Контрольная по квантовой физике часто кажется сложной задачей, полной абстрактных понятий и формул. Однако главная трудность — не в математике, а в понимании логики, которая стоит за ней. Цель этой статьи — не просто дать готовые решения, а провести вас «за руку» через весь процесс. Мы покажем, что любая задача — это, по сути, головоломка с четкими правилами. Поняв эти правила, вы научитесь видеть путь от условия к правильному ответу, объясняя каждый свой шаг.
Ключевые принципы и формулы, которые нам понадобятся
Прежде чем погружаться в практику, давайте соберем наш «инструментарий» — основные теоретические концепции, на которых строятся решения. Важно не заучивать их, а понимать, для чего каждая из них нужна.
- Постулаты Бора: Это основа для описания атома водорода. Они утверждают, что электрон может находиться только на строго определенных (стационарных) орбитах, не излучая энергии. Излучение или поглощение фотона происходит только при переходе электрона с одной орбиты на другую. Для расчетов нам понадобится сериальная формула для атома водорода: 1/λ = R(1/k² — 1/n²), где λ — длина волны фотона, R — постоянная Ридберга, а k и n — номера орбит.
- Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта: Оно описывает выбивание электронов из вещества под действием света. Формула hγ = A_вых + E_кин связывает энергию падающего фотона (hγ) с работой выхода электрона из металла (A_вых) и его последующей кинетической энергией (E_кин).
- Принцип неопределенности Гейзенберга: Один из самых контринтуитивных, но важных принципов. Он гласит, что невозможно одновременно с абсолютной точностью измерить координату и импульс частицы. Математически это выражается как Δx · Δp ≥ ħ/2, где Δx — неопределенность координаты, Δp — неопределенность импульса, а ħ — приведенная постоянная Планка. Этот принцип нужен для оценки минимально возможных энергий и размеров систем.
- Энергетические уровни в потенциальной яме: Эта модель описывает частицу, запертую в ограниченном пространстве. Ее энергия не может быть любой, а только дискретной, определяемой формулой E_n = (n²h²) / (8mL²), где n — номер уровня, m — масса частицы, а L — ширина ямы.
Этот набор — наш теоретический фундамент. Теперь давайте посмотрим, как он работает на практике.
Задача 1. Анализируем изменение периода вращения электрона
Это типичная задача на применение теории Бора для атома водорода. Она требует не просто подставить числа в формулу, а выстроить логическую цепочку от известных данных к искомой величине.
Условие (по мотивам задачи №605): Во сколько раз изменится период T вращения электрона в атоме водорода, если при переходе в невозбужденное состояние атом излучил фотон с длиной волны λ = 97,5 нм?
1. Анализ условия
Сначала переведем текст на язык физики.
- Дано: Длина волны фотона λ = 97,5 нм = 97,5 × 10⁻⁹ м. Переход происходит в «невозбужденное состояние», что для атома водорода означает основное состояние с главным квантовым числом k = 1.
- Найти: Отношение начального периода к конечному, то есть T_n / T₁.
2. Построение логической цепочки
Ключевой факт, который нужно знать: период вращения электрона в атоме водорода T_n пропорционален кубу главного квантового числа n (T_n ∝ n³). Следовательно, чтобы найти отношение периодов, нам нужно определить, с какого энергетического уровня (с какого n) электрон совершил переход. Для этого мы используем данные о длине волны из сериальной формулы.
3. Пошаговое решение
Сначала находим квантовое число n. Используем сериальную формулу 1/λ = R(1/k² — 1/n²), подставляя k=1 (серия Лаймана) и известные значения λ и R (постоянная Ридберга, R ≈ 1,097 × 10⁷ м⁻¹).
1 / (97,5 × 10⁻⁹) = 1,097 × 10⁷ (1/1² — 1/n²)
Выражая 1/n², получаем, что n² ≈ 16, а значит n = 4. Электрон перешел с четвертого энергетического уровня на первый.
Теперь, зная n, находим искомое отношение периодов. Так как T_n ∝ n³, то T₄/T₁ = 4³/1³ = 64. Период вращения уменьшился в 64 раза.
Ответ: Период вращения электрона уменьшился в 64 раза.
Задача 2. Как оценить размеры системы через принцип неопределенности
Эта задача демонстрирует практическую мощь принципа Гейзенберга. Он позволяет оценить фундаментальные характеристики систем, зная лишь их энергию.
Условие (по мотивам задачи №625): Альфа-частица находится в бесконечно глубоком, одномерном, прямоугольном потенциальном ящике. Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину L ящика, если известно, что минимальная энергия α-частицы T = 8 МэВ.
1. Деконструкция проблемы
Что значит «оценить ширину ящика»? Частица заперта внутри, поэтому максимальная неопределенность ее координаты (Δx) как раз и будет равна ширине ящика L (Δx ≈ L). Нам нужно связать эту неопределенность с данной нам энергией.
2. Выстраивание алгоритма
Логика здесь обратная: от энергии к координате.
- Из кинетической энергии T находим импульс частицы p.
- Поскольку это минимальная энергия, импульс тоже будет минимально возможным. Поэтому мы можем принять неопределенность импульса равной самому импульсу (Δp ≈ p).
- Используя соотношение Гейзенберга Δx · Δp ≥ ħ/2, находим Δx, которая и будет нашей оценкой ширины ящика L.
3. Расчет с комментариями
Сначала переведем энергию в систему СИ: T = 8 МэВ = 8 × 1.602 × 10⁻¹³ Дж ≈ 1.28 × 10⁻¹² Дж. Масса альфа-частицы m ≈ 6,64 × 10⁻²⁷ кг.
Из формулы кинетической энергии T = p²/2m выражаем импульс: p = √(2mT).
p ≈ √(2 × 6,64 × 10⁻²⁷ × 1.28 × 10⁻¹²) ≈ 1.3 × 10⁻¹⁹ кг·м/с.
Принимаем Δp ≈ p. Теперь из принципа неопределенности Δx ≥ ħ/(2Δp) находим L:
L ≈ Δx ≈ ħ / (2p) ≈ (1.054 × 10⁻³⁴) / (2 × 1.3 × 10⁻¹⁹) ≈ 4 × 10⁻¹⁶ м.
Ответ: Ширина потенциального ящика составляет примерно 4 × 10⁻¹⁶ м. Эта величина сопоставима с размерами тяжелых атомных ядер.
Универсальный чек-лист для решения любой задачи по квантовой физике
Хотя задачи кажутся разными, подход к их решению часто подчиняется общему алгоритму. Вот простой чек-лист, который поможет вам структурировать свою работу и избежать ошибок.
- Шаг 1: «Переводчик». Внимательно прочитайте условие несколько раз. Выпишите все данные в колонку «Дано» и четко сформулируйте, что нужно «Найти». Сразу же переведите все величины в единую систему единиц (СИ). Это убережет от множества ошибок в расчетах.
- Шаг 2: «Детектив». Определите, какой физический процесс или явление описано в задаче. Это атом Бора? Фотоэффект? Движение в потенциальной яме? Ответ на этот вопрос укажет на основной закон или ключевую формулу, которая станет центром вашего решения.
- Шаг 3: «Архитектор». Составьте план решения. Запишите основное уравнение и посмотрите, какие величины в нем неизвестны. Если нужно, подберите вспомогательные формулы, чтобы выразить эти неизвестные через данные из условия. В итоге у вас должна получиться итоговая формула, связывающая искомую величину с известными.
- Шаг 4: «Калькулятор». Только теперь, когда у вас есть готовая формула, подставляйте в нее числа и проводите математические вычисления.
- Шаг 5: «Аудитор». После получения ответа сделайте две важные проверки. Во-первых, проверьте размерность — совпадают ли единицы измерения в левой и правой частях вашей итоговой формулы? Во-вторых, оцените правдоподобность ответа. Если вы получили массу электрона в килограммах или размер атома в метрах, скорее всего, где-то закралась ошибка.
Мы не просто решили несколько задач — мы разобрали саму методологию подхода к ним. За каждым сложным условием и набором формул стоит ясная физическая логика. Научившись ее видеть, вы сможете справиться с любой контрольной. Главное — не бояться, а последовательно применять знания, и тогда все получится.
Желаем вам удачи и ясного понимания предмета!
Список использованной литературы
- Физика: Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов (включая сельскохозяйственные вузы) / А. А. Воробьев, В. П. Иванов, В. Г. Кондакова, А. Г. Чертов М.: Высш. шк., 1987. 208 с: ил.