Вы когда-нибудь задумывались, глядя на радугу после летнего дождя или на причудливый излом ложки в стакане с водой: это магия или физика? Кажется, что мир полон оптических чудес, от миражей над раскаленным асфальтом до сверкания драгоценных камней. Но за каждым из этих явлений стоят строгие и элегантные физические законы.
Понять эти законы — значит получить универсальный ключ к решению, казалось бы, самых запутанных задач. Цель этой статьи — не просто дать вам набор формул, а научить «видеть» физику в условиях задачи и уверенно находить решение. Мы последовательно разберем ключевые теоретические основы, а затем на их фундаменте решим несколько типов практических задач — от базовых до более комплексных. Итак, чтобы понять, как возникает радуга и почему видна монета на дне чашки с водой, нам нужен первый фундаментальный инструмент. Это закон преломления света.
Глава 1. Фундамент оптики и его применение на практике
В основе подавляющего большинства оптических явлений лежит закон преломления света, также известный как закон Снеллиуса. Он описывает, как изменяется направление светового луча при переходе из одной прозрачной среды в другую. Формулируется он следующим образом:
n₁ * sin(α) = n₂ * sin(β)
Давайте детально разберем физический смысл каждого элемента этой формулы. Представьте, что свет — это путешественник, который переходит с асфальтированной дороги на песчаный пляж. Его скорость изменится, а значит, изменится и траектория.
- n₁ и n₂ — это абсолютные показатели преломления первой и второй сред. Эту величину можно представить как «сопротивление» среды для света. Чем оно выше, тем медленнее свет распространяется в этой среде. Показатель преломления (n) рассчитывается как отношение скорости света в вакууме (c) к скорости света в среде (v): n = c/v.
- α (альфа) — это угол падения, то есть угол между падающим лучом и перпендикуляром (нормалью) к границе раздела сред.
- β (бета) — это угол преломления, то есть угол между прошедшим в другую среду лучом и той же нормалью.
Для решения задач важно помнить показатели преломления для ключевых сред. Вот некоторые из них:
Вакуум: n = 1 (эталонное значение)
Воздух: n ≈ 1.0003 (в большинстве школьных задач принимается за 1)
Вода: n ≈ 1.33
Стекло (в зависимости от сорта): n ≈ 1.5
Теперь, когда у нас в руках есть точная формула, давайте посмотрим, как она работает в реальных задачах и какие неочевидные выводы из нее следуют.
Разбор практических задач на закон преломления
Теория становится ясной только на практике. Разберем несколько типовых задач, придерживаясь четкого алгоритма: условие, анализ, решение и ответ.
Задача 1: Найти угол падения, если угол преломления вдвое меньше
Условие: Под каким углом должен падать луч света из воздуха на поверхность стекла (n=1.5), чтобы угол преломления был в 2 раза меньше угла падения?
Анализ: Нам даны два соотношения. Первое — закон Снеллиуса, связывающий углы и показатели преломления. Второе — условие из задачи: β = α/2. Нам нужно объединить их и найти угол падения α.
Пошаговое решение:
- Запишем закон преломления. Среда 1 — воздух (n₁ ≈ 1), среда 2 — стекло (n₂ = 1.5). Получаем: 1 * sin(α) = 1.5 * sin(β).
- Подставим в формулу условие β = α/2: sin(α) = 1.5 * sin(α/2).
- Здесь нам понадобится тригонометрическая формула синуса двойного угла: sin(α) = 2 * sin(α/2) * cos(α/2).
- Подставляем ее в наше уравнение: 2 * sin(α/2) * cos(α/2) = 1.5 * sin(α/2).
- Сокращаем sin(α/2) (так как α/2 не равно нулю). Получаем: 2 * cos(α/2) = 1.5, откуда cos(α/2) = 0.75.
- Находим сам угол α/2, взяв арккосинус: α/2 = arccos(0.75) ≈ 41.4°.
- Находим искомый угол падения: α = 2 * 41.4° ≈ 82.8°.
Ответ: Луч должен падать под углом примерно 82.8°.
Задача 2: Углы связаны разностью
Условие: Найти угол падения луча на поверхность воды (n=1.33), если известно, что он больше угла преломления на 10°.
Анализ: Снова имеем два соотношения: закон Снеллиуса и α = β + 10°. Решение будет аналогичным — выразить один угол через другой и подставить в основной закон.
Пошаговое решение:
- Закон Снеллиуса для перехода из воздуха в воду: sin(α) = 1.33 * sin(β).
- Из условия задачи выражаем β = α — 10°.
- Подставляем в закон: sin(α) = 1.33 * sin(α — 10°).
- Это уравнение решается численными методами или подбором. Для школьного курса часто достаточно дойти до этого этапа или использовать калькулятор для решения тригонометрических уравнений. Расчеты дают результат α ≈ 35.6°.
Ответ: Угол падения составляет примерно 35.6°.
Глава 2. Как линзы управляют светом и создают изображения
Если закон преломления описывает поведение света на плоской границе, то линзы — это инструменты, которые используют преломление на криволинейных поверхностях для управления целыми световыми пучками. Они могут собирать лучи в одной точке или, наоборот, рассеивать их.
Основной инструмент для расчета изображений, даваемых линзами, — это формула тонкой линзы:
1/F = 1/d + 1/f
Разберем ее компоненты:
- F — фокусное расстояние. Это расстояние от центра линзы до точки (фокуса), где собираются лучи, изначально параллельные главной оптической оси. Для собирающих линз F > 0, для рассеивающих F < 0.
- d — расстояние от предмета до линзы. Обычно оно положительно.
- f — расстояние от линзы до изображения. Знак этой величины крайне важен: если f > 0, изображение действительное (его можно спроецировать на экран), если f < 0 — мнимое (его можно увидеть, только посмотрев в линзу).
С фокусным расстоянием тесно связана оптическая сила линзы (D), измеряемая в диоптриях (дптр). Это величина, обратная фокусному расстоянию, выраженному в метрах: D = 1/F. Именно в диоптриях измеряется сила очков или контактных линз. Например, D = +2 дптр означает, что это собирающая линза с фокусным расстоянием F = 1/2 = 0.5 м.
Формула — это мощный инструмент для расчетов. Давайте применим ее для построения и анализа изображений, создаваемых линзами.
Разбор практических задач с использованием линз
Универсальность формулы тонкой линзы позволяет решать самый широкий спектр задач. Рассмотрим пару примеров.
Задача 1: Найти положение и тип изображения
Условие: Предмет находится на расстоянии 30 см от собирающей линзы с оптической силой +5 дптр. На каком расстоянии от линзы получится изображение и каким оно будет?
Анализ: Нам даны d и D. Сначала найдем фокусное расстояние F, а затем из формулы тонкой линзы выразим искомую величину f. Знак f покажет нам тип изображения.
Пошаговое решение:
- Находим фокусное расстояние: F = 1/D = 1/5 = 0.2 м = 20 см. Так как D > 0, линза собирающая, и F тоже положительно.
- Записываем формулу тонкой линзы: 1/20 = 1/30 + 1/f.
- Выражаем 1/f: 1/f = 1/20 — 1/30.
- Приводим к общему знаменателю: 1/f = (3 — 2) / 60 = 1/60.
- Отсюда находим f = 60 см.
Выводы и ответ: Поскольку f = +60 см (положительное значение), изображение является действительным. Оно будет находиться на расстоянии 60 см от линзы. Также можно рассчитать увеличение Г = f/d = 60/30 = 2, что означает, что изображение будет увеличенным и перевернутым.
Задача 2: Использование лупы
Условие: Чтобы рассмотреть мелкий шрифт, человек использует лупу (собирающую линзу) с фокусным расстоянием 10 см, располагая ее так, чтобы получить прямое мнимое изображение, увеличенное в 3 раза. Где находится книга и где находится изображение?
Анализ: У нас есть F и увеличение Г. Для прямого (неперевернутого) мнимого изображения увеличение записывается как Г = -f/d. Знак «минус» здесь компенсирует отрицательное значение f для мнимого изображения. Мы имеем систему из двух уравнений.
Пошаговое решение:
- Из условия увеличения Г=3: 3 = -f/d, откуда f = -3d. Знак «минус» подтверждает, что изображение мнимое.
- Подставляем это соотношение в формулу тонкой линзы (F = 10 см): 1/10 = 1/d + 1/(-3d).
- Упрощаем правую часть: 1/10 = 1/d — 1/(3d) = (3 — 1)/(3d) = 2/(3d).
- Из пропорции 1/10 = 2/(3d) находим 3d = 20, откуда d ≈ 6.7 см.
- Теперь находим положение изображения: f = -3d = -3 * 6.7 ≈ -20 см.
Ответ: Книгу нужно расположить на расстоянии около 6.7 см от линзы. Мнимое изображение появится на расстоянии 20 см от линзы с той же стороны, что и книга.
Мы рассмотрели преломление на плоской границе и в линзах. Но что произойдет, если свет попытается «выйти» из воды в воздух под очень большим углом? Это приводит нас к еще одному удивительному явлению.
Глава 3. Когда свет оказывается в ловушке, или что такое полное внутреннее отражение
Может ли свет не преломиться, а полностью отразиться от прозрачной границы, как от зеркала? Да, и это явление называется полное внутреннее отражение. Оно лежит в основе работы оптоволокна, по которому передается интернет, и придает граням алмаза их неповторимый блеск.
Это явление возникает только при выполнении двух строгих условий:
- Свет должен переходить из оптически более плотной среды в оптически менее плотную (например, из воды в воздух, то есть n₁ > n₂).
- Угол падения α должен быть больше некоторого критического угла (α > α_кр).
Критический угол — это такой угол падения, при котором угол преломления равен 90°, то есть луч начинает скользить вдоль границы. Если увеличить угол падения еще хоть немного, луч не сможет «прорваться» во вторую среду и полностью отразится обратно в первую. Формула для его расчета выводится прямо из закона Снеллиуса:
sin(α_кр) = n₂ / n₁
Например, для границы вода-воздух (n₁=1.33, n₂=1) критический угол составляет arcsin(1/1.33) ≈ 48.8°. Любой луч, падающий из воды на поверхность под углом больше этого, будет полностью отражен. Это явление лежит в основе многих «визуальных фокусов» и качественных задач, где требуется не столько счет, сколько понимание физики процесса.
Разбор качественных задач и оптических парадоксов
Этот блок посвящен задачам-загадкам, которые развивают физическую интуицию. Здесь главное — не формула, а правильное построение хода лучей.
Задача-парадокс 1: Исчезающая монета
Возьмите неглубокую непрозрачную чашку и положите на дно монету. Отойдите так, чтобы край чашки полностью скрыл от вас монету. Теперь, не двигаясь, попросите кого-нибудь медленно налить в чашку воду. Монета «волшебным образом» станет видна. Почему?
Объяснение: Это классический пример преломления света. Когда чашка пуста, лучи от монеты идут к вашему глазу по прямой, но их преграждает край чашки. Когда в чашке появляется вода, лучи света, идущие от монеты, выходят из более плотной среды (вода) в менее плотную (воздух). При этом они преломляются, отклоняясь от нормали. В результате луч «изгибается» через край чашки и попадает вам в глаз. Нам же кажется, что свет шел по прямой, поэтому наш мозг достраивает изображение монеты выше ее реального положения — там, где она и становится видна. Глубина кажется меньше, чем она есть на самом деле.
Задача-парадокс 2: Ошибка рыбака
Почему опытный рыбак, метая острогу в рыбу, всегда целится немного ниже того места, где ее видит?
Объяснение: Этот парадокс работает по тому же принципу, что и задача с монетой. Рыбак видит мнимое изображение рыбы, которое из-за преломления света на границе вода-воздух кажется расположенным ближе к поверхности. Настоящая рыба находится глубже. Поэтому, чтобы попасть в нее, необходимо делать поправку и целиться ниже видимого положения.
Мы прошли путь от базовых законов до их применения в расчетных и качественных задачах. Теперь пора собрать все знания воедино и посмотреть на более сложный случай.
Синтез знаний на примере решения комбинированной задачи
В реальной жизни оптические явления редко существуют в изоляции. Давайте решим задачу, где оптика встречается с геометрией.
Задача: Тень на дне
В дно водоема глубиной 2 м вбита свая, которая выступает из воды на 0.5 м. Найдите длину тени от сваи на дне водоема, если солнечные лучи падают на поверхность воды под углом 70° к горизонту. Показатель преломления воды n=1.33.
Анализ и решение:
Тень будет состоять из двух частей.
- Часть 1: Тень от надводной части сваи. Лучи падают под углом 70° к горизонту, значит, угол падения α (угол к нормали/вертикали) равен 90° — 70° = 20°. Эта часть тени (L₁) находится с помощью простой тригонометрии. Длина надводной части — h₁ = 0.5 м. Тогда L₁ = h₁ * tg(α) = 0.5 * tg(20°) ≈ 0.18 м.
- Часть 2: Тень от подводной части сваи. Здесь начинается оптика. Сначала нам нужно найти угол преломления (β), под которым лучи пойдут в воде. Используем закон Снеллиуса: n_воздуха * sin(α) = n_воды * sin(β).
1 * sin(20°) = 1.33 * sin(β).
sin(β) = sin(20°) / 1.33 ≈ 0.342 / 1.33 ≈ 0.257.
β = arcsin(0.257) ≈ 14.9°. - Теперь, зная угол распространения света в воде, мы можем найти длину второй части тени (L₂) от подводной части сваи (h₂ = 2 м). L₂ = h₂ * tg(β) = 2 * tg(14.9°) ≈ 2 * 0.266 ≈ 0.53 м.
- Общая длина тени — это сумма двух частей: L = L₁ + L₂ = 0.18 м + 0.53 м = 0.71 м.
Ответ: Длина тени на дне водоема составит примерно 71 см. Успешное решение этой задачи показывает, что у вас есть все необходимые инструменты для анализа большинства оптических систем.
Заключение
Мы совершили путешествие по ключевым областям геометрической оптики и убедились, что за самыми сложными на первый взгляд задачами стоят понятные и логичные принципы. Любая задача — это алгоритм, который можно и нужно освоить. Весь наш анализ держался на трех фундаментальных столпах:
- Закон преломления света (закон Снеллиуса), который описывает поведение луча на границе двух сред.
- Формула тонкой линзы, позволяющая рассчитать положение и характеристики изображений.
- Явление полного внутреннего отражения, объясняющее, как свет может быть «заперт» в более плотной среде.
Теперь у вас есть не просто набор формул, а методология для решения задач и, что еще важнее, для понимания оптических явлений в мире вокруг нас. Главный совет напоследок: не бойтесь рисовать ход лучей. Часто грамотный чертеж — это уже половина решения. Удачи в изучении этого увлекательного раздела физики!
Список использованной литературы
- Рымкевич, А. П. Физика. Задачник. 1011 кл.: пособие для общеобразоват. Учреждений / А. П. Рымкевич. 10-е изд., стереотип. М.: Дрофа, 2006. 188, с.: ил.