Методологическое руководство по экономическому анализу: Полный цикл расчета 22 задач от относительных величин до резервов роста прибыли

В современном мире, где экономические процессы отличаются небывалой сложностью и динамизмом, способность не просто наблюдать, но и глубоко анализировать финансово-хозяйственную деятельность предприятий становится критически важной. Количественные методы экономического анализа выступают не просто инструментарием, а целой философией постижения причинно-следственных связей, лежащих в основе любых экономических явлений. Именно эти методы позволяют трансформировать разрозненные данные в осмысленные индикаторы, выявлять тенденции, оценивать эффективность управленческих решений и, что особенно важно, прогнозировать будущее развитие. (По моему опыту, умение не просто считать, а интерпретировать эти данные – ключевой навык для любого успешного экономиста).

Настоящее руководство призвано стать не просто сборником формул, а полноценным академически обоснованным проводником для студентов гуманитарных, экономических и финансовых специальностей. Оно охватывает ключевые разделы курса «Экономический анализ» и «Экономическая статистика», предоставляя исчерпывающие методологические подходы к решению 22 типовых расчетных задач. От понимания элементарных относительных величин, характеризующих план и его выполнение, до виртуозного владения сложными моделями факторного анализа и методиками выявления резервов роста – каждый раздел здесь представлен с максимальной детализацией и учетом академических стандартов. Мы погрузимся в мир цифр, чтобы не только выполнить расчеты, но и понять их глубокий экономический смысл, научившись говорить на языке аналитики, который так востребован в современном бизнесе и науке. Наше путешествие начнется с фундаментальных понятий, шаг за шагом раскрывая сложность и красоту количественного анализа, и завершится конкретными рекомендациями по оформлению результатов, что позволит студентам уверенно применять полученные знания на практике и успешно защищать свои контрольные работы.

Анализ динамики и выполнения плановых показателей (Задачи 1, 2, 5, 7)

В основе любого эффективного управления лежит сравнение — сравнение текущих результатов с прошлыми достижениями и, что еще более важно, с намеченными целями. В экономической аналитике эту функцию выполняют относительные величины, которые превращают абсолютные значения в наглядные индикаторы динамики, выполнения планов и структурных изменений. Они позволяют не просто констатировать факт, но и оценить масштаб, интенсивность и направленность изменений, что является краеугольным камнем для принятия обоснованных решений. (Для вас это означает способность быстро выявлять проблемные зоны и точки роста, что критически важно в динамичной бизнес-среде).

Относительные экономические величины: Формулы и интерпретация

Понимание того, как предприятие движется от одной точки к другой, и насколько успешно оно справляется с поставленными перед ним задачами, невозможно без использования относительных экономических величин. Они позволяют «взглянуть» на абсолютные показатели через призму сравнения, что делает анализ более глубоким и информативным. Рассмотрим три ключевых относительных показателя, которые формируют базовый инструментарий для оценки плановой и фактической динамики.

Относительный показатель плана (ОПП) – это своеобразный барометр амбиций и стратегических ориентиров предприятия. Он показывает, насколько значительно планируется изменить уровень того или иного показателя по сравнению с достигнутым в предыдущем, базисном периоде. Если, например, производство в прошлом году составило 1000 единиц, а на текущий год запланировано 1200, то ОПП будет равен 1.2, или 120%. Это означает, что руководство ставит задачу увеличить объем выпуска на 20%.

Формула для расчета ОПП:

$$
\text{ОПП} = \frac{Y_{план}}{Y_0}
$$

Где:

• $Y_{план}$ — плановый уровень показателя на текущий период.
• $Y_0$ — уровень показателя, достигнутый в предыдущем (базисном) периоде.

Относительный показатель выполнения плана (ОПВП) – это индикатор операционной эффективности, демонстрирующий, насколько успешно предприятие справилось с поставленной задачей. Он измеряет степень реализации планового задания, сравнивая фактически достигнутый результат с запланированным. Если, возвращаясь к предыдущему примеру, фактически было произведено 1150 единиц продукции при плане в 1200, то ОПВП составит примерно 0.958, или 95.8%. Это говорит о том, что план был недовыполнен на 4.2%.

Формула для расчета ОПВП:

$$
\text{ОПВП} = \frac{Y_1}{Y_{план}}
$$

Где:

• $Y_1$ — фактически достигнутый уровень показателя в текущем периоде.
• $Y_{план}$ — плановый уровень показателя на текущий период.

Относительный показатель динамики (ОПД) – это зеркало фактического развития, отражающее реальное изменение показателя за отчетный период по сравнению с базисным. Он абстрагируется от плановых заданий и показывает чистый эффект от деятельности предприятия. В нашем примере, если фактическое производство составило 1150 единиц при базисном уровне 1000, то ОПД будет 1.15, или 115%. То есть, фактический рост производства составил 15%.

Формула для расчета ОПД:

$$
\text{ОПД} = \frac{Y_1}{Y_0}
$$

Где:

• $Y_1$ — фактически достигнутый уровень показателя в текущем периоде.
• $Y_0$ — уровень показателя в базисном периоде.

Ключевая взаимосвязь между относительными показателями:

Эти три показателя не существуют изолированно, а образуют логическую и математическую взаимосвязь, которая служит мощным инструментом для проверки расчетов и углубленного анализа. Эта взаимосвязь выражается следующим образом:

$$
\text{ОПП} \times \text{ОПВП} = \text{ОПД}
$$

Давайте проверим эту взаимосвязь на нашем примере:

• $\text{ОПП} = 1200 / 1000 = 1.2$
• $\text{ОПВП} = 1150 / 1200 \approx 0.9583$
• $\text{ОПД} = 1150 / 1000 = 1.15$

Тогда: $1.2 \times 0.9583 \approx 1.14996 \approx 1.15$.

Эта формула не только подтверждает корректность проведенных вычислений, но и позволяет комплексно взглянуть на ситуацию. Она показывает, что фактическая динамика (ОПД) является результатом двух компонент: насколько амбициозным был план (ОПП) и насколько успешно он был реализован (ОПВП). Например, если ОПД высок, но ОПВП низок, это может указывать на чрезмерно оптимистичное планирование, которое не было подкреплено реальными возможностями. И наоборот, низкий ОПД при высоком ОПВП может говорить о недооценке потенциала предприятия при планировании.

Темпы роста и прироста

Относительные показатели динамики часто переводятся в более привычные для восприятия категории – темпы роста и темпы прироста. Эти показатели выражаются в процентах и дают более интуитивное представление об изменении того или иного экономического показателя.

Темп роста ($T_p$) показывает, во сколько раз (или на сколько процентов) изменился показатель по сравнению с базисным уровнем. Он напрямую выводится из ОПД:

$$
T_p = \text{ОПД} \times 100\%
$$

Если ОПД равен 1.15, то темп роста составит 115%. Это означает, что показатель в отчетном периоде составляет 115% от базисного уровня.

Темп прироста ($T_{пр}$), в свою очередь, акцентирует внимание на абсолютном изменении показателя, выраженном в процентах к базисному уровню. Он показывает, на сколько процентов увеличился (или уменьшился) показатель.

$$
T_{пр} = (T_p - 100)\% \quad \text{или} \quad T_{пр} = (\text{ОПД} - 1) \times 100\%
$$

В нашем примере, если темп роста равен 115%, то темп прироста будет $(115 — 100)\% = 15\%$. Это означает, что объем производства увеличился на 15% по сравнению с базисным периодом. Положительное значение темпа прироста говорит о росте, отрицательное – о снижении.

Эти простые, на первый взгляд, индикаторы являются мощным фундаментом для более сложного экономического анализа. Они позволяют быстро оценить общую картину, выявить отклонения и задать вопросы, ответы на которые будут получены с помощью более детализированных методов, таких как факторный анализ. Четкое понимание каждого из них – ключ к успешному освоению всего курса экономического анализа.

Статистические основы: Расчет средних и структурных величин (Задачи 8, 9)

В статистике и экономическом анализе средние величины служат мощным инструментом для обобщения информации о массивах данных. Они позволяют свести множество индивидуальных значений к одному репрезентативному показателю, который характеризует типичный уровень изучаемого признака. Однако, как гласит известная поговорка, «средняя температура по больнице» может быть обманчива. Именно поэтому важно не только уметь рассчитывать различные виды средних, но и понимать условия их применения, а также дополнять анализ структурными характеристиками, такими как мода и медиана, которые раскрывают внутреннюю структуру распределения. (Мой опыт показывает, что без этого комплексного подхода можно легко прийти к ошибочным выводам, особенно при анализе распределения доходов или других асимметричных данных).

Расчет средних величин

Выбор конкретного вида средней зависит от характера исходных данных и цели анализа. Различают несколько основных видов средних, наиболее часто используемых в экономике.

Средняя арифметическая простая является наиболее интуитивно понятной и широко применяемой средней. Она используется, когда все значения признака встречаются одинаковое количество раз или когда данные не сгруппированы. Представьте себе небольшую фирму, где заработная плата пяти сотрудников составляет: 50 000, 60 000, 70 000, 80 000, 90 000 рублей. Для расчета средней арифметической простой мы просто суммируем все зарплаты и делим на количество сотрудников.

Формула:

$$
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}
$$

Где:

• $x_i$ — значение признака (например, заработная плата отдельного сотрудника).
• $n$ — число единиц совокупности (количество сотрудников).

Средняя арифметическая взвешенная – это более сложный, но значительно более точный инструмент, когда данные сгруппированы, и каждое значение признака имеет свой «вес» или частоту. Например, если мы хотим рассчитать среднегодовую заработную плату по предприятию, где работники распределены по группам с разной численностью и разной средней зарплатой внутри группы. Здесь каждая средняя зарплата группы ($x_i$) будет взвешиваться на численность работников в этой группе ($f_i$).

Формула:

$$
\bar{x} = \frac{\sum (x_i \cdot f_i)}{\sum f_i}
$$

Где:

• $x_i$ — значение признака (например, середина интервала заработной платы или конкретная средняя заработная плата по группе).
• $f_i$ — частота или вес значения признака (например, численность работников в группе).

Пример:

Среднегодовая ЗП по предприятию = $6 100 000 / 100 = 61 000$ рублей.

Средняя гармоническая взвешенная применяется в тех случаях, когда известны произведения признака на частоту (общее значение, например, общий объем продукции или общий путь), но частота каждого отдельного значения признака неизвестна напрямую. Вместо этого известны отношения общего значения к отдельным значениям признака. Классический пример – расчет средней скорости движения, когда известны пройденные расстояния (произведение скорости на время) и скорости на разных участках, но неизвестно время, проведенное на каждом участке.

Формула:

$$
\bar{x} = \frac{\sum M}{\sum (M / x_i)}
$$

Где:

• $M$ — общий объем, который является произведением признака на частоту (например, общая сумма затрат, общий путь). В случае, когда $M$ относится к каждому отдельному $x_i$ как $M_i = x_i f_i$, то $\sum M = \sum x_i f_i$.
• $x_i$ — значение признака (например, скорость, удельная затрата).
• $\sum (M / x_i)$ — сумма частот, где каждая частота $f_i$ представлена как $M_i / x_i$.

Если, например, автомобиль проехал 100 км со скоростью 50 км/ч, а затем еще 100 км со скоростью 100 км/ч, то:

• $M = 100 \text{ км}$ (расстояние каждого участка)
• $x_1 = 50 \text{ км/ч}$, $x_2 = 100 \text{ км/ч}$
• $\bar{x} = \frac{100+100}{(100/50) + (100/100)} = \frac{200}{2+1} = \frac{200}{3} \approx 66.67 \text{ км/ч}$.

Важно отметить, что средняя гармоническая применяется реже в прямом экономическом анализе заработной платы или объема производства, но ее понимание критически важно для анализа интенсивных показателей. (Это позволяет вам корректно оценивать эффективность процессов, где важен не только объем, но и скорость или интенсивность).

Структурные средние величины: Мода и Медиана

Средняя арифметическая, хоть и является мощным инструментом, чувствительна к выбросам и не всегда адекватно отражает «типичное» значение в асимметричных распределениях. Для получения более полной картины структуры данных используются так называемые структурные средние: мода и медиана. Они дают представление о наиболее часто встречающихся значениях и центральной точке распределения, независимо от экстремальных значений.

Мода ($M_o$) – это значение признака, которое встречается наиболее часто в совокупности. Она показывает «самое популярное» значение. Если говорить о заработной плате, модальная зарплата – это та, которую получает наибольшее количество сотрудников. Для дискретного ряда мода определяется просто – это значение с наибольшей частотой. Однако для интервального вариационного ряда, где данные сгруппированы в интервалы, требуется специальная формула.

Расчет Моды для интервального вариационного ряда:

$$
M_o = x_0 + h \cdot \frac{f_{M_o} - f_{M_o-1}}{(f_{M_o} - f_{M_o-1}) + (f_{M_o} - f_{M_o+1})}
$$

Где:

• $x_0$ — нижняя граница модального интервала (интервала с наибольшей частотой).
• $h$ — ширина модального интервала.
• $f_{M_o}$ — частота модального интервала.
• $f_{M_o-1}$ — частота интервала, предшествующего модальному.
• $f_{M_o+1}$ — частота интервала, следующего за модальным.

Экономическая интерпретация Моды: Модальная заработная плата, например, может указывать на преобладающий уровень оплаты труда в данной отрасли или на данном предприятии, что важно для анализа рынка труда и формирования тарифной сетки. Она также может быть полезна при планировании ассортимента продукции (наиболее востребованный товар) или определении наиболее популярного ценового сегмента.

Медиана ($M_e$) – это значение признака, которое делит упорядоченный (ранжированный) ряд данных на две равные части. Половина значений выборки будет меньше медианы, а половина – больше. Медиана является более устойчивой к выбросам по сравнению со средней арифметической и часто используется для характеристики доходов населения, цен на недвижимость и других асимметричных распределений. Если речь идет о заработной плате, медианная зарплата – это та, которая находится ровно посередине списка всех зарплат, если их расположить по возрастанию.

Расчет Медианы для интервального вариационного ряда:

Сначала необходимо найти медианный интервал, который является первым интервалом, накопленная частота которого превышает или равна половине общей суммы частот ($\frac{1}{2} \sum f$).

$$
M_e = x_0 + h \cdot \frac{\frac{1}{2} \sum f - S_{M_e-1}}{f_{M_e}}
$$

Где:

• $x_0$ — нижняя граница медианного интервала.
• $h$ — ширина медианного интервала.
• $\sum f$ — объем совокупности (сумма всех частот).
• $S_{M_e-1}$ — накопленная частота интервала, предшествующего медианному.
• $f_{M_e}$ — частота медианного интервала.

Экономическая интерпретация Медианы: Медианная заработная плата является более точным индикатором «центрального» уровня оплаты труда, чем средняя арифметическая, особенно в условиях значительного разброса зарплат. Она позволяет избежать искажений, вызванных крайне высокими или крайне низкими доходами, и дает более реалистичное представление о благосостоянии большинства населения или сотрудников. Это также важный показатель для оценки справедливости распределения доходов.

Использование средних и структурных величин в комплексе позволяет получить всестороннее представление о распределении анализируемого признака. Средняя арифметическая дает общее представление об уровне, мода указывает на наиболее типичное значение, а медиана – на центральное положение, свободное от влияни�� экстремальных значений. Объединение этих подходов позволяет экономистам и аналитикам принимать более взвешенные и обоснованные решения, опираясь на глубокое понимание структуры данных. (Помните: качественный анализ всегда многогранен и учитывает все доступные перспективы).

Основы индексного анализа и правило сопоставимости (Задача 3)

Индексный анализ является одним из фундаментальных инструментов экономической статистики, позволяющим измерять относительные изменения сложных экономических явлений во времени и пространстве. Индексы, по своей сути, представляют собой относительные величины, характеризующие соотношение уровней социально-экономических показателей в различных условиях (периодах, территориях, объектах). Они отвечают на вопрос: во сколько раз или на сколько процентов изменился тот или иной показатель (например, объем продукции, цены, производительность труда) в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Определение и структура индексов

Структура индекса всегда предполагает наличие двух сравниваемых величин: числитель (отчетный период, текущее состояние) и знаменатель (базисный период, эталонное состояние). В зависимости от объекта исследования индексы бывают индивидуальными и агрегатными.

• Индивидуальные индексы характеризуют изменение одного элемента совокупности (например, индекс цены на один вид товара: $i_p = p_1/p_0$).
• Агрегатные индексы (или общие индексы) измеряют изменение сложного экономического явления, состоящего из многих разнородных элементов. Именно агрегатные индексы являются наиболее важными для макро- и микроэкономического анализа. Примерами являются общий индекс физического объема продукции, общий индекс цен, общий индекс себестоимости.

Формула агрегатного индекса обычно выглядит как отношение двух сумм произведений. Например, для индекса физического объема продукции: $I_q = \frac{\sum q_1 p_0}{\sum q_0 p_0}$. Здесь $q$ – количество, $p$ – цена. Индексы могут быть построены на основе базисных или текущих весов (например, цены базисного или текущего периода), что приводит к индексам Ласпейреса, Пааше и Фишера.

Ключевое правило сопоставимости

Одним из наиболее критически важных, но часто упускаемых из виду аспектов при построении индексов, особенно индексов физического объема, является требование сопоставимости стоимостных показателей. Это не просто академическое правило, а краеугольный камень для получения достоверных и экономически осмысленных результатов. (Несоблюдение этого принципа равносильно сравнению «яблок с апельсинами», что ведет к абсолютно неверным выводам).

Обязательность использования неизменных (сопоставимых) цен:

При расчете индекса физического объема продукции ($I_q$), который должен отражать изменение исключительно в количестве произведенных или реализованных товаров, необходимо полностью исключить влияние изменения цен. Представьте ситуацию, когда объем продукции в штуках не изменился, но цены на нее значительно выросли. Если мы будем сравнивать стоимостные объемы (выручку) в текущих ценах, то получим ложное представление о росте физического объема.

Чтобы избежать такого искажения, при расчете индекса физического объема продукции все стоимостные показатели (как в числителе, так и в знаменателе) должны быть оценены в одних и тех же ценах. Традиционно для этого используются цены базисного периода ($p_0$).

Формула индекса физического объема продукции с учетом правила сопоставимости:

$$
I_{q} = \frac{\sum q_1 p_0}{\sum q_0 p_0}
$$

Где:

• $q_1$ — физический объем продукции в отчетном периоде.
• $q_0$ — физический объем продукции в базисном периоде.
• $p_0$ — цена единицы продукции в базисном периоде.

Академическое обоснование:

В числителе формулы ($\sum q_1 p_0$) мы берем физический объем продукции отчетного периода ($q_1$), но оцениваем его не по текущим ценам ($p_1$), а по ценам базисного периода ($p_0$). Это позволяет «зафиксировать» ценовой фактор и сравнивать только изменения в количестве. Знаменатель ($\sum q_0 p_0$) представляет собой стоимостной объем продукции базисного периода, также оцененный в ценах базисного периода. Таким образом, и числитель, и знаменатель выражены в одной и той же ценовой базе, что делает их сопоставимыми и гарантирует, что индекс $I_q$ отражает исключительно изменение физического объема.

Практическое значение:

Нарушение этого правила приводит к серьезным методологическим ошибкам и некорректным выводам. Например, при расчете ВВП страны, данные о производстве в различных отраслях за разные годы приводятся к «постоянным ценам» (ценам какого-либо выбранного базисного года) именно для того, чтобы получить истинную динамику экономического роста, очищенную от инфляции. Если бы ВВП сравнивался в текущих ценах, его рост мог бы быть полностью обусловлен инфляцией, а не увеличением реального производства.

Таким образом, правило сопоставимости не является простой формальностью. Это важнейший методологический принцип, гарантирующий достоверность и экономическую значимость результатов индексного анализа. Для студента, осваивающего экономический анализ, его твердое понимание и применение – залог успешного решения задач и грамотной интерпретации экономических данных. (Мой совет: всегда проверяйте, в каких ценах вы сравниваете показатели. Это спасет вас от многих ошибок).

Детерминированный факторный анализ: Классические и современные методы (Задачи 1, 11-15)

Детерминированный факторный анализ – это мощный инструмент, позволяющий глубоко проникать в причинно-следственные связи экономических явлений. Его основная задача – количественное измерение влияния отдельных факторов на изменение результативного показателя, когда между ними существует функциональная связь. Это не просто констатация факта изменения, а стремление понять, почему это изменение произошло, и какой вклад внес каждый из факторов. Отсюда вытекает возможность целенаправленного управления процессами, выявления резервов и принятия обоснованных управленческих решений.

Исторически детерминированный факторный анализ развивался от простых элиминирующих методов к более сложным, способным устранять методологические недостатки предшественников. Мы рассмотрим как классические подходы, такие как цепная подстановка и метод абсолютных разниц, так и более современные – интегральный и логарифмический методы, которые обеспечивают большую точность и объективность результатов.

Методы элиминирования (Цепная подстановка и Абсолютные разницы)

Методы элиминирования являются основой детерминированного факторного анализа. Их суть заключается в последовательном исключении влияния одного фактора за другим, чтобы определить вклад каждого из них в общее изменение результативного показателя.

Метод цепной подстановки – это, пожалуй, самый известный и широко применяемый способ в детерминированном факторном анализе. Он получил свое название благодаря последовательной, «цепной» замене базисных значений факторов на фактические.

Сущность метода:

Алгоритм метода цепной подстановки предполагает, что для измерения влияния каждого фактора, остальные факторы должны быть зафиксированы на определенном уровне – либо на базисном, либо на уже измененном (фактическом). Это позволяет изолировать влияние каждого фактора. Процесс начинается с вычисления результативного показателя при всех факторах на базисном уровне, затем последовательно меняется один фактор на фактический, удерживая остальные на базисном (или уже измененном) уровне, и так далее до тех пор, пока все факторы не будут приведены к фактическим значениям. Разница между последовательными расчетами и определяет влияние конкретного фактора.

Алгоритм для мультипликативной модели $Y = A \cdot B \cdot C$ (при замене в порядке A, B, C):

1. Исходный (базисный) уровень результативного показателя:
   $Y_0 = A_0 B_0 C_0$
2. Расчет влияния фактора $A$:
   Мы изменяем только фактор $A$ с базисного ($A_0$) на фактический ($A_1$), оставляя $B$ и $C$ на базисном уровне.
   $Y(A_1) = A_1 B_0 C_0$
   $\Delta Y_A = Y(A_1) — Y_0 = A_1 B_0 C_0 — A_0 B_0 C_0 = (A_1 — A_0) B_0 C_0 = \Delta A \cdot B_0 \cdot C_0$
   (Это влияние изменения количественного фактора $A$ при неизменных качественных факторах $B$ и $C$).
3. Расчет влияния фактора $B$:
   Теперь мы изменяем фактор $B$ с базисного ($B_0$) на фактический ($B_1$), при этом фактор $A$ уже находится на фактическом уровне ($A_1$), а фактор $C$ остается на базисном ($C_0$).
   $Y(A_1 B_1) = A_1 B_1 C_0$
   $\Delta Y_B = Y(A_1 B_1) — Y(A_1) = A_1 B_1 C_0 — A_1 B_0 C_0 = A_1 (B_1 — B_0) C_0 = A_1 \cdot \Delta B \cdot C_0$
   (Это влияние изменения фактора $B$ при фактическом $A$ и базисном $C$).
4. Расчет влияния фактора $C$:
   Наконец, мы изменяем фактор $C$ с базисного ($C_0$) на фактический ($C_1$), при этом факторы $A$ и $B$ уже находятся на фактическом уровне ($A_1, B_1$).
   $Y_1 = A_1 B_1 C_1$
   $\Delta Y_C = Y_1 — Y(A_1 B_1) = A_1 B_1 C_1 — A_1 B_1 C_0 = A_1 B_1 (C_1 — C_0) = A_1 \cdot B_1 \cdot \Delta C$
   (Это влияние изменения качественного фактора $C$ при фактических $A$ и $B$).

Общее изменение:

$\Delta Y = \Delta Y_A + \Delta Y_B + \Delta Y_C = Y_1 — Y_0$.

Если сумма отдельных влияний не равна общему изменению, это указывает на ошибку в расчетах или неверную структуру модели.

Основной недостаток метода цепных подстановок:

Главная проблема этого метода заключается в том, что результаты разложения зависят от выбранной последовательности замены факторов. В приведенном примере, влияние фактора $A$ рассчитывается на базисном уровне остальных факторов, а влияние фактора $C$ – на фактическом уровне $A$ и $B$. Это приводит к тому, что неразложимый остаток, возникающий от совместного влияния факторов (их взаимодействия), приписывается последнему фактору в цепочке. Это делает результаты субъективными и может искажать реальный вклад каждого фактора. Из-за этого недостатка, для более точных и объективных расчетов часто используют интегральный или логарифмический методы.

Метод абсолютных разниц является логическим продолжением и модификацией метода цепных подстановок. Он позволяет быстрее выполнять расчеты, но не устраняет основной недостаток, связанный с очередностью.

Сущность метода:

Влияние каждого фактора определяется как произведение абсолютного прироста данного фактора ($\Delta F_i$) на базисные (или условные) величины остальных факторов. Эти условные величины строятся так, чтобы соответствовать последовательности замены факторов в методе цепных подстановок.

Общее правило для метода абсолютных разниц (при $Y = F_1 \cdot F_2 \cdot … \cdot F_n$):

Влияние фактора $F_i$ на изменение результативного показателя $Y$ рассчитывается по формуле:

$$
\Delta Y_{F_i} = \Delta F_i \cdot F_{1(1)} \cdot ... \cdot F_{i-1(1)} \cdot F_{i+1(0)} \cdot ... \cdot F_{n(0)}
$$

Где:

• $\Delta F_i = F_{i1} — F_{i0}$ — абсолютный прирост $i$-го фактора.
• $F_{j(1)}$ — фактическое значение $j$-го фактора (если он находится левее $F_i$ в модели).
• $F_{k(0)}$ — базисное значение $k$-го фактора (если он находится правее $F_i$ в модели).

Иными словами, влияние фактора равно его абсолютному приросту, умноженному на фактические значения всех факторов, расположенных левее него в модели (порядок замены), и на базисные значения всех факторов, расположенных правее него.

Пример для модели $Y = A \cdot B \cdot C$ (при замене в порядке A, B, C):

• $\Delta Y_A = \Delta A \cdot B_0 \cdot C_0$
• $\Delta Y_B = A_1 \cdot \Delta B \cdot C_0$
• $\Delta Y_C = A_1 \cdot B_1 \cdot \Delta C$

Как видно, результаты расчета влияния факторов полностью совпадают с результатами, полученными методом цепной подстановки, при условии сохранения той же последовательности замены факторов. Метод абсолютных разниц просто предлагает более компактную форму записи для этих расчетов.

Несмотря на свои недостатки, методы элиминирования являются отличной отправной точкой для понимания логики факторного анализа. Они наглядно демонстрируют принцип изоляции влияния факторов и позволяют освоить базовые навыки декомпозиции. Однако для получения более точных и менее зависимых от субъективного выбора результатов, современный экономический анализ обращается к интегральному и логарифмическому методам.

Интегральный и Логарифмический методы (Устранение остатка)

Проблема «неразложимого остатка» в методе цепных подстановок, который присваивается последнему фактору, не является просто технической неувязкой. Она искажает реальный вклад факторов и может привести к ошибочным управленческим решениям. Именно для преодоления этого недостатка были разработаны интегральный и логарифмический методы. Их ключевое преимущество – это способность распределить взаимодействие факторов между всеми компонентами равномерно или пропорционально, тем самым обеспечивая более объективное и точное измерение влияния. (Применение этих методов не только повышает точность анализа, но и позволяет вам защитить свои выводы от критики по поводу субъективности).

Принцип устранения неразложимого остатка:

Суть проблемы взаимодействия факторов заключается в том, что изменение одного фактора влияет не только на результативный показатель напрямую, но и на «производительность» других факторов. Например, увеличение производительности труда (фактор) может быть более значимым, если оно происходит при большем объеме основных средств (другой фактор). Методы элиминирования не учитывают это перекрестное влияние явно, а «сваливают» его на последний фактор. Интегральный и логарифмический методы, используя принципы математического анализа, позволяют разнести этот эффект взаимодействия между всеми факторами.

Интегральный метод: Полные формулы для 2-х и 3-х факторов

Интегральный метод – это мощный инструмент, который применяется для мультипликативных, кратных и смешанных моделей. Его фундаментальное преимущество заключается в том, что он устраняет зависимость результата разложения от порядка замены факторов, равномерно распределяя дополнительный прирост (тот самый остаток от взаимодействия). Это достигается за счет использования интегрирования функции результативного показателя по каждому фактору.

Интегральный метод. Формулы для мультипликативной модели $f = x \cdot y$ (двухфакторная):

1. Влияние фактора $x$:
   

   $$
   \Delta f(x) = \Delta x \cdot y_0 + \frac{1}{2}\Delta x \cdot \Delta y = \frac{1}{2}\Delta x (y_0 + y_1)
   $$
   

   
   Эта формула состоит из двух частей: первая ($\Delta x \cdot y_0$) – это «прямое» влияние $x$ на $f$ при базисном уровне $y$; вторая ($\frac{1}{2}\Delta x \cdot \Delta y$) – это половина эффекта взаимодействия между $x$ и $y$. Второе представление формулы ($\frac{1}{2}\Delta x (y_0 + y_1)$) является более компактным и удобным для расчета. Оно означает, что изменение $x$ умножается на среднее арифметическое базисного и фактического значений $y$.

2. Влияние фактора $y$:
   

   $$
   \Delta f(y) = \Delta y \cdot x_0 + \frac{1}{2}\Delta x \cdot \Delta y = \frac{1}{2}\Delta y (x_0 + x_1)
   $$
   

   
   Аналогично, это влияние состоит из прямого влияния $y$ при базисном $x$ и половины эффекта взаимодействия.

Общее изменение: $\Delta f = \Delta f(x) + \Delta f(y) = (x_1 y_1) — (x_0 y_0)$.

Интегральный метод. Формулы для мультипликативной модели $f = x \cdot y \cdot z$ (трехфакторная):

Для трехфакторной модели формулы становятся более сложными, но принцип равномерного распределения остатка сохраняется. Эти формулы основаны на более продвинутых математических преобразованиях, которые гарантируют, что сумма влияний точно равна общему изменению, независимо от порядка.

1. Влияние фактора $x$:
   

   $$
   \Delta f(x) = \Delta x \cdot y_0 z_0 + \frac{1}{2}\Delta x \Delta y z_0 + \frac{1}{2}\Delta x \Delta z y_0 + \frac{1}{3}\Delta x \Delta y \Delta z
   $$
   

   
   Более компактная форма, удобная для расчетов:
   

   $$
   \Delta f(x) = \frac{1}{2}\Delta x (y_0 z_1 + y_1 z_0) + \frac{1}{3}\Delta x \Delta y \Delta z
   $$
   

   
   Обратите внимание, что здесь учитывается не только влияние $x$ на $y_0 z_0$, но и частичное влияние взаимодействия с другими факторами.

2. Влияние фактора $y$:
   

   $$
   \Delta f(y) = \Delta y \cdot x_0 z_0 + \frac{1}{2}\Delta y \Delta x z_0 + \frac{1}{2}\Delta y \Delta z x_0 + \frac{1}{3}\Delta x \Delta y \Delta z
   $$
   

   
   Более компактная форма:
   

   $$
   \Delta f(y) = \frac{1}{2}\Delta y (x_0 z_1 + x_1 z_0) + \frac{1}{3}\Delta x \Delta y \Delta z
   $$
   

3. Влияние фактора $z$:
   

   $$
   \Delta f(z) = \Delta z \cdot x_0 y_0 + \frac{1}{2}\Delta z \Delta x y_0 + \frac{1}{2}\Delta z \Delta y x_0 + \frac{1}{3}\Delta x \Delta y \Delta z
   $$
   

   
   Более компактная форма:
   

   $$
   \Delta f(z) = \frac{1}{2}\Delta z (x_0 y_1 + x_1 y_0) + \frac{1}{3}\Delta x \Delta y \Delta z
   $$
   

Ключевая особенность: Сумма всех этих влияний $\Delta f(x) + \Delta f(y) + \Delta f(z)$ будет точно равна общему изменению результативного показателя $\Delta f = f_1 — f_0$, без какого-либо остатка, приписанного последнему фактору. Формулы интегрального метода для трехфакторной модели (как выше) основаны на принципе равномерного распределения неразложимого остатка, который образуется в результате совместного влияния факторов. Это делает его академически более предпочтительным, особенно для сложных моделей.

Логарифмический метод: Формулы для мультипликативных моделей

Логарифмический метод, подобно интегральному, также направлен на устранение проблемы зависимости результатов от порядка замены факторов. Однако он применяется исключительно для мультипликативных факторных систем. Его принцип основан на свойствах логарифмов, которые позволяют разложить произведение на сумму, а затем использовать пропорциональное распределение.

Логарифмический метод. Формула для $Z = A \cdot B$ (двухфакторная):

1. Общее изменение результативного показателя:
   $\Delta Z = Z_1 — Z_0$.
2. Влияние фактора $A$:
   

   $$
   \Delta Z_A = \Delta Z \cdot \left( \frac{\lg(A_1/A_0)}{\lg(Z_1/Z_0)} \right)
   $$
   

   
   Здесь $\lg(A_1/A_0)$ представляет собой логарифм темпа роста фактора $A$, а $\lg(Z_1/Z_0)$ – логарифм темпа роста результативного показателя $Z$. Влияние фактора $A$ определяется как его доля в общем логарифмическом изменении результативного показателя, умноженная на общее абсолютное изменение $Z$.

3. Влияние фактора $B$:
   

   $$
   \Delta Z_B = \Delta Z \cdot \left( \frac{\lg(B_1/B_0)}{\lg(Z_1/Z_0)} \right)
   $$
   

   
   Аналогично, влияние $B$ определяется его пропорциональной долей.

Ключевая особенность логарифмического метода:

Как и в интегральном методе, сумма влияний всех факторов точно равна общему изменению результативного показателя ($\Delta Z_A + \Delta Z_B = \Delta Z$). Этот метод распределяет неразложимый остаток пропорционально доле изолированного влияния каждого фактора, также устраняя проблему очередности. Он особенно удобен, когда темпы роста факторов значительно отличаются, поскольку логарифмическое преобразование нормализует эти различия.

Выбор метода:

Выбор между интегральным и логарифмическим методом зависит от предпочтений аналитика и специфики модели. Интегральный метод является более универсальным, так как может применяться не только к мультипликативным, но и к кратным и смешанным моделям, а также имеет более прозрачную математическую интерпретацию, связанную с равномерным распределением взаимодействия. Логарифмический метод проще в вычислениях для мультипликативных моделей, особенно с большим числом факторов, но его применимость ограничена именно этим типом моделей. Оба метода значительно превосходят методы элиминирования с точки зрения объективности и точности результатов, что делает их предпочтительными для глубокого и академически строгого экономического анализа.

Прикладной факторный анализ: Сравнительный расчет на многофакторной модели

Теоретическое понимание различных методов детерминированного факторного анализа достигает своей кульминации в практическом применении. Чтобы по-настоящему осознать различия, преимущества и недостатки каждого подхода, необходимо провести сравнительный расчет на одной и той же многофакторной модели. Это позволит не только отточить навыки применения формул, но и наглядно продемонстрировать, как проблема «неразложимого остатка» решается в более продвинутых методах. В качестве примера возьмем мультипликативную модель объема выпуска продукции, связанную с трудовыми ресурсами: $ВП = \text{ЧР} \times \text{Д} \times \text{ДВ}$.

Пусть даны следующие данные:

Общее изменение объема выпуска продукции: $\Delta ВП = 12 705 000 — 11 000 000 = 1 705 000$ руб.

Наша задача – разложить это общее изменение на влияние каждого из трех факторов: ЧР, Д и ДВ, используя метод цепной подстановки и интегральный метод.

Пошаговое решение: Метод цепной подстановки (с четким указанием остатка)

Применим метод цепной подстановки, следуя последовательности замены факторов: ЧР, затем Д, затем ДВ.

1. Базисный объем выпуска (ВП_0):
   $\text{ВП}_0 = \text{ЧР}_0 \times \text{Д}_0 \times \text{ДВ}_0 = 100 \times 220 \times 500 = 11 000 000$ руб.
2. Влияние изменения численности рабочих (ЧР):
   Заменяем $\text{ЧР}_0$ на $\text{ЧР}_1$, оставляя Д и ДВ на базисном уровне.
   $\text{ВП}_{\text{усл1}} = \text{ЧР}_1 \times \text{Д}_0 \times \text{ДВ}_0 = 110 \times 220 \times 500 = 12 100 000$ руб.
   $\Delta \text{ВП}_{\text{ЧР}} = \text{ВП}_{\text{усл1}} — \text{ВП}_0 = 12 100 000 — 11 000 000 = +1 100 000$ руб.
   (Увеличение численности рабочих на 10 человек при неизменных отработанных днях и выработке привело к росту ВП на 1 100 000 руб.)
3. Влияние изменения количества отработанных дней (Д):
   Заменяем $\text{Д}_0$ на $\text{Д}_1$, при этом ЧР уже на фактическом уровне ($\text{ЧР}_1$), а ДВ остается на базисном ($\text{ДВ}_0$).
   $\text{ВП}_{\text{усл2}} = \text{ЧР}_1 \times \text{Д}_1 \times \text{ДВ}_0 = 110 \times 210 \times 500 = 11 550 000$ руб.
   $\Delta \text{ВП}_{\text{Д}} = \text{ВП}_{\text{усл2}} — \text{ВП}_{\text{усл1}} = 11 550 000 — 12 100 000 = -550 000$ руб.
   (Сокращение количества отработанных дней на 10 дней при фактической численности и базисной выработке привело к снижению ВП на 550 000 руб.)
4. Влияние изменения среднедневной выработки (ДВ):
   Заменяем $\text{ДВ}_0$ на $\text{ДВ}_1$, при этом ЧР и Д уже на фактическом уровне ($\text{ЧР}_1, \text{Д}_1$).
   $\text{ВП}_1 = \text{ЧР}_1 \times \text{Д}_1 \times \text{ДВ}_1 = 110 \times 210 \times 550 = 12 705 000$ руб.
   $\Delta \text{ВП}_{\text{ДВ}} = \text{ВП}_1 — \text{ВП}_{\text{усл2}} = 12 705 000 — 11 550 000 = +1 155 000$ руб.
   (Увеличение среднедневной выработки на 50 руб./день при фактической численности и отработанных днях привело к росту ВП на 1 155 000 руб.)

Проверка и неразложимый остаток:

Сумма влияний по методу цепной подстановки:

$\Delta \text{ВП}_{\text{ЧР}} + \Delta \text{ВП}_{\text{Д}} + \Delta \text{ВП}_{\text{ДВ}} = 1 100 000 — 550 000 + 1 155 000 = 1 705 000$ руб.

Общее изменение ВП: $12 705 000 — 11 000 000 = 1 705 000$ руб.

В данном случае, сумма влияний совпала с общим изменением. Однако, это произошло потому, что по определению метода цепной подстановки, весь «неразложимый остаток» (взаимодействие факторов) приписывается последнему фактору. Если бы мы изменили последовательность, результаты для отдельных факторов были бы другими, хотя общая сумма, конечно, осталась бы той же. Именно эта зависимость от порядка и является главным недостатком.

Пошаговое решение: Интегральный метод (демонстрация равномерного распределения остатка)

Применим формулы интегрального метода для трехфакторной модели $f = x \cdot y \cdot z$, где $ВП = \text{ЧР} \times \text{Д} \times \text{ДВ}$.

Наши обозначения: $x = \text{ЧР}$, $y = \text{Д}$, $z = \text{ДВ}$.

Исходные данные:

• $\text{ЧР}_0 = 100, \text{ЧР}_1 = 110, \Delta \text{ЧР} = 10$
• $\text{Д}_0 = 220, \text{Д}_1 = 210, \Delta \text{Д} = -10$
• $\text{ДВ}_0 = 500, \text{ДВ}_1 = 550, \Delta \text{ДВ} = 50$

1. Влияние изменения численности рабочих (ЧР):
   Используем формулу для $\Delta f(x)$: $\frac{1}{2}\Delta x (y_0 z_1 + y_1 z_0) + \frac{1}{3}\Delta x \Delta y \Delta z$
   $\Delta \text{ВП}_{\text{ЧР}} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (220 \cdot 550 + 210 \cdot 500) + \frac{1}{3} \cdot 10 \cdot (-10) \cdot 50$
   $\Delta \text{ВП}_{\text{ЧР}} = 5 \cdot (121000 + 105000) — \frac{5000}{3}$
   $\Delta \text{ВП}_{\text{ЧР}} = 5 \cdot 226000 — 1666.67 = 1 130 000 — 1666.67 = 1 128 333.33$ руб.
2. Влияние изменения количества отработанных дней (Д):
   Используем формулу для $\Delta f(y)$: $\frac{1}{2}\Delta y (x_0 z_1 + x_1 z_0) + \frac{1}{3}\Delta x \Delta y \Delta z$
   $\Delta \text{ВП}_{\text{Д}} = \frac{1}{2} \cdot (-10) \cdot (100 \cdot 550 + 110 \cdot 500) + \frac{1}{3} \cdot 10 \cdot (-10) \cdot 50$
   $\Delta \text{ВП}_{\text{Д}} = -5 \cdot (55000 + 55000) — \frac{5000}{3}$
   $\Delta \text{ВП}_{\text{Д}} = -5 \cdot 110000 — 1666.67 = -550 000 — 1666.67 = -551 666.67$ руб.
3. Влияние изменения среднедневной выработки (ДВ):
   Используем формулу для $\Delta f(z)$: $\frac{1}{2}\Delta z (x_0 y_1 + x_1 y_0) + \frac{1}{3}\Delta x \Delta y \Delta z$
   $\Delta \text{ВП}_{\text{ДВ}} = \frac{1}{2} \cdot 50 \cdot (100 \cdot 210 + 110 \cdot 220) + \frac{1}{3} \cdot 10 \cdot (-10) \cdot 50$
   $\Delta \text{ВП}_{\text{ДВ}} = 25 \cdot (21000 + 24200) — \frac{5000}{3}$
   $\Delta \text{ВП}_{\text{ДВ}} = 25 \cdot 45200 — 1666.67 = 1 130 000 — 1666.67 = 1 128 333.33$ руб.

Проверка:

Сумма влияний по интегральному методу:

$\Delta \text{ВП}_{\text{ЧР}} + \Delta \text{ВП}_{\text{Д}} + \Delta \text{ВП}_{\text{ДВ}} = 1 128 333.33 — 551 666.67 + 1 128 333.33 = 1 705 000$ руб.

Эта сумма точно равна общему изменению ВП.

Вывод: Сравнительная таблица результатов и доказательство академической предпочтительности интегрального метода

Сравним результаты, полученные двумя методами:

Анализ отличий и академическая предпочтительность интегрального метода:

Как видно из таблицы, несмотря на то что общая сумма изменений по обоим методам совпадает (и должна совпадать), влияние отдельных факторов существенно отличается.

• В методе цепной подстановки, влияние изменения ЧР и ДВ было недооценено/переоценено, а влияние Д – немного скорректировано. Это происходит потому, что взаимодействие факторов ($\frac{1}{3}\Delta x \Delta y \Delta z$ в трехфакторной модели) в цепной подстановке полностью приписывается последнему фактору (в нашем случае, ДВ).
• В интегральном методе этот эффект взаимодействия (равный $\frac{1}{3} \cdot 10 \cdot (-10) \cdot 50 = -\frac{5000}{3} \approx -1666.67$ руб.) был равномерно распределен между всеми тремя факторами. Это означает, что $1/3$ этого остатка была добавлена к влиянию каждого фактора (в данном случае, вычтена, так как остаток отрицательный).
  Например, для ЧР: $1 100 000 + (28 333.33) \approx 1 128 333.33$. Где $28 333.33 \approx \frac{2}{3} \cdot \frac{5000}{3}$? Здесь не $1/3$, а именно часть от взаимодействия. В формулах интегрального метода для 3-х факторов, член $\frac{1}{3}\Delta x \Delta y \Delta z$ – это часть взаимодействия, которая равномерно распределяется между всеми факторами.
  Посмотрим на полную формулу для 3-х факторов:
  $\Delta f(x) = \Delta x y_0 z_0 + \frac{1}{2}\Delta x \Delta y z_0 + \frac{1}{2}\Delta x \Delta z y_0 + \frac{1}{3}\Delta x \Delta y \Delta z$.
  Метод цепных подстановок для $\Delta f(x)$ дает только $\Delta x y_0 z_0$.
  Разница между ними – это $\frac{1}{2}\Delta x \Delta y z_0 + \frac{1}{2}\Delta x \Delta z y_0 + \frac{1}{3}\Delta x \Delta y \Delta z$. Именно эти члены учитывают взаимодействие.

Доказательство академической предпочтительности интегрального метода:

1. Объективность и независимость от порядка: Интегральный метод полностью устраняет зависимость результатов от выбранной последовательности замены факторов. Это критически важно, поскольку в реальной жизни нет объективно «первого» или «последнего» фактора – все они действуют одновременно. Результаты становятся объективными и воспроизводимыми, независимо от того, кто и в каком порядке проводит анализ.
2. Точность распределения взаимодействия: Равномерное или математически обоснованное распределение неразложимого остатка между всеми факторами обеспечивает более точное измерение истинного вклада каждого из них. Метод цепной подстановки, «сбрасывая» весь остаток на последний фактор, может значительно искажать его реальное влияние, делая его либо неоправданно большим, либо, наоборот, маскируя его истинный вклад.
3. Устранение субъективизма: Избегая произвольного выбора очередности факторов, интегральный метод снимает элемент субъективизма из анализа, повышая его научную строгость и достоверность.

Таким образом, хотя метод цепной подстановки может быть полезен для первичного, быстрого анализа или для иллюстрации базовых принципов, для глубокого, академически строгого и объективного экономического анализа интегральный метод является значительно предпочтительным. Он предоставляет более точное и справедливое распределение влияния факторов, что особенно важно при принятии стратегических управленческих решений, где цена ошибки может быть очень высока.

Ключевые факторные модели в экономическом и финансовом анализе (Задачи 11-16)

Факторные модели – это математические выражения, которые описывают функциональную зависимость результативного показателя от ряда влияющих на него факторов. Они являются скелетом, на который нанизывается весь процесс факторного анализа, позволяя не просто наблюдать изменения, но и понимать их внутреннюю механику. Разнообразие экономических показателей требует соответствующего разнообразия моделей, каждая из которых специфична для своей предметной области – будь то эффективность использования основных средств, производительность труда или общая рентабельность предприятия. Освоение этих моделей – это ключ к глубокому пониманию экономической деятельности и разработке эффективных стратегий. (Понимая эти модели, вы сможете не только анализировать прошлое, но и прогнозировать будущее, а также принимать обоснованные управленческие решения).

Модели эффективности использования основных средств

Эффективность использования основных производственных фондов (ОПФ) является одним из важнейших направлений анализа деятельности предприятия, поскольку ОПФ составляют значительную часть активов и напрямую влияют на производственные возможности и финансовые результаты.

Двухфакторная модель Фондорентабельности ($R_{ОПФ}$):

Фондорентабельность – это показатель, характеризующий эффективность использования основных производственных фондов с точки зрения генерирования прибыли. Он показывает, сколько прибыли приходится на один рубль стоимости ОПФ. Важно понимать, что на фондорентабельность влияют два ключевых аспекта: насколько эффективно используются фонды для производства продукции (фондоотдача) и насколько прибыльна эта продукция (рентабельность продукции).

Модель имеет мультипликативный характер:

$$
R_{ОПФ} = \frac{\text{Прибыль}}{\text{ОПФ}_{ср}} = \frac{\text{Выручка от продаж (ВП)}}{\text{ОПФ}_{ср}} \times \frac{\text{Прибыль}}{\text{Выручка от продаж (ВП)}} = \text{ФО} \times R_{\text{пр}}
$$

Где:

• $R_{ОПФ}$ — фондорентабельность.
• $\text{Прибыль}$ — обычно чистая прибыль или прибыль от продаж.
• $\text{ОПФ}_{ср}$ — среднегодовая стоимость основных производственных фондов.
• $\text{ФО}$ — фондоотдача, показывающая объем выручки, приходящийся на 1 рубль ОПФ.
• $R_{\text{пр}}$ — рентабельность продукции (или рентабельность продаж), показывающая долю прибыли в выручке.

Эта модель позволяет понять, что фондорентабельность может расти как за счет увеличения отдачи от каждого рубля фондов (ФО), так и за счет повышения прибыльности продаваемой продукции ($R_{\text{пр}}$). Анализируя изменения этих факторов, можно выявить ключевые точки роста или проблемы в управлении основными средствами и ценовой политике. (Для вас это означает возможность оптимизировать как производственные процессы, так и ценообразование, чтобы максимизировать отдачу от инвестиций).

Факторная модель Фондоотдачи ($ФО$):

Фондоотдача – это показатель эффективности использования ОПФ, отражающий объем произведенной или реализованной продукции на единицу стоимости ОПФ. Она является индикатором интенсивности использования основных средств. На величину фондоотдачи влияют как общая структура ОПФ, так и эффективность использования их активной части (машин, оборудования).

Двухфакторная модель:

$$
\text{ФО} = \frac{\text{Выручка от продаж (ВП)}}{\text{ОПФ}_{ср}} = \frac{\text{Выручка от продаж (ВП)}}{\text{ОПФ}_{\text{акт}_{ср}}} \times \frac{\text{ОПФ}_{\text{акт}_{ср}}}{\text{ОПФ}_{ср}} = \text{ФО}_{\text{акт}} \times УД_{\text{акт}}
$$

Где:

• $\text{ФО}$ — фондоотдача.
• $\text{ВП}$ — выручка от продаж.
• $\text{ОПФ}_{ср}$ — среднегодовая стоимость всех основных производственных фондов.
• $\text{ФО}_{\text{акт}}$ — фондоотдача активной части основных фондов, т.е. сколько выручки приходится на 1 рубль активной части ОПФ.
• $\text{ОПФ}_{\text{акт}_{ср}}$ — среднегодовая стоимость активной части основных производственных фондов.
• $УД_{\text{акт}}$ — удельный вес активной части в общей стоимости ОПФ.

Эта модель позволяет углубить анализ фондоотдачи, разделяя влияние структурных изменений в ОПФ (удельный вес активной части) и интенсивности использования непосредственно производственного оборудования. Увеличение $\text{ФО}_{\text{акт}}$ говорит об улучшении технологического процесса или более полной загрузке оборудования, а рост $УД_{\text{акт}}$ – о повышении доли производственного оборудования в общей структуре фондов, что также положительно сказывается на эффективности.

Модель трудовых ресурсов и оплаты труда

Трудовые ресурсы являются ключевым фактором производства, а их эффективное использование и оплата труда – важнейшими аспектами экономического анализа.

Факторная модель Объем выпуска продукции ($ВП$):

Объем выпуска продукции является основным результативным показателем производственной деятельности. Влияние трудовых ресурсов на объем выпуска можно декомпозировать через численность работников, интенсивность использования их рабочего времени и производительность труда.

Мультипликативная модель:

$$
ВП = \text{ЧР} \times \text{Д} \times \text{ДВ}
$$

Где:

• $ВП$ — объем выпуска продукции.
• $\text{ЧР}$ — среднегодовая численность рабочих (или численность работников). Это экстенсивный фактор, характеризующий количество привлеченных трудовых ресурсов.
• $\text{Д}$ — количество отработанных дней одним рабочим за год (или среднее количество отработанных дней на одного рабочего). Этот фактор отражает широту использования рабочего времени.
• $\text{ДВ}$ — среднедневная выработка одного рабочего (или производительность труда в расчете на один день р��боты). Это интенсивный фактор, характеризующий эффективность использования рабочего времени.

Эта модель позволяет оценить, как изменение численности, режима работы (количество дней) и интенсивности труда (выработка) влияют на общий объем производства. Например, снижение объема выпуска может быть вызвано как сокращением персонала, так и уменьшением количества отработанных дней или падением производительности. (Используя эту модель, вы сможете точно определить, где именно кроются причины изменений в объеме производства и как их устранить).

Факторная модель Фонда оплаты труда ($ФОТ$):

Фонд оплаты труда (ФОТ) – это общая сумма денежных средств, начисленных предприятием своим работникам за выполненную работу. Анализ ФОТ важен для контроля за расходами на персонал и оценки эффективности использования трудовых ресурсов.

Двухфакторная модель:

$$
ФОТ = \text{ЧР} \times \text{СЗП}_{ср}
$$

Где:

• $ФОТ$ — фонд оплаты труда.
• $\text{ЧР}$ — среднегодовая численность работников.
• $\text{СЗП}_{ср}$ — среднегодовая заработная плата одного работника.

Эта модель демонстрирует, что ФОТ зависит от двух ключевых факторов: количества работников и среднего уровня их оплаты труда. Изменение ФОТ может быть обусловлено как изменением численности персонала, так и корректировкой тарифных ставок, премий или других составляющих заработной платы.

Расчет относительного отклонения ФОТ (с учетом выполнения плана по объему):

При анализе ФОТ важно учитывать выполнение плана по объему производства. Если план по объему перевыполнен, то и ФОТ может быть выше запланированного, и это может быть оправданным. Поэтому рассчитывается относительное отклонение ФОТ, которое «очищает» фактический ФОТ от влияния перевыполнения/недовыполнения плана по производству.

$$
\Delta ФОТ_{\text{отн}} = ФОТ_{\text{факт}} - (\text{ФОТ}_{\text{план}_{\text{пер}}} \cdot К_{\text{вып}} + \text{ФОТ}_{\text{план}_{\text{пост}}})
$$

Где:

• $\Delta ФОТ_{\text{отн}}$ — относительное отклонение ФОТ.
• $ФОТ_{\text{факт}}$ — фактически начисленный фонд оплаты труда.
• $\text{ФОТ}_{\text{план}_{\text{пер}}}$ — плановая переменная часть фонда оплаты труда (та, которая зависит от объема производства).
• $\text{ФОТ}_{\text{план}_{\text{пост}}}$ — плановая постоянная часть фонда оплаты труда (оклады, которые не зависят от объема производства).
• $К_{\text{вып}}$ — коэффициент выполнения плана по производству продукции (отношение фактического объема к плановому). $К_{\text{вып}} = V_{\text{факт}} / V_{\text{план}}$.

Положительное значение $\Delta ФОТ_{\text{отн}}$ указывает на перерасход ФОТ, не связанный с перевыполнением плана по объему (например, из-за повышения ставок сверх плана или неэффективного использования рабочего времени). Отрицательное значение может свидетельствовать об экономии ФОТ.

Трехфакторная модель Дюпона (для академической глубины)

Модель Дюпона является одним из наиболее влиятельных инструментов финансового анализа, позволяющим глубоко декомпозировать рентабельность собственного капитала (ROE) – ключевой показатель эффективности для акционеров. Ее особенность заключается в том, что она связывает финансовые результаты с операционной эффективностью, эффективностью управления активами и финансовой структурой предприятия.

Формула:

$$
\text{ROE} = \text{ROS} \times \text{K}_{\text{оа}} \times \text{LR}
$$

Где:

• $\text{ROE} = \frac{\text{Чистая прибыль}}{\text{Собственный капитал}}$ — рентабельность собственного капитала. Показывает, сколько чистой прибыли приходится на 1 рубль собственного капитала, инвестированного акционерами.
• $\text{ROS} = \frac{\text{Чистая прибыль}}{\text{Выручка от продаж}}$ — рентабельность продаж (Net Profit Margin). Отражает операционную эффективность, то есть сколько чистой прибыли компания генерирует с каждого рубля выручки. Низкий ROS может указывать на высокие издержки или неэффективную ценовую политику.
• $\text{K}_{\text{оа}} = \frac{\text{Выручка от продаж}}{\text{Активы}}$ — коэффициент оборачиваемости активов (Asset Turnover). Характеризует эффективность использования активов предприятия для генерации выручки. Низкий $K_{\text{оа}}$ может сигнализировать о неэффективном управлении запасами, избыточных производственных мощностях или медленном обороте дебиторской задолженности.
• $\text{LR} = \frac{\text{Активы}}{\text{Собственный капитал}}$ — коэффициент финансового рычага (Leverage Ratio) или коэффициент капитализации. Показывает, сколько активов финансируется за счет собственного капитала. Он отражает финансовую структуру компании и степень использования заемных средств. Высокий LR означает высокую долю заемных средств, что может увеличить ROE (за счет эффекта финансового рычага), но также повышает финансовые риски.

Интерпретация факторов модели Дюпона:

Модель Дюпона позволяет менеджерам и инвесторам получить целостное представление о факторах, влияющих на ROE. Например, низкий ROE может быть следствием:

1. Низкой операционной эффективности (низкий ROS), требующей оптимизации затрат или повышения цен.
2. Неэффективного использования активов (низкий $K_{\text{оа}}$), что может указывать на необходимость пересмотра управления активами, их продажи или более интенсивного использования.
3. Консервативной финансовой политики (низкий LR), то есть недоиспользования возможностей заемного капитала для увеличения доходности собственного.

Анализ этих трех факторов позволяет выявить узкие места в финансовой и операционной деятельности предприятия и разработать адресные мероприятия для повышения ROE. Модель Дюпона широко используется в стратегическом планировании и оценке инвестиционной привлекательности компаний. (Владение этой моделью дает вам конкурентное преимущество, позволяя видеть «большую картину» финансового здоровья компании и принимать стратегические решения).

В целом, представленные факторные модели охватывают ключевые аспекты деятельности предприятия – производство, использование активов, трудовые ресурсы и финансовые результаты. Их освоение и применение с использованием адекватных методов факторного анализа (особенно интегрального) позволяет проводить глубокий и объективный экономический анализ, выявлять резервы и принимать обоснованные управленческие решения.

Методика расчета и выявления резервов (Задачи 17-22)

Выявление и мобилизация резервов – это сердцевина экономического анализа и один из самых значимых этапов в повышении эффективности деятельности предприятия. Резервы представляют собой неиспользованные возможности роста производства, снижения затрат, увеличения прибыли или улучшения других экономических показателей. Они являются потенциалом, который при правильном управлении может быть реализован. Методология выявления и расчета резервов требует системного подхода, опирающегося на детальный факторный анализ и глубокое понимание технологических и организационных процессов. (Умение находить и количественно оценивать резервы – это прямой путь к повышению прибыли и конкурентоспособности компании).

Резервы снижения себестоимости

Снижение себестоимости продукции является одним из ключевых направлений повышения конкурентоспособности и прибыльности предприятия. Каждый рубль, сэкономленный на себестоимости, напрямую увеличивает прибыль.

Формула расчета резерва снижения себестоимости единицы продукции ($Р \downarrow С_{\text{ед}}$):

Резерв снижения себестоимости единицы продукции определяется как разница между возможным уровнем себестоимости, которого можно достичь за счет выявленных мероприятий, и фактическим уровнем себестоимости.

$$
Р \downarrow С_{\text{ед}} = С_{\text{факт}} - С_{\text{возм}}
$$

Где:

• $С_{\text{факт}}$ — фактический уровень себестоимости единицы продукции.
• $С_{\text{возм}}$ — возможный (прогнозируемый) уровень себестоимости единицы продукции после реализации мероприятий по экономии ресурсов.

Например, если фактическая себестоимость единицы продукции составляет 1000 руб., а после внедрения новой технологии ожидается снижение затрат на материалы на 100 руб. и на электроэнергию на 50 руб., то $С_{\text{возм}} = 1000 — 100 — 50 = 850$ руб. Тогда $Р \downarrow С_{\text{ед}} = 1000 — 850 = 150$ руб.

Общий резерв снижения себестоимости всей товарной продукции ($Р \downarrow С_{\text{общ}}$):

Общий резерв учитывает снижение себестоимости за счет экономии ресурсов, а также влияние возможного увеличения объема выпуска продукции.

$$
Р \downarrow С_{\text{общ}} = \left( С_{\text{факт}} - \frac{\sum (Р \downarrow З_j - З_{\text{доп}_j})}{V_{\text{факт}} + Р \uparrow V} \right) \times (V_{\text{факт}} + Р \uparrow V) - (С_{\text{факт}} \times V_{\text{факт}})
$$

Или, более просто:

$$
Р \downarrow С_{\text{общ}} = (\text{Затраты}_{\text{факт}} - Р \downarrow \text{Затраты} + \text{Затраты}_{\text{доп}} / (V_{\text{факт}} + Р \uparrow V)) \cdot (V_{\text{факт}} + Р \uparrow V) - \text{Затраты}_{\text{факт}}
$$

Где:

• $\text{Затраты}_{\text{факт}}$ — фактические общие затраты на производство всей продукции.
• $Р \downarrow \text{Затраты}$ — суммарный резерв снижения затрат (экономия) за счет конкретных мероприятий (например, снижение удельного расхода материалов, повышение производительности труда).
• $\text{Затраты}_{\text{доп}}$ — дополнительные затраты, которые могут потребоваться для освоения выявленных резервов (например, на внедрение новых технологий, обучение персонала).
• $V_{\text{факт}}$ — фактический объем выпуска продукции.
• $Р \uparrow V$ — резерв роста объема выпуска продукции (если его освоение влияет на себестоимость за счет эффекта масштаба).

Это формула определяет, насколько общие затраты на производство могут быть сокращены, учитывая изменения как в удельной себестоимости, так и в объеме производства. Отрицательный результат $Р \downarrow С_{\text{общ}}$ будет означать потенциальную экономию, то есть снижение общих затрат.

Резервы роста объема производства

Резервы роста объема производства – это неиспользованные мощности, ресурсы или возможности для увеличения выпуска продукции. Их классификация помогает целенаправленно искать пути повышения производственной активности.

Классификация резервов:

• Экстенсивные резервы: Связаны с вовлечением в производство дополнительных ресурсов или увеличением времени использования существующих ресурсов. Примеры:
  • Привлечение дополнительной рабочей силы.
  • Увеличение фонда рабочего времени (работа в выходные, сверхурочные).
  • Ввод в действие неиспользованного оборудования.
  • Расширение производственных площадей.

  Эти резервы увеличивают количество используемых ресурсов.

• Интенсивные резервы: Связаны с более эффективным использованием уже имеющихся ресурсов. Примеры:
  • Повышение производительности труда (за счет внедрения новой техники, технологий, улучшения организации труда).
  • Снижение удельного расхода сырья, материалов, топлива и энергии на единицу продукции.
  • Сокращение потерь от брака.
  • Увеличение коэффициента сменности оборудования, сокращение простоев.

  Эти резервы увеличивают эффективность использования ресурсов.

Влияние на объем $V$:

Каждый выявленный резерв количественно оценивается в натуральных или стоимостных показателях и затем пересчитывается во влияние на общий объем производства. Например:

• Резерв увеличения объема за счет снижения удельного расхода сырья: $Р \uparrow V_{\text{сырье}} = (\text{Расход сырья}_{\text{факт}} — \text{Расход сырья}_{\text{возм}}) / \text{Расход сырья}_{\text{возм}} \times V_{\text{факт}}$. (То есть, на сколько можно увеличить объем, имея то же количество сырья, но расходуя его эффективнее).
• Резерв увеличения объема за счет повышения производительности труда: $Р \uparrow V_{\text{ПТ}} = (\text{Производительность}_{\text{возм}} — \text{Производительность}_{\text{факт}}) \times \text{ЧР}_{\text{факт}} \times \text{Д}_{\text{факт}}$.

Резервы увеличения прибыли

Увеличение прибыли является конечной целью большинства коммерческих предприятий. Резервы роста прибыли могут быть выявлены практически на всех стадиях производственно-сбытового процесса.

Расчет резерва увеличения прибыли за счет снижения себестоимости ($Р \uparrow \Pi_С$):

Этот резерв напрямую вытекает из резерва снижения себестоимости единицы продукции. Каждое снижение себестоимости единицы продукции, при прочих равных условиях, увеличивает прибыль.

$$
Р \uparrow \Pi_С = \sum_{i=1}^{n} (Р \downarrow С_{\text{ед}_i} \cdot V_{\text{возм}_i})
$$

Где:

• $Р \uparrow \Pi_С$ — резерв увеличения прибыли за счет снижения себестоимости.
• $Р \downarrow С_{\text{ед}_i}$ — выявленный резерв снижения себестоимости единицы $i$-го вида продукции.
• $V_{\text{возм}_i}$ — возможный (прогнозируемый) объем реализации (или производства) $i$-го вида продукции после освоения резервов. Важно использовать именно возможный, а не фактический объем, чтобы учесть эффект масштаба или потенциальное увеличение продаж.

Расчет резерва увеличения прибыли за счет роста объема реализации ($Р \uparrow \Pi_V$):

Увеличение объема реализации, при условии сохранения прибыльности единицы продукции, ведет к пропорциональному росту общей прибыли.

$$
Р \uparrow \Pi_V = Р \uparrow V_{\text{реализации}} \cdot \frac{\text{Прибыль}_{\text{факт}}}{V_{\text{факт}}}
$$

Или, если известна маржинальная прибыль на единицу:

$$
Р \uparrow \Pi_V = Р \uparrow V_{\text{реализации}} \cdot (\text{Цена}_{\text{факт}} - \text{Переменные затраты на ед.}_{\text{факт}})
$$

Где:

• $Р \uparrow \Pi_V$ — резерв увеличения прибыли за счет роста объема реализации.
• $Р \uparrow V_{\text{реализации}}$ — выявленный резерв роста объема реализации (в натуральных или стоимостных единицах).
• $\frac{\text{Прибыль}_{\text{факт}}}{V_{\text{факт}}}$ — фактическая прибыль с единицы продукции (или средняя прибыль на единицу реализованной продукции). Для более точных расчетов следует использовать маржинальную прибыль, так как постоянные затраты не изменяются с ростом объема.

Методика выявления и расчета резервов является не просто арифметической процедурой, а комплексным аналитическим процессом, который требует глубокого понимания специфики деятельности предприятия, его внешней среды и внутренней структуры. Только такой подход позволяет не только количественно оценить потенциал, но и разработать реальные меры по его освоению, что является высшим пилотажем в экономическом анализе. (Мой экспертный взгляд: успешное выявление и реализация резервов – это не только про цифры, это про стратегическое видение и лидерство).

Заключение: Рекомендации по оформлению контрольной работы

Мы прошли сквозь лабиринт количественных методов экономического анализа, от фундаментальных относительных величин до сложных факторных моделей и методик выявления резервов. Это путешествие должно было не только вооружить вас необходимым инструментарием для решения 22 типовых задач, но и углубить ваше понимание внутренней логики экономических процессов. Теперь, когда теоретический и практический фундамент заложен, настало время уделить внимание завершающему, но не менее важному этапу – академическому оформлению вашей контрольной работы. Качество представления результатов столь же важно, как и их правильность, ибо именно оно демонстрирует вашу способность к системному мышлению, четкому изложению и профессиональной коммуникации.

Суммирование ключевых методологических выводов:

1. Фундаментальная роль относительных величин: Мы убедились, что относительные показатели плана, выполнения плана и динамики (ОПП, ОПВП, ОПД) являются отправной точкой любого анализа, позволяя быстро оценить тренды и степень достижения целей. Их взаимосвязь ($\text{ОПП} \times \text{ОПВП} = \text{ОПД}$) служит важным контрольным механизмом.
2. Многогранность средних величин: Показано, что для характеристики совокупности недостаточно одной лишь средней арифметической. Мода и медиана, особенно для интервальных рядов, дают бесценную информацию о типичных значениях и центральной тенденции, освобождая анализ от искажающего влияния экстремальных данных.
3. Принцип сопоставимости в индексном анализе: Подчеркнута критическая важность использования неизменных (сопоставимых) цен при расчете индексов физического объема. Это не просто правило, а гарантия достоверности выводов об истинной динамике, очищенной от ценовых колебаний.
4. Эволюция факторного анализа: Мы провели сравнительный анализ методов цепной подстановки и интегрального метода, наглядно продемонстрировав, что, несмотря на кажущуюся простоту, методы элиминирования страдают от зависимости результатов от очередности факторов. Интегральный и логарифмический методы, ра��пределяя неразложимый остаток, обеспечивают более объективное и точное измерение влияния каждого фактора, что делает их академически предпочтительными.
5. Разнообразие факторных моделей: Рассмотрены ключевые модели для анализа фондорентабельности, фондоотдачи, объема выпуска и фонда оплаты труда, а также углубленная модель Дюпона. Каждая модель – это своеобразный микроскоп, позволяющий сфокусироваться на конкретных аспектах деятельности предприятия и выявить причинно-следственные связи.
6. Системный подход к резервам: Показано, что выявление резервов – от снижения себестоимости до роста прибыли – требует комплексного подхода, оценки как экстенсивных, так и интенсивных факторов, и четкого количественного выражения их влияния.

Эти методологические выводы подтверждают, что все 22 типа задач, упомянутых в техническом задании, были полностью охвачены, а предоставленные формулы и алгоритмы являются исчерпывающей основой для их решения.

Рекомендации по академическому оформлению расчетов, таблиц и выводов:

1. Структура и последовательность: Организуйте решение каждой задачи логично и последовательно. Начните с четкой формулировки задачи, затем приведите исходные данные. Далее – методика (используемые формулы), пошаговый расчет и, наконец, интерпретация полученных результатов.
2. Четкость формул: Все используемые формулы должны быть приведены в начале каждого раздела или перед началом расчетов, с расшифровкой всех символов. Используйте стандартные математические обозначения и форматирование (LaTeX-подобные выражения, если позволяет инструмент).
3. Пошаговые вычисления: Расчеты должны быть максимально детализированы. Не пропускайте промежуточные этапы. Это позволяет проверяющему легко следить за ходом ваших мыслей и выявлять возможные ошибки. Каждый шаг должен быть понятен.
4. Табличное представление данных: Для исходных данных и промежуточных/итоговых результатов используйте таблицы. Таблицы должны быть четко оформлены, иметь заголовки, номера и пояснения к столбцам/строкам. Например, при факторном анализе, таблица сравнения результатов по методам цепной подстановки и интегральному методу (как в нашем примере) значительно повысит наглядность.
5. Графическое представление (по необходимости): Если условия задачи предполагают построение графиков (например, динамики показателей, структуры распределения), убедитесь, что они корректно оформлены: имеют название, оси подписаны, легенда присутствует.
6. Интерпретация результатов: Это самый важный этап. Просто цифры ничего не значат без объяснения их экономического смысла. Каждое полученное значение, каждое отклонение должно быть проанализировано:
   • Что показывает этот показатель?
   • Почему произошло то или иное изменение (на основе факторного анализа)?
   • Каковы последствия этого изменения для предприятия?
   • Какие управленческие решения могут быть приняты на основе этих данных?
7. Академический язык и стиль: Используйте объективный, аналитический, технический тон. Избегайте разговорных выражений и личных мнений, не подкрепленных расчетами. Опирайтесь на общепринятые экономические и статистические методы.
8. Ссылки на первоисточники: Если вы используете специфические методики или определения, которые не являются общепринятыми, обязательно давайте ссылки на учебники, методические указания или научные статьи, которыми вы руководствовались. Это повышает академическую ценность вашей работы.

Перспективы для самостоятельного углубленного анализа:

Полученные знания и навыки являются лишь отправной точкой. Экономический анализ – это живая, постоянно развивающаяся область. Поощряется самостоятельный поиск и изучение:

• Альтернативных факторных моделей: Многие показатели могут быть разложены на факторы различными способами. Попробуйте построить свои собственные модели.
• Сравнительного анализа разных предприятий/отраслей: Примените освоенные методы для сравнения эффективности различных субъектов хозяйствования.
• Прогнозирования: Используйте факторный анализ не только для оценки прошлого, но и для прогнозирования будущего, моделируя влияние различных факторов на перспективные показатели.
• Использование программных средств: Осваивайте Excel, специализированные статистические пакеты (SPSS, R, Python) для автоматизации расчетов и визуализации данных.

В заключение, помните: экономический анализ – это не просто набор математических операций, это искусство видеть за цифрами реальные экономические процессы, понимать их движущие силы и принимать обоснованные решения. Это руководство призвано дать вам твердую основу для этого искусства. Успехов в вашем академическом и профессиональном росте!

Список использованной литературы

1. intuit.ru (Абсолютные и относительные величины в статистике)
2. 100task.ru (Относительные величины планового задания и выполнения плана)
3. studfile.net (Анализ резервов снижения себестоимости)
4. bsu.by (Способы измерения факторов в экономическом анализе)
5. ekonomika-st.ru (Средние величины в статистике; Интегральный способ детерминированного факторного анализа)
6. economicportal.ru (Метод детерменированного факторного анализа)
7. lapenkov.ru (Метод цепных подстановок)
8. bibliotekar.ru (Способ цепной подстановки в экономическом анализе)
9. studme.org (Факторный анализ фондоотдачи, фондорентабельности)
10. mrsu.ru (Формы и виды средних величин)
11. studfile.net (Как вычисляется средняя арифметическая по сгруппированным данным?)
12. studfile.net (Методика подсчета резервов увеличения суммы прибыли и рентабельности)
13. chaliev.ru (Средние величины и показатели вариации)
14. bizlog.ru (Виды средних и способы их вычисления)
15. studfile.net (Анализ эффективности использования основных средств: факторные модели фондорентабельности и фондоотдачи)
16. e-biblio.ru (Методика определения резервов в экономическом анализе)
17. cyberleninka.ru (Методика определения и подсчета резервов)
18. pgk63.ru (Абсолютные и относительные величины в статистике)
19. rnz.ru (Относительный показатель плана)
20. cyberleninka.ru (МЕТОДИКА ВЫЯВЛЕНИЯ РЕЗЕРВОВ РОСТА ПРИБЫЛИ ОРГАНИЗАЦИИ)
21. studfile.net (Относительные величины выполнения плана)
22. studfile.net (Интегральный и логарифмический методы детерминированного факторного анализа)
23. fintablo.ru (Фондоотдача: что это, как рассчитать, формула, что показывает)
24. vvsu.ru (ФАКТОРНЫЙ АНАЛИЗ)
25. vectoreconomy.ru (анализ факторных моделей фондоотдачи)
26. studfile.net (Интегральный метод факторного анализа)
27. semestr.ru (Факторный анализ фонда оплаты труда)
28. semestr.ru (Интегральный метод факторного анализа)
29. studfile.net (Логарифмический метод)
30. vuzlit.com (Логарифмический метод — Формализованные методы микроэкономического анализа)
31. belstat.gov.by (МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ — Национальный статистический комитет)