Примеры решения задач по статистике для подготовки к контрольной работе

Приближение контрольной работы по статистике часто вызывает тревогу. Горы формул, таблицы и расчеты могут показаться хаотичным набором цифр. Но это лишь на первый взгляд. Главный секрет в том, что любая задача в контрольной — это типовая модель, которая имеет четкий и логичный алгоритм решения. Статистика — это не про хаос, а про структуру.

Цель этой статьи — стать вашим надежным помощником в подготовке. Мы не будем ограничиваться сухими формулами. Вместо этого мы проведем вас за руку по всем этапам решения трех ключевых типов задач, которые встречаются в большинстве контрольных работ: от анализа условия и выбора правильного инструмента до финальных выводов, которые покажут глубину вашего понимания предмета. Вы научитесь видеть логику за цифрами и подходить к решению уверенно и системно.

Фундамент ваших расчетов, или что нужно знать перед решением

Прежде чем мы погрузимся в практику, давайте быстро освежим в памяти ключевые инструменты из нашего арсенала. Это не лекция, а краткий инструктаж, который поможет вам уверенно ориентироваться в терминах.

В статистике мы часто работаем с так называемыми средними величинами. Они дают обобщенную характеристику всей совокупности данных. Основные из них:

• Средняя арифметическая — это самый известный показатель. Например, средняя заработная плата по отделу рассчитывается именно так: весь фонд оплаты труда делится на число сотрудников.
• Медиана — это значение, которое делит упорядоченный ряд данных ровно пополам. Половина значений будет меньше медианы, а половина — больше. Она полезна, когда в данных есть экстремальные выбросы (например, один сотрудник с гигантской зарплатой), которые сильно исказили бы среднюю арифметическую.
• Мода — это самое часто встречающееся значение в наборе данных. Если мы говорим о размерах одежды, мода покажет самый «популярный» размер.

Но средняя величина — это лишь часть картины. Важно понимать, насколько сильно данные разбросаны вокруг этой средней. Для этого существуют показатели вариации:

• Дисперсия и среднеквадратическое отклонение измеряют абсолютный разброс данных. Чем они выше, тем дальше друг от друга находятся значения.
• Коэффициент вариации (CV) — это относительный показатель. Он показывает, насколько велик разброс по сравнению со средним значением, и выражается в процентах. Он незаменим, когда нужно сравнить изменчивость разных по своей природе данных (например, разброс зарплат в рублях и разброс роста в сантиметрах).

Наконец, если мы анализируем данные за какой-то период времени, нам на помощь приходят показатели динамики. Они позволяют оценить, как изменялось явление: темпы роста и прироста показывают, насколько интенсивным было это изменение по сравнению с предыдущим периодом (цепные) или с некой начальной точкой (базисные).

Теория ясна. Теперь давайте посмотрим, как эти инструменты работают в реальных боевых условиях — на примере типовой задачи из контрольной.

Задача 1. Анализируем заработную плату на предприятии

Это классическая задача на расчет средних величин, где важно выбрать правильный вид средней. Вот условие:

На основании данных о заработной плате рабочих по цехам определить среднюю заработную плату по предприятию в целом в каждом из периодов. Обосновать выбор формы средней и сравнить полученные результаты.

Цех	Базисный период		Текущий период
	Средняя заработная плата (тыс. руб.)	Число рабочих	Средняя заработная плата (тыс. руб.)	Фонд заработной платы (тыс. руб.)
1	180	110	210	22680
2	190	130	230	31280
3	200	210	260	56160

Анализ условия: У нас есть данные по разным цехам, и численность рабочих в них неодинакова. Это значит, что «вклад» каждого цеха в общую зарплату разный. Поэтому просто сложить средние зарплаты по цехам и поделить на три будет грубой ошибкой. Здесь необходимо использовать среднюю арифметическую взвешенную, где в качестве «весов» выступает число рабочих в каждом цехе.

Шаг 1. Расчет для базисного периода

Формула средней арифметической взвешенной:

X_взв = (∑(x * f)) / ∑f

где x — средняя зарплата в цехе, а f — число рабочих (частота).

Подставляем наши данные:

X_баз = (180 * 110 + 190 * 130 + 200 * 210) / (110 + 130 + 210) = (19800 + 24700 + 42000) / 450 = 86500 / 450 ≈ 192,22 тыс. руб.

Шаг 2. Расчет для текущего периода

В текущем периоде нам дан общий фонд оплаты труда по каждому цеху. Это упрощает задачу. Чтобы найти общую среднюю по предприятию, нам нужно сложить фонды оплаты труда всех цехов и разделить на общее число рабочих (предполагая, что оно не изменилось, так как иное не указано в условии).

X_тек = (Общий фонд ЗП) / (Общее число рабочих)

Подставляем данные:

X_тек = (22680 + 31280 + 56160) / 450 = 110120 / 450 ≈ 244,71 тыс. руб.

Шаг 3. Сравнение и выводы

Сравнив результаты, мы видим, что средняя заработная плата по предприятию значительно выросла: со 192,22 тыс. руб. в базисном периоде до 244,71 тыс. руб. в текущем. Рост произошел во всех трех цехах, что и привело к увеличению итогового среднего показателя по предприятию.

Задача 2. Исследуем доходы населения через моду и медиану

Часто данные в статистике представлены не в виде точных значений, а в виде интервалов. Работа с такими рядами имеет свою специфику.

По имеющимся данным о распределении населения по уровню среднемесячного душевого дохода требуется определить: 1) модальное и медианное значение дохода; 2) коэффициент вариации.

Среднемесячный душевой доход, тыс. руб.	Численность населения, млн. чел.
До 5	6,6
5-10	39,8
10-15	45,6
15-20	33,4
20-25	21,6
Свыше 25	1,7

Шаг 1. Находим моду

Мода в интервальном ряду — это значение, находящееся в интервале с наибольшей частотой. Сначала определяем модальный интервал. В нашем случае это интервал 10-15 тыс. руб., так как ему соответствует наибольшая численность населения (45,6 млн чел.).

Затем рассчитываем точное значение моды по формуле:

Mo = x₀ + i * (f_mo — f_mo-1) / ((f_mo — f_mo-1) + (f_mo — f_mo+1))

• x₀ = 10 (нижняя граница модального интервала)
• i = 5 (величина интервала)
• f_mo = 45,6 (частота модального интервала)
• f_mo-1 = 39,8 (частота интервала, предшествующего модальному)
• f_mo+1 = 33,4 (частота интервала, следующего за модальным)

Mo = 10 + 5 * (45,6 — 39,8) / ((45,6 — 39,8) + (45,6 — 33,4)) = 10 + 5 * 5,8 / (5,8 + 12,2) = 10 + 29 / 18 ≈ 11,61 тыс. руб.

Вывод: Наиболее часто встречающийся уровень среднедушевого дохода составляет примерно 11,61 тыс. руб.

Шаг 2. Вычисляем медиану

Медиана — это значение, которое делит совокупность пополам. Сначала находим медианный интервал. Для этого рассчитаем накопленные частоты. Общая численность населения: 6,6 + 39,8 + 45,6 + 33,4 + 21,6 + 1,7 = 148,7 млн. Половина — это 148,7 / 2 = 74,35. Медиана находится в той группе, в которой накопленная частота впервые превысит это значение. Накопленные частоты: 6,6; 46,4 (6,6+39,8); 92,0 (46,4+45,6). Таким образом, медианный интервал — 10-15 тыс. руб.

Формула для расчета медианы:

Me = x₀ + i * (∑f / 2 — S_me-1) / f_me

• x₀ = 10 (нижняя граница медианного интервала)
• i = 5 (величина интервала)
• ∑f / 2 = 74,35 (половина суммы частот)
• S_me-1 = 46,4 (накопленная частота интервала, предшествующего медианному)
• f_me = 45,6 (частота медианного интервала)

Me = 10 + 5 * (74,35 — 46,4) / 45,6 = 10 + 5 * 27,95 / 45,6 = 10 + 3,06 ≈ 13,06 тыс. руб.

Вывод: Половина населения имеет доход ниже 13,06 тыс. руб., а другая половина — выше этого уровня.

Шаг 3. Оцениваем вариацию

Коэффициент вариации (CV) покажет, насколько однородно население по уровню дохода. Значение до 33% говорит об однородной совокупности. Для его расчета нам понадобятся средняя арифметическая и среднее квадратическое отклонение.

1. Находим среднюю для интервального ряда (X_ср), используя середины интервалов:

   X_ср = (2,5*6,6 + 7,5*39,8 + 12,5*45,6 + 17,5*33,4 + 22,5*21,6 + 27,5*1,7) / 148,7 ≈ 13,46 тыс. руб.

2. Находим дисперсию (σ²) и среднее квадратическое отклонение (σ):

   σ² = [∑(x’ — X_ср)² * f] / ∑f ≈ 32,91

   σ = √32,91 ≈ 5,74 тыс. руб.

3. Рассчитываем коэффициент вариации (V):

   V = (σ / X_ср) * 100% = (5,74 / 13,46) * 100% ≈ 42,6%

Вывод: Так как коэффициент вариации (42,6%) существенно превышает 33%, можно сделать вывод о неоднородности населения по уровню среднемесячного дохода, что говорит о значительном расслоении.

Задача 3. Оцениваем динамику производства моющих средств

Последний тип задач — анализ изменений показателей во времени, или ряды динамики.

Производство моющих средств в республике за год характеризуется следующими данными (тыс. тонн): янв. — 3,6; фев. — 2,9; март — 3,6; апр. — 3,2; май — 2,9; июнь — 3,1; июль — 1,1; авг. — 2,5; сент. — 2,7; окт. — 3,3; нояб. — 1,4; дек. — 1,5. Требуется определить абсолютные приросты, темпы роста и прироста, а также средние показатели динамики. Результаты представить в виде таблицы и сделать выводы.

Для таких задач удобнее всего создать расчетную таблицу. Мы рассчитаем цепные (каждый месяц к предыдущему) и базисные (каждый месяц к январю) показатели.

Анализ динамики производства моющих средств

Месяц	Объем, тыс. т	Абс. прирост, цепной	Темп роста, цепной, %	Абс. прирост, базисный	Темп роста, базисный, %
Янв	3,6	—	—	—	100,0
Фев	2,9	-0,7	80,6	-0,7	80,6
Март	3,6	+0,7	124,1	0,0	100,0
Июль	1,1	-2,0	35,5	-2,5	30,6
Дек	1,5	+0,1	107,1	-2,1	41,7

(В таблице для краткости приведены только ключевые месяцы)

Расчет средних показателей

1. Средний уровень ряда: показывает средний объем производства в месяц.

   Y_ср = (3,6 + 2,9 + … + 1,5) / 12 = 32,8 / 12 ≈ 2,73 тыс. тонн.

2. Средний абсолютный прирост: показывает, на сколько в среднем менялся объем производства ежемесячно.

   Δ_ср = (Y_n — Y₁) / (n — 1) = (1,5 — 3,6) / 11 ≈ -0,19 тыс. тонн.

   Это говорит о том, что в среднем каждый месяц производство сокращалось на 190 тонн.

3. Средний темп роста:

   К_р.ср = ^(n-1)√(Y_n / Y₁) = ¹¹√(1,5 / 3,6) ≈ 0,922 или 92,2%.

   Это значит, что каждый месяц объем производства составлял в среднем 92,2% от объема предыдущего месяца.

Финальные выводы: В течение года производство моющих средств было крайне нестабильным, с резкими падениями (особенно в июле) и периодами восстановления. Однако общая тенденция за год — отрицательная. Объем производства к концу года упал более чем вдвое по сравнению с началом (темп роста к январю составил всего 41,7%). Среднемесячный объем производства составил 2,73 тыс. тонн, при этом наблюдалось ежемесячное сокращение в среднем на 0,19 тыс. тонн.

Какие типичные ошибки допускают студенты и как их избежать

Знать формулы — это полдела. Важно не попасть в распространенные ловушки. Вот несколько из них:

• Путают среднюю простую и взвешенную. Если у вас есть данные по группам разной численности (как в Задаче 1), всегда используйте взвешенную среднюю.
• Неправильно определяют модальный/медианный интервал. Для моды — ищите максимальную частоту. Для медианы — всегда считайте накопленные частоты и ищите интервал, который «перешагивает» через половину общей суммы.
• Ошибки в базе для сравнения. Четко различайте цепные (сравнение с предыдущим периодом) и базисные (сравнение с начальным периодом) показатели.
• Невнимательное чтение условия. Иногда в задаче уже дан фонд оплаты труда, а не средняя зарплата, или требуется найти темп прироста, а не темп роста. Внимательно разберите условие перед началом расчетов.

Как правильно оформить решение, чтобы получить максимальный балл

Верное решение, но плохое оформление может стоить вам баллов. Чтобы этого избежать, следуйте простым правилам:

1. Всегда записывайте формулу. Перед тем как подставлять числа, напишите общую формулу, которую вы используете. Это показывает ваше знание теории.
2. Делайте промежуточные расчеты. Не пишите сразу конечный ответ. Показывайте основные этапы вычислений. Это поможет и вам не запутаться, и преподавателю проследить ход ваших мыслей.
3. Указывайте единицы измерения. Ответ «192,22» не полон. Правильный ответ — «192,22 тыс. руб.». Это критически важно.
4. Пишите развернутый вывод. Цифры — это лишь инструмент. Самое главное в статистике — их интерпретация. Всегда завершайте решение словесным выводом: что означает полученное число и какие тенденции оно вскрывает.

Итак, теперь у вас есть не только формулы, но и стратегия. Мы разобрали три столпа, на которых стоит большинство контрольных работ по статистике. За каждой задачей, какой бы сложной она ни казалась, стоит понятная логика и четкий алгоритм.

Лучший совет, который можно дать сейчас, — не просто прочитать эту статью, а взять калькулятор и прорешать эти задачи вместе с нами, шаг за шагом. Это превратит пассивное знание в активный навык. Уверенности в своих силах и удачи на контрольной!

Список использованной литературы

1. Полное решение 3 задач, со всеми формулами и выводами