Примеры решения типовых задач для подготовки к контрольной работе по теории вероятностей и математической статистике

Контрольная по теории вероятностей и математической статистике — серьезное испытание, которое часто вызывает стресс. Сложные формулы, абстрактные понятия и строгие требования к решению могут сбить с толку. Но что, если взглянуть на это не как на препятствие, а как на набор головоломок, у каждой из которых есть свой логический ключ? Эта статья — не просто сборник задач. Это ваше практическое руководство, которое проведет вас «за руку» от условия к ответу. Мы разберем семь типовых задач, охватывающих ключевые разделы курса: от базовых понятий вероятности до анализа статистических данных. Наша цель — не зазубрить формулы, а понять логику их применения на конкретных примерах. Давайте начнем с самого фундамента, на котором строится все здание теории вероятностей.

Раздел I. Теория вероятностей на практике

Задача 1. Как работает классическое определение вероятности

В основе многих задач лежит фундаментальная формула, известная как классическое определение вероятности. Она применяется, когда все возможные исходы события равновероятны (например, выпадение граней на кубике или вытягивание шара из урны). Формула выглядит так:

P(A) = M / N

Где:

• P(A) — вероятность наступления интересующего нас события A.
• M — число исходов, благоприятствующих событию A (те, которые нам нужны).
• N — общее число всех возможных исходов испытания.

Рассмотрим на простом примере. Условие: В непрозрачном мешке лежат 15 шаров: 5 красных, 4 синих и 6 зеленых. Какова вероятность вытянуть наугад синий шар?

Решение:

1. Находим общее число исходов (N). Всего в мешке 15 шаров, значит, существует 15 равновероятных вариантов, N = 15.
2. Находим число благоприятствующих исходов (M). Нас интересует событие «вытянуть синий шар». В мешке 4 синих шара, значит, M = 4.
3. Применяем формулу. P(Синий) = M / N = 4 / 15.

Таким образом, вероятность вытянуть синий шар составляет 4/15. Этот простой принцип является отправной точкой для решения более сложных задач. Мы разобрались, как найти вероятность одного события. А что, если испытаний несколько и они повторяются? Этот вопрос подводит нас к следующей важной теме.

Задача 2. Вероятность выигрыша при нескольких попытках

Часто встречаются задачи на повторные независимые испытания. Условие (задача 2.4): Вероятность выигрыша на один лотерейный билет равна 0,13. Какова вероятность хотя бы одного выигрыша для владельца пяти таких билетов?

Первая мысль — умножить 0,13 на 5 — неверна. Вероятности нельзя просто складывать таким образом. Правильный и наиболее простой путь здесь — действовать через противоположное событие. Событию A = «выиграл хотя бы один билет» противоположно событие B = «не выиграл ни один билет».

Пошаговое решение:

1. Найдем вероятность невыигрыша для одного билета. Если вероятность выигрыша P(В) = 0,13, то вероятность проигрыша P(П) = 1 — 0,13 = 0,87.
2. Найдем вероятность, что все 5 билетов не выиграют. Поскольку покупка каждого билета — это независимое событие, мы можем перемножить их вероятности:
   
   P(проигрыш по всем 5 билетам) = 0,87 * 0,87 * 0,87 * 0,87 * 0,87 = (0,87)⁵ ≈ 0,501.
3. Найдем вероятность искомого события. Вероятность «выиграть хотя бы один раз» и вероятность «не выиграть ни разу» в сумме дают 1 (полная вероятность). Значит, чтобы найти нашу вероятность, нужно вычесть вероятность противоположного события из единицы:
   
   P(хотя бы один выигрыш) = 1 — P(проигрыш по всем 5 билетам) ≈ 1 — 0,501 = 0,499.

Ответ: вероятность выиграть хотя бы один раз, имея пять билетов, составляет примерно 49,9%. Мы научились работать с вероятностями событий. Теперь перейдем к более абстрактному, но мощному инструменту анализа — случайным величинам.

Задача 3. Анализ дискретной случайной величины

Дискретная случайная величина принимает отдельные, изолированные значения. Ее полное описание задается таблицей (рядом) распределения. Условие (по типу задачи 3.4): Найти неизвестную вероятность p, математическое ожидание E(X) и дисперсию D(X) для случайной величины X, заданной таблицей:

X (значение)	1	2	3	4
P (вероятность)	0,2	0,4	p	0,1

Шаг 1: Находим неизвестную вероятность p.
Сумма всех вероятностей в ряду распределения всегда равна 1.

0,2 + 0,4 + p + 0,1 = 1

0,7 + p = 1

p = 0,3

Шаг 2: Вычисляем математическое ожидание (E[X]).
Это «среднее ожидаемое» значение, которое вычисляется по формуле E[X] = Σ (xᵢ * pᵢ).

E[X] = (1 * 0,2) + (2 * 0,4) + (3 * 0,3) + (4 * 0,1) = 0,2 + 0,8 + 0,9 + 0,4 = 2,3.

Шаг 3: Вычисляем дисперсию (Var[X] или D[X]).
Дисперсия показывает разброс значений вокруг математического ожидания. Удобная формула для расчета: D[X] = E[X²] — (E[X])². Сначала найдем E[X²]:

E[X²] = (1² * 0,2) + (2² * 0,4) + (3² * 0,3) + (4² * 0,1) = (1 * 0,2) + (4 * 0,4) + (9 * 0,3) + (16 * 0,1) = 0,2 + 1,6 + 2,7 + 1,6 = 6,1.

Теперь подставляем значения в формулу дисперсии:

D[X] = 6,1 — (2,3)² = 6,1 — 5,29 = 0,81.

Дискретные величины важны, но многие реальные процессы, от физических измерений до экономических показателей, описываются непрерывными распределениями. Самое известное из них — нормальное.

Задача 4. Применение нормального закона распределения

Нормальное распределение — краеугольный камень статистики. Оно описывает множество случайных процессов. Условие (задача 4.4): Предел прочности кирпича — случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону со средним квадратичным отклонением σ = 30. Прочность двух кирпичей — независимые события. Найти вероятность того, что прочность двух наугад взятых кирпичей отличается от теоретического среднего не более чем на 50.

Решение:

1. Формулируем задачу для одного кирпича. Нам нужно найти вероятность того, что значение случайной величины X попадет в интервал (μ — 50, μ + 50), где μ — теоретическое среднее (математическое ожидание).
2. Стандартизация. Чтобы использовать стандартные таблицы, перейдем от величины X к стандартной нормальной величине Z по формуле Z = (X — μ) / σ. Наш интервал преобразуется:
   
   ((μ — 50) — μ) / 30 < Z < ((μ + 50) — μ) / 30
   
   -50 / 30 < Z < 50 / 30
   
   -1.67 < Z < 1.67
3. Используем функцию Лапласа. Вероятность попадания в симметричный интервал ищется по формуле P = 2Ф(x), где x = 1,67. По таблицам значений функции Лапласа находим Ф(1,67) ≈ 0,4525.
   
   P₁ ≈ 2 * 0,4525 = 0,905.
   
   Это вероятность для одного кирпича.
4. Находим итоговую вероятность. Так как события для двух кирпичей независимы, вероятность того, что оба будут соответствовать условию, равна произведению их индивидуальных вероятностей.
   
   P_итоговая = P₁ * P₁ = 0,905 * 0,905 ≈ 0,819.

Ответ: искомая вероятность составляет примерно 81,9%. До сих пор мы работали с известными параметрами. Но в реальной жизни мы чаще имеем дело с выборками и должны оценивать параметры всей совокупности. Это — основная задача математической статистики, к которой мы и переходим.

Раздел II. Основы математической статистики

Задача 5. Как построить доверительный интервал

Когда мы не знаем точное значение параметра (например, среднего), но имеем данные выборки, мы можем построить доверительный интервал. Это диапазон, который с заданной надежностью «накрывает» истинное, неизвестное нам значение. Условие (по типу задачи 5.4): Построить доверительный интервал для математического ожидания α нормально распределенной совокупности с надежностью γ = 0,90. Известно, что среднеквадратичное отклонение σ = 10. По выборке объема n = 100 найдено выборочное среднее x̄ = 250.

Алгоритм построения:

1. Определяем формулу. Для известной дисперсии формула доверительного интервала:
   
   x̄ — z * (σ / √n) < α < x̄ + z * (σ / √n)
2. Находим все компоненты:
   • Выборочное среднее x̄ = 250 (дано).
   • Среднеквадратичное отклонение σ = 10 (дано).
   • Объем выборки n = 100 (дано).
   • Надежность γ = 0,90 (дано).
3. Находим квантиль z. Это значение, связанное с надежностью. Его находят из соотношения 2Ф(z) = γ.
   
   2Ф(z) = 0,90 => Ф(z) = 0,45.
   
   По таблице функции Лапласа находим, какому аргументу z соответствует значение 0,45. Это z ≈ 1,645.
4. Подставляем значения в формулу. Сначала рассчитаем «погрешность» δ = z * (σ / √n):
   
   δ = 1,645 * (10 / √100) = 1,645 * (10 / 10) = 1,645.
5. Рассчитываем границы интервала:
   
   Нижняя граница: 250 — 1,645 = 248,355
   
   Верхняя граница: 250 + 1,645 = 251,645

Ответ: С надежностью 90% истинное значение математического ожидания находится в интервале (248,355; 251,645). Построение интервалов — это оценка. Но прежде чем оценивать, данные нужно собрать и обработать. Следующая задача покажет, как провести первичный анализ реальной статистической выборки.

Задача 6. Исследование статистической выборки

Первичный анализ выборки позволяет получить ее ключевые числовые характеристики. Условие (по типу задач 6.4 и 7.4): Дана выборка результатов измерений. Требуется построить вариационный ряд и рассчитать выборочное среднее, выборочную и исправленную дисперсии. Для наглядности возьмем небольшую выборку объемом n=10:

Исходные данные: 31, 25, 28, 33, 30, 28, 31, 35, 27, 32

Шаг 1: Построение вариационного ряда.
Просто упорядочиваем все значения выборки по возрастанию:

25, 27, 28, 28, 30, 31, 31, 32, 33, 35

Шаг 2: Расчет выборочного среднего (x̄).
Суммируем все значения и делим на их количество.

Σxᵢ = 25+27+28+28+30+31+31+32+33+35 = 300

x̄ = 300 / 10 = 30.

Шаг 3: Расчет выборочной дисперсии (D_в).
Она показывает средний квадрат отклонений значений от выборочного среднего. Формула: D_в = Σ(xᵢ — x̄)² / n.

Σ(xᵢ — 30)² = (25-30)² + (27-30)² + (28-30)² + (28-30)² + (30-30)² + (31-30)² + (31-30)² + (32-30)² + (33-30)² + (35-30)²

= (-5)² + (-3)² + (-2)² + (-2)² + 0² + 1² + 1² + 2² + 3² + 5²

= 25 + 9 + 4 + 4 + 0 + 1 + 1 + 4 + 9 + 25 = 82

D_в = 82 / 10 = 8,2.

Шаг 4: Расчет исправленной выборочной дисперсии (s²).
Выборочная дисперсия является смещенной оценкой генеральной дисперсии. Чтобы получить несмещенную оценку, используют исправленную дисперсию, деля сумму квадратов отклонений на (n-1) вместо n.

s² = Σ(xᵢ — x̄)² / (n-1) = 82 / (10-1) = 82 / 9 ≈ 9,11.

Мы прошли полный путь: от азов теории вероятностей до практической обработки статистических данных. Теперь давайте подведем итоги и систематизируем полученные знания.

Заключение

Мы последовательно разобрали семь ключевых задач, пройдя путь от классического определения вероятности и законов распределения до методов математической статистики — построения доверительных интервалов и анализа выборок. Надеемся, этот маршрут показал главное: за каждой формулой стоит четкая логика, а за каждой задачей — понятный алгоритм действий.

Ключ к успеху на контрольной — это не механическое заучивание, а понимание сути метода. Прежде чем бросаться в расчеты, всегда задавайте себе вопрос: «С каким типом задачи я имею дело? Какое понятие здесь основное?». Внимательно читайте условие — в нем часто содержатся все необходимые подсказки. Помните, что каждая решенная задача делает вас увереннее. Желаем вам успехов на контрольной и ясного понимания этого увлекательного предмета!