) этих трех сил и описывает всю динамику подъема. Мы определили всех «игроков», теперь рассчитаем величину каждого из них.

Шаг 2. Расчет выталкивающей силы Архимеда

Ключевое отличие этой задачи от простого подъема груза в воздухе — наличие выталкивающей силы. Чтобы ее найти, мы используем формулу Закона Архимеда: $F_A = \rho_{жидкости} \cdot V_{тела} \cdot g$.

В наших обозначениях плотность жидкости — это $\rho_2$. Однако у нас нет в условии объема тела (V). Но мы можем легко его найти, зная массу (m) и плотность материала отливки ($\rho_1$).

Объем тела — это его масса, деленная на плотность: $V = \frac{m}{\rho_1}$

Теперь, когда у нас есть выражение для объема, мы можем подставить его в формулу силы Архимеда. Это важнейший шаг, объединяющий данные из условия.

Получаем: $F_A = \rho_2 \cdot (\frac{m}{\rho_1}) \cdot g$.

Мы рассчитали силу, которая «помогает» нам поднимать отливку. Теперь пришло время объединить все силы в главном уравнении динамики.

Шаг 3. Применение Второго закона Ньютона для нашей системы

Этот шаг — сердцевина решения. Мы берем все определенные нами силы и связываем их через Второй закон Ньютона: $\Sigma F = ma$. Для этого выберем положительное направление оси Y вертикально вверх. Теперь спроецируем все наши силы на эту ось:

• Сила натяжения T направлена вверх, поэтому войдет в уравнение со знаком «+».
• Сила Архимеда $F_A$ тоже направлена вверх, поэтому ее проекция также положительна.
• Сила тяжести $F_{тяжести} = mg$ направлена вниз, поэтому ее проекция будет отрицательной.

Сумма этих проекций равна произведению массы на ускорение ($ma$), которое также направлено вверх и положительно. Запишем итоговое уравнение:

$T + F_A — mg = ma$

Это центральное уравнение всей задачи. Оно описывает полный баланс сил, действующих на нашу отливку при подъеме с ускорением. Из него мы можем найти ту самую силу, которую испытывает трос.

Шаг 4. Находим силу натяжения троса, или какую нагрузку он испытывает

Имея на руках уравнение из предыдущего шага, мы можем выполнить простое алгебраическое преобразование, чтобы выразить искомую силу натяжения троса T.

Исходное уравнение: $T + F_A — mg = ma$

Перенесем все члены, кроме T, в правую часть уравнения, не забывая менять знаки:

$T = ma + mg — F_A$

Давайте проанализируем физический смысл этого результата. Сила, которую должен развить трос (T), больше, чем просто вес тела (mg). Она должна не только компенсировать вес (за вычетом помогающей силы Архимеда $F_A$), но и обеспечить дополнительное усилие для создания ускорения ($ma$). Именно эта суммарная сила и будет растягивать наш трос.

Шаг 5. Переход к деформации, или как работает Закон Гука

Мы успешно решили динамическую часть задачи и нашли силу, действующую на трос. Теперь нам нужно выяснить, как эта сила влияет на сам трос. Здесь в игру вступает Закон Гука, который описывает упругую деформацию.

Закон гласит, что сила упругости, возникающая в теле при деформации, прямо пропорциональна его удлинению. В нашем случае сила упругости, возникающая в тросе, в точности равна силе натяжения T, которая его растягивает. Формула выглядит так:

$T = kx$

Здесь:

• T — это та самая сила натяжения, которую мы нашли на предыдущем шаге.
• k — коэффициент жесткости, который дан нам в условии и является характеристикой троса.
• x — искомое удлинение троса, наша финальная цель.

Таким образом, у нас есть два независимых выражения для одной и той же силы T. Одно — из законов динамики, другое — из закона упругости. Логичный следующий шаг — приравнять их.

Шаг 6. Финальный расчет, который объединяет все усилия

Настало время для финального синтеза. Мы объединяем все наши предыдущие выкладки в одном уравнении, чтобы найти удлинение ‘x’.

Из шага 4 мы знаем: $T = ma + mg — F_A$

Из шага 5 мы знаем: $T = kx$

Приравниваем правые части: $kx = ma + mg — F_A$

Теперь подставим в это уравнение выражение для силы Архимеда $F_A$, которое мы вывели в шаге 2: $F_A = \rho_2 \cdot (\frac{m}{\rho_1}) \cdot g$.

$kx = ma + mg — \rho_2 \cdot (\frac{m}{\rho_1}) \cdot g$

Остался последний алгебраический шаг — выразить ‘x’, разделив обе части на коэффициент жесткости ‘k’. Для удобства можно вынести общие множители за скобки:

$x = \frac{m(a + g — \frac{\rho_2}{\rho_1}g)}{k}$

Это и есть конечная формула для решения задачи. Она зависит только от тех величин, которые были даны в условии. Задача полностью решена.

Что если? Разбор частных случаев и частых ошибок

Чтобы закрепить понимание, полезно рассмотреть, как изменится решение при других условиях, и какие ошибки часто допускают.

1. Что, если бы тело поднимали с постоянной скоростью?
   В этом случае ускорение $a = 0$. Наше главное уравнение динамики ($T + F_A — mg = ma$) сильно упрощается: $T + F_A — mg = 0$. Отсюда сила натяжения $T = mg — F_A$. То есть, натяжение было бы равно весу тела за вычетом силы Архимеда. Нагрузка на трос была бы меньше.
2. Самая частая ошибка: игнорирование силы Архимеда.
   Если просто забыть про выталкивающую силу ($F_A=0$), уравнение для натяжения примет вид $T = mg + ma$. Это было бы справедливо для подъема тела в вакууме или воздухе. В воде же такой расчет приведет к сильно завышенному значению силы натяжения и, как следствие, к неверному (увеличенному) расчетному удлинению троса.

Анализ таких сценариев помогает глубже понять физику процесса, а не просто формально применять формулы.

Синтез и выводы

Мы прошли весь путь от постановки задачи до получения финальной формулы. Важно осознать главный итог: мы не просто применили три разных закона, а сплели их в единую логическую цепь для описания сложного физического процесса.

Второй закон Ньютона послужил каркасом, который позволил нам составить уравнение движения. Закон Архимеда добавил в это уравнение ключевой фактор среды — выталкивающую силу воды. А Закон Гука позволил нам перейти от абстрактной силы натяжения к реальному, измеримому результату — удлинению троса.

Именно такое комплексное видение, способность объединять разные разделы физики для анализа одной ситуации, и является ключом к решению настоящих инженерных и научных задач.

Список использованной литературы

1. Рымкевич, А. П. Физика. Задачник. 1011 кл.: пособие для общеобразоват. Учреждений / А. П. Рымкевич. 10-е изд., стереотип. М. : Дрофа, 2006. 188, с.: ил.