Контрольная по Высшей Математике: Теория Вероятностей и Статистика

В современном мире, пронизанном данными и неопределенностью, умение оперировать понятиями вероятности и статистики становится не просто академическим навыком, но и жизненно важным инструментом для специалистов самых разных областей – от инженеров и экономистов до биологов и гуманитариев. Дисциплины «Теория вероятностей» и «Математическая статистика», являющиеся краеугольным камнем высшей математики, формируют фундамент для принятия обоснованных решений, анализа рисков и извлечения значимых выводов из эмпирических данных. Однако, как показывает практика, для многих студентов эти разделы остаются одними из наиболее сложных, а подготовка к контрольным работам часто сводится к механическому запоминанию формул без глубокого понимания их логики и условий применимости.

Введение: Ключ к пониманию и решению задач контрольной работы

Данное руководство призвано не просто предоставить набор готовых алгоритмов для решения типовых задач, но и стать вашим компасом в мире случайных событий и статистических закономерностей. Мы сфокусируемся на понимании концепций, взаимосвязей между темами и логике выбора адекватного метода для каждой конкретной ситуации. Структура руководства построена таким образом, чтобы поэтапно, от самых базовых аксиом до комплексных методов проверки гипотез, раскрыть предмет во всей его полноте. Каждая глава посвящена ключевому разделу и дополнена подробными объяснениями, примерами и практическими советами, которые помогут вам не только успешно сдать контрольную работу, но и заложить прочный фундамент для дальнейшего изучения и применения этих мощных аналитических инструментов. Используйте это руководство как дорожную карту: внимательно изучайте теоретические положения, вникайте в суть примеров и, самое главное, не бойтесь задавать себе вопрос «почему?» – это ключ к подлинному мастерству, позволяющий увидеть скрытые связи и применять знания в любых, даже самых нестандартных ситуациях.

Теория вероятностей: От аксиом до предельных теорем

Раздел 1. Основные понятия и аксиомы теории вероятностей

Начинаем наше погружение в мир неопределённости с самых фундаментальных элементов – с языка, на котором говорит теория вероятностей. Представьте себе любой эксперимент, исход которого заранее неизвестен: подбрасывание монеты, измерение температуры, результат голосования. Каждый возможный исход такого эксперимента называется событием. События бывают простыми (элементарными) и сложными. Множество всех возможных элементарных исходов эксперимента формирует пространство элементарных исходов (обозначается Ω).

Суть теории вероятностей заключается в присвоении каждому событию неотрицательного числа, которое называется его вероятностью, P(A). Это число отражает степень нашей уверенности в наступлении события. Чтобы эта система была математически строгой, используются аксиомы Колмогорова – набор базовых правил, предложенных великим российским математиком Андреем Николаевичем Колмогоровым. Эти аксиомы универсальны и лежат в основе всей современной теории вероятностей:

Аксиома неотрицательности: Вероятность любого события A всегда находится в пределах от нуля до единицы: 0 ≤ P(A) ≤ 1. Это логично: событие не может быть «более невероятным», чем невозможное (P=0), и «более вероятным», чем достоверное (P=1).
Аксиома нормировки: Вероятность достоверного события, то есть всего пространства элементарных исходов Ω, равна 1: P(Ω) = 1. Это означает, что одно из возможных событий обязательно произойдёт.
Аксиома аддитивности (счётной аддитивности): Если у нас есть набор событий A₁, A₂, …, A_n, …, которые попарно несовместны (то есть они не могут произойти одновременно, их пересечение A_i ∩ A_j = ∅ при i ≠ j), то вероятность наступления хотя бы одного из них (их объединения) равна сумме их индивидуальных вероятностей: P(A₁ ∪ A₂ ∪ … ∪ A_n ∪ …) = P(A₁) + P(A₂) + … + P(A_n) + …

Помимо аксиом, существуют различные подходы к определению вероятности, каждый из которых имеет свою область применения:

Классическое определение вероятности: Это интуитивно понятное определение, применимое, когда все элементарные исходы эксперимента равновозможны. Например, при броске симметричной игральной кости каждый из шести исходов (1, 2, 3, 4, 5, 6) имеет одинаковую вероятность. Вероятность события A вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих событию (m), к общему числу всех возможных равновероятных исходов (n):
P(A) = m/n

Пример: Найти вероятность выпадения чётного числа при броске одной игральной кости.

Решение: Общее число исходов (n) = 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6). Число благоприятствующих исходов (m) = 3 (2, 4, 6). Следовательно, P(Чётное число) = 3/6 = 0.5.
Статистическое определение вероятности: Этот подход основан на эмпирических наблюдениях. Если мы повторяем эксперимент многократно, то относительная частота события (отношение числа наступлений события к общему числу испытаний) при большом количестве испытаний стремится к некоторому постоянному значению, которое и принимается за вероятность.
P(A) = lim_n→∞ (m/n)

Где m — число наступлений события A, n — общее число испытаний.

Пример: Из 1000 произведённых лампочек 20 оказались бракованными. Какова статистическая вероятность брака?

Решение: Здесь n = 1000, m = 20. P(Брак) = 20/1000 = 0.02. Это статистическая оценка, которая при большем объеме производства будет уточняться.
Геометрическое определение вероятности: Применяется, когда элементарные исходы эксперимента могут быть представлены точками в некотором геометрическом пространстве (отрезок, плоскость, объемное тело), и вероятность попадания точки в ту или иную область пропорциональна её «мере» (длине, площади, объему).
P(B) = (мера B) / (мера A)

Где B — благоприятствующая область, A — всё пространство возможных исходов.

Пример: Найти вероятность того, что случайно брошенная точка попадёт в круг, вписанный в квадрат.

Решение: Пусть сторона квадрата равна 2a, тогда его площадь S_кв = (2a)² = 4a². Радиус вписанного круга R = a, его площадь S_кр = πR² = πa². Вероятность P = S_кр / S_кв = (πa²) / (4a²) = π/4 ≈ 0.785.

Понимание этих базовых определений и аксиом – это фундамент, без которого невозможно строить более сложные вероятностные модели. Задачи на расчёт вероятностей простых событий часто требуют комбинаторных навыков для определения числа благоприятствующих и общего числа исходов, что подчёркивает взаимосвязь различных разделов математики.

Раздел 2. Основные теоремы теории вероятностей для сложных событий

После того как мы освоили язык и базовые определения теории вероятностей, пришло время перейти к её грамматике – теоремам, которые позволяют нам вычислять вероятности сложных событий. Эти теоремы — инструменты для декомпозиции сложных задач на более простые, что является ключевым навыком в анализе случайных явлений.

Теоремы сложения вероятностей

Эти теоремы используются, когда нас интересует вероятность наступления хотя бы одного из нескольких событий.

Для несовместных событий: Если два события A и B не могут произойти одновременно (например, при одном броске монеты не может одновременно выпасть и «орёл», и «решка»), то вероятность того, что произойдёт либо A, либо B, равна сумме их индивидуальных вероятностей.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)

Это прямое следствие аксиомы аддитивности Колмогорова.

Пример: В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих, 2 зелёных. Какова вероятность вытащить красный или зелёный шар?

Решение: События «вытащить красный» (К) и «вытащить зелёный» (З) несовместны. P(К) = 3/10, P(З) = 2/10. P(К ∪ З) = P(К) + P(З) = 3/10 + 2/10 = 5/10 = 0.5.
Для совместных событий: Если события A и B могут произойти одновременно (например, вытащить туза и пиковую карту из колоды), то простая сумма P(A) + P(B) приведёт к двойному учёту вероятности их совместного наступления. Поэтому необходимо вычесть вероятность их пересечения.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Пример: Вероятность того, что студент сдаст экзамен по математике, равна 0.8. Вероятность того, что он сдаст экзамен по физике, равна 0.7. Вероятность того, что он сдаст оба экзамена, равна 0.6. Какова вероятность того, что он сдаст хотя бы один экзамен?

Решение: P(М ∪ Ф) = P(М) + P(Ф) — P(М ∩ Ф) = 0.8 + 0.7 — 0.6 = 0.9.

Теоремы умножения вероятностей

Эти теоремы применяются, когда нас интересует вероятность совместного наступления нескольких событий.

Для независимых событий: Два события A и B называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого. В этом случае вероятность их совместного наступления равна произведению их вероятностей.
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B)

Пример: Вероятность того, что стрелок попадёт в цель при первом выстреле, равна 0.9. Вероятность попадания при втором выстреле (независимо от первого) также 0.9. Какова вероятность того, что он попадёт в цель оба раза?

Решение: P(Попадание 1 ∩ Попадание 2) = P(Попадание 1) ⋅ P(Попадание 2) = 0.9 ⋅ 0.9 = 0.81.
Для зависимых событий: Если наступление одного события влияет на вероятность наступления другого, они называются зависимыми. В этом случае вводится понятие условной вероятности P(B|A) – вероятность события B при условии, что событие A уже произошло.
P(A ∩ B) = P(A) ⋅ P(B|A) = P(B) ⋅ P(A|B)

Условная вероятность вычисляется по формуле: P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A), при условии P(A) > 0.

Пример: В урне 10 шаров: 3 белых и 7 чёрных. Вынимаем два шара без возвращения. Какова вероятность, что оба шара белые?

Решение: P(1-й белый) = 3/10. Если первый шар белый, то остаётся 9 шаров, из них 2 белых. P(2-й белый | 1-й белый) = 2/9. P(Оба белые) = P(1-й белый) ⋅ P(2-й белый | 1-й белый) = (3/10) ⋅ (2/9) = 6/90 = 1/15 ≈ 0.067.

Формула полной вероятности

Эта формула позволяет рассчитать вероятность события A, которое может наступить при различных, попарно несовместных «гипотезах» H₁, H₂, …, H_n, образующих полную группу событий (то есть одна из них обязательно произойдёт).
P(A) = ∑_i=1ⁿ P(H_i) ⋅ P(A|H_i)

Пример: На складе имеется 3 ящика деталей. В первом ящике 10 деталей, из них 8 стандартных. Во втором — 12 деталей, 9 стандартных. В третьем — 8 деталей, 6 стандартных. Наугад выбирается ящик, а из него — деталь. Какова вероятность, что выбранная деталь стандартная?

Решение: Гипотезы: H₁ – выбран 1-й ящик (P(H₁) = 1/3); H₂ – выбран 2-й ящик (P(H₂) = 1/3); H₃ – выбран 3-й ящик (P(H₃) = 1/3).
Условные вероятности: P(С|H₁) = 8/10 = 0.8; P(С|H₂) = 9/12 = 0.75; P(С|H₃) = 6/8 = 0.75.
P(С) = P(H₁)P(С|H₁) + P(H₂)P(С|H₂) + P(H₃)P(С|H₃) = (1/3) ⋅ 0.8 + (1/3) ⋅ 0.75 + (1/3) ⋅ 0.75 = (1/3)(0.8 + 0.75 + 0.75) = (1/3)(2.3) ≈ 0.767.

Формула Байеса

Формула Байеса является одним из краеугольных камней вероятностного мышления и позволяет «обновлять» или «пересчитывать» вероятности гипотез в свете новой информации (наступившего события A). Это мощный инструмент для диагностики и принятия решений.
P(H_j|A) = (P(H_j) ⋅ P(A|H_j)) / P(A)

Где P(A) вычисляется по формуле полной вероятности.

Пример: Продолжим предыдущий пример. Предположим, мы вытащили стандартную деталь. Какова вероятность, что она была взята из первого ящика?

Решение: P(H₁|С) = (P(H₁) ⋅ P(С|H₁)) / P(С) = ((1/3) ⋅ 0.8) / (2.3/3) = 0.8 / 2.3 ≈ 0.348.
Мы видим, что вероятность того, что деталь из первого ящика, увеличилась, так как там процент стандартных деталей был выше.

Формула Бернулли

Эта формула используется для задач, связанных с серией повторных независимых испытаний (так называемая схема Бернулли). Она позволяет найти вероятность того, что в n таких испытаниях событие A, с постоянной вероятностью наступления p в каждом испытании, произойдёт ровно k раз.
P_n(k) = C^k_n ⋅ p^k ⋅ q^(n-k)

Где q = 1 — p (вероятность ненаступления события), а C^k_n = n! / (k! ⋅ (n-k)!) – биномиальный коэффициент, представляющий число сочетаний из n по k.

Пример: Монета подбрасывается 5 раз. Какова вероятность, что «орёл» выпадет ровно 3 раза?

Решение: n = 5, k = 3, p = 0.5 (вероятность «орла»), q = 0.5 (вероятность «решки»).
C³₅ = 5! / (3! ⋅ 2!) = (5 ⋅ 4) / (2 ⋅ 1) = 10.
P₅(3) = 10 ⋅ (0.5)³ ⋅ (0.5)^(5-3) = 10 ⋅ 0.125 ⋅ 0.25 = 0.3125.

При решении задач пошаговое объяснение выбора теоремы является критически важным. Всегда начинайте с определения типа событий (совместные/несовместные, зависимые/независимые) и структуры задачи (однократное событие, серия испытаний, обновление вероятностей). Это поможет избежать ошибок и глубже понять логику решения.

Раздел 3. Случайные величины, их распределения и числовые характеристики

Мы переходим от вероятностей отдельных событий к изучению случайных величин (СВ) – количественных характеристик исходов случайного эксперимента. Случайная величина – это функция, которая каждому элементарному исходу эксперимента ставит в соответствие некоторое числовое значение. Именно через случайные величины теория вероятностей обретает свою мощь как инструмент для описания и анализа реального мира.

Случайные величины делятся на два основных типа:

Дискретная случайная величина (ДСВ): Принимает отдельные, изолированные значения. Эти значения можно пересчитать (например, число попаданий при выстрелах, количество бракованных изделий в партии).
- Распределение ДСВ описывается рядом распределения: таблицей, где каждому возможному значению x_i случайной величины соответствует его вероятность p_i. Сумма всех вероятностей p_i должна быть равна 1.
Таблица 1. Пример ряда распределения ДСВ

x_i x₁ x₂ … x_n

p_i p₁ p₂ … p_n

Где ∑ p_i = 1.
Непрерывная случайная величина (НСВ): Может принимать любые значения из некоторого интервала (например, рост человека, температура воздуха, время ожидания). Вероятность того, что НСВ примет конкретное значение, равна нулю. Вместо этого мы говорим о вероятности попадания НСВ в интервал.
- Распределение НСВ описывается функцией плотности вероятности (f(x)) (или плотностью распределения). Это неотрицательная функция, для которой справедливо условие нормировки:
  ∫_-∞^+∞ f(x) dx = 1
  
  Вероятность попадания НСВ в интервал [a, b] вычисляется как интеграл от функции плотности по этому интервалу:
  
  P(a ≤ X ≤ b) = ∫_a^b f(x) dx
Пример: Пусть X – время ожидания автобуса (НСВ) на остановке, равномерно распределённое от 0 до 10 минут. Тогда f(x) = 1/10 для x ∈ [0, 10] и 0 иначе. Вероятность ждать от 3 до 7 минут: P(3 ≤ X ≤ 7) = ∫₃⁷ (1/10) dx = [x/10]₃⁷ = 7/10 - 3/10 = 4/10 = 0.4.

x_i	x₁	x₂	…	x_n
p_i	p₁	p₂	…	p_n

Функция распределения (интегральная функция распределения F(x))

Это универсальный способ описания распределения как для ДСВ, так и для НСВ. F(x) определяет вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее заданного x: F(x) = P(X < x).

Для ДСВ: F(x) = ∑_{x_i < x} p_i. Это ступенчатая функция.
Для НСВ: F(x) = ∫_-∞^x f(t) dt. Это непрерывная функция.

Свойства функции распределения:

0 ≤ F(x) ≤ 1.
F(x) — неубывающая функция.
lim_x→-∞ F(x) = 0.
lim_x→+∞ F(x) = 1.

Числовые характеристики случайных величин

Эти характеристики позволяют компактно описать ключевые особенности распределения случайной величины, не прибегая к полному описанию её ряда или функции плотности.

Математическое ожидание (M(X) или E[X]): Это среднее (взвешенное по вероятностям) значение случайной величины, её «центр тяжести». Это то, к чему стремится среднее арифметическое значений СВ при большом числе испытаний.
- Для ДСВ: M(X) = ∑ x_i ⋅ p_i.
- Для НСВ: M(X) = ∫_-∞^+∞ x ⋅ f(x) dx.
Свойства математического ожидания:
1. M(C) = C, где C – константа.
2. M(C ⋅ X) = C ⋅ M(X).
3. M(X + Y) = M(X) + M(Y).
4. M(X ⋅ Y) = M(X) ⋅ M(Y) (только для независимых X, Y).
Дисперсия (D(X) или Var(X)): Мера рассеяния (разброса) значений случайной величины вокруг её математического ожидания. Чем больше дисперсия, тем сильнее разброс.
Определяется как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:

D(X) = M[(X - M(X))²]

Часто для расчётов удобнее использовать альтернативную формулу:

D(X) = M(X²) - (M(X))²
- Для ДСВ: D(X) = ∑ (x_i - M(X))² ⋅ p_i или D(X) = ∑ x_i² ⋅ p_i - (M(X))².
- Для НСВ: D(X) = ∫_-∞^+∞ (x - M(X))² ⋅ f(x) dx или D(X) = ∫_-∞^+∞ x² ⋅ f(x) dx - (M(X))².
Свойства дисперсии:
1. D(C) = 0.
2. D(C ⋅ X) = C² ⋅ D(X).
3. D(X + C) = D(X).
4. D(X + Y) = D(X) + D(Y) (только для независимых X, Y).
Среднеквадратическое отклонение (σ(X)): Наиболее интуитивно понятная мера рассеяния, равная квадратному корню из дисперсии:
σ(X) = √D(X)

Его преимущество в том, что оно измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, что облегчает интерпретацию.

Пример вычисления характеристик для ДСВ:
Пусть ДСВ X задана рядом распределения:

x_i	1	2	3
p_i	0.2	0.5	0.3

Математическое ожидание:
M(X) = 1 ⋅ 0.2 + 2 ⋅ 0.5 + 3 ⋅ 0.3 = 0.2 + 1.0 + 0.9 = 2.1
Дисперсия (через M(X²)):
Сначала найдём M(X²) = 1² ⋅ 0.2 + 2² ⋅ 0.5 + 3² ⋅ 0.3 = 1 ⋅ 0.2 + 4 ⋅ 0.5 + 9 ⋅ 0.3 = 0.2 + 2.0 + 2.7 = 4.9
D(X) = M(X²) - (M(X))² = 4.9 - (2.1)² = 4.9 - 4.41 = 0.49
Среднеквадратическое отклонение:
σ(X) = √0.49 = 0.7

Понимание этих характеристик позволяет нам не только описывать случайные величины, но и сравнивать их, предсказывать их поведение и принимать решения в условиях неопределённости.

Раздел 4. Предельные теоремы теории вероятностей: Законы больших чисел и Центральная предельная теорема

Предельные теоремы теории вероятностей – это не просто набор формул; это глубокие идеи, которые связывают мир случайности с миром предсказуемости, объясняя, почему при большом числе повторений случайные явления начинают демонстрировать удивительную стабильность и закономерность. Они являются теоретическим мостом между теорией вероятностей и математической статистикой, обосновывая возможность делать надёжные выводы о генеральной совокупности, основываясь лишь на ограниченных выборочных данных.

Неравенство Чебышева

Это неравенство — фундамент для законов больших чисел. Оно даёт верхнюю границу для вероятности того, что случайная величина отклонится от своего математического ожидания на определённую величину.
P(|X - M(X)| ≥ ε) ≤ D(X) / ε²

Где ε – любое положительное число.

Интерпретация: Чем меньше дисперсия D(X), тем меньше вероятность значительного отклонения случайной величины X от её среднего значения M(X). Это неравенство важно, потому что оно верно для любого распределения случайной величины (при условии конечных M(X) и D(X)), что делает его универсальным, хоть и часто «грубым» инструментом.

Теорема Чебышева (Закон больших чисел)

Эта теорема утверждает, что при большом числе независимых наблюдений среднее арифметическое этих наблюдений сходится по вероятности к среднему арифметическому их математических ожиданий.
Пусть X₁, X₂, …, X_n — последовательность попарно независимых случайных величин с конечными математическими ожиданиями M(X_i) и равномерно ограниченными дисперсиями D(X_i) ≤ C. Тогда для любого ε > 0:
lim_n→∞ P(|(1/n)∑_i=1ⁿ X_i - (1/n)∑_i=1ⁿ M(X_i)| < ε) = 1

На практике это означает, что если мы многократно повторяем эксперимент, то средний результат будет всё ближе и ближе к истинному среднему значению. Это объясняет, почему выборочное среднее является хорошей оценкой генерального математического ожидания.

Теорема Бернулли (Закон больших чисел в форме Бернулли)

Частный случай теоремы Чебышева, применимый к последовательности независимых испытаний, в каждом из которых событие A наступает с одной и той же вероятностью p.
lim_n→∞ P(|m/n - p| < ε) = 1

Где m — число наступлений события A в n испытаниях, m/n — относительная частота.

Эта теорема объясняет, почему статистическая вероятность (относительная частота) события стабилизируется и приближается к его теоретической вероятности при увеличению числа испытаний. Это подтверждает эмпирический метод оценки вероятностей.

Центральная предельная теорема (ЦПТ)

ЦПТ – одна из самых значимых теорем в теории вероятностей и статистике. Она объясняет повсеместное появление нормального распределения в природе и обществе.

В формулировке Ляпунова: Если у нас есть достаточно большое число независимых случайных величин (даже с разными распределениями, но с конечными дисперсиями), то распределение их суммы (или среднего арифметического) стремится к нормальному распределению.

Если X₁, X₂, …, X_n — независимые и одинаково распределённые случайные величины с математическим ожиданием μ и дисперсией σ², то распределение стандартизованной суммы Z_n = (S_n — nμ) / (σ√n) при n → ∞ стремится к стандартному нормальному распределению N(0, 1).
Где S_n = ∑_i=1ⁿ X_i.

Практическое значение: ЦПТ позволяет использовать аппарат нормального распределения для анализа сумм и средних значений, даже если исходные случайные величины не были нормально распределены. Это является основой для многих статистических тестов и построения доверительных интервалов. Например, ошибка измерения, которая является суммой множества мелких случайных ошибок, часто распределена нормально.

Локальная и интегральная теоремы Лапласа

Эти теоремы являются частными случаями ЦПТ, применяемыми для приближённого расчёта вероятностей в схеме Бернулли при большом числе испытаний n.

Локальная теорема Лапласа: Используется для расчёта вероятности того, что в n независимых испытаниях событие A наступит ровно k раз.
P_n(k) ≈ (1 / √(npq)) ⋅ φ((k - np) / √(npq))

Где φ(x) — функция плотности стандартного нормального распределения: φ(x) = (1 / √(2π)) ⋅ e^-x²/2.
Применимо при больших n и p, не близких к 0 или 1 (обычно npq ≥ 9-10).
Интегральная теорема Лапласа: Используется для расчёта вероятности того, что число k наступлений события в n испытаниях будет находиться в определённом интервале [k₁, k₂].
P(k₁ ≤ k ≤ k₂) ≈ Φ((k₂ - np) / √(npq)) - Φ((k₁ - np) / √(npq))

Где Φ(x) — функция Лапласа (функция стандартного нормального распределения): Φ(x) = (1 / √(2π)) ∫₀^x e^-t²/2 dt. Значения Φ(x) обычно приводятся в таблицах.
Применимо при больших n и p, не близких к 0 или 1.

Пример использования интегральной теоремы Лапласа:
Вероятность выпуска бракованного изделия 0.01. Найти вероятность того, что из 1000 изделий число бракованных будет от 5 до 15.

Решение: n=1000, p=0.01, q=0.99.
np = 1000 ⋅ 0.01 = 10.
npq = 1000 ⋅ 0.01 ⋅ 0.99 = 9.9.
√(npq) = √9.9 ≈ 3.146.
Используем поправку на непрерывность (0.5):
x₁ = (5 - 0.5 - 10) / 3.146 ≈ -1.75.
x₂ = (15 + 0.5 - 10) / 3.146 ≈ 1.75.
P(5 ≤ k ≤ 15) ≈ Φ(1.75) - Φ(-1.75) = Φ(1.75) + Φ(1.75) = 2 ⋅ Φ(1.75).
По таблице Φ(1.75) ≈ 0.4599.
P ≈ 2 ⋅ 0.4599 = 0.9198.

Теорема Пуассона

Эта теорема является предельным случаем биномиального распределения, когда число испытаний n велико, а вероятность p наступления события в каждом испытании мала (событие редкое).
P_n(k) ≈ (λ^k / k!) ⋅ e^-λ

Где λ = np — среднее число наступлений события.

Пример: На телефонную станцию поступает в среднем 2 звонка в минуту. Какова вероятность, что за минуту поступит ровно 3 звонка?

Решение: Здесь λ = 2. k = 3.
P(3) = (2³ / 3!) ⋅ e^-2 = (8 / 6) ⋅ e^-2 ≈ 1.333 ⋅ 0.1353 ≈ 0.1804.

Предельные теоремы показывают, что кажущаяся хаотичность индивидуальных случайных событий при массовом наблюдении или суммировании подчиняется строгим математическим законам, что и позволяет нам строить статистические модели и делать прогнозы.

Математическая статистика: От выборок к выводам

Раздел 5. Основы математической статистики и оценки параметров генеральной совокупности

Переходя от теории вероятностей к математической статистике, мы делаем шаг от абстрактных моделей к анализу реальных данных. Математическая статистика – это наука, которая разрабатывает математические методы для систематизации, обработки и использования статистических данных с целью получения научных и практических выводов о массовых случайных явлениях. Её основные задачи – это, по сути, обратная задача теории вероятностей: на основе наблюдаемых данных сделать выводы о неизвестных параметрах, лежащих в их основе.

Основные задачи математической статистики:

Оценка неизвестных параметров распределения: На основе выборочных данных пытаемся определить характеристики всей генеральной совокупности (например, средний рост населения, средний доход).
Проверка статистических гипотез: Формулируем предположения о свойствах генеральной совокупности и проверяем их на соответствие выборочным данным.
Определение характера и тесноты связи между признаками: Анализируем, как изменение одной переменной влияет на другую, и насколько сильна эта взаимосвязь.

Ключевыми понятиями здесь являются генеральная совокупность и выборка.

Генеральная совокупность – это вся совокупность объектов, явлений или событий, о которых мы хотим сделать выводы. Её размеры могут быть как конечными, так и бесконечными.
Выборка (выборочная совокупность) – это ограниченная часть генеральной совокупности, отобранная для непосредственного изучения. Крайне важно, чтобы выборка была репрезентативной, то есть отражала свойства генеральной совокупности, иначе выводы будут ошибочными.

Выборочные характеристики (статистики)

Поскольку мы не можем изучить всю генеральную совокупность, мы вычисляем характеристики для выборки. Эти характеристики называются выборочными статистиками и служат оценками для соответствующих параметров генеральной совокупности.

Выборочное среднее (x̄): Среднее арифметическое всех значений признака в выборке. Это наиболее распространённая точечная оценка математического ожидания генеральной совокупности.
x̄ = (1/n) ∑_i=1ⁿ x_i
Выборочная дисперсия (s²): Мера разброса значений в выборке.
s² = (1/n) ∑_i=1ⁿ (x_i - x̄)²
Несмещенная выборочная дисперсия (s̃²): Важная модификация выборочной дисперсии, которая используется для несмещенной оценки генеральной дисперсии. Её знаменатель (n-1) вместо n, что компенсирует систематическое занижение обычной выборочной дисперсией истинной дисперсии генеральной совокупности.
s̃² = (1/(n-1)) ∑_i=1ⁿ (x_i - x̄)²
Мода (Mo): Значение признака, которое встречается в выборке чаще всего. В случае группированных данных, модальным интервалом считается тот, который имеет наибольшую частоту.
Медиана (Me): Значение признака, которое делит упорядоченную выборку на две равные части. Половина значений меньше медианы, половина — больше. Если число наблюдений нечётное, медиана – центральное значение. Если чётное, то среднее арифметическое двух центральных.

Точечные оценки параметров

Точечная оценка – это одно число, вычисленное по выборочным данным, которое используется как наилучшее приближение к неизвестному параметру генеральной совокупности. Качество точечных оценок характеризуется тремя основными свойствами:

Несмещенность: Оценка является несмещенной, если её математическое ожидание равно истинному значению оцениваемого параметра. Это означает, что при многократном повторении эксперимента и вычислении оценки, её среднее значение будет совпадать с истинным параметром. Выборочное среднее несмещенно для математического ожидания, а s̃² несмещенно для генеральной дисперсии.
Состоятельность: Оценка является состоятельной, если при увеличении объема выборки она сходится по вероятности к оцениваемому параметру. Чем больше данных, тем точнее оценка.
Эффективность: Несмещенная оценка является эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех других несмещенных оценок того же параметра. Это означает, что она даёт наиболее точные результаты при заданном объёме выборки.

Интервальные оценки параметров

Интервальная оценка – это интервал, который с определённой доверительной вероятностью (уровнем надежности) содержит истинное значение оцениваемого параметра генеральной совокупности. Это более информативный вид оценки, так как он учитывает неопределённость, связанную с выборочным характером данных.

Доверительный интервал: Интервал, построенный вокруг точечной оценки. Например, 95%-ный доверительный интервал для среднего означает, что если мы повторим эксперимент многократно и каждый раз построим такой интервал, то в 95% случаев истинное значение параметра будет попадать в этот интервал.
Доверительная вероятность (1 — α): Вероятность того, что доверительный интервал содержит истинное значение параметра. Обычно выбирается 0.90, 0.95 или 0.99.

Алгоритмы построения оценок зависят от конкретного параметра (среднее, дисперсия, доля), от известности или неизвестности дисперсии генеральной совокупности, и от объема выборки. Например, для построения доверительного интервала для математического ожидания μ при известной генеральной дисперсии σ² и большом n используется Z-распределение (нормальное распределение):
[ x̄ - z_α/2 ⋅ σ / √n; x̄ + z_α/2 ⋅ σ / √n ]

Где z_α/2 – критическое значение стандартного нормального распределения, соответствующее заданному уровню значимости α.

Если же генеральная дисперсия неизвестна (что чаще всего и бывает), и объем выборки небольшой, используется t-распределение Стьюдента:
[ x̄ - t_{α/2, n-1} ⋅ s̃ / √n; x̄ + t_{α/2, n-1} ⋅ s̃ / √n ]

Где t_{α/2, n-1} – критическое значение t-распределения с n-1 степенями свободы.

Понимание этих различий и правильный выбор метода оценки – залог корректных статистических выводов.

Раздел 6. Корреляционная зависимость и регрессионный анализ

Когда мы анализируем данные, нас часто интересует не только характеристики отдельных признаков, но и взаимосвязь между ними. Например, как связаны успеваемость студента и время, которое он тратит на подготовку, или как цена товара зависит от его качества и известности бренда. Именно здесь на помощь приходят корреляционный и регрессионный анализы.

Отличие функциональной зависимости от корреляционной

Это принципиальный момент, который часто вызывает путаницу.

Функциональная зависимость: Это строгая, детерминированная связь, при которой каждому значению одного признака (фактора) соответствует одно единственное строго определённое значение другого признака (результата). Пример: площадь круга (S) от его радиуса (R) S = πR². Здесь нет случайности.
Корреляционная зависимость: Это статистическая, неполная взаимосвязь. Изменение значений одной величины сопутствует систематическому изменению средних значений другой, но не строго детерминированно. Почему? Потому что на результативный признак влияют не только изучаемый фактор, но и множество других случайных, неучтённых или фоновых факторов. Пример: рост человека и его вес. В среднем, с увеличением роста вес увеличивается, но для конкретного человека рост не позволяет точно предсказать вес.

Понимание этого различия — ключевое: корреляционный анализ имеет дело с вероятностными закономерностями, а не с жёсткими связями. Эта «слепая зона» многих конкурирующих материалов, которые не акцентируют внимание на принципиальной разнице между этими типами зависимости.

Коэффициент корреляции Пирсона и ковариация

Коэффициент корреляции (r), чаще всего Пирсона, — это численная мера, которая количественно характеризует степень линейной взаимосвязи между двумя случайными величинами X и Y.

Его значение всегда лежит в диапазоне от -1 до +1.
- r = 1: Идеальная прямая положительная линейная связь. Точки на графике образуют строго возрастающую прямую.
- r = -1: Идеальная обратная отрицательная линейная связь. Точки образуют строго убывающую прямую.
- r = 0: Отсутствие линейной корреляционной связи. Это не означает полного отсутствия связи, просто она нелинейна (например, параболическая).
- Значения близкие к 1 или -1 указывают на сильную линейную связь, значения близкие к 0 – на слабую.

Для вычисления коэффициента корреляции Пирсона сначала необходимо определить ковариацию (Cov(X, Y)). Ковариация – это мера совместного изменения двух случайных величин, определяемая как математическое ожидание произведения отклонений случайных величин от их математических ожиданий:
Cov(X, Y) = M[(X - M(X))(Y - M(Y))]

Ковариация может быть положительной (переменные движутся в одном направлении), отрицательной (движутся в противоположных направлениях) или нулевой (отсутствие линейной связи). Однако её величина зависит от единиц измерения, что затрудняет интерпретацию. Для этого и нужен коэффициент корреляции:
r_xy = Cov(X, Y) / (σ(X) ⋅ σ(Y))

Где σ(X) и σ(Y) – среднеквадратические отклонения величин X и Y.

Корреляционное отношение (η)

Если между признаками существует нелинейная зависимость, коэффициент корреляции Пирсона может быть близок к нулю, вводя в заблуждение об отсутствии связи. В таких случаях используется корреляционное отношение (η) – мера нелинейной корреляционной зависимости.

Значение η всегда лежит в диапазоне от 0 до 1.
- η = 1: Полная зависимость (как линейная, так и нелинейная).
- η = 0: Отсутствие какой-либо зависимости.
Важное свойство: η ≥ |r|. Это означает, что корреляционное отношение всегда «захватывает» нелинейную компоненту связи, если она есть, и не может быть меньше модуля линейного коэффициента корреляции.

Использование корреляционного отношения особенно актуально, когда график рассеяния данных намекает на криволинейную связь (например, параболу или экспоненту), но коэффициент Пирсона показывает слабую связь.

Уравнение регрессии и метод наименьших квадратов (МНК)

В то время как корреляционный анализ измеряет силу и направление связи, регрессионный анализ ставит задачу построения математической модели, которая описывает характер этой зависимости и позволяет прогнозировать значения одной переменной на основе значений другой.

Уравнение регрессии: Математическая модель, описывающая зависимость среднего значения зависимой переменной (Y) от значений одной или нескольких независимых переменных (X).
- Линейная регрессия: Простейшая и наиболее распространённая модель, представляющая зависимость в виде прямой линии:
  y = a + bx
  
  Где:
  - y – предсказанное значение зависимой переменной.
  - x – значение независимой переменной.
  - a (свободный член, intercept) – значение y, когда x равно нулю. Это точка пересечения линии регрессии с осью Y.
  - b (коэффициент регрессии, slope) – показывает, на сколько в среднем изменится y при изменении x на одну единицу. Это «наклон» линии регрессии.
Метод наименьших квадратов (МНК): Универсальный и наиболее часто используемый метод для нахождения коэффициентов регрессии (a и b). Его суть заключается в минимизации суммы квадратов отклонений наблюдаемых значений зависимой переменной от значений, предсказанных моделью. То есть, мы ищем такую прямую, которая наилучшим образом «проходит» через облако точек, минимизируя расстояние от каждой точки до этой прямой по вертикали.

Формулы для коэффициентов линейной регрессии, полученные МНК:

b = (n ∑(x_iy_i) - ∑x_i ∑y_i) / (n ∑x_i² - (∑x_i)²)
a = ȳ - b ⋅ x̄

Где x̄ и ȳ – выборочные средние для X и Y, n – объём выборки.

Интерпретация коэффициентов регрессии:
- Коэффициент b (наклон) очень важен: если b > 0, связь положительная (с ростом X, Y в среднем растёт); если b < 0, связь отрицательная (с ростом X, Y в среднем убывает). Его величина показывает силу этого изменения.
- Коэффициент a (свободный член) показывает базовое значение Y, когда X равно нулю. Его интерпретация имеет смысл только в том случае, если X=0 находится в диапазоне наблюдаемых значений X и имеет практический смысл.

Пример решения задачи на корреляционно-регрессионный анализ (гипотетический):
Пусть есть данные о баллах за контрольную работу (Y) и количестве часов, потраченных на подготовку (X) для 5 студентов:

Студент	X (часы)	Y (баллы)
1	2	60
2	4	70
3	5	80
4	7	90
5	8	95

Вычислим необходимые суммы:
n = 5
∑X = 2+4+5+7+8 = 26
∑Y = 60+70+80+90+95 = 395
∑X² = 4+16+25+49+64 = 158
∑XY = 2*60 + 4*70 + 5*80 + 7*90 + 8*95 = 120 + 280 + 400 + 630 + 760 = 2190
x̄ = 26/5 = 5.2
ȳ = 395/5 = 79
Найдём коэффициент b:
b = (5 ⋅ 2190 - 26 ⋅ 395) / (5 ⋅ 158 - (26)²)
b = (10950 - 10270) / (790 - 676)
b = 680 / 114 ≈ 5.965
Найдём коэффициент a:
a = ȳ - b ⋅ x̄ = 79 - 5.965 ⋅ 5.2 = 79 - 31.018 ≈ 47.982
Уравнение линейной регрессии:
ŷ = 47.982 + 5.965x
Интерпретация:
Коэффициент b ≈ 5.965 означает, что каждый дополнительный час подготовки в среднем увеличивает балл за контрольную работу на почти 6 баллов. Коэффициент a ≈ 47.982 можно интерпретировать как ожидаемый балл, если студент совсем не готовился (X=0).

Корреляционный и регрессионный анализы — мощные инструменты для понимания взаимосвязей в данных, но их применение требует осторожности и глубокого понимания лежащих в основе допущений.

Раздел 7. Статистические гипотезы и критерии их проверки

Наконец, мы подходим к одной из самых практических и востребованных частей математической статистики – проверке статистических гипотез. Это формализованный способ принятия решений о параметрах генеральной совокупности на основе ограниченных выборочных данных, постоянно сопряжённый с риском ошибки.

Понятия нулевой (H₀) и альтернативной (H₁) гипотез

Процесс проверки гипотез начинается с формулировки двух взаимоисключающих утверждений:

Нулевая гипотеза (H₀): Это основное предположение, которое мы проверяем. Часто она формулируется как «отсутствие эффекта», «отсутствие различий» или «равенство параметров». Например: «Средний балл студентов по математике не изменился», «Новое лекарство не эффективнее плацебо», «μ = μ₀«. Это гипотеза, которую мы стремимся опровергнуть.
Альтернативная гипотеза (H₁): Это утверждение, которое принимается, если нулевая гипотеза отвергается. Она формулируется как «наличие эффекта», «наличие различий» или «неравенство параметров». Например: «Средний балл студентов изменился», «Новое лекарство эффективнее плацебо», «μ ≠ μ₀» или «μ > μ₀«.

Ошибки первого и второго рода, уровень значимости (α)

Принимая решение о принятии или отвержении нулевой гипотезы, мы всегда рискуем ошибиться. Существует два типа ошибок:

Ошибка первого рода (α-ошибка): Отвержение правильной нулевой гипотезы. Мы говорим, что есть эффект, хотя его на самом деле нет. Вероятность совершения этой ошибки называется уровнем значимости (α). Это максимально допустимая вероятность ложноположительного результата. Традиционно выбирают α = 0.05 (5%) или α = 0.01 (1%). Если α = 0.05, это означает, что в 5% случаев мы ошибочно отвергнем истинную H₀.
Ошибка второго рода (β-ошибка): Принятие неверной нулевой гипотезы. Мы говорим, что эффекта нет, хотя он на самом деле есть. Вероятность совершения этой ошибки обозначается β. Величина (1 — β) называется мощностью критерия, которая характеризует способность критерия обнаружить реальный эффект, если он существует.

Глубокое объяснение их практического смысла: Выбор уровня значимости α – это компромисс. Слишком низкий α (например, 0.001) уменьшает вероятность ошибки первого рода, но увеличивает вероятность ошибки второго рода (мы можем «пропустить» реальный эффект). Слишком высокий α (например, 0.1) увеличивает шансы найти эффект, но также повышает риск ложноположительных результатов. В медицине, где цена ошибки первого рода (например, ошибочное признание неэффективного лекарства эффективным) высока, α часто выбирают низким.

Статистические критерии (тесты): параметрические и непараметрические

Статистический критерий (тест) – это правило, которое на основе выборочных данных позволяет принять решение об отклонении или принятии нулевой гипотезы. Выбор критерия зависит от типа данных, вида распределения и цели исследования.

Параметрические критерии: Применяются, когда данные соответствуют определённым параметрическим распределениям (чаще всего нормальному распределению) и/или когда проверяются гипотезы о параметрах этих распределений (например, о математическом ожидании, дисперсии). Они более мощные, но требуют соблюдения строгих условий.
- Примеры: t-критерий Стьюдента (для сравнения средних), F-критерий Фишера (для сравнения дисперсий или в дисперсионном анализе), Z-критерий (для больших выборок, когда известна генеральная дисперсия).
Непараметрические критерии: Используются, когда данные не подчиняются нормальному распределению, когда нет информации о законе распределения, или когда данные имеют порядковую (ранговую) шкалу. Они менее требовательны к исходным данным, но обычно менее мощны, чем параметрические.
- Критерий знаков: Применяется для сравнения двух зависимых выборок (парных наблюдений), когда важен только знак различий (положительное или отрицательное отклонение), а не их величина. Например, сравнение результатов «до» и «после» какого-либо воздействия.
  - Алгоритм: Вычисляются разности между парными наблюдениями. Отбрасываются нулевые разности. Считается число положительных и отрицательных разностей. Если их число значительно отличается от ожидаемого (50/50), то делается вывод о значимом различии.
- Критерий Манна-Уитни (U-критерий): Используется для сравнения двух независимых выборок с целью определить, отличаются ли их распределения (или медианы). Он проверяет гипотезу о равенстве распределений.
  - Алгоритм: Все данные из двух выборок объединяются и ранжируются от наименьшего к наибольшему. Затем суммируются ранги для каждой выборки. По этим суммам рассчитывается U-статистика, которая сравнивается с критическими значениями.
- Критерий Уилкоксона (Т-критерий для парных выборок): Аналог критерия знаков, но более мощный, так как учитывает не только направление, но и величину различий (ранги абсолютных значений разностей) для зависимых выборок.
  - Алгоритм: Вычисляются абсолютные разности между парными наблюдениями. Нулевые разности отбрасываются. Оставшиеся абсолютные разности ранжируются. Ранги присваиваются тем разностям, которые соответствуют положительным и отрицательным знакам. Далее суммируются ранги для положительных и отрицательных разностей, и меньшая из этих сумм используется как тестовая статистика.

Пример пошаговой проверки гипотезы с обоснованием выбора критерия (гипотетический):
Задача: Группа студентов (n=10) прошла двухмесячный курс интенсивной подготовки к экзамену. Известны их результаты до курса и после. Проверить, улучшились ли результаты после курса, на уровне значимости α = 0.05.

Данные:

Студент	До курса	После курса
1	55	60
2	60	65
3	70	70
4	45	50
5	80	85
6	65	60
7	50	55
8	75	80
9	40	45
10	70	75

Выбор критерия: Это задача на сравнение двух зависимых выборок (одни и те же студенты «до» и «после»). Если бы мы могли предположить нормальность распределения разностей и большой объем выборки, использовали бы t-критерий для парных выборок. Но для малых выборок и без строгих предположений о нормальности, более уместным будет непараметрический критерий. Поскольку важны как направление, так и величина изменения, выбираем критерий Уилкоксона для парных выборок.

Алгоритм применения критерия Уилкоксона:

Формулировка гипотез:
- H₀: Медиана разностей баллов (После — До) равна нулю (т.е. курс не изменил результаты).
- H₁: Медиана разностей баллов (После — До) больше нуля (т.е. курс улучшил результаты). (Односторонняя гипотеза, так как мы ожидаем улучшения).
Вычисление разностей и их абсолютных значений:

Студент	До	После	Разность (d)	\|d\|
1	55	60	+5	5
2	60	65	+5	5
3	70	70	0	0
4	45	50	+5	5
5	80	85	+5	5
6	65	60	-5	5
7	50	55	+5	5
8	75	80	+5	5
9	40	45	+5	5
10	70	75	+5	5

Отбрасывание нулевых разностей:
Студент 3 имеет разность 0. Его исключаем из анализа. Остаётся n = 9 наблюдений.
Ранжирование абсолютных значений разностей:
Все абсолютные разности равны 5. Присваиваем им средний ранг. (1+2+3+4+5+6+7+8+9)/9 = 5.

Студент	d	\|d\|	Ранг
1	+5	5	5
2	+5	5	5
4	+5	5	5
5	+5	5	5
6	-5	5	5
7	+5	5	5
8	+5	5	5
9	+5	5	5
10	+5	5	5

Суммирование рангов для положительных и отрицательных разностей:
- Сумма рангов для положительных разностей (R₊): 5+5+5+5+5+5+5+5 = 40 (8 положительных разностей)
- Сумма рангов для отрицательных разностей (R_—): 5 (1 отрицательная разность)
Определение тестовой статистики T:
Т = min(R₊, R_-) = min(40, 5) = 5.
Сравнение с критическим значением:
Для n=9 (число не-нулевых разностей) и α=0.05 (односторонний тест), критическое значение T по таблицам Уилкоксона составляет, например, T_крит = 8 (это значение может немного варьироваться в зависимости от конкретной таблицы, но будет близко).
Принятие решения:
Поскольку наблюдаемое значение T (5) меньше критического значения T_крит (8), мы отвергаем нулевую гипотезу.

Вывод: На уровне значимости 0.05 можно сделать вывод, что курс интенсивной подготовки значимо улучшил результаты студентов.

Проверка гипотез – это мощный, но требующий внимательности инструмент. Правильный выбор критерия, корректная формулировка гипотез и понимание смысла ошибок – ключевые элементы успешного статистического анализа.

Заключение: Подготовка к успешной сдаче контрольной работы

Мы завершили наше подробное путешествие по ландшафтам теории вероятностей и математической статистики. Это руководство было разработано с единственной целью: вооружить вас не просто формулами, но и глубоким пониманием концепций, которое является фундаментом для успешного выполнения контрольной работы и дальнейшего освоения этих дисциплин. Теперь вы готовы к успешной сдаче контрольной работы.

Ключевые концепции и методики, которые мы рассмотрели:

Фундаментальные аксиомы и определения вероятности: От классического до геометрического, они формируют язык, на котором мы говорим о случайности.
Теоремы для сложных событий: Сложение, умножение, полная вероятность, Байес и Бернулли – инструменты для декомпозиции и расчёта вероятностей в сложных сценариях.
Случайные величины и их характеристики: Дискретные и непрерывные, ряды распределения и функции плотности, математическое ожидание и дисперсия – это способы количественного описания и анализа неопределённости.
Предельные теоремы: Законы больших чисел и Центральная предельная теорема, которые объясняют переход от хаоса к порядку, от индивидуальных случайностей к статистическим закономерностям. Они показывают, почему выборочные средние стремятся к генеральным и почему нормальное распределение так вездесуще.
Основы математической статистики: Понятия генеральной совокупности и выборки, выборочные статистики и принципы построения точечных и интервальных оценок – это наши методы извлечения знаний из данных.
Корреляционный и регрессионный анализ: Инструменты для изучения взаимосвязей между переменными, позволяющие не только измерить силу связи (коэффициент корреляции, корреляционное отношение), но и построить модели для прогнозирования (уравнение регрессии).
Проверка статистических гипотез: От формулировки нулевой и альтернативной гипотез до выбора и применения параметрических и непараметрических критериев – это процесс принятия обоснованных решений в условиях неопределённости, с пониманием рисков ошибок первого и второго рода.

Советы по эффективной подготовке к контрольной работе:

Повторите определения и аксиомы: Убедитесь, что вы чётко понимаете каждый термин. Малейшая путаница в базовых понятиях может привести к ошибкам в сложных задачах.
Разберитесь в условиях применимости: Каждая теорема и каждый статистический критерий имеют свои строгие условия применения. Неправильный выбор метода – самая частая ошибка. Всегда задавайте себе вопросы: «События независимы или зависимы?», «Выборки независимы или зависимы?», «Распределение нормально или нет?», «Объём выборки большой или малый?».
Практикуйтесь на типовых задачах: Решение задач – лучший способ закрепить материал. Постарайтесь не просто найти ответ, а понять логику каждого шага.
Обращайте внимание на оформление: Чёткое и последовательное изложение решения, включая формулировку гипотез, выбор критерия, расчёты и вывод, не менее важно, чем сам ответ.
Используйте таблицы: Для нормального распределения, t-распределения, хи-квадрат и других критических значений. Умение пользоваться таблицами – неотъемлемая часть работы.
Развивайте аналитическое мышление: Не запоминайте формулы слепо. Постарайтесь понять, почему используется та или иная формула, какой смысл несёт каждый коэффициент. Это позволит вам не теряться в нестандартных задачах.
Не стесняйтесь перечитывать сложные разделы: Некоторые темы требуют нескольких прочтений и осмыслений. Это нормально.

Теория вероятностей и математическая статистика – это не просто набор математических инструментов, это образ мышления, который позволяет нам навигировать в мире, полном неопределённости. Успешное выполнение контрольной работы станет не только показателем ваших академических достижений, но и важным шагом в развитии вашего аналитического мышления. Желаем вам удачи и глубокого понимания предмета!

Список использованной литературы

Аксиомы вероятности (аксиомы Колмогорова) [Электронный ресурс]. URL: https://edu.vsu.ru/pluginfile.php/310340/mod_resource/content/1/%D0%A2%D0%92%20%D0%BB%D0%B5%D0%BA1.doc (дата обращения: 14.10.2025).
Аксиоматика теории вероятностей. URL: https://cito.ru/fulltext/web_math/node100.html (дата обращения: 14.10.2025).
Теоремы сложения и умножения вероятностей. URL: https://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node20.html (дата обращения: 14.10.2025).
Формула полной вероятности. Формула Байеса. URL: https://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/tv/lec/node21.html (дата обращения: 14.10.2025).
Формула Байеса (Bayes’s Theorem) // matznanie.ru. URL: https://www.matznanie.ru/statistics/bayes-formula (дата обращения: 14.10.2025).
Формула Бернулли (Bernoulli’s Formula) // matznanie.ru. URL: https://www.matznanie.ru/theory-probability/bernoulli-formula (дата обращения: 14.10.2025).
Дискретные случайные величины [Электронный ресурс]. URL: https://www.mat.net.ua/power-point/matematika/teoriya-veroyatnostey/diskretnye-sluchajnye-velichiny.ppt (дата обращения: 14.10.2025).
Непрерывные случайные величины [Электронный ресурс]. URL: https://www.mat.net.ua/power-point/matematika/teoriya-veroyatnostey/nepreryvnye-sluchajnye-velichiny.ppt (дата обращения: 14.10.2025).
Функция распределения случайной величины. URL: https://e-maxx.ru/algo/probability_distribution_function (дата обращения: 14.10.2025).
Дискретные случайные величины [Электронный ресурс]. URL: https://edu.vsu.ru/pluginfile.php/310342/mod_resource/content/1/%D0%A2%D0%92%20%D0%BB%D0%B5%D0%BA3.doc (дата обращения: 14.10.2025).
Как найти математическое ожидание? URL: https://www.matburo.ru/tvart_sub.php?p=art_t3 (дата обращения: 14.10.2025).
Математическое ожидание дискретной случайной величины. URL: https://online.math.com.ua/probability/mat_ozidanie.php (дата обращения: 14.10.2025).
Как найти дисперсию? URL: https://www.matburo.ru/tvart_sub.php?p=art_t4 (дата обращения: 14.10.2025).
Дисперсия дискретной случайной величины. Понятие и примеры нахождения. URL: https://www.mathprofi.ru/dispersiya_diskretnoi_sluchainoi_velichiny.html (дата обращения: 14.10.2025).
Дисперсия непрерывной случайной величины // fenix.help. URL: https://wiki.fenix.help/matematika/teoriya-verojatnostej/dispersija-nepreryvnoj-sluchajnoj-velichiny (дата обращения: 14.10.2025).
Среднее квадратическое отклонение [Электронный ресурс]. URL: https://math.bntu.by/wp-content/uploads/2016/03/math-tv_razdel2_glava1.doc (дата обращения: 14.10.2025).
ТеорВер-Онлайн: 5.2 Центральная предельная теорема. URL: http://www.teorver.ru/5-2-tsentralnaya-predelnaya-teorema/ (дата обращения: 14.10.2025).
Центральная предельная теорема [Электронный ресурс]. URL: https://edu.enu.kz/pluginfile.php/122570/mod_resource/content/1/%D0%A2%D0%92%20%D0%BE%D1%82%20%D0%B8%D1%81%D0%BC%D0%BE%D0%B8%D0%BB%D0%BE%D0%B2%D0%B0%20%D0%B4%D0%B5%D1%82%D0%B0%D0%BB%D1%8C%D0%BD%D0%BE.doc (дата обращения: 14.10.2025).
Интегральная теорема Муавра-Лапласа. URL: https://e-maxx.ru/algo/integral_moivre_laplace_theorem (дата обращения: 14.10.2025).
Теорема Пуассона // matznanie.ru. URL: https://www.matznanie.ru/theory-probability/poisson-theorem (дата обращения: 14.10.2025).
Математическая статистика. Основные понятия [Электронный ресурс]. URL: https://edu.vsu.ru/pluginfile.php/310344/mod_resource/content/1/%D0%A2%D0%92%20%D0%BB%D0%B5%D0%BA5.doc (дата обращения: 14.10.2025).
Выборочные характеристики. URL: https://e-maxx.ru/algo/sample_characteristics (дата обращения: 14.10.2025).
Точечная оценка параметров генеральной совокупности // РязГМУ. URL: https://www.rzgmu.ru/education/materials/13_4_1_tochechnaya_otsenka_parametrov_generalnoy_sovokupnosti.html (дата обращения: 14.10.2025).
Оценка генеральных параметров [Электронный ресурс]. URL: https://law.bsu.by/upload/iblock/d76/d76e27ae3406450fdf50146050b10f84.pdf (дата обращения: 14.10.2025).
Свойства точечных оценок // data-learning.ru. URL: https://data-learning.ru/statistics/property_of_point_estimates (дата обращения: 14.10.2025).
Функциональная и корреляционная зависимости [Электронный ресурс]. URL: https://www.volpi.ru/content/upload/files/functional_and_correlation_dependencies.pdf (дата обращения: 14.10.2025).
Зависимость двух случайных величин. Коэффициент корреляции [Электронный ресурс]. URL: https://elib.vstu.by/xmlui/bitstream/handle/123456789/2711/Shunina_Peshkov_Elements_math_analysis_prob_stat.pdf (дата обращения: 14.10.2025).
Корреляционный анализ [Электронный ресурс]. URL: https://www.sgu.ru/sites/default/files/textdocsfiles/2021/01/21/korrelyacionnyy_analiz.pdf (дата обращения: 14.10.2025).
Понятие функциональной и корреляционной зависимости. URL: https://studfile.net/preview/17260029/page:2/ (дата обращения: 14.10.2025).
Корреляционная связь // bspu.by. URL: https://bspu.by/blog/correlation (дата обращения: 14.10.2025).
Корреляционный анализ (теория и практика) [Электронный ресурс]. URL: https://www.kaznu.kz/content/files/pages/15591/korrelyatsionnyiy-analiz.pdf (дата обращения: 14.10.2025).
Статистические гипотезы и критерии их проверки [Электронный ресурс]. URL: https://edu.vsu.ru/pluginfile.php/310344/mod_resource/content/1/%D0%A2%D0%92%20%D0%BB%D0%B5%D0%BA5.doc (дата обращения: 14.10.2025).
Уровень значимости, ошибки 1 и 2 рода // matznanie.ru. URL: https://www.matznanie.ru/statistics/significance-level-errors (дата обращения: 14.10.2025).
Параметрические и непараметрические критерии. URL: https://pandia.ru/text/78/330/13253.php (дата обращения: 14.10.2025).
Критерий знаков. URL: https://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms/lec/node108.html (дата обращения: 14.10.2025).
U-критерий Манна-Уитни. URL: https://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms/lec/node110.html (дата обращения: 14.10.2025).
Критерий Уилкоксона для связанных выборок. URL: https://www.nsu.ru/mmf/tvims/chernova/ms/lec/node109.html (дата обращения: 14.10.2025).