Анализ и полное решение задачи на абсолютно неупругое соударение с учетом силы трения

Столкновение объектов — одно из фундаментальных явлений в физике, анализ которого позволяет понять базовые законы сохранения. Обычно соударения делят на упругие, при которых сохраняется и импульс, и кинетическая энергия, и неупругие. В случае абсолютно неупругого удара, который мы рассмотрим, тела после взаимодействия движутся как единое целое, а часть их первоначальной кинетической энергии необратимо переходит во внутреннюю энергию, то есть в тепло. Но что произойдет, если в задачу вмешивается еще один фактор? Мы введем главный усложняющий элемент — силу трения, которая начинает действовать на систему уже после столкновения. Это ставит перед нами центральный вопрос: «Как рассчитать динамику системы, если после мгновенного внутреннего взаимодействия (удара) на нее начинают действовать внешние диссипативные силы, рассеивающие энергию?». Наша цель — не просто найти ответ, а освоить универсальную методологию анализа подобных комбинированных задач.

Декомпозиция физической задачи. Условия и искомые величины

Прежде чем приступать к вычислениям, необходимо четко сформулировать условия и понять, какая физическая модель лежит в их основе. Рассмотрим конкретную задачу:

Тело массой m1 = 2 кг движется навстречу второму телу массой m2 = 1,5 кг и неупруго соударяется с ним. Скорости тел непосредственно перед ударом были v1 = 1 м/с и v2 = 2 м/с. Какое время t будут двигаться эти тела после удара, если коэффициент трения k = 0,05?

Систематизируем известные и неизвестные параметры:

  • Дано: m1 = 2 кг, v1 = 1 м/с, m2 = 1,5 кг, v2 = 2 м/с, k = 0,05.
  • Найти: t.

Ключевой методологический шаг — осознать, что этот, на первый взгляд, единый процесс на самом деле состоит из двух принципиально разных физических этапов.

  1. Мгновенное абсолютно неупругое соударение: Крайне короткий по времени процесс, где доминируют внутренние силы. Здесь ключевую роль играет закон сохранения импульса.
  2. Равнозамедленное движение: Длительный процесс после удара, когда слипшиеся тела движутся как единое целое под действием внешней силы трения до полной остановки. Этот этап описывается законами Ньютона и кинематикой.

Разделив задачу на эти два этапа, мы можем последовательно применить к каждому из них соответствующие физические законы.

Почему закон сохранения импульса является ключом к решению

Может возникнуть резонный вопрос: как можно применять закон сохранения импульса (ЗСИ), если на тела действует внешняя сила трения? Ответ кроется в анализе временных масштабов. Удар — это процесс, происходящий за пренебрежимо малый промежуток времени (Δt → 0). За это мгновение импульс внешней силы трения, равный (Fтр * Δt), оказывается ничтожно малым по сравнению с огромными внутренними силами, которыми тела действуют друг на друга. Поэтому в краткий момент неупругого соударения систему двух тел можно и нужно считать замкнутой. Этот прием является стандартным при решении подобных задач.

Закон сохранения импульса гласит, что суммарный импульс замкнутой системы тел до взаимодействия равен ее суммарному импульсу после взаимодействия. В векторной форме это записывается так:

Σpнач = Σpкон

Именно этот фундаментальный закон позволяет нам «перекинуть мостик» между состояниями системы до и после удара, вычислив ее самую важную характеристику — скорость сразу после столкновения.

Шаг 1. Расчет скорости системы после соударения

Применим Закон сохранения импульса к нашему первому этапу. До удара каждое тело обладало своим импульсом. После абсолютно неупругого удара они слиплись и стали двигаться с единой общей скоростью V. Таким образом, уравнение ЗСИ принимает вид:

m1 * v1 + m2 * v2 = (m1 + m2) * V

Это векторное уравнение, и для его решения необходимо выбрать ось координат, например, ось OX, и направить ее по вектору скорости первого тела v1. Тогда проекция уравнения на эту ось будет выглядеть так:

m1 * v1 — m2 * v2 = (m1 + m2) * V

Обратите внимание на знак «минус» перед вторым слагаемым. Он появился потому, что второе тело движется навстречу первому, и проекция его скорости на ось OX отрицательна. Теперь подставим числовые значения:

2 кг * 1 м/с — 1,5 кг * 2 м/с = (2 кг + 1,5 кг) * V

2 — 3 = 3.5 * V

-1 = 3.5 * V

Отсюда находим итоговую скорость: V = -1 / 3.5 ≈ -0.286 м/с. Знак «минус» говорит нам о том, что после столкновения система из двух тел начала двигаться в направлении, противоположном первоначальному движению первого тела (то есть в сторону, куда двигалось второе, более массивное по импульсу тело).

Что происходит после удара. Анализ действующих сил

Итак, анализ первого этапа завершен. Мы получили новую, более простую физическую ситуацию: единое тело массой M = m1 + m2 = 3.5 кг движется с начальной скоростью V ≈ -0.286 м/с. С этого момента закон сохранения импульса больше не работает. Почему? Потому что на систему начинает действовать неуравновешенная внешняя сила — сила трения скольжения (Fтр), которая приводит к изменению суммарного импульса. Помимо нее, на тело действуют сила тяжести (Mg) и сила нормальной реакции опоры (N), которые уравновешивают друг друга по вертикали.

Именно сила трения, всегда направленная против движения, будет отбирать у системы кинетическую энергию, вызывая ее замедление и, в конечном итоге, полную остановку. Чтобы количественно описать это движение, нам нужно найти величину тормозящей силы и ускорение, которое она создает.

Шаг 2. Определяем силу трения и ускорение замедления

Для нахождения ускорения мы воспользуемся Вторым законом Ньютона. Расчет проведем в несколько действий:

  • Находим силу нормальной реакции опоры (N): Так как движение происходит только по горизонтали, ускорение по вертикальной оси равно нулю. Это значит, что сила тяжести полностью компенсируется силой реакции опоры. Следовательно, N = Mg = (m1 + m2)g. Примем g ≈ 9.8 м/с².
    N = 3.5 кг * 9.8 м/с² = 34.3 Н.
  • Рассчитываем силу трения (Fтр): По определению, сила трения скольжения равна Fтр = k * N.
    Fтр = 0.05 * 34.3 Н = 1.715 Н.
  • Применяем Второй закон Ньютона: В проекции на горизонтальную ось OX Второй закон Ньютона (Ma = F) выглядит так: Ma = Fтр. Важный момент: тело движется влево (скорость V отрицательна), значит, сила трения направлена вправо, и ее проекция на ось OX будет положительной.
  • Вычисляем ускорение (a): Из последнего уравнения выражаем ускорение: a = Fтр / M.
    a = 1.715 Н / 3.5 кг ≈ 0.49 м/с².

Мы получили положительное ускорение. Это абсолютно верно, так как вектор ускорения направлен против отрицательного вектора скорости, что и соответствует процессу торможения.

Шаг 3. Находим искомое время движения до полной остановки

Мы подошли к финальному этапу. У нас есть все необходимые данные для решения кинематической задачи:

  • Начальная скорость: vнач = V ≈ -0.286 м/с.
  • Ускорение: a ≈ 0.49 м/с².
  • Конечная скорость: vкон = 0 (по условию полной остановки).

Из базовых кинематических уравнений для равноускоренного движения выберем то, которое напрямую связывает скорость, ускорение и время: vкон = vнач + at. Это уравнение идеально подходит, поскольку не требует вычисления пройденного пути. Выразим из него искомое время t:

t = (vкон — vнач) / a

Подставим наши значения:

t = (0 — (-0.286 м/с)) / 0.49 м/с² ≈ 0.583 с.

Таким образом, после соударения тела будут двигаться в течение примерно 0.58 секунды до полной остановки.

Проверка решения на адекватность. Физический смысл и размерность

Получив численный ответ, хороший физик никогда не ставит точку сразу. Он проводит проверку результата. Во-первых, проверим размерность. Мы делили скорость (м/с) на ускорение (м/с²), что дает нам (м/с) * (с²/м) = с (секунды). Размерность верна.

Во-вторых, проанализируем результат с точки зрения здравого смысла. Проведем мысленный эксперимент: что произошло бы со временем ‘t’, если бы коэффициент трения k стремился к нулю? В этом случае сила трения и ускорение тоже стремились бы к нулю (a → 0), а время движения t = -V/a стремилось бы к бесконечности. Это логично: без трения система двигалась бы вечно. А что, если бы начальные импульсы тел были равны по модулю и противоположны по направлению? Тогда скорость после удара V была бы равна нулю, и время движения t также было бы равно нулю. Это тоже абсолютно логично. Такая проверка закрепляет понимание физической связи между параметрами системы.

Синтез. Универсальный алгоритм решения задач на соударение с внешними силами

На основе разобранного примера мы можем сформулировать универсальный алгоритм, применимый к целому классу подобных задач, где после удара на систему начинают действовать внешние силы (трение, сопротивление воздуха, упругие силы и т.д.).

  1. Анализ и декомпозиция: Внимательно прочтите условие. Разделите весь процесс на дискретные физические этапы (например, «мгновенный удар» и «последующее движение под действием внешних сил»).
  2. Анализ этапа «Удар»: Примените Закон сохранения импульса к системе тел в момент удара, считая ее условно замкнутой. Найдите скорости тел сразу после столкновения.
  3. Анализ этапа «После удара»: Определите новую систему (например, слипшиеся тела). Изобразите все внешние силы, действующие на нее.
  4. Применение II Закона Ньютона: Запишите Второй закон Ньютона в векторной форме и спроецируйте его на оси координат. Найдите ускорение, с которым движется система после удара.
  5. Кинематический расчет: Используя найденные скорости (из п.2) как начальные и ускорение (из п.4), примените подходящие кинематические уравнения для нахождения искомых величин (пути, времени, конечной скорости).

Этот алгоритм превращает решение сложной задачи в последовательность простых и понятных шагов.

Мы начали с комплексной проблемы, объединяющей в себе два разных раздела механики, и пришли к ясному и универсальному методу ее решения. Главный вывод заключается в том, что решение сложных задач по физике — это не судорожный поиск «правильной» формулы, а последовательный анализ физических процессов и грамотное применение фундаментальных законов к каждому из них. Освоив этот структурированный подход, вы сможете уверенно анализировать самые разные физические системы, раскладывая любой сложный процесс на простые и понятные этапы.

Похожие записи