Методическое руководство по решению задач по физике: Механика для студентов технических вузов

В мире, где технологии развиваются с ошеломляющей скоростью, глубокое понимание фундаментальных физических принципов становится не просто желательным, а жизненно необходимым для каждого инженера и ученого. Механика, краеугольный камень классической физики, лежит в основе большинства технических дисциплин, формируя логику мышления и подходы к решению прикладных задач. Однако для многих студентов физика часто предстает как набор разрозненных формул, а не как стройная система взаимосвязанных законов.

Именно здесь и кроется проблема: умение решать задачи не сводится к простому подставлению чисел в готовые уравнения. Оно требует понимания физического смысла каждой величины, логики вывода формул, а главное — способности видеть за условием задачи реальный физический процесс. Какова практическая выгода этого? Такой подход не только обеспечивает успешное решение конкретной задачи, но и развивает аналитическое мышление, необходимое для инноваций и решения нестандартных инженерных проблем в будущем.

Данное методическое руководство ставит своей целью не просто предоставить готовые решения, но и деконструировать процесс решения задач по механике, показывая студентам, как мыслить как физик. Мы рассмотрим основные разделы механики — кинематику, динамику, работу и энергию, вращательное движение, гравитацию и гармонические колебания — через призму академически обоснованного, пошагового анализа. Особое внимание будет уделено нюансам, которые часто ускользают от внимания, распространенным ошибкам и детальным выводам формул, что позволит не только успешно справиться с контрольной работой, но и заложить прочный фундамент для дальнейшего изучения физики. Методология, которую мы будем применять, включает аналитико-синтетический подход: от разбора условия задачи на базовые элементы до синтеза полного решения с глубоким пониманием каждого шага.

Общие принципы и алгоритм решения физических задач

Каждая задача по физике, независимо от её сложности, является своеобразным физическим детективом, требующим не только знания законов, но и умения применять их в конкретных обстоятельствах. Универсальный алгоритм решения не только помогает найти правильный ответ, но и развивает системное мышление, позволяя студенту не паниковать перед незнакомой формулировкой, а методично разбирать её на составляющие. Этот подход является краеугольным камнем для формирования глубокого понимания физических процессов.

Общий алгоритм решения задач

Успешное решение физической задачи начинается задолго до подстановки чисел. Это структурированный процесс, который можно разбить на следующие шаги:

1. Внимательное чтение условия задачи: Это самый первый и, возможно, самый важный шаг. Необходимо не просто прочитать, а понять каждую фразу, каждое слово. Выделить, что дано, что требуется найти, какие специфические условия или ограничения накладываются (например, «идеальная пружина», «отсутствие трения», «мгновенный удар»).
2. Запись краткого условия (Дано): Все известные величины (массы, скорости, расстояния, коэффициенты) записываются с указанием их обозначений и единиц измерения. Важно сразу перевести все величины в систему СИ (Международная система единиц) для избежания ошибок в расчетах. Например, минуты в секунды, километры в метры, граммы в килограммы.
3. Создание схематического рисунка или чертежа: Визуализация физического процесса зачастую проясняет ситуацию лучше любых слов. На рисунке необходимо отметить все тела, их начальные и конечные положения, направления скоростей, действующих сил, оси вращения, векторы импульсов и так далее. Для динамических задач, особенно связанных с взаимодействием, полезно делать два рисунка: «до» и «после» взаимодействия.
4. Выбор системы отсчета (СО) и осей координат: Для большинства задач механики требуется инерциальная система отсчета. Выбор осей координат должен быть максимально удобным для проекции векторов. Например, ось X часто направляют вдоль начального движения или силы, а ось Y — перпендикулярно. Если движение происходит в одной плоскости, достаточно двух осей.
5. Запись основных физических законов и принципов: На этом этапе определяется, какие законы физики применимы к данной ситуации. Это могут быть законы Ньютона, законы сохранения энергии, импульса, момента импульса, закон Гука, закон всемирного тяготения и так далее. Важно записать их в общей (векторной, если применимо) форме, прежде чем переходить к проекциям.
6. Составление математической модели (системы уравнений): На основе выбранных законов и с учетом условий задачи составляется система уравнений. Если величины векторные, их проецируют на выбранные оси координат. Количество уравнений должно быть равно количеству неизвестных.
7. Решение системы уравнений в общем виде: Сначала следует выразить искомую величину через известные величины и физические константы. Это позволяет контролировать размерность искомой величины и избежать ошибок при вычислениях.
8. Численные расчеты: Только после получения формулы в общем виде подставляются числовые значения. Важно не забывать про единицы измерения на каждом шаге и в конечном ответе.
9. Анализ и проверка результата: Полученный ответ необходимо оценить на предмет физической осмысленности. Может ли скорость быть отрицательной, если тело движется вперед? Соответствует ли величина порядка ожидаемым значениям? Проверка размерности, подстановка в исходные уравнения и логическая оценка — все это помогает выявить возможные ошибки.

Работа с векторными величинами

Многие физические величины, такие как скорость, ускорение, сила, импульс, момент импульса, являются векторными, то есть имеют не только числовое значение (модуль), но и направление в пространстве. Корректная работа с векторами — залог успеха в решении динамических задач.

• Изображение векторов: На схематическом рисунке векторы изображаются стрелками, длина которых пропорциональна модулю, а направление указывает на соответствующее физическое направление.
• Выбор системы координат: Для упрощения работы с векторами выбирают удобную декартову систему координат (X, Y, Z). Оси обычно располагают вдоль ключевых направлений движения или действия сил.
• Проекция векторов: Любой вектор можно разложить на составляющие (проекции) по осям координат. Проекция вектора на ось может быть положительной, если направление вектора совпадает с направлением оси, или отрицательной, если векторы противоположны. Если вектор перпендикулярен оси, его проекция на эту ось равна нулю.
  Например, для вектора A с модулем A, составляющего угол α с осью X, его проекции будут:
  Ax = A ⋅ cos(α)
Ay = A ⋅ sin(α)
• Векторная сумма: При сложении векторов (например, импульсов до и после взаимодействия) сначала записывают векторное уравнение, а затем проецируют его на выбранные оси. Это превращает одно векторное уравнение в систему скалярных уравнений.
  Например, для двух векторов A и B, их сумма C = A + B. В проекциях на ось X: Cx = Ax + Bx.

Понимание и строгое следование этим принципам позволит студенту не только решать задачи, но и глубоко понимать физическую суть явлений, что является истинной целью изучения физики.

Кинематика: Анализ движения и расчет средней скорости

Кинематика — это раздел механики, который описывает движение тел без рассмотрения причин, вызывающих это движение. Одним из фундаментальных понятий в кинематике является скорость, и особенно важно уметь правильно интерпретировать и рассчитывать среднюю скорость, поскольку она часто становится источником ошибок.

Определения и основные формулы кинематики

Прежде чем углубляться в расчеты, важно четко определить основные кинематические величины:

• Путь (L): Это скалярная величина, равная общей длине траектории, пройденной телом. Путь всегда неотрицателен.
• Перемещение (Δr): Это векторная величина, соединяющая начальное и конечное положение тела. Её модуль равен кратчайшему расстоянию между начальной и конечной точками, а направление указывает от начальной к конечной точке. В отличие от пути, перемещение может быть равно нулю, даже если тело совершило движение (например, вернулось в исходную точку).
• Мгновенная скорость (v): Это векторная величина, характеризующая скорость тела в данный конкретный момент времени и в данной точке траектории. Её модуль равен пределу отношения бесконечно малого перемещения к бесконечно малому промежутку времени: v = dr / dt. Направление мгновенной скорости всегда совпадает с направлением касательной к траектории в данной точке.
• Средняя скорость (v_ср): Это скалярная величина, определяемая как отношение всего пройденного пути (L) ко всему затраченному времени (t) на этот путь: vср = L / t. Важно подчеркнуть, что это скалярная величина, которая отражает эффективность движения по всему маршруту.

Расчет средней скорости: Подробный разбор случаев

Расчет средней скорости может показаться тривиальным, но именно здесь скрываются «подводные камни», способные запутать даже опытного студента. Распространенная ошибка заключается в предположении, что средняя скорость всегда является средним арифметическим скоростей на отдельных участках. Это далеко не так.

Общий случай: Пусть тело прошло путь L₁ со скоростью v₁ за время t₁, затем путь L₂ со скоростью v₂ за время t₂ и так далее.
Общий путь: L = L1 + L2 + ...
Общее время: t = t1 + t2 + ...
Тогда средняя скорость: vср = (L1 + L2 + ...) / (t1 + t2 + ...)

Случай 1: Путь состоит из нескольких участков одинаковой длины.
Предположим, тело прошло два участка пути L₁ и L₂ одинаковой длины (L1 = L2 = L0) со скоростями v₁ и v₂ соответственно.
Общий путь: L = 2L0.
Время на первом участке: t1 = L0 / v1.
Время на втором участке: t2 = L0 / v2.
Общее время: t = t1 + t2 = L0 / v1 + L0 / v2 = L0 ⋅ (1/v1 + 1/v2) = L0 ⋅ (v1 + v2) / (v1v2).
Средняя скорость: vср = L / t = 2L0 / [L0 ⋅ (v1 + v2) / (v1v2)] = 2v1v2 / (v1 + v2).
Это формула среднего гармонического. Она показывает, что если длины участков равны, средняя скорость не равна среднему арифметическому.

Пример с расчетом: Автомобиль проехал первую половину пути со скоростью 60 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 90 км/ч. Какова средняя скорость на всём пути?
Дано: v1 = 60 км/ч, v2 = 90 км/ч. Путь делится пополам.
Воспользуемся формулой среднего гармонического:
vср = (2 ⋅ 60 ⋅ 90) / (60 + 90) = (2 ⋅ 5400) / 150 = 10800 / 150 = 72 км/ч.
Если бы мы ошибочно взяли среднее арифметическое: (60 + 90) / 2 = 75 км/ч, что является неправильным.

Случай 2: Время движения поделено на равные части.
Предположим, тело движется в течение времени t₁ со скоростью v₁, а затем в течение времени t₂ со скоростью v₂, причем t1 = t2 = t0.
Путь на первом участке: L1 = v1t0.
Путь на втором участке: L2 = v2t0.
Общий путь: L = L1 + L2 = v1t0 + v2t0 = t0(v1 + v2).
Общее время: t = t1 + t2 = 2t0.
Средняя скорость: vср = L / t = [t0(v1 + v2)] / (2t0) = (v1 + v2) / 2.
В этом случае средняя скорость действительно равна среднему арифметическому скоростей.

Пример с расчетом: Велосипедист ехал первый час со скоростью 20 км/ч, а второй час — со скоростью 15 км/ч. Какова средняя скорость?
Дано: v1 = 20 км/ч, v2 = 15 км/ч, t1 = 1 ч, t2 = 1 ч. Время движения одинаково.
Воспользуемся формулой среднего арифметического:
vср = (20 + 15) / 2 = 35 / 2 = 17,5 км/ч.

Критически важно понимать, что средняя скорость не является средним арифметическим скоростей, если только время движения на всех участках не одинаково. Если же равны длины участков, то необходимо использовать среднее гармоническое. Это различие является ключевым и часто проверяемым на контрольных работах, поскольку демонстрирует глубокое понимание концепции, а не шаблонное применение формул. Игнорирование этого нюанса приводит к систематическим ошибкам.

Динамика: Импульс и Закон сохранения импульса

Динамика изучает движение тел в связи с причинами, вызывающими это движение. Одним из центральных понятий здесь является импульс, тесно связанный с силой и массой, а закон сохранения импульса — один из наиболее фундаментальных законов природы, применимый от субатомных частиц до галактических столкновений.

Импульс тела: Векторная величина

Импульс тела, также известный как количество движения, — это векторная физическая величина, которая характеризует меру механического движения тела и его способность к передаче движения при взаимодействии.
Обозначается импульс символом p и определяется как произведение массы тела (m) на его скорость (v):
p = m ⋅ v
Поскольку масса (m) — это скалярная величина, а скорость (v) — векторная, импульс (p) также является векторной величиной. Направление вектора импульса всегда совпадает с направлением вектора скорости тела.
Единица измерения импульса в системе СИ — килограмм-метр в секунду (кг⋅м/с).

Физический смысл импульса заключается в его связи с силой. Согласно второму закону Ньютона в импульсной форме:
F = dp / dt
Это означает, что скорость изменения импульса тела равна равнодействующей силе, действующей на тело. Интегрируя это уравнение по времени, получаем:
Δp = ∫ F dt
Правая часть этого уравнения называется импульсом силы. Таким образом, изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силы за тот же промежуток времени. Эта связь особенно важна при рассмотрении столкновений и взаимодействий, где силы могут быть очень велики, но действуют очень короткое время. Почему это так важно для понимания? Потому что позволяет анализировать взаимодействие тел, не вдаваясь в детали сложных мгновенных сил, а оперируя лишь изменением их состояния движения.

Закон сохранения импульса: Принципы и применение

Закон сохранения импульса — один из ключевых принципов физики, утверждающий:
Векторная сумма импульсов всех тел замкнутой системы остается постоянной во времени, если на эту систему не действуют внешние силы, или их равнодействующая равна нулю.

Что такое замкнутая система? Это система тел, которые взаимодействуют только между собой, а внешние силы либо отсутствуют, либо их векторная сумма равна нулю. Важно понимать, что «внутренние силы» (силы взаимодействия между телами внутри системы) всегда компенсируются согласно третьему закону Ньютона (F12 = -F21), поэтому они не изменяют суммарный импульс системы.

Вывод закона из законов Ньютона:
Рассмотрим систему из двух тел, взаимодействующих друг с другом. Согласно второму закону Ньютона:
F1 = dp1 / dt
F2 = dp2 / dt
Здесь F1 и F2 — равнодействующие сил, действующих на каждое тело.
Если система замкнута, то силы F1 и F2 являются внутренними силами взаимодействия между телами. По третьему закону Ньютона:
F12 = -F21
Следовательно, равнодействующие силы, действующие на каждое тело, равны и противоположны: F1 = -F2.
Тогда:
dp1 / dt = -dp2 / dt
dp1 / dt + dp2 / dt = 0
d(p1 + p2) / dt = 0
Это означает, что производная от суммы импульсов по времени равна нулю, то есть векторная сумма импульсов (p1 + p2) является постоянной величиной:
pсистемы = p1 + p2 = const
Этот закон легко обобщается на любое число тел в замкнутой системе.

Пошаговый алгоритм решения задач на закон сохранения импульса:

1. Прочтение условия и анализ: Определить, какие тела участвуют во взаимодействии, какие их массы и начальные скорости. Идентифицировать, является ли система замкнутой (отсутствие внешних сил, например, трения, сопротивления воздуха, или их компенсация).
2. Перевод в СИ: Все величины (массы, скорости) приводятся к стандартным единицам измерения.
3. Схематический чертеж: Нарисовать два состояния системы: «до взаимодействия» и «после взаимодействия». На каждом чертеже отметить все тела и векторы их импульсов (или скоростей) с указанием направлений.
4. Выбор осей координат: Выбрать удобную инерциальную систему координат. Оси обычно направляют вдоль основных направлений движения тел до или после взаимодействия.
5. Запись закона сохранения импульса в векторной форме:
   Σpнач = Σpкон
   Или для двух тел: m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2, где v — начальные скорости, u — конечные скорости.
6. Проекция векторов на оси координат: Спроецировать векторное уравнение на выбранные оси. Это преобразует одно векторное уравнение в систему скалярных уравнений. Важно внимательно следить за знаками проекций.
   Например, на ось X: m1v1x + m2v2x = m1u1x + m2u2x
   На ось Y: m1v1y + m2v2y = m1u1y + m2u2y
7. Решение системы скалярных уравнений: Найти искомые величины.
8. Анализ результата: Оценить физический смысл полученных значений и их размерность.

Пример применения: Отдача при выстреле.
При выстреле из ружья система «ружье + снаряд» до выстрела находится в покое, её суммарный импульс равен нулю. После выстрела снаряд (пуля, дробь) движется в одном направлении, а ружье испытывает отдачу, двигаясь в противоположном. Поскольку система замкнута (силы взаимодействия между снарядом и ружьем — внутренние, а внешними силами (трение, сопротивление) можно пренебречь за короткое время выстрела), суммарный импульс системы должен остаться равным нулю.
mрvр + mсvс = 0
Где mр, vр — масса и скорость ружья, mс, vс — масса и скорость снаряда.
Отсюда: mрvр = -mсvс.
Проектируя на ось, направленную вдоль движения снаряда:
mрvр = -mсvс (если vр и vс — модули скоростей)
Скорость отдачи ружья: vр = -(mсvс) / mр. Знак минус указывает на противоположное направление скорости отдачи ружья по отношению к скорости снаряда.

Понимание векторного характера импульса и умение правильно проецировать его на оси координат является ключевым навыком, позволяющим успешно решать задачи, связанные со столкновениями, отдачей и реактивным движением.

Работа и энергия: Деформация пружины и неупругий удар

Понятия работы и энергии играют центральную роль в физике, описывая преобразования и передачу движения. Особый интерес представляют процессы, связанные с упругой деформацией и неупругими столкновениями, где часть механической энергии необратимо переходит в другие формы.

Деформация пружины: Закон Гука и потенциальная энергия

Изучение упругих деформаций начинается с фундаментального Закона Гука:
Сила упругости (Fупр), возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации (x) и направлена в сторону, противоположную направлению смещения частей тела.
Математически это выражается как:
Fупр = -k ⋅ x
Где:

• Fупр — сила упругости.
• k — коэффициент упругости (или жесткости пружины), характеристика материала и формы тела, показывающая, какая сила необходима для единичной деформации. Единица измерения в СИ — Ньютон на метр (Н/м).
• x — величина деформации (абсолютное удлинение или сжатие) от положения равновесия. Знак минус указывает, что сила упругости всегда стремится вернуть тело в недеформированное состояние.

Закон Гука справедлив для малых упругих деформаций. Если деформация превышает предел упругости, тело может не восстановить свою первоначальную форму.

Потенциальная энергия упруго деформированной пружины (Eп) — это энергия, накопленная в пружине в результате её деформации, которая может быть преобразована в другие виды энергии (например, кинетическую). Она равна работе, которую совершит сила упругости при возвращении пружины в недеформированное состояние.
Вывод формулы потенциальной энергии:
Сила упругости не является постоянной, она линейно зависит от деформации. Для расчета работы переменной силы используется интеграл или площадь под графиком зависимости силы от деформации. График Fупр(x) — это прямая линия. Работа, совершаемая силой при деформации от 0 до x, равна площади треугольника под этой прямой:
A = (1/2) ⋅ Fупр_max ⋅ x = (1/2) ⋅ (k ⋅ x) ⋅ x = kx2/2
Эта работа идет на увеличение потенциальной энергии пружины:
Eп = kx2/2

Расчет работы, необходимой для дополнительного сжатия/растяжения пружины:
Предположим, пружина уже деформирована на x1 и находится в этом состоянии. Чтобы дополнительно деформировать её до x2 (где x2 > x1), необходимо совершить работу. Эта работа равна изменению потенциальной энергии пружины:
A = Eп2 - Eп1
A = kx22/2 - kx12/2
A = (k/2) ⋅ (x22 - x12)
Эта формула позволяет рассчитать энергию, которую необходимо затратить для изменения состояния деформации пружины.

Неупругий удар: Потери энергии и КПД

Абсолютно неупругий удар — это тип взаимодействия двух или более тел, при котором они после столкновения соединяются (слипаются) и движутся дальше как единое целое. Ключевая особенность такого удара заключается в том, что механическая энергия системы не сохраняется. Часть кинетической энергии необратимо преобразуется во внутреннюю энергию (тепло, звук, энергию деформации). Однако, если система тел замкнута, закон сохранения импульса при неупругом ударе выполняется.

Вывод формулы для скорости объединенного тела:
Рассмотрим два тела с массами m1 и m2, движущиеся со скоростями v1 и v2 соответственно. После абсолютно неупругого удара они слипаются и движутся как единое тело с общей массой (m1 + m2) и скоростью u.
Применяя закон сохранения импульса:
m1v1 + m2v2 = (m1 + m2)u
Отсюда скорость объединенного тела:
u = (m1v1 + m2v2) / (m1 + m2)
В одномерном случае (движение вдоль одной прямой, например, оси X):
u = (m1v1 + m2v2) / (m1 + m2)
Здесь v1 и v2 берутся со знаками, соответствующими их направлению относительно выбранной оси.

Потери кинетической энергии при неупругом ударе:
Поскольку механическая энергия не сохраняется, происходит потеря кинетической энергии. Эта потеря (ΔEк) равна разности кинетической энергии системы до удара и после удара:
ΔEк = Eк_нач - Eк_кон
Eк_нач = m1v12/2 + m2v22/2
Eк_кон = (m1 + m2)u2/2
Подставляя выражение для u и проводя алгебраические преобразования (это довольно громоздкие вычисления, но их можно найти в учебниках по общей физике), получаем изящную формулу для потерь кинетической энергии при абсолютно неупругом ударе в одномерном случае:
ΔEк = [m1m2(v1 - v2)2] / [2(m1 + m2)]
Из этой формулы видно, что потери энергии зависят от масс сталкивающихся тел и от относительной скорости их сближения (v1 - v2). Чем больше относительная скорость, тем больше потери.

Коэффициент полезного действия (КПД) неупругого удара:
Понятие КПД обычно применяется, когда часть энергии преобразуется в «полезную» работу или энергию. В контексте неупругого удара, когда полезной энергией считается энергия, пошедшая на деформацию тела (например, при ковке, штамповке, или если удар используется для разрушения объекта), эти потери кинетической энергии (ΔEк) и есть та самая «полезная энергия».
Тогда КПД (η) неупругого удара определяется как отношение полезной энергии к затраченной (исходной) кинетической энергии системы:
η = (Полезная энергия) / (Затраченная энергия)
В нашем случае:
η = ΔEк / Eк_нач
где Eк_нач = m1v12/2 + m2v22/2 (суммарная кинетическая энергия до удара).
Или, подставляя формулы:
η = ([m1m2(v1 - v2)2] / [2(m1 + m2)]) / (m1v12/2 + m2v22/2)

Пример с расчетом: Свинцовая пуля массой m1 = 10 г, летящая со скоростью v1 = 400 м/с, попадает в неподвижный деревянный брусок массой m2 = 2 кг и застревает в нем. Определить потери кинетической энергии и КПД удара.
Дано: m1 = 0,01 кг, v1 = 400 м/с, m2 = 2 кг, v2 = 0 м/с.

1. Находим скорость объединенного тела (брусок с пулей) после удара:
   u = (m1v1 + m2v2) / (m1 + m2) = (0,01 ⋅ 400 + 2 ⋅ 0) / (0,01 + 2) = 4 / 2,01 ≈ 1,99 м/с.
2. Находим начальную кинетическую энергию:
   Eк_нач = m1v12/2 + m2v22/2 = (0,01 ⋅ 4002)/2 + 0 = (0,01 ⋅ 160000)/2 = 1600/2 = 800 Дж.
3. Находим конечную кинетическую энергию:
   Eк_кон = (m1 + m2)u2/2 = (2,01 ⋅ 1,992)/2 ≈ (2,01 ⋅ 3,96)/2 ≈ 3,98 Дж.
4. Потери кинетической энергии:
   ΔEк = Eк_нач - Eк_кон = 800 - 3,98 = 796,02 Дж.
   (Заметим, что потери огромны: почти вся энергия пули ушла на деформацию бруска и пули, нагрев и звук.)
5. КПД удара:
   η = ΔEк / Eк_нач = 796,02 / 800 ≈ 0,995 или 99,5%.
   В данном случае, если целью было «использовать» энергию пули для деформации бруска, КПД оказывается очень высоким, так как почти вся кинетическая энергия пули перешла в энергию деформации и тепло.

Этот пример хорошо демонстрирует, что высокий КПД в контексте неупругого удара не всегда означает «эффективное» сохранение движения, а скорее эффективное преобразование кинетической энергии в другие формы, полезные для конкретной задачи (например, деформации). Коэффициент восстановления при абсолютно неупругом ударе всегда равен 0, что прямо указывает на максимальную потерю кинетической энергии, и это не противоречит высокому КПД, если потери и есть полезная энергия.

Вращательное движение твердого тела: Момент инерции и закон сохранения момента импульса

Вращательное движение — это один из самых распространенных и важных видов движения в природе и технике. От вращения планет до работы двигателей, понимание его динамики требует введения новых понятий, таких как вращающий момент и момент инерции, а также фундаментального закона сохранения момента импульса.

Вращающий момент и основное уравнение динамики

Вращающий момент, или момент силы (M), является векторной физической величиной, характеризующей вращательное действие силы на твердое тело. Он служит мерой внешнего воздействия, способного изменить угловую скорость вращающегося тела.
Момент силы F относительно точки O определяется как векторное произведение радиус-вектора r (проведенного от точки O до точки приложения силы) на вектор силы F:
M = [r × F]
Модуль момента силы равен произведению модуля силы на плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы):
M = F ⋅ d, где d — плечо силы.
Единица измерения вращающего момента в СИ — Ньютон-метр (Н⋅м).

Основное уравнение динамики вращательного движения для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, является аналогом второго закона Ньютона для поступательного движения (F = m ⋅ a). Оно связывает вращающий момент (M) с моментом инерции (I) и угловым ускорением (ε) тела:
M = I ⋅ ε
Где:

• M — суммарный вращающий момент всех внешних сил относительно оси вращения.
• I — момент инерции тела относительно этой оси.
• ε — угловое ускорение тела (скорость изменения угловой скорости).

Это уравнение показывает, что чем больше вращающий момент, тем быстрее изменяется угловая скорость тела (тем больше угловое ускорение), и чем больше момент инерции, тем сложнее изменить угловую скорость (тем больше инертность тела при вращении).

Момент инерции: Определение и теорема Штейнера

Момент инерции (I или J) — это скалярная физическая величина, которая характеризует инертность тела при вращательном движении. Он показывает, насколько трудно раскрутить или остановить вращающееся тело. В отличие от массы, которая является мерой инертности при поступательном движении, момент инерции зависит не только от массы тела, но и от того, как эта масса распределена относительно оси вращения. Чем дальше масса от оси вращения, тем больше момент инерции.
Единица измерения момента инерции в системе СИ — килограмм-метр в квадрате (кг⋅м²).

Для системы материальных точек момент инерции вычисляется как сумма произведений масс каждой точки (mi) на квадрат её расстояния (ri) до оси вращения:
I = Σ miri2
Для сплошных тел момент инерции вычисляется интегрированием.

Теорема Штейнера (Теорема о параллельных осях):
Эта теорема является незаменимым инструментом для расчета момента инерции тела относительно произвольной оси, если известен момент инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела.
Формулировка: Момент инерции тела (I) относительно произвольной оси равен сумме момента инерции (Ic) относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела (M) на квадрат расстояния (d) между этими осями.
I = Ic + Md2
Где:

• I — момент инерции относительно новой оси.
• Ic — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс (ЦМ) тела.
• M — общая масса тела.
• d — расстояние между двумя параллельными осями.

Применение теоремы Штейнера для различных тел:

1. Однородный тонкий стержень:
   • Момент инерции стержня длиной L и массой M относительно оси, проходящей через его центр масс (ЦМ) перпендикулярно стержню:
     Ic = ML2/12
   • Момент инерции этого же стержня относительно оси, проходящей через его конец перпендикулярно стержню:
     В этом случае, расстояние от ЦМ до новой оси d = L/2.
     Применяем теорему Штейнера:
     I = Ic + Md2 = ML2/12 + M(L/2)2 = ML2/12 + ML2/4 = ML2/12 + 3ML2/12 = 4ML2/12 = ML2/3.
2. Однородный диск:
   • Момент инерции однородного диска массой m и радиусом R относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости диска:
     Ic = mR2/2
   • Момент инерции этого же диска относительно оси, проходящей через его образующую (касательную к краю), перпендикулярно плоскости диска:
     В этом случае, расстояние от ЦМ (центра диска) до новой оси (касательной) d = R.
     Применяем теорему Штейнера:
     I = Ic + Md2 = mR2/2 + mR2 = (3/2)mR2.

Таким образом, теорема Штейнера позволяет значительно упростить расчеты моментов инерции для сложных конфигураций, сводя их к известным значениям для центра масс.

Закон сохранения момента импульса: Примеры и нюансы

Подобно закону сохранения импульса для поступательного движения, существует и закон сохранения момента импульса для вращательного движения:
Если суммарный момент внешних сил, действующих на систему относительно некоторой оси или точки, равен нулю, то полный момент импульса системы относительно этой оси или точки остается постоянным.
Момент импульса (L) для твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равен произведению момента инерции (I) на угловую скорость (ω):
L = I ⋅ ω
Это также векторная величина, направленная вдоль оси вращения.

Принципы работы скамьи Жуковского:
Скамья Жуковского — это классическое демонстрационное устройство, представляющее собой вращающуюся платформу с минимальным трением, на которой может сидеть человек. Она идеально подходит для иллюстрации закона сохранения момента импульса.

1. Изменение момента инерции: Если человек сидит на скамье и держит в вытянутых руках гантели, а затем прижимает их к себе, его момент инерции относительно оси вращения скамьи уменьшается. Поскольку момент внешних сил (трение) минимален, момент импульса системы «человек + скамья + гантели» должен сохраняться:
   I1ω1 = I2ω2
   где I1 > I2.
   Из этого следует, что ω2 > ω1. То есть, при уменьшении момента инерции, угловая скорость вращения человека со скамьей увеличивается. И наоборот, если человек разводит руки, его угловая скорость уменьшается.
2. Векторный характер момента импульса и изменение ориентации оси вращения колеса:
   Представим, что человек сидит на покоящейся скамье Жуковского и держит в руках раскрученное велосипедное колесо, ось которого расположена горизонтально.
   • Исходное состояние: Скамья покоится (ωскамьи = 0). Колесо вращается вокруг горизонтальной оси, поэтому его момент импульса Lколеса направлен горизонтально. Проекция этого момента импульса на вертикальную ось вращения скамьи равна нулю. Следовательно, суммарный момент импульса системы относительно вертикальной оси равен нулю, и скамья не вращается.
   • Изменение ориентации: Если человек переворачивает колесо так, чтобы его ось стала вертикальной, он изменяет направление вектора момента импульса колеса Lколеса. Чтобы суммарный момент импульса системы (Lсистемы = Lскамьи + Lколеса) оставался постоянным (и равным нулю, если изначально система покоилась), скамья с человеком начинает вращаться в противоположном направлении.
     Если Lколеса_нач = 0 (колесо не вращается до того, как его начнут поворачивать), то после того, как человек повернет ось вращающегося колеса, момент импульса колеса появится, и система «человек-скамья» должна получить противоположный момент импульса, чтобы Lсистемы оставалось равным нулю.
   • Если человек, сидящий на покоящейся скамье, держит нераскрученное колесо с горизонтальной осью, а затем раскручивает его, то скамья останется в покое. Это происходит потому, что момент импульса колеса направлен горизонтально, и его проекция на вертикальную ось вращения скамьи равна нулю.
   • Если же человек, сидящий на покоящейся скамье, начинает раскручивать колесо, ось которого вертикальна, то он сам со скамьей начнет вращаться в противоположном направлении. Это обусловлено тем, что суммарный момент импульса системы должен оставаться равным нулю. Если колесо приобретает момент импульса Lколеса, то человек со скамьей приобретает момент импульса Lчеловек+скамья = -Lколеса.

Эти демонстрации на скамье Жуковского ярко иллюстрируют векторный характер момента импульса и принципы его сохранения в замкнутых системах, подчеркивая, что сохраняется не просто величина, а вектор, который может изменять свою ориентацию.

Гравитация и орбитальное движение: Спутники на орбите

Загадка движения небесных тел веками будоражила умы ученых, пока Исаак Ньютон не сформулировал свой универсальный закон, объясняющий падение яблока на Землю и движение Луны вокруг неё. Этот закон лег в основу всей небесной механики и позволяет сегодня рассчитывать орбиты спутников и космических аппаратов.

Закон всемирного тяготения: Фундаментальные принципы

Закон всемирного тяготения Ньютона — один из самых фундаментальных законов физики, сформулированный в 1687 году. Он гласит:
Две материальные точки притягиваются друг к другу с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
Математически этот закон выражается формулой:
F = G ⋅ (m1m2) / r2
Где:

• F — сила гравитационного притяжения между телами.
• G — гравитационная постоянная, универсальная физическая константа, численно равная примерно 6,67⋅10^-11 Н⋅м²/кг². Она определяет интенсивность гравитационного взаимодействия.
• m1 и m2 — массы взаимодействующих тел.
• r — расстояние между центрами масс этих тел.

Сила гравитационного притяжения всегда направлена вдоль прямой, соединяющей центры масс взаимодействующих тел. Она является центральной и потенциальной силой. Важно отметить, что закон применим не только к материальным точкам, но и к сферически симметричным телам (например, планетам), где r — расстояние между их центрами.

Движение спутника по круговой орбите

Для спутника, движущегося по круговой орбите вокруг планеты (например, Земли), сила гравитационного притяжения играет роль центростремительной силы. Именно эта сила удерживает спутник на орбите, не давая ему улететь по касательной или упасть на планету.
Центростремительная сила (Fц), необходимая для поддержания кругового движения, определяется по формуле:
Fц = mv2/r
Где:

• m — масса спутника.
• v — его орбитальная скорость.
• r — радиус орбиты (расстояние от центра Земли до спутника).

Приравнивая силу гравитационного притяжения к центростремительной силе, мы можем вывести формулу для орбитальной скорости спутника:
G ⋅ (Mm) / r2 = mv2/r
Сокращая m и r:
G ⋅ M / r = v2
Отсюда орбитальная скорость спутника:
v = √ (GM/r)
Где M — масса центрального тела (Земли), а r — радиус орбиты.

Радиус орбиты (r) равен сумме радиуса центрального тела (R, например, радиуса Земли) и высоты орбиты (h) над его поверхностью:
r = R + h

Период обращения спутника (T) по круговой орбите — это время, за которое спутник совершает один полный оборот. Он равен отношению длины орбиты (2πr) к его орбитальной скорости (v):
T = 2πr / v
Подставим сюда выражение для v:
T = 2πr / √ (GM/r) = 2πr ⋅ √ (r / GM) = 2π√ (r2 ⋅ r / GM) = 2π√ (r3 / GM)
Таким образом, формула периода обращения спутника:
T = 2π√ (r3 / GM)

Пошаговый вывод формулы для определения высоты орбиты спутника:
Используя формулу периода обращения, мы можем выразить радиус орбиты r:

1. Возведем обе части уравнения T = 2π√ (r3 / GM) в квадрат:
   T2 = (2π)2 ⋅ (r3 / GM)
T2 = 4π2 ⋅ r3 / GM
2. Выразим r3:
   r3 = (GM ⋅ T2) / (4π2)
3. Извлечем кубический корень, чтобы найти r:
   r = 3√ (GMT2 / (4π2))
4. Наконец, чтобы найти высоту орбиты h, вычтем из радиуса орбиты радиус Земли (R):
   h = r - R
h = 3√ (GMT2 / (4π2)) - R

Численный пример:
Предположим, спутник обращается вокруг Земли с периодом T = 90 мин. Определить высоту спутника над поверхностью Земли.
Дано:

• T = 90 мин = 90 ⋅ 60 с = 5400 с
• G = 6,67⋅10-11 Н⋅м2/кг2
• M = 5,97⋅1024 кг (масса Земли)
• R = 6,37⋅106 м (средний радиус Земли)

1. Рассчитываем радиус орбиты r:
   r3 = (G ⋅ M ⋅ T2) / (4π2)
r3 = (6,67⋅10-11 ⋅ 5,97⋅1024 ⋅ 54002) / (4 ⋅ (3,14159)2)
r3 ≈ (6,67⋅10-11 ⋅ 5,97⋅1024 ⋅ 2,916⋅107) / 39,4784
r3 ≈ (116,1 ⋅ 1020) / 39,4784
r3 ≈ 2,941 ⋅ 1020 м3
r = 3√ (2,941 ⋅ 1020) ≈ 6,65 ⋅ 106 м
2. Рассчитываем высоту орбиты h:
   h = r - R = 6,65⋅106 м - 6,37⋅106 м = 0,28⋅106 м = 280 км.
   Это уже реалистичная высота для спутника с таким периодом.

Эти формулы и примеры демонстрируют, как фундаментальные законы гравитации позволяют точно описывать и предсказывать движение космических объектов, что является основой для современной космонавтики.

Гармонические колебания: Физический маятник

Колебания являются одним из самых распространенных явлений в природе, от биения сердца до движения электронов в атоме. Особый класс — гармонические колебания, которые описываются синусоидальными или косинусоидальными функциями. Физический маятник — идеальная модель для изучения таких колебаний.

Физический маятник: Определение и характеристики

Физический маятник — это любое твердое тело, способное совершать колебания под действием силы тяжести относительно неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через его центр масс.
Отличие от математического маятника (идеализированной модели в виде материальной точки на невесомой нерастяжимой нити) заключается в том, что у физического маятника распределение массы не является точечным, и его инертность при вращении характеризуется моментом инерции.
Основные характеристики физического маятника:

• Масса (m): Общая масса тела.
• Центр масс (ЦМ): Точка, в которой можно представить сосредоточенной всю массу тела.
• Ось вращения: Неподвижная ось, вокруг которой совершаются колебания.
• Расстояние от оси вращения до центра масс (l): Это расстояние часто называют «приведенной длиной» маятника.

Период колебаний физического маятника

Для малых углов отклонения (при которых sin(α) ≈ α) колебания физического маятника являются гармоническими. Период (T) малых гармонических колебаний физического маятника определяется по формуле:
T = 2π√ (I / (mgl))
Где:

• I — момент инерции маятника относительно оси вращения.
• m — масса маятника.
• g — ускорение свободного падения (примерно 9,81 м/с²).
• l — расстояние от оси вращения до центра масс маятника.

Вывод формулы:

1. Уравнение движения: Для физического маятника, отклоненного на угол α от положения равновесия, на него действует вращающий момент силы тяжести:
   M = -mgl ⋅ sin(α)
   Знак минус указывает на то, что момент силы тяжести всегда стремится вернуть маятник в положение равновесия.
2. Основное уравнение динамики вращательного движения:
   M = I ⋅ ε = I ⋅ d2α / dt2
   Приравнивая эти два выражения:
   I ⋅ d2α / dt2 = -mgl ⋅ sin(α)
3. Приближение малых колебаний: Для малых углов α (в радианах) sin(α) ≈ α. Тогда уравнение принимает вид:
   I ⋅ d2α / dt2 = -mgl ⋅ α
d2α / dt2 + (mgl / I) ⋅ α = 0
   Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний вида d2x / dt2 + ω02x = 0, где ω0 — циклическая частота.
   Сравнивая, находим циклическую частоту:
   ω0 = √ (mgl / I)
4. Период колебаний: Период T связан с циклической частотой соотношением T = 2π / ω0.
   T = 2π / √ (mgl / I) = 2π√ (I / (mgl))

Применение теоремы Штейнера для определения момента инерции диска:
Рассмотрим задачу: определить период гармонических колебаний однородного диска, если он колеблется относительно оси, проходящей через его образующую (касательную к краю), перпендикулярно плоскости диска.

1. Момент инерции диска относительно центра масс (Ic):
   Для однородного диска массой m и радиусом R, ось которого проходит через центр перпендикулярно плоскости диска, момент инерции известен:
   Ic = mR2/2
2. Применение теоремы Штейнера:
   Ось вращения маятника проходит через его образующую (касательную к краю). Расстояние от центра масс диска (его центра) до этой оси (l) равно радиусу диска R.
   Согласно теореме Штейнера: I = Ic + ml2
   В данном случае l = R, поэтому:
   I = mR2/2 + mR2 = (3/2)mR2
   Это и есть момент инерции диска относительно оси, проходящей через его образующую.
3. Подстановка в формулу периода колебаний:
   Теперь подставим полученный момент инерции в формулу периода физического маятника. В этой формуле l — это расстояние от оси вращения до центра масс, которое, как мы выяснили, равно R.
   T = 2π√ (I / (mgR))
T = 2π√ (((3/2)mR2) / (mgR))
   Сокращаем m и одно R:
   T = 2π√ ((3/2)R / g)
T = 2π√ (3R / (2g))

Численный пример:
Пусть радиус диска R = 0,2 м. Ускорение свободного падения g ≈ 9,81 м/с2.
T = 2π√ ((3 ⋅ 0,2) / (2 ⋅ 9,81)) = 2π√ (0,6 / 19,62) = 2π√ (0,03058)
T ≈ 2π ⋅ 0,1749 ≈ 6,283 ⋅ 0,1749 ≈ 1,099 с.

Таким образом, подробный анализ позволяет не только применить формулу, но и глубоко понять, как различные параметры тела (масса, распределение массы, радиус) влияют на динамику его колебаний. Теорема Штейнера становится незаменимым инструментом для расчета момента инерции в нестандартных ситуациях, делая возможным применение общих формул к конкретным физическим моделям. В чем заключается ключевое преимущество такого подхода? В возможности систематизации знаний и переноса их на решение любых, даже самых нетривиальных, задач.

Заключение

Путешествие по миру механики, от кинематики до гармонических колебаний, демонстрирует не только богатство физических явлений, но и удивительную стройность законов, которыми они описываются. Каждая задача, рассмотренная в этом руководстве, была деконструирована с целью показать не просто «как», но и «почему» используется тот или иной подход, та или иная формула. Мы увидели, что глубокое понимание физического смысла величин, строгое следование алгоритму решения, внимание к векторному характеру импульса и момента импульса, а также умение применять теорему Штейнера для расчета момента инерции — все это критически важные навыки.

Акцентирование внимания на типичных ошибках, таких как некорректное вычисление средней скорости или недостаточное понимание КПД неупругого удара, позволяет студентам избежать распространенных заблуждений и формирует более точное, академически обоснованное мышление. Подробные выводы формул, от закона сохранения импульса до периода колебаний физического маятника, дают не только «рыбу», но и «удочку» — способность выводить и адаптировать знания к новым условиям.

Механика — это не просто набор задач для контрольной работы. Это язык, на котором говорит Вселенная, и освоение этого языка открывает двери к пониманию более сложных систем, будь то квантовая механика или термодинамика. Это методическое руководство призвано стать не просто сборником решений, а проводником в мир физического мышления, где каждая цифра имеет смысл, а каждый закон является частью великой симфонии природы. Глубокое понимание этих принципов станет прочным фундаментом для будущих инженерных свершений и научных открытий.

Список использованной литературы

1. Физика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов (включая сельскохозяйственные вузы) / А. А. Воробьев, В. П. Иванов, В. Г. Кондакова, А. Г. Чертов. М.: Высш. шк., 1987. 208 с.
2. «Скамья Жуковского» — Демонстрационные эксперименты по общей физике // Ozlib.com: [сайт]. URL: https://ozlib.com/docs/521746/ (дата обращения: 10.10.2025).
3. Закон сохранения момента импульса // БГПУ: [сайт]. URL: https://www.bspu.by/static/science/6.6._zakon_sohraneniya_momenta_impulsa.pdf (дата обращения: 10.10.2025).
4. Опыты со скамьей Жуковского // E-studijas.lv: [сайт]. URL: https://e-studijas.lv/upload/25_lec_demo_ru.pdf (дата обращения: 10.10.2025).
5. Плитка: 1.06 Скамья Жуковского | Механика — ФТМФ ИТМО // Physics.ifmo.ru: [сайт]. URL: https://physics.ifmo.ru/lectures/demo_mech/1_06.php (дата обращения: 10.10.2025).
6. Примеры применения законов динамики при вращательном движении // ДВФУ: [сайт]. URL: https://www.dvfu.ru/upload/ib/2018/physics/lection_mechanics_1.pdf (дата обращения: 10.10.2025).
7. Закон сохранения момента импульса // Интернет-лицей ТПУ: [сайт]. URL: https://e.lanbook.com/lib/phys_teory/lect_kurs/ch_1/gl_06/p_06_06_03.html (дата обращения: 10.10.2025).
8. Закон всемирного тяготения. Движение планет и спутников. Видеоурок. Физика 11 Класс // ИнтернетУрок: [сайт]. URL: https://interneturok.ru/lesson/physics/11-klass/b-zakony-sohraneniya-v-mehanike-i-kvantovaya-fizika/zakon-vsemirnogo-tyagoteniya-dvizhenie-planet-i-sputnikov (дата обращения: 10.10.2025).
9. Теорема Гюйгенса-Штейнера // ДонНУ: [сайт]. URL: https://donnu.ru/sites/default/files/mechanics.pdf (дата обращения: 10.10.2025).
10. Закон всемирного тяготения // Ik-study.ru: [сайт]. URL: https://ik-study.ru/physics/zakon-vsemirnogo-tyagoteniya.html (дата обращения: 10.10.2025).
11. Расчет скорости спутника на орбите онлайн калькулятор // Центр ПСС: [сайт]. URL: https://www.centrpss.ru/raschet-skorosti-sputnika-na-orbite/ (дата обращения: 10.10.2025).
12. Скамья Жуковского (закон сохранения момента импульса) // YouTube: [видео]. URL: https://www.youtube.com/watch?v=F3_s8D99o3Y (дата обращения: 10.10.2025).
13. Определить приведённую длину и период колебаний диска // Alsak.ru: [сайт]. URL: https://alsak.ru/physics/zadachi-po-fizike/zadachi-na-fizicheskiy-mayatnik/opredelit-privedyonnuyu-dlinu-i-period-kolebaniy-diska/ (дата обращения: 10.10.2025).
14. Момент инерции цилиндра, диска и стержня // Work5.ru: [сайт]. URL: https://work5.ru/spravochnik/fizika/moment-inercii-cilindra-diska-i-sterzhnya (дата обращения: 10.10.2025).
15. Закон всемирного тяготения — формула, определение, формулировка // Skysmart: [сайт]. URL: https://skysmart.ru/articles/fizika/zakon-vsemirnogo-tyagoteniya (дата обращения: 10.10.2025).
16. Скамья Жуковского и вечный двигатель // Научно-Популярный Сайт: [сайт]. URL: https://n-p-s.ru/articles/skamya-zhukovskogo-i-vechnyy-dvigatel (дата обращения: 10.10.2025).
17. Законы изменения и сохранения момента импульса системы // СТАНКИН: [сайт]. URL: https://stankin.ru/university/faculty/FIT/kafedry/fizika/Metod_fizika/L4.pdf (дата обращения: 10.10.2025).
18. Теорема Гюйгенса — Штейнера // Fizika.ru: [сайт]. URL: https://www.fizika.ru/lectures/doc_mechanics/lecture35.html (дата обращения: 10.10.2025).
19. Закон всемирного тяготения: что это, формула, определение, подготовка к ОГЭ по физике // РУВИКИ: [сайт]. URL: https://ru.ruwiki.ru/wiki/%D0%97%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BD_%D0%B2%D1%81%D0%B5%D0%BC%D0%B8%D1%80%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE_%D1%82%D1%8F%D0%B3%D0%BE%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D1%8F (дата обращения: 10.10.2025).
20. Закон всемирного тяготения. Спутники. Невесомость // Задачи по физике: [сайт]. URL: https://fizika-ege.ru/tema/zakon-vsemirnogo-tyagoteniya-sputniki-nevesomost (дата обращения: 10.10.2025).
21. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ТЕЛ РАЗНОЙ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЫ // Томский политехнический университет: [сайт]. URL: https://portal.tpu.ru/SHARED/k/KVA/educational_activities/tab7/moment_inerc_tel_razlich_geom_form.pdf (дата обращения: 10.10.2025).
22. Как определить период гармонических колебаний диска… // ZZapomni: [сайт]. URL: https://zzapomni.ru/fizika/kak-opredelit-period-garmonicheskih-kolebaniy-diska/ (дата обращения: 10.10.2025).
23. Как определить КПД удара если удар неупругий… // ZZapomni: [сайт]. URL: https://zzapomni.ru/fizika/kak-opredelit-kpd-udara-esli-udar-neuprugiy/ (дата обращения: 10.10.2025).
24. Теорема Гюйгенса-Штейнера и ее применения в механике // Behemoth.top: [сайт]. URL: https://behemoth.top/ru/articles/fizika/teorema-gujjgensastejnera-i-ee-primenenija-v-mekhanike (дата обращения: 10.10.2025).
25. Расчет скорости движения спутника вокруг Земли // Репетитор по математике и физике: [сайт]. URL: https://www.bymath.net/study/phizika/raschet-skorosti-dvizheniya-sputnika-vokrug-zemli.html (дата обращения: 10.10.2025).
26. Гармонические колебания // Studmed.ru: [сайт]. URL: https://www.studmed.ru/view/garmonicheskie-kolebaniya_603a74656ee.html (дата обращения: 10.10.2025).
27. Во сколько раз период обращения искусственного спутника // Phys.ru: [сайт]. URL: http://www.phys.ru/rus/texts/lectures/satellite/period.pdf (дата обращения: 10.10.2025).
28. Гармонические колебания — формулы, законы, примеры // Skysmart: [сайт]. URL: https://skysmart.ru/articles/fizika/garmonicheskie-kolebaniya (дата обращения: 10.10.2025).
29. Момент инерции тела относительно оси вращения // Phys.nsu.ru: [сайт]. URL: http://www.phys.nsu.ru/lectures/phys_part1/book_mechanics/html/node71.html (дата обращения: 10.10.2025).