Задачи по волновой оптике, и в частности на дифракцию, часто вызывают ступор у студентов. Кажущееся обилие формул и сложных концепций может сбить с толку, особенно при подготовке к контрольной работе. Однако ключ к успеху лежит не в бездумном зазубривании, а в глубоком понимании физического явления и овладении универсальным методом его анализа. В основе решения большинства таких задач лежит элегантный инструмент — концепция зон Френеля.
В этой статье мы разберем не просто частный случай, а целостную методику на примере задачи с точечным источником света и диафрагмой. Освоив этот пошаговый алгоритм, вы сможете уверенно применять его и для других похожих задач. Прежде чем мы приступим к пошаговому решению, необходимо заложить надежный теоретический фундамент. Давайте разберемся, что такое зоны Френеля и почему этот метод так эффективен.
Почему концепция зон Френеля является ключом к решению
Чтобы понять, что произойдет со светом в точке наблюдения B после прохождения через отверстие, французский физик Огюстен Френель предложил гениальный мысленный эксперимент. Он предложил разбить всю поверхность световой волны (волнового фронта), идущей от источника, на кольцевые зоны. Эти зоны строятся по очень простому принципу: расстояние от краев каждой соседней зоны до точки наблюдения B отличается ровно на половину длины волны (λ/2).
Что это дает? Это означает, что колебания, приходящие в точку B от двух соседних зон, находятся в противофазе. Проще говоря, волна от одной зоны приходит «гребнем», а от соседней — «впадиной». В результате они эффективно гасят друг друга. Амплитуда света от каждой следующей зоны немного убывает, но для упрощения можно считать, что каждые две соседние зоны практически полностью компенсируют друг друга.
Из этого следует главный вывод, который является ядром всего метода:
Интенсивность света в точке наблюдения зависит от того, сколько зон Френеля укладывается в открытом отверстии.
- Если в отверстии укладывается нечетное число зон (1, 3, 5…), то действие последней зоны остается нескомпенсированным, и в точке B наблюдается максимум интенсивности (светлое пятно).
- Если же укладывается четное число зон (2, 4, 6…), то зоны попарно гасят друг друга, и в точке B наблюдается минимум интенсивности (темное пятно).
Таким образом, сложная задача о дифракции сводится к простой арифметике — подсчету числа зон, которые «пропускает» диафрагма. Теперь, когда физическая логика метода ясна, мы можем сформулировать из нее четкий пошаговый алгоритм, применимый к любой подобной задаче.
Универсальный алгоритм решения задач на дифракцию Френеля
Чтобы не запутаться в расчетах во время контрольной работы, лучше всего действовать по заранее определенному плану. Весь процесс решения можно разбить на четыре логических шага, которые превратят хаотичный набор данных в структурированное решение.
- Анализ геометрии и условий. Внимательно прочитать условие, нарисовать схему (источник — диафрагма — экран) и выписать все известные величины (длину волны, расстояния, радиус отверстия), переводя их в систему СИ.
- Вывод рабочей формулы. Использовать базовую формулу для радиуса m-й зоны Френеля и выразить из нее искомую величину — число зон m, которое умещается в отверстии при заданных параметрах.
- Расчет и исследование. Подставить в полученную формулу числовые значения из условия задачи. Если какой-то параметр (например, расстояние) меняется, рассчитать начальное и конечное число зон.
- Анализ результата и ответ. Проанализировать полученное число m. Основываясь на его четности или нечетности (или на количестве целых четных/нечетных значений в диапазоне), дать прямой ответ на вопрос задачи.
С этим планом в руках, давайте применим его к нашей конкретной задаче и пройдем все шаги от начала до конца.
Шаг 1. Анализируем условие и геометрию нашей задачи
Сначала полностью приведем условие, с которым мы будем работать:
В точке А находится точечный источник монохроматического света (λ = 500 нм). Диафрагма D c отверстием радиусом r = 1 мм перемещается из точки, отстоящей от А на расстоянии l1 = 1 м, в точку, отстоящую от А на расстоянии l2 = 1,75 м. Сколько k раз будет наблюдаться затемнение в точке В, если АВ = 2 м?
Визуализируем нашу схему. У нас есть три ключевых объекта на одной прямой: источник A, диафрагма D и точка наблюдения B. Обозначим расстояние от источника до диафрагмы как a, а расстояние от диафрагмы до точки наблюдения как b.
Теперь выпишем все данные из условия, сразу переводя их в систему СИ для удобства расчетов:
- Длина волны: λ = 500 нм = 500 * 10-9 м = 0.5 * 10-6 м.
- Радиус отверстия в диафрагме: r = 1 мм = 1 * 10-3 м.
- Общее расстояние от источника до экрана: a + b = 2 м.
- Начальное положение диафрагмы: a₁ = l₁ = 1 м.
- Конечное положение диафрагмы: a₂ = l₂ = 1,75 м.
Ключевой динамический параметр задачи — это положение диафрагмы, то есть расстояние a, которое меняется. Когда меняется a, автоматически меняется и b, так как их сумма всегда постоянна и равна 2 метрам. Мы разобрались с исходными данными. Теперь наша ключевая цель — найти, как число открытых зон Френеля зависит от положения диафрагмы. Для этого нам нужна рабочая формула.
Шаг 2. Выводим формулу для числа зон Френеля
Основой для всех расчетов служит формула для радиуса m-й зоны Френеля. Она выводится из геометрических соображений (по теореме Пифагора для волновых путей) и для случая, когда радиус отверстия много меньше расстояний, имеет вид:
rm² = m * λ * (a * b) / (a + b)
Где rm — радиус внешней границы m-й зоны, m — номер зоны, λ — длина волны, a и b — уже известные нам расстояния. Наша задача — найти, сколько зон m укладывается в отверстии заданного радиуса r. Для этого мы просто приравниваем rm к нашему радиусу r и выражаем из формулы m:
m = r² * (a + b) / (λ * a * b)
Это и есть наша главная рабочая формула. Она показывает, как число открытых зон m зависит от положения диафрагмы (через переменные a и b). Подставим в нее известные нам константы, чтобы упростить дальнейшие вычисления:
- r² = (10-3)² = 10-6 м²
- a + b = 2 м
- λ = 0.5 * 10-6 м
- b = 2 — a
Подставляя, получаем:
m = 10-6 * 2 / (0.5 * 10-6 * a * (2 — a)) = 4 / (a * (2 — a))
Мы получили элегантную зависимость m(a). Задача свелась к аналитической: нам нужно понять, сколько раз m станет четным целым числом, пока a меняется от l₁ до l₂.
Шаг 3. Исследуем изменение числа зон при движении диафрагмы
Теперь проведем непосредственные расчеты. Нам нужно найти, в каких пределах менялось число открытых зон m, пока диафрагма двигалась.
1. Начальное состояние. Вычислим число зон m₁, когда диафрагма находилась на расстоянии a = l₁ = 1 м. В этом случае расстояние до экрана b = 2 — 1 = 1 м.
m₁ = 4 / (1 * (2 — 1)) = 4 / 1 = 4
Итак, в начальном положении в отверстии укладывалось ровно 4 зоны Френеля.
2. Конечное состояние. Рассчитаем число зон m₂, когда диафрагма переместилась на расстояние a = l₂ = 1,75 м. В этом случае расстояние до экрана b = 2 — 1.75 = 0.25 м.
m₂ = 4 / (1.75 * (2 — 1.75)) = 4 / (1.75 * 0.25) = 4 / 0.4375 ≈ 9.14
В конечном положении в отверстии укладывалось уже примерно 9.14 зон Френеля.
Таким образом, по мере движения диафрагмы от начальной точки к конечной, число открытых зон Френеля плавно изменилось в диапазоне от 4 до 9.14. Мы определили начальное и конечное состояние системы. Остался финальный шаг — посчитать количество «событий» (затемнений), которые произошли между этими двумя состояниями.
Шаг 4. Подсчитываем количество затемнений и формулируем ответ
Мы подошли к финалу. Вспомним ключевой принцип, сформулированный в самом начале: затемнение в точке наблюдения (минимум интенсивности) происходит тогда, когда в отверстии укладывается целое четное число зон Френеля.
Нам нужно найти, сколько раз число m принимало целые четные значения, пока оно изменялось в диапазоне от 4 до 9.14. Давайте просто перечислим все четные целые числа, которые попадают в этот интервал:
- 4: Это наше начальное значение. В момент старта в точке В уже наблюдается затемнение.
- 6: Следующее четное число. При некотором положении диафрагмы в точке В снова наступит затемнение.
- 8: Последнее целое четное число перед конечным значением 9.14. Это будет третье затемнение.
Подсчитаем их количество. Всего мы насчитали три таких момента. Таким образом, мы можем сформулировать окончательный ответ.
Ответ: За время перемещения диафрагмы затемнение в точке B будет наблюдаться 3 раза.
Задача решена. Но что самое важное — мы освоили метод, который позволит нам справиться с любой подобной работой. Давайте закрепим полученные знания.
Выводы для практики
Давайте еще раз посмотрим на пройденный путь. Мы не просто подставляли числа в готовую формулу, а действовали по четкому алгоритму: сначала проанализировали условие и геометрию, затем вспомнили физический смысл зон Френеля, вывели на его основе рабочую формулу, провели расчеты и, наконец, проанализировали результат, чтобы дать ответ. Этот алгоритм — не частное решение, а универсальный инструмент для анализа подобных оптических систем.
Какой главный совет можно дать для контрольной работы? Не паникуйте при виде сложного условия. Начните с рисунка, выпишите все данные и последовательно применяйте описанный метод. Понимание физической логики, стоящей за формулами, гораздо важнее простого заучивания. Освоив этот подход, вы сможете решать задачи на дифракцию Френеля уверенно и осознанно.