Постановка задачи и определение стратегии решения
Представим физическую систему: у нас есть широкий цилиндрический сосуд радиусом R = 2 см, в стенку которого вставлен тонкий горизонтальный капилляр. Длина капилляра l = 2 см, а его внутренний радиус r = 1 мм. Сосуд наполнен касторовым маслом, обладающим значительной динамической вязкостью η = 1,2 Па·с. Нам необходимо решить две задачи: во-первых, вывести общую формулу, показывающую зависимость скорости понижения уровня масла в сосуде (v) от высоты этого уровня над капилляром (h). Во-вторых, рассчитать конкретное значение этой скорости, когда высота столба жидкости составляет h = 26 см. Наша стратегия — не искать готовую формулу, а самостоятельно вывести ее, опираясь на фундаментальные законы гидродинамики.
Какие физические законы лежат в основе решения
Для успешного решения нам понадобятся два ключевых физических принципа, описывающих движение жидкости. Первым и основным является закон Пуазейля. Этот закон описывает ламинарное (слоистое, без завихрений) течение вязкой жидкости через тонкую цилиндрическую трубу. Он гласит, что объемный расход жидкости (Q), то есть объем, протекающий через сечение трубы в единицу времени, прямо пропорционален перепаду давлений на концах трубы (Δp) и четвертой степени ее радиуса (r⁴), и обратно пропорционален длине трубы (l) и вязкости жидкости (η).
Формула закона Пуазейля выглядит так:
Q = (πr⁴Δp) / (8ηl)
Второй инструмент — это уравнение неразрывности потока. Это, по сути, выражение закона сохранения массы для текущей жидкости. Оно утверждает, что сколько жидкости убывает из одной части замкнутой системы, столько же должно прибывать в другую. В нашем случае это означает, что объем касторового масла, который уходит из широкого сосуда за секунду, в точности равен объему, который протекает через капилляр за ту же секунду. Именно комбинация этих двух законов и позволит нам элегантно решить поставленную задачу.
Собираем воедино, или Как вывести рабочую формулу для нашей задачи
Теперь наступает самый интересный этап — синтез. Мы объединим общие законы в одну формулу, описывающую конкретно нашу систему. Сделаем это пошагово.
- Выразим объемный расход через скорость в сосуде. Объем жидкости, уходящей из основного сосуда в секунду (Q₁), равен площади поверхности жидкости (πR²) умноженной на скорость понижения уровня (v). Получаем: Q₁ = πR²v.
- Запишем объемный расход для капилляра. Согласно закону Пуазейля, объемный расход в капилляре (Q₂) равен: Q₂ = (πr⁴Δp) / (8ηl).
- Применим уравнение неразрывности. Так как сколько масла ушло из сосуда, столько же прошло через капилляр, мы можем приравнять оба выражения: Q₁ = Q₂. Следовательно: πR²v = (πr⁴Δp) / (8ηl).
- Найдем перепад давлений. Давление, которое «проталкивает» масло через капилляр, создается весом столба жидкости высотой h. Это гидростатическое давление, которое рассчитывается как Δp = ρgh, где ρ — плотность жидкости (для касторового масла это справочная величина, примерно ρ ≈ 961 кг/м³), а g — ускорение свободного падения (≈ 9,8 м/с²).
- Подставим давление в формулу и выразим скорость. Заменим Δp в нашем уравнении и проведем алгебраические преобразования, чтобы выделить искомую скорость v.
πR²v = (πr⁴(ρgh)) / (8ηl)
Сократив π и выразив v, получаем итоговую рабочую формулу:
v = (r⁴ρgh) / (8ηlR²)
Мы получили элегантную формулу, связывающую все параметры системы. Теперь начинается более простая, расчетная часть работы.
Шаг 1. Находим аналитическую зависимость скорости от высоты
Первый вопрос задачи — найти зависимость v(h) в общем виде. Для этого мы возьмем выведенную формулу и подставим в нее все известные нам константы. Крайне важно перед расчетами привести все величины к единой системе измерений — СИ (метры, килограммы, секунды).
- R = 2 см = 0.02 м
- r = 1 мм = 0.001 м
- l = 2 см = 0.02 м
- η = 1,2 Па·с
- ρ ≈ 961 кг/м³
- g ≈ 9,8 м/с²
Подставив эти значения в нашу формулу v = (r⁴ρg / (8ηlR²)) * h, мы можем рассчитать постоянный коэффициент (k).
k = ((0.001)⁴ * 961 * 9.8) / (8 * 1.2 * 0.02 * (0.02)²) ≈ 1.226 * 10⁻⁴ c⁻¹
Таким образом, искомая аналитическая зависимость имеет вид: v ≈ (1.226 * 10⁻⁴) * h. Это и есть ответ на первый вопрос задачи.
Шаг 2. Выполняем численный расчет для заданного уровня
Теперь ответим на второй вопрос: какова будет скорость при высоте столба h = 26 см? Для этого мы просто используем полученную на предыдущем шаге зависимость, не забыв перевести высоту в метры: h = 26 см = 0.26 м.
Подставляем значение в нашу формулу:
v ≈ (1.226 * 10⁻⁴) * 0.26
Проведя вычисления, получаем итоговый численный результат:
v ≈ 3.188 * 10⁻⁵ м/с
Этот ответ абсолютно верен, но для лучшего восприятия его можно перевести в более наглядные единицы. Например, в миллиметры в секунду: v ≈ 0.032 мм/с. То есть скорость очень мала, что и ожидаемо для такой вязкой жидкости, как касторовое масло.
Что на самом деле говорят нам полученные результаты
Полученная нами зависимость v = k * h является линейной. Что это означает с физической точки зрения? Это говорит о том, что скорость истечения жидкости прямо пропорциональна высоте ее столба. Такой вывод абсолютно логичен: чем выше уровень масла, тем большее гидростатическое давление оно создает на входе в капилляр, и, следовательно, тем быстрее оно «продавливается» через узкое отверстие. По мере того как сосуд будет пустеть, высота h будет уменьшаться, и скорость истечения будет плавно и линейно падать, стремясь к нулю.
Заключение и ключевые выводы
Мы успешно решили задачу, пройдя полный путь от анализа условия до интерпретации результата. Логика наших действий была проста и эффективна: мы определили фундаментальные законы, управляющие процессом (закон Пуазейля и уравнение неразрывности), скомбинировали их для вывода конкретной рабочей формулы и лишь затем применили ее для аналитических и численных расчетов. Главный вывод, который можно сделать: глубокое понимание базовых физических принципов позволяет уверенно решать даже те задачи, для которых у вас нет готовой формулы в учебнике.