Сборник упражнений по логике: от понятия и суждения до умозаключения

Зачем нужна практика в логике, и как этот сборник поможет вам сдать экзамен

Многих студентов перед контрольной или экзаменом по логике охватывает тихая паника. Сложные термины, абстрактные законы и пугающие символы создают ощущение, что это нечто недоступное, сродни высшей математике. Возникает главный страх — «завалить» предмет из-за непонимания, как применить теорию на практике.

Но вот в чем секрет: логика — это не столько философия, сколько практический навык, который тренируется, как мышцы в спортзале. Нельзя научиться плавать, просто читая книгу о стилях плавания; нужно прыгнуть в воду. Точно так же нельзя освоить логику, просто выучив определения. Теория без практики мертва, а наш сборник — это ваш персональный тренажер.

Мы разработали его структуру специально для эффективной подготовки. Каждый раздел построен по проверенной схеме: сначала вы получаете концентрированную теоретическую базу, затем разбираете наглядный пример, и только после этого приступаете к решению типовых упражнений, которые часто встречаются в контрольных работах. Это позволяет не просто запомнить материал, а выработать точность и последовательность рассуждений, развить критическое мышление и уверенно применять знания на экзамене. Теперь, когда мы понимаем ценность практики, давайте разберемся, как устроен наш тренажер, чтобы вы могли использовать его максимально эффективно.

Как устроен наш практикум, и как с ним работать

Чтобы вы получили максимум пользы, мы разбили весь материал на 4 ключевых раздела, которые соответствуют основным темам курса логики. Каждый раздел устроен по принципу «от простого к сложному» и включает в себя три обязательных элемента:

1. Краткая теоретическая выжимка. Только самое необходимое, без «воды», чтобы освежить в памяти ключевые определения и правила.
2. Пример решения типовой задачи. Мы наглядно показываем, как применять теорию для решения конкретного упражнения.
3. Блок упражнений для самостоятельной работы. Задачи разного типа для закрепления навыка, снабженные ответами для немедленной самопроверки.

Вот главная рекомендация для эффективной работы: не перескакивайте через темы. Последовательно идите от раздела к разделу. Внимательно прочитайте теорию, досконально разберите предложенный пример и только потом приступайте к практике. И самое важное — постарайтесь не подглядывать в ответы сразу. Попытайтесь решить задачу самостоятельно, ведь именно в процессе поиска решения и происходит настоящее обучение. Отлично, с правилами ознакомились. Начнем с самого фундамента — с кирпичика, из которого строится любое рассуждение.

Раздел 1. Понятие как фундаментальный элемент мышления

Любое наше рассуждение, от простого бытового до сложного научного, построено из «кирпичиков» — понятий. Понятие — это форма мышления, которая отражает общие и существенные признаки предметов или явлений. Например, понятие «студент» включает в себя всех людей, которые учатся в высших или средних специальных учебных заведениях, отсекая несущественные признаки (возраст, пол, цвет волос).

Чтобы правильно оперировать понятиями, нужно освоить четыре ключевые логические операции:

• Определение — раскрытие содержания понятия. Например: «Термометр — это прибор для измерения температуры».
• Деление — раскрытие объема понятия. Например: «Деревья бывают хвойные и лиственные».
• Обобщение — переход от понятия с меньшим объемом, но большим содержанием, к понятию с большим объемом, но меньшим содержанием. Проще говоря, движение от частного к общему.
  

  Пример обобщения: Земля → планета Солнечной системы → планета → небесное тело.

• Ограничение — операция, обратная обобщению. Это переход от общего к частному.
  

  Пример ограничения: Политическая партия → парламентская партия → партия «Единство».

Понимание этих операций — ключ к решению большинства задач по данной теме. Теория ясна. Теперь посмотрим, как эти операции выглядят в реальных задачах, которые встретятся вам на контрольной.

Практикум по теме «Понятие» с разбором решений

Давайте отработаем полученные знания на практике. Попробуйте выполнить следующие упражнения, а затем сверьтесь с ответами.

Упражнение 1. Определите отношение между понятиями

Задача (на основе упр. 15.9): Определите вид отношения между понятиями «Эрудиция» и «Невежество», изобразите его с помощью круговых схем Эйлера.

Решение: Эти понятия являются противоположными (контрарными). Они обозначают крайние точки в рамках одного родового понятия («уровень знаний»), но между ними есть промежуточное звено (например, «недостаточная осведомленность»). Их объемы не пересекаются. Схема Эйлера будет выглядеть как два отдельных круга в рамках одного большого круга (уровень знаний).

Упражнение 2. Ограничьте понятие

Задача (на основе упр. 18.9): Ограничьте понятие «Политическая партия».

Решение: Ограничить — значит перейти к понятию с меньшим объемом. Возможная цепочка: Политическая партия → Оппозиционная партия → Радикальная оппозиционная партия.

Упражнение 3. Проверьте правильность определения

Задача (на основе упр. 24.9): Установите правильность определения: «Правоспособность – способность иметь права».

Решение: Определение неправильное. Допущена ошибка, известная как «тавтология» или «круг в определении». Определяемое понятие («правоспособность») по сути повторяется в определяющей части («способность иметь права»). Правильное определение должно раскрывать содержание через другие, уже известные понятия.

Упражнение 4. Проверьте правильность деления

Задача (на основе упр. 28.4): Проверьте правильность деления: «Проступки бывают дисциплинарные, административные и аморальные».

Решение: Деление неправильное. Нарушено правило единого основания. Здесь смешаны два разных основания деления: юридическая ответственность (дисциплинарные, административные проступки) и моральная оценка (аморальные проступки). Один и тот же проступок может быть одновременно, например, административным и аморальным. Мы научились работать с отдельными «кирпичиками». Теперь давайте научимся складывать их в «стены» — в суждения.

Раздел 2. Суждение как форма выражения мысли

Если понятие — это «кирпичик», то суждение — это уже мысль, выраженная в виде повествовательного предложения, относительно которого можно сказать, истинно оно или ложно. Например, «Все планеты вращаются вокруг звезд» — это истинное суждение, а «Земля плоская» — ложное.

Каждое простое суждение имеет четкую структуру:

• Субъект (S) — то, о чем говорится в суждении.
• Предикат (P) — то, что говорится о субъекте.
• Связка — глагол, соединяющий субъект и предикат (часто «есть», «является», «суть»).
• Квантор — слово, указывающее на объем субъекта («все», «некоторые», «ни один»).

Суждения бывают простыми (одна мысль) и сложными (несколько мыслей, соединенных логическими связками). Именно сложные суждения чаще всего вызывают трудности. Ключевые связки:

1. Конъюнкция (A ∧ B): «и», «а», «но». Истинна только тогда, когда истинны оба простых суждения.
2. Дизъюнкция (A ∨ B): «или». Бывает нестрогой (истинна, когда истинно хотя бы одно суждение) и строгой (истинна, когда истинно только одно суждение).
3. Импликация (A → B): «если…, то…». Ложна только в одном случае: когда посылка (A) истинна, а следствие (B) ложно.

Теперь, когда мы понимаем структуру суждений, перейдем к практике их анализа и формализации.

Практикум по теме «Суждение» с анализом и ответами

Применим теорию для анализа и формализации суждений.

Упражнение 1. Символическая запись сложного суждения

Задача (на основе упр. 4.9): Выразите в символической записи суждение: «Высшим непосредственным выражением воли народа являются референдум и свободные выборы».

Решение: Здесь мы имеем дело с конъюнкцией (союз «и»). Обозначим: A – «Высшим непосредственным выражением воли народа является референдум», B – «Высшим непосредственным выражением воли народа являются свободные выборы». Символическая запись: A ∧ B.

Упражнение 2. Полная классификация простого суждения

Задача (на основе упр. 6.9): Дайте объединенную классификацию суждения: «Все акты моей комедии (S) при всем их разнообразии протекают в течение года (P)».

Решение: Это суждение общеутвердительное (тип А). Субъект (S) «Все акты моей комедии» — распределен, так как говорится обо всех актах без исключения. Предикат (P) «протекают в течение года» — не распределен, так как кроме актов этой комедии в течение года могут протекать и другие события.

Упражнение 3. Определение вида дизъюнкции

Задача (на основе упр. 11.9): Определите вид дизъюнкции в суждении: «Жизнь коротка, искусство вечно».

Решение: В явной форме с союзом «и» это суждение звучит так: «Жизнь коротка, и искусство вечно». Это не дизъюнкция, а конъюнкция. Если бы суждение было, например, «На каникулах я поеду на море или в горы», это была бы строгая дизъюнкция, так как нельзя одновременно быть в двух местах.

Упражнение 4. Анализ условного суждения

Задача (на основе упр. 12.8): Укажите антецедент (основание) и консеквент (следствие) в суждении: «Когда служащие нарушают дисциплину, администрация вправе потребовать у них объяснения».

Решение: Сформулируем в явной логической форме: «Если служащие нарушают дисциплину, то администрация вправе потребовать у них объяснения».

• Антецедент (основание): «служащие нарушают дисциплину».
• Консеквент (следствие): «администрация вправе потребовать у них объяснения».

Мы умеем строить «стены». Пришло время возводить из них целое «здание» — научиться делать выводы, то есть строить умозаключения.

Раздел 3. Умозаключение как процесс получения нового знания

Умозаключение — это логическая операция, в результате которой из одного или нескольких исходных суждений (посылок) выводится новое суждение (заключение). Это и есть процесс рассуждения в чистом виде.

Все умозаключения делятся на два больших типа:

• Индукция — движение мысли от частных случаев к общему выводу. Например, заметив, что железо, медь и цинк проводят ток, мы делаем общий вывод: «Все металлы проводят ток». Этот вывод вероятностный.
• Дедукция — движение мысли от общего правила к частному случаю. Классический пример: «Все люди смертны (общая посылка). Сократ — человек (частная посылка). Следовательно, Сократ смертен (заключение)». Если посылки истинны, дедуктивный вывод всегда будет достоверным.

В этом разделе мы сфокусируемся именно на дедукции. Простейшие дедуктивные выводы делаются из одной посылки путем ее преобразования. К таким операциям относятся:

1. Превращение: изменяется качество связки (с «есть» на «не есть» или наоборот), а предикат заменяется на противоречащий ему.
2. Обращение: субъект и предикат меняются местами.
3. Противопоставление предикату: сначала делается превращение, а затем обращение полученного суждения.

Отношения между простыми суждениями разной истинности наглядно показывает логический квадрат. Разберем эти операции на конкретных примерах, чтобы увидеть, как они работают.

Практикум. Как делать выводы из простых суждений

Отработаем навыки преобразования суждений и работы с логическим квадратом.

Упражнение 1. Превращение суждения

Задача (на основе упр. 2.2): Сделайте правильное превращение из суждения «Некоторые ягоды несъедобны».

Решение: Это частноотрицательное суждение (тип О): «Некоторые S не есть P». При превращении связка меняется на утвердительную, а предикат — на противоречащий.

Правильный вывод: «Некоторые ягоды являются несъедобными (или съедобными)». Исходный вывод «Некоторые ягоды съедобны» является неправильным, так как он не следует логически.

Упражнение 2. Обращение суждения

Задача (на основе упр. 6.7): Сделайте правильное обращение из суждения «Всякое нарушение – противоправное деяние».

Решение: Это общеутвердительное суждение (тип А): «Все S есть P». Субъект и предикат меняются местами. Важно помнить, что общеутвердительные суждения обращаются в частноутвердительные.

Правильный вывод: «Некоторые противоправные деяния являются нарушениями». Вывод «Все противоправные деяния — нарушения» был бы ошибкой, так как существуют и другие виды противоправных деяний (например, преступления).

Упражнение 3. Работа с логическим квадратом

Задача (на основе упр. 10.7): Исходное суждение «Все свидетельские показания подтвердились» истинно. Какие выводы можно сделать об истинности других суждений по логическому квадрату?

Решение:

1. Наше суждение — общеутвердительное (A), и оно истинно.
2. Противоречащее (О): «Некоторые свидетельские показания не подтвердились» — будет ложно.
3. Противоположное (E): «Ни одно свидетельское показание не подтвердилось» — будет ложно.
4. Подчиненное (I): «Некоторые свидетельские показания подтвердились» — будет истинно.

Теперь усложним задачу. Научимся делать выводы не из одного, а из нескольких сложных суждений.

Практикум. Как решать задачи на выводы из сложных суждений

Здесь мы работаем с умозаключениями, где посылками выступают сложные суждения — условные или разделительные.

Упражнение 1. Условное умозаключение

Задача (на основе упр. 3.8): Из посылки «Беда, коль пироги начнет печи сапожник» постройте умозаключение по утверждающему и отрицающему модусу.

Решение: Сначала приведем к явной форме: «Если пироги начнет печи сапожник (A), то случится беда (B)». Схема: A → B.

• а) Утверждающий модус (modus ponens): Мы утверждаем основание.

  Посылка 1: Если пироги начнет печи сапожник (A), то случится беда (B).
  Посылка 2: Сапожник начал печь пироги (A).
  Заключение: Следовательно, случилась беда (B).

• б) Отрицающий модус (modus tollens): Мы отрицаем следствие.

  Посылка 1: Если пироги начнет печи сапожник (A), то случится беда (B).
  Посылка 2: Беды не случилось (не-B).
  Заключение: Следовательно, сапожник не начинал печь пироги (не-A).

Упражнение 2. Разделительное умозаключение

Задача (на основе упр. 7.8): Из посылки «Кража могла быть совершена либо Б., либо В., либо Г» постройте умозаключение.

Решение: Это разделительная посылка (A ∨ B ∨ C).

• Утверждающе-отрицающий модус: Мы утверждаем одну из альтернатив.

  Посылка 1: Кража могла быть совершена либо Б., либо В., либо Г.
  Посылка 2: Доказано, что ее совершил Б.
  Заключение: Следовательно, ее не совершали ни В., ни Г.

• Отрицающе-утверждающий модус: Мы отрицаем все альтернативы, кроме одной.

  Посылка 1: Кража могла быть совершена либо Б., либо В., либо Г.
  Посылка 2: Доказано, что ни В., ни Г. ее не совершали.
  Заключение: Следовательно, ее совершил Б.

Упражнение 3. Реконструкция рассуждения

Задача (на основе упр. 8.8): Восстановите логическую форму рассуждения Шерлока Холмса.

Решение: Холмс использует отрицающе-утверждающий модус разделительно-категорического умозаключения.

1. Разделительная посылка: Преступник мог проникнуть через дверь, окно, дымоход или крышу. (В тексте подразумевается, что дверь и окно уже исключены).
2. Утверждение: Нам известно, что преступник не проник через дымовой ход. Мы знаем также, что он не мог спрятаться в комнате.
3. Заключение: Следовательно, он мог проникнуть в эту комнату через крышу.

Мы освоили основные строительные блоки. Осталось изучить «правила техники безопасности» — фундаментальные законы, нарушение которых рушит любое рассуждение.

Раздел 4. Законы логики как гарантия правильного мышления

Чтобы наши рассуждения были не только стройными, но и истинными, они должны подчиняться четырем фундаментальным законам формальной логики. Это своего рода «конституция» правильного мышления, обеспечивающая его определенность, непротиворечивость и обоснованность.

1. Закон тождества. Всякая мысль в процессе рассуждения должна оставаться тождественной самой себе. Это означает, что нельзя подменять понятия.
   

   Пример нарушения: В споре о «плохой жизни» один говорит о материальных трудностях, а другой — о моральном климате в обществе. Они нарушают закон тождества, так как говорят о разном, используя одно и то же выражение.

2. Закон непротиворечия. Два несовместимых друг с другом суждения не могут быть одновременно истинными; по крайней мере одно из них ложно. Нельзя утверждать A и не-A одновременно об одном и том же предмете в одно и то же время.
   

   Пример нарушения: «Этот человек — отличный семьянин, хотя и изменяет жене».

3. Закон исключённого третьего. Два противоречащих суждения не могут быть одновременно ложными, одно из них необходимо истинно. Tertium non datur — третьего не дано. Либо А, либо не-А.
   

   Пример нарушения: «Этот подсудимый не является ни виновным, ни невиновным». В рамках правовой системы это невозможно.

4. Закон достаточного основания. Всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснована. Любой тезис нужно доказывать, приводя аргументы.
   

   Пример нарушения: «Я считаю, что этот проект провалится. У меня просто плохое предчувствие». Предчувствие не является достаточным основанием.

Теперь, когда мы знаем правила, научимся выявлять их нарушения в практических задачах.

Практикум по теме «Законы логики»

Определите, какой закон логики нарушен в каждом из следующих отрывков, и объясните, почему.

1. Фрагмент 1: «На собрании жильцов Петров выступил с резкой критикой управляющей компании. Он говорил правильные вещи, но я с ним не согласен, потому что он сам никогда не платит за квартиру вовремя».
2. Фрагмент 2: «Все студенты нашей группы подготовились к семинару. Правда, Иванов и Сидоров не смогли найти нужную литературу, поэтому пришли неподготовленными».
3. Фрагмент 3: Менеджер клиенту: «Вы должны выбрать один из двух тарифов: либо наш супер-быстрый и дорогой, либо медленный и дешевый. Но для вас мы можем предложить средний по скорости и цене вариант».
4. Фрагмент 4: Учитель — ученику: «Почему ты считаешь, что корень из 25 равен пяти?» Ученик: «Потому что так написано в конце учебника».

Ответы:

1. Нарушен закон тождества. Произошла подмена тезиса: вместо обсуждения аргументов Петрова по существу («правильные вещи») оппонент перешел на обсуждение личности самого Петрова.
2. Нарушен закон непротиворечия. Одновременно утверждается, что «все студенты подготовились» и что «некоторые студенты (Иванов и Сидоров) не подготовились». Эти два суждения не могут быть одновременно истинными.
3. Нарушен закон исключённого третьего. Менеджер сначала формулирует строгую дизъюнкцию («либо А, либо Б»), предполагающую отсутствие третьего варианта, а затем сам же его и предлагает, тем самым делая свое первоначальное утверждение ложным.
4. Нарушен закон достаточного основания. Ссылка на ответ в учебнике не является достаточным основанием для математического утверждения. Обоснованием было бы доказательство (например, «потому что 5 в квадрате равно 25»).

Поздравляем! Вы прошли весь курс молодого бойца. Давайте подведем итоги и посмотрим, куда двигаться дальше.

Что дальше, или как применять полученные навыки не только на экзамене

Мы проделали большой путь: от базового «кирпичика»-понятия до построения суждений, от них — к возведению стройных умозаключений и, наконец, изучили фундаментальные законы, обеспечивающие прочность всей конструкции нашего мышления. Теперь вы вооружены не просто набором знаний для сдачи зачета, а мощным инструментом.

Как мы и говорили в самом начале, логика — это практический навык. И теперь вы можете применять его повсюду:

• В споре с оппонентом: вы сможете четко отслеживать подмену понятий, выявлять противоречия в аргументации и требовать достаточных оснований для его выводов.
• При написании курсовой работы: умение строить последовательные и доказательные рассуждения поможет вам создать структурированный и убедительный текст.
• При анализе новостей: вы научитесь отличать факты от оценочных суждений и видеть логические манипуляции, скрытые в громких заголовках.

Продолжайте практиковаться, решать задачи, и очень скоро вы заметите, насколько яснее и точнее стала ваша собственная мысль. Удачи на контрольных и экзаменах!