Решение задачи: Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с фазовым сдвигом π/2

В мире физики, где движение и энергия переплетаются в сложнейшие узоры, гармонические колебания выступают одним из фундаментальных строительных блоков. Понимание их природы и, что особенно важно, их взаимодействия, лежит в основе многих инженерных и научных дисциплин. Перед студентом технического или физического вуза, будь то в ходе контрольной работы или лабораторного исследования, регулярно встает задача не просто описать, но и предсказать поведение систем, где различные колебания накладываются друг на друга. Цель данного аналитического обзора — шаг за шагом провести через решение типовой задачи по физике, посвященной сложению двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с фазовым сдвигом в π/2. Мы не просто представим готовые формулы, но и углубимся в методологию, физический смысл и графическое представление, превращая каждую формулу в понятный и логичный вывод.

Введение в гармонические колебания и принцип суперпозиции

Начнем с самого начала, ведь здание прочной науки возводится на ясном понимании ее основ. Представьте себе маятник, качающийся из стороны в сторону, или камертон, издающий чистый тон. Эти явления — наглядные примеры гармонических колебаний, краеугольного камня в изучении волн и колебательных систем. Какое практическое значение имеет это базовое понимание для инженера или физика?

Гармонические колебания — это тип периодического движения, при котором физическая величина (например, координата, напряжение, сила тока) изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса. Они являются идеализированной моделью, но при этом удивительно точно описывают множество реальных процессов. Математически это выражается функцией:

x(t) = A sin(ωt + φ0)

или

x(t) = A cos(ωt + φ0)

где:

• x(t) — отклонение колеблющейся величины от положения равновесия в момент времени t.
• Амплитуда (A) — это максимальное отклонение колеблющейся величины от ее равновесного значения. Это своего рода «размах» колебаний, измеряемый в тех же единицах, что и сама колеблющаяся величина (метры для координаты, вольты для напряжения и т.д.).
• Частота (ν) — число полных колебаний, совершаемых системой за единицу времени. Измеряется в герцах (Гц).
• Циклическая (угловая) частота (ω) — количество колебаний, совершаемых за 2π секунд. Она тесно связана с частотой ν и периодом T (временем одного полного колебания) следующими соотношениями: ω = 2πν = 2π/T. Измеряется в радианах в секунду (рад/с).
• Фаза колебаний (ωt + φ₀) — это аргумент тригонометрической функции, который полностью определяет состояние колебательной системы в любой заданный момент времени t. Фаза выражается в радианах.
• Начальная фаза (φ₀) — это значение фазы колебаний в начальный момент времени (t = 0). Она определяет, в какой точке своего цикла колебание начинается.

Теперь представим себе ситуацию, когда на одну и ту же частицу или систему действуют не одно, а несколько колебаний. Как будет выглядеть результирующее движение? Здесь на помощь приходит принцип суперпозиции (наложения). Этот фундаментальный принцип гласит, что если система является линейной (то есть ее поведение описывается линейными уравнениями), то результирующее воздействие нескольких независимых процессов есть сумма воздействий, вызываемых каждым процессом в отдельности. В контексте колебаний это означает, что если точка участвует в нескольких колебаниях, ее результирующее смещение в любой момент времени будет векторной суммой смещений, вызванных каждым колебанием в отдельности. Именно этот принцип позволяет нам анализировать сложные колебательные явления, разбивая их на более простые компоненты, что критически важно для проектирования систем, где множество факторов взаимодействуют одновременно.

Теоретические основы сложения взаимно перпендикулярных колебаний

Когда два гармонических колебания происходят во взаимно перпендикулярных направлениях, например, вдоль осей X и Y, материальная точка одновременно участвует в каждом из этих движений. Результатом такого сложения является движение точки по определенной траектории в плоскости, которая может принимать различные формы — от прямой линии до сложных кривых, известных как фигуры Лиссажу. Но что именно отличает эти фигуры и как мы можем предсказать их вид?

Параметрическое описание движения материальной точки

Движение материальной точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, удобно описывать с помощью параметрических уравнений. Каждое колебание задает изменение координаты точки по своей оси с течением времени t.

Пусть колебание вдоль оси X описывается уравнением:
x(t) = Ax cos(ωxt + φx)

А колебание вдоль оси Y описывается уравнением:
y(t) = Ay cos(ωyt + φy)

Здесь:

• A_x и A_y — амплитуды колебаний вдоль осей X и Y соответственно.
• ω_x и ω_y — циклические частоты колебаний.
• φ_x и φ_y — начальные фазы колебаний.

Эти два уравнения образуют систему, которая параметрически определяет положение точки (x, y) в каждый момент времени t. Чтобы понять, по какой траектории движется точка, нам необходимо исключить параметр времени t из этой системы.

Общие математические методы исключения параметра времени

Исключение параметра времени t является ключевым шагом для получения уравнения траектории. Этот процесс превращает два зависимых от времени уравнения в одно уравнение, связывающее только координаты x и y, тем самым описывая форму пути, по которому движется частица. Существует несколько общих подходов к исключению времени:

1. Выражение времени через одну координату и подстановка в другую: Если из одного уравнения можно легко выразить t (или тригонометрическую функцию от t), то полученное выражение подставляется во второе уравнение. Этот метод наиболее эффективен, когда тригонометрические функции в обоих уравнениях одинаковы или легко преобразуются друг в друга.
2. Использование тригонометрических тождеств: Этот метод является наиболее распространенным для гармонических колебаний. Основная идея заключается в том, чтобы выразить тригонометрические функции (sin(ωt), cos(ωt)) из каждого уравнения и затем использовать такие тождества, как sin²(α) + cos²(α) = 1, или формулы для синуса/косинуса суммы/разности углов (sin(α ± β), cos(α ± β)).
   • Шаги для метода тригонометрических тождеств:
     a. Выразить cos(ω_xt + φ_x) и cos(ω_yt + φ_y) из исходных уравнений:
     cos(ωxt + φx) = x/Ax
cos(ωyt + φy) = y/Ay
   • Если частоты одинаковы (ω_x = ω_y = ω), то можно разложить одно из выражений, например, cos(ωt + φ_y), через cos(ωt + φ_x) и разность фаз Δφ = φ_y — φ_x:
     cos(ωt + φy) = cos((ωt + φx) + Δφ) = cos(ωt + φx)cos(Δφ) - sin(ωt + φx)sin(Δφ)
   • Из первого уравнения выразить cos(ωt + φ_x) через x. Затем выразить sin(ωt + φ_x) через cos(ωt + φ_x) с помощью основного тригонометрического тождества:
     sin(ωt + φx) = ±√(1 - cos2(ωt + φx)) = ±√(1 - (x/Ax)2)
   • Подставить все полученные выражения во второе уравнение, чтобы исключить зависимость от времени t.
3. Возведение в квадрат и суммирование: Это частный случай использования тригонометрических тождеств, особенно эффективный, когда одно колебание выражено через синус, а другое — через косинус, и частоты одинаковы. После выражения sin(ωt) и cos(ωt) из уравнений, их возводят в квадрат и складывают, используя sin²(α) + cos²(α) = 1.

Выбор конкретного метода зависит от вида исходных уравнений и соотношения между частотами и фазами колебаний. Для случая, рассматриваемого в нашей задаче (одинаковые частоты и фазовый сдвиг π/2), метод возведения в квадрат и суммирования оказывается наиболее элегантным и прямым.

Подробный вывод уравнения траектории для случая одинаковых частот и фазового сдвига π/2

Теперь, имея в распоряжении теоретическую базу, перейдем к конкретному случаю, который является центральной частью нашей задачи. Мы рассмотрим сложение двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний, обладающих одинаковой циклической частотой и специфическим фазовым сдвигом.

Исходные уравнения колебаний для заданного случая

Представим материальную точку, совершающую два гармонических колебания. Первое колебание происходит вдоль оси X, второе — вдоль оси Y. Мы предполагаем, что:

1. Частоты колебаний одинаковы: ω_x = ω_y = ω. Это критически важное условие, которое приведет к замкнутой траектории.
2. Начальная фаза первого колебания равна нулю: φ_x = 0. Это упрощает запись и не влияет на форму траектории, поскольку выбор начала отсчета фазы всегда произволен.
3. Фазовый сдвиг между колебаниями составляет π/2: Если φ_x = 0, то начальная фаза второго колебания φ_y = π/2.

Таким образом, исходные параметрические уравнения движения принимают вид:

1. x(t) = A cos(ωt)
2. y(t) = B cos(ωt + π/2)

где A и B — амплитуды колебаний по осям X и Y соответственно.

Пошаговый математический вывод уравнения траектории

Наша задача — исключить время t из системы уравнений (1) и (2), чтобы получить уравнение, связывающее только x и y.

Шаг 1: Преобразование второго уравнения.
Используем известное тригонометрическое тождество: cos(α + π/2) = -sin(α).
Применяя это тождество к уравнению (2), получаем:
y(t) = -B sin(ωt) (3)

Теперь у нас есть два уравнения:
x(t) = A cos(ωt) (1)
y(t) = -B sin(ωt) (3)

Шаг 2: Выражение cos(ωt) и sin(ωt) через x и y.
Из уравнения (1) выразим cos(ωt):
cos(ωt) = x/A (4)

Из уравнения (3) выразим sin(ωt):
sin(ωt) = -y/B (5)

Шаг 3: Возведение в квадрат и суммирование.
Возведем обе части уравнений (4) и (5) в квадрат:
cos2(ωt) = (x/A)2 (6)
sin2(ωt) = (-y/B)2 = (y/B)2 (7)

Теперь сложим уравнения (6) и (7) почленно:
cos2(ωt) + sin2(ωt) = (x/A)2 + (y/B)2

Шаг 4: Применение основного тригонометрического тождества.
Мы знаем, что cos²(α) + sin²(α) = 1. Применяя это тождество к левой части нашего уравнения, получаем:
1 = (x/A)2 + (y/B)2

Или, переписав в более привычном виде:

(x/A)2 + (y/B)2 = 1 (8)

Это и есть уравнение траектории для рассматриваемого случая.

Анализ полученного уравнения траектории

Уравнение (x/A)² + (y/B)² = 1 является классическим уравнением эллипса, центр которого находится в начале координат (0,0). Почему это так важно для понимания поведения системы?

• Полуоси эллипса:
  • Большая или малая полуось вдоль оси X равна амплитуде A.
  • Большая или малая полуось вдоль оси Y равна амплитуде B.

  Таким образом, эллипс «вписан» в прямоугольник со сторонами 2A и 2B, параллельными осям координат и симметричными относительно начала координат.

• Частные случаи:
  • Окружность: Если амплитуды колебаний по осям X и Y равны, то есть A = B, уравнение принимает вид (x/A)² + (y/A)² = 1, что упрощается до x² + y² = A². Это, как известно, уравнение окружности с радиусом A, центр которой также находится в начале координат.
  • Наклонный отрезок прямой: Если фазовый сдвиг был бы 0 или π, то траектория была бы прямой линией. Например, при Δφ = 0, y = B cos(ωt) = (B/A)x, что является уравнением прямой, проходящей через начало координат.

Таким образом, для двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с одинаковой частотой и фазовым сдвигом π/2, материальная точка движется по эллиптической траектории, ориентация и форма которой определяются амплитудами составляющих колебаний.

Фигуры Лиссажу: Классификация и характеристики

Эллипс, который мы вывели в предыдущем разделе, является одним из простейших, но при этом важнейших примеров фигур Лиссажу. Эти завораживающие кривые — настоящая «музыка», визуализированная в движении, демонстрирующая сложное взаимодействие простых гармонических колебаний.

Определение фигур Лиссажу и их зависимость от параметров

Фигуры Лиссажу — это замкнутые (или иногда незамкнутые) траектории, которые описывает материальная точка, одновременно участвующая в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях. Их красота и сложность делают их не только объектом академического изучения, но и инструментом для анализа сигналов в радиотехнике и электронике. Почему эти фигуры так важны для инженеров, работающих с осциллографами?

Вид и форма фигуры Лиссажу определяются тремя ключевыми параметрами двух складываемых колебаний:

1. Соотношение амплитуд (A_x и A_y): Амплитуды определяют «размах» фигуры по осям X и Y, то есть прямоугольник, в который вписана фигура.
2. Соотношение частот (ω_x и ω_y): Это, пожалуй, наиболее влиятельный параметр, определяющий общую структуру и количество «лепестков» или «петель» фигуры. Замкнутые траектории (истинно фигуры Лиссажу) образуются только тогда, когда отношение частот ω_x/ω_y является рациональным числом (например, 1/1, 1/2, 2/3 и т.д.). Если отношение иррационально, траектория будет незамкнутой и со временем заполнит весь прямоугольник, ограниченный амплитудами.
3. Разность фаз (Δφ = φ_y — Разнообразие форм фигур Лиссажу

   Формы фигур Лиссажу демонстрируют удивительное разнообразие. Рассмотрим несколько характерных примеров:

   • Отношение частот 1:1 (ω_x = ω_y):
     • Эллипс: Это общий случай, который мы вывели ранее. При Δφ = π/2 и произвольных амплитудах A_x, A_y получается эллипс.
     • Окружность: Частный случай эллипса, когда A_x = A_y и Δφ = π/2.
     • Отрезок прямой: Если разность фаз Δφ = 0 (колебания синфазны) или Δφ = π (колебания в противофазе), то эллипс вырождается в отрезок прямой линии, проходящий через начало координат.
       • При Δφ = 0: y = (Ay/Ax)x (наклонная прямая).
       • При Δφ = π: y = -(Ay/Ax)x (наклонная прямая).
   • Отношение частот 1:2 (ω_x = 2ω_y или ω_y = 2ω_x):
     • Фигуры напоминают параболы или «восьмерки». Например, при Δφ = π/2 (и ω_x = 2ω_y) образуется фигура в виде восьмерки, лежащей на боку (∞). С изменением фазы она может «раскрываться» или «сжиматься».
   • Отношение частот 1:3 (ω_x = 3ω_y или ω_y = 3ω_x):
     • Формируются более сложные кривые с тремя «лепестками» или петлями, в зависимости от фазового сдвига.
   • Отношение частот 2:3 (ω_x = 2ω, ω_y = 3ω):
     • Фигуры становятся еще более сложными, напоминающими переплетенные петли. Число пересечений с осями соответствует числителю и знаменателю отношения частот.

   Важно помнить, что все эти фигуры Лиссажу вписываются в прямоугольник, ограниченный линиями x = ±A_x и y = ±A_y. Центр этого прямоугольника всегда совпадает с началом координат.

   Определение отношения частот по фигурам Лиссажу

   Фигуры Лиссажу — не просто красивые узоры, они несут в себе ценную информацию. Одним из важных практических применений является определение отношения частот складываемых колебаний, что особенно ценно при работе с осциллографом.

   Метод:
   Чтобы определить отношение частот ω_x/ω_y, необходимо:

   1. Построить фигуру Лиссажу (или наблюдать ее на осциллографе).
   2. Подсчитать число точек пересечения кривой с горизонтальной секущей (n_y). Это число соответствует количеству раз, когда кривая касается горизонтальных границ прямоугольника или пересекает любую горизонтальную линию внутри него, не проходящую через центр.
   3. Подсчитать число точек пересечения кривой с вертикальной секущей (n_x). Аналогично, это число, сколько раз кривая касается вертикальных границ или пересекает вертикальную линию.

   Отношение частот ω_x/ω_y равно обратному отношению числа этих пересечений:

   ωx/ωy = ny/nx

   Например, для фигуры в виде «восьмерки» (1:2), если она «лежит» вдоль оси X, то вертикальная секущая пересечет ее дважды (n_x = 2), а горизонтальная — один раз (n_y = 1). Тогда ω_x/ω_y = 1/2. Если же восьмерка «стоит» вдоль оси Y, то n_x = 1, n_y = 2, и ω_x/ω_y = 2/1. Этот метод позволяет визуально определить соотношение частот даже для очень сложных фигур.

   Графическое построение траектории и определение направления движения

   После того как мы вывели уравнение траектории, возникает вопрос: как ее нарисовать? И, что не менее важно, как понять, в каком направлении движется точка по этой траектории? Ответ на этот вопрос позволяет не только визуализировать, но и глубже понять динамику сложения колебаний.

   Методы графического построения траектории

   Графическое построение траектории, особенно для сложных фигур Лиссажу, требует терпения и точности. Существует два основных подхода:

   1. Пошаговое ручное построение (метод по точкам): Этот метод является наиболее фундаментальным и позволяет понять, как формируется кривая.
      • Шаг 1: Разметка временной оси. Выберите несколько дискретных моментов времени t в пределах одного периода колебаний. Удобно выбирать интервалы, соответствующие характерным фазовым значениям, например, t = 0, T/4, T/2, 3T/4, T, или с шагом, соответствующим изменению фазы на π/4 или π/2.
      • Шаг 2: Расчет координат. Для каждого выбранного момента времени t вычислите соответствующие значения x(t) и y(t) по исходным параметрическим уравнениям:
        x = A cos(ωt)
y = B cos(ωt + π/2) = -B sin(ωt)
      • Шаг 3: Таблица значений. Сведите полученные координаты в таблицу для удобства.
      • Шаг 4: Отметка точек. Начертите прямоугольную систему координат и нанесите полученные точки (x, y) на плоскость.
      • Шаг 5: Соединение точек. Аккуратно соедините отмеченные точки плавной линией в порядке возрастания времени t.

      Пример таблицы для построения эллипса (A=2, B=1, ω=1 рад/с):

      t (с)	ωt (рад)	cos(ωt)	sin(ωt)	x = 2cos(ωt)	y = -1sin(ωt)	Точка (x, y)
      0	0	1	0	2	0	(2, 0)
      π/4	π/4	0.707	0.707	1.414	-0.707	(1.414, -0.707)
      π/2	π/2	0	1	0	-1	(0, -1)
      3π/4	3π/4	-0.707	0.707	-1.414	-0.707	(-1.414, -0.707)
      π	π	-1	0	-2	0	(-2, 0)
      5π/4	5π/4	-0.707	-0.707	-1.414	0.707	(-1.414, 0.707)
      3π/2	3π/2	0	-1	0	1	(0, 1)
      7π/4	0.707	-0.707	1.414	0.707	(1.414, 0.707)
      2π	1	0	2	0	(2, 0)

      Соединив эти точки, мы получим эллипс.

   2. Метод проекций (графический): Этот метод более интуитивен и часто используется для иллюстрации. Он предполагает построение двух вспомогательных окружностей или синусоид, а затем использование их проекций для нахождения точек траектории.
      • Начертите две окружности с радиусами A и B, соответствующие амплитудам колебаний по осям X и Y.
      • Разделите каждую окружность на одинаковое количество секторов, соответствующих фазовым углам (например, по 30° или 45°).
      • Из точек на «x-окружности» опускайте перпендикуляры на ось X.
      • Из точек на «y-окружности» проводите перпендикуляры на ось Y.
      • Пересечения этих перпендикуляров в соответствующие моменты времени дадут точки на траектории. При этом необходимо учитывать фазовый сдвиг между колебаниями, то есть брать проекции для x в момент t, а для y в момент (t + Δφ/ω).
   3. Использование электронно-лучевого осциллографа: В практической физике и электронике фигуры Лиссажу чаще всего наблюдают с помощью осциллографа в режиме XY. В этом режиме один гармонический сигнал подается на вход горизонтального отклонения (X-вход), а другой — на вход вертикального отклонения (Y-вход). Электронный луч, отклоняющийся пропорционально входным напряжениям, вычерчивает фигуру Лиссажу на экране, позволяя визуально анализировать соотношения частот и фаз сигналов.

   Определение направления движения точки по траектории

   Определение направления движения точки по траектории является не просто формальностью, но и важным аспектом понимания динамики колебаний. Для этого достаточно проанализировать изменение координат x и y в начальный момент времени и сразу после него.

   Вернемся к нашим уравнениям:
   x(t) = A cos(ωt)
y(t) = -B sin(ωt) (получено из y = B cos(ωt + → 0+):

   • Для x(t): Косинус функции cos(ωt) при малых положительных ωt уменьшается от своего максимального значения 1. Следовательно, координата x будет уменьшаться от A.
   • Для y(t): Синус функции sin(ωt) при малых положительных ωt увеличивается от 0. Поскольку y(t) = -B sin(ωt), то координата y будет становиться отрицательной и по модулю увеличиваться.

Следовательно, точка начинает движение из положения (A, 0) в сторону уменьшения x и в сторону отрицательных значений y. Это соответствует движению по часовой стрелке.

Что если бы фазовый сдвиг был —π/2?
Если бы исходное уравнение для y было y = B cos(ωt — π/2), то, используя тождество cos(α — π/2) = sin(ωt).
В этом случае:

• При t = 0: x = A, y = 0. Точка также в (A, 0).
• При t → 0+: x уменьшается, а y = B sin(ωt) становится положительным и увеличивается.

Такое движение из (A, 0) в сторону уменьшения x и положительных y соответствует движению против часовой стрелки.

Таким образом, знак фазового сдвига напрямую определяет направление вращения точки по эллиптической траектории.

Выводы и заключение

На протяжении этого подробного анализа мы прошли путь от фундаментальных определений гармонических колебаний до сложного, но логически стройного описания их суперпозиции в условиях взаимно перпендикулярных направлений. Мы успешно решили типовую задачу, продемонстрировав, как из простых параметрических уравнений движения можно вывести уравнение траектории, которая в нашем случае оказалась эллипсом.

Ключевые моменты нашего исследования включают:

• Четкое определение базовых параметров колебаний: амплитуды, частоты, фазы и принцип суперпозиции.
• Систематическое рассмотрение общих математических методов исключения времени из системы уравнений колебаний, что является универсальным подходом в физике.
• Пошаговый математический вывод уравнения эллиптической траектории для специфического случая одинаковых частот и фазового сдвига в π/2, с акцентом на применение тригонометрических тождеств.
• Глубокий анализ полученного уравнения, включая интерпретацию его как эллипса и рассмотрение частных случаев, таких как окружность.
• Детальное описание фигур Лиссажу, их зависимости от соотношения амплитуд, частот и разности фаз, а также практического метода определения отношения частот по их форме.
• Представление методов графического построения траектории — как через пошаговый расчет точек, так и через метод проекций, дополненное упоминанием об использовании электронно-лучевого осциллографа для практических наблюдений.
• Строгое определение направления движения точки по эллиптической траектории, основанное на анализе изменения координат в начальные моменты времени, что позволило связать фазовый сдвиг с направлением вращения.

Полученные знания и навыки не просто являются частью учебной программы; они формируют основу для понимания более сложных явлений в оптике, акустике, радиотехнике и многих других областях физики и инженерии. Способность анализировать и предсказывать движение частиц под действием нескольких колебаний является бесценным инструментом для каждого студента, стремящегося к глубокому осмыслению окружающего мира и его математического описания.

Список использованной литературы

1. Методичка кафедры физики Надымского филиала ТюмГНГУ.
2. Что такое гармонические колебания: формулы, закон и примеры в физике. Дом Знаний. URL: https://domznaniy.com/chto-takoe-garmonicheskie-kolebaniya-formuly-zakon-i-primery-v-fizike/ (дата обращения: 04.11.2025).
3. Фигуры Лиссажу. КИПиС. URL: http://www.kipis.ru/terms/Figures-Lissajous.php (дата обращения: 04.11.2025).
4. Гармонические колебания — формулы, законы, примеры. Skysmart. URL: https://skysmart.ru/articles/physics/garmonicheskie-kolebaniya (дата обращения: 04.11.2025).
5. Сложение гармонических колебаний. Фигуры Лиссажу. Презентация урока для интерактивной доски по физике (11 класс). URL: https://урок.рф/library/slozhenie_garmonicheskih_kolebanij_figuri_lissazhu_150702.html (дата обращения: 04.11.2025).
6. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Оптика и волны. URL: http://optics.phys.msu.ru/lectures/book_optics_and_waves/html/1_5.htm (дата обращения: 04.11.2025).
7. Фигуры Лиссажу. DiSpace. URL: http://dispace.edu.nstu.ru/dspace/bitstream/123456789/414/1/Lissajous.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
8. Суперпозиции принцип. Большая российская энциклопедия. URL: https://bigenc.ru/physics/text/4173550 (дата обращения: 04.11.2025).
9. Частота, амплитуда, период и фаза колебаний — простыми словами. Easy-physics.ru. URL: https://easy-physics.ru/fizicheskie-velichiny/chastota-amplituda-period-faza-kolebanij (дата обращения: 04.11.2025).
10. Гармонические колебания. Объединение учителей Санкт-Петербурга. URL: http://www.edu.ru/modules.php?op=modload&name=Web_Links&file=index&req=viewlink&cid=286&newlang=russian (дата обращения: 04.11.2025).
11. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Moodle СФУ. URL: https://moodle.sfu-kras.ru/pluginfile.php/127160/mod_resource/content/1/5.5.%20Сложение%20взаимно%20перпендикулярных%20колебаний.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
12. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. Трофимова Т.И. URL: https://www.phys.kgu.edu.ru/files/2016/02/Трофимова.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
13. Гармонические колебания. Амплитуда, период и частота колебательного движения. Syl.ru. URL: https://www.syl.ru/misc/docs/garmonicheskie-kolebaniya.pptx (дата обращения: 04.11.2025).
14. Лиссажу фигуры. Большая российская энциклопедия. URL: https://bigenc.ru/physics/text/2147321 (дата обращения: 04.11.2025).
15. Амплитуда, фаза, частота — основные понятия теории колебаний. Успехи физических наук. URL: https://ufn.ru/ufn01/ufn01_10/Russian/r0110c.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
16. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. BSPU. URL: https://bspu.by/static/science/metodichki/Sbornik-lekciy-po-fizike-chast-2.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
17. Фигуры Лиссажу. Cyberleninka. URL: https://cyberleninka.ru/article/n/figury-lissazhu-1/viewer (дата обращения: 04.11.2025).
18. Сложение гармонических колебаний. Siblec.ru. URL: http://siblec.ru/fizika/lektsii-po-fizike/lektsii-po-fizike-volny-i-kolebaniya/slozhenie-garmonicheskikh-kolebanii (дата обращения: 04.11.2025).
19. Фигуры Лиссажу. ИрГУПС. URL: https://irgups.ru/site/assets/files/2521/lissagou.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
20. Метод фигур Лиссажу. МИРЭА. URL: https://www.mirea.ru/upload/iblock/c38/k3s2t30.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
21. Гармоническое колебание, уравнения, графики движения. Изменение координаты, скорости, ускорения со временем. Примеры, тесты. Physicedu.ru. URL: https://physicedu.ru/mechanics/kolebaniya-volny/garmonicheskie-kolebaniya-uravneniya-grafiki-dvizheniia-izmenenie-koordinaty-skorosti-uskoreniya-so-vremenem-primery-testy (дата обращения: 04.11.2025).
22. Фаза колебаний. Википедия. URL: https://ru.wikipedia.org/wiki/Фаза_колебаний (дата обращения: 04.11.2025).
23. Глава 11. Механические колебания и волны. СДАМ ГИА. URL: https://ege.sdamgia.ru/physics_theory/11 (дата обращения: 04.11.2025).
24. Гармонические колебания. Lectures.edu.ru. URL: http://lectures.edu.ru/files/docs/30-01-2015/Garmonich_koleban_-_lection.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
25. Слайд 1. OPDS.ru. URL: http://opds.ru/wp-content/uploads/2015/05/25.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
26. В чем заключается принцип суперпозиции в системах с несколькими гармоническими колебаниями? Вопросы к Поиску с Алисой (Яндекс Нейро). URL: https://yandex.ru/q/question/fizika_kolebaniia_garmonicheskie_kolebaniia_c32720d3/ (дата обращения: 04.11.2025).
27. СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО-ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ. Vuzlit.ru. URL: https://vuzlit.ru/638914/slozhenie_vzaimno_perpendikulyarnyh_kolebaniy (дата обращения: 04.11.2025).
28. СЛОЖЕНИЕ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ (ФИГУРЫ ЛИССАЖУ). CORE. URL: https://core.ac.uk/download/pdf/197258327.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
29. Моделирование фигур Лиссажу. Инфоурок. URL: https://infourok.ru/issledovanie-garmonicheskih-kolebaniy-modelirovanie-figur-lissazhu-v-ms-excel-3642306.html (дата обращения: 04.11.2025).
30. Электронно-лучевой осциллограф. МГУ. URL: https://phys.msu.ru/rus/about/sovphys/docs/lab/04.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
31. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний. УрФУ. URL: https://elar.urfu.ru/bitstream/10995/107767/1/pif_2022_124.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
32. Принцип суперпозиции. Window.edu.ru. URL: https://window.edu.ru/resource/211/72211/files/bguir.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
33. ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА ПО ИЗУЧЕНИЮ МОДЕЛЕЙ ФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ НА КОМП. Томский политехнический университет. URL: https://earchive.tpu.ru/bitstream/11683/60907/1/conference_TPU-2022-C1-29.pdf (дата обращения: 04.11.2025).
34. СЛОЖЕНИЕ ДВУХ ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫХ КОЛЕБАНИЙ. Белорусский государственный университет информатики и радиоэлектроники. URL: https://lib.bsuir.by/handle/123456789/22055 (дата обращения: 04.11.2025).