Анализ и решение задачи по комбинаторике: рассадка пассажиров в поезде

Одна из тех задач по комбинаторике, которая может поставить в тупик на контрольной, часто формулируется просто, но требует четкой логики. Давайте разберем ее. Условие звучит так: в пассажирском поезде 9 вагонов. Сколькими способами можно рассадить в них четырех человек, при условии, чтобы все они оказались в разных вагонах? Ключ к решению этой задачи — не в сложных вычислениях, а в последовательном и ясном понимании логики выбора. Когда условие понятно, давайте разберемся, к какому разделу математики относится эта задача и какие инструменты нам понадобятся.

С чего начинается правильное решение любой задачи по комбинаторике

Чтобы найти правильный путь, сначала нужно определить тип задачи. В комбинаторике есть три базовых понятия: перестановки, сочетания и размещения. Наш случай — это классическая задача на размещения, и вот почему. Ключевое отличие размещений в том, что нам важен не только состав выбранных элементов, но и их порядок. Представьте: ситуация, где пассажир ‘А’ сел в вагон №1, а пассажир ‘Б’ — в вагон №2, fundamentally отличается от ситуации, где ‘Б’ в вагоне №1, а ‘А’ — во втором. Поскольку порядок рассадки пассажиров по вагонам имеет значение, мы однозначно имеем дело с размещениями.

Рассуждаем последовательно, или Как решить задачу без формул

Самый надежный способ решить эту задачу — представить себя на месте того, кто рассаживает пассажиров, и действовать пошагово. Этот метод опирается на фундаментальное правило произведения в комбинаторике.

  1. Выбор для первого пассажира: Он заходит в пустой поезд. Перед ним 9 свободных вагонов. У него есть 9 вариантов выбора.
  2. Выбор для второго пассажира: Один вагон уже занят. Следовательно, для него остается только 8 свободных вагонов. У него есть 8 вариантов.
  3. Выбор для третьего пассажира: Теперь заняты уже два вагона. Ему приходится выбирать из оставшихся 7. У него 7 вариантов.
  4. Выбор для четвертого пассажира: Трое уже сидят по разным вагонам. Для последнего пассажира остается 6 свободных мест. У него 6 вариантов.

Чтобы найти общее число уникальных способов рассадки, нам нужно перемножить количество вариантов на каждом шаге: 9 × 8 × 7 × 6 = 3024. Этот логический метод абсолютно верен. А теперь давайте посмотрим, как он записывается на формальном языке математики с помощью формул.

Переводим нашу логику на язык формул

То, что мы сделали выше с помощью логических рассуждений, в математике описывается формулой числа размещений. Она выглядит так: A(n, k) = n! / (n-k)!, где n — это общее количество элементов, из которых мы выбираем (в нашем случае 9 вагонов), а k — количество элементов, которые мы размещаем (4 пассажира). Давайте подставим наши значения:

A(9, 4) = 9! / (9-4)! = 9! / 5!

Если расписать факториалы, мы получим: (9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1) / (5 × 4 × 3 × 2 × 1). После сокращения одинаковых множителей в числителе и знаменателе у нас остается то же самое выражение: 9 × 8 × 7 × 6, что равно 3024. Как видите, формула — это просто краткая запись наших логических шагов.

Какие типичные ошибки подстерегают на контрольной работе

На контрольной важна не только правильность, но и отсутствие досадных промахов. Вот две самые распространенные ловушки в подобных задачах:

  • Путаница с сочетаниями. Если бы в условии задачи было неважно, какой конкретно пассажир в каком вагоне сидит (а важен был бы только сам факт занятия четырех вагонов), мы бы использовали сочетания. Но поскольку пассажиры — это разные люди, порядок важен.
  • Неверное применение правила умножения. Некоторые по ошибке умножают 9 само на себя 4 раза (9×9×9×9). Это было бы верным, если бы пассажиры могли садиться в одни и те же вагоны. Но условие «в разных вагонах» меняет все дело.

Всегда внимательно читайте условие — каждое слово в нем имеет значение и напрямую указывает на метод решения.

Заключение и главный вывод

Итак, правильный ответ: существует 3024 способа рассадить четырех человек в девяти разных вагонах. Но главный вывод — не сама цифра. Поняв логику размещений и освоив правило произведения, вы сможете уверенно решить любую аналогичную задачу. Удачи на контрольной!

Похожие записи