Высшая Математика для Контрольной: Полное Руководство по Комплексным Числам, Дифференцированию и Интегрированию

В мире современных технологий, где инженерия, IT, экономика и даже некоторые гуманитарные науки тесно переплетаются с точными дисциплинами, высшая математика остается фундаментом для глубокого понимания многих процессов. Для студента технического или гуманитарного вуза успешное освоение этого предмета — не просто вопрос оценки в зачетной книжке, а инвестиция в развитие аналитического мышления и способности решать сложные, нетривиальные задачи. Это руководство призвано стать вашим надежным спутником в подготовке к контрольной работе по ключевым разделам высшей математики: комплексным числам, дифференциальному и интегральному исчислению.

Мы не просто предоставим набор формул; наша цель – дать вам глубокое, системное понимание, которое позволит не только правильно решить типовые задачи, но и развить интуицию, необходимую для работы с более сложными концепциями. Структура этого текста выстроена как пошаговая подготовка: от фундаментальных определений до тонкостей применения методов, с акцентом на академическую строгость и детальные объяснения, а выгода очевидна – вы получите не просто ответы, но и методику их получения, которая останется с вами надолго, облегчая дальнейшее обучение и профессиональное развитие.

Комплексные Числа: От Оснований к Геометрической Интуиции

Ключ к успешному решению задач, связанных с комплексными числами, лежит в глубоком понимании их определения, различных форм записи и, что особенно важно, их геометрической интерпретации. Без этого интуитивного ощущения, комплексные числа могут показаться абстрактными конструкциями, что значительно усложнит применение их в реальных инженерных и физических задачах.

Что такое комплексное число: Определение, мнимая единица и подмножества

Исторически комплексные числа возникли из необходимости решать уравнения, которые не имели решений в рамках действительных чисел, например, x² + 1 = 0. Математики столкнулись с проблемой квадратного корня из отрицательного числа, что привело к введению новой концепции – мнимой единицы.

Мнимая единица, обозначаемая символом i, – это особое число, которое определяется как корень из -1, то есть i² = -1. Это фундаментальное определение открывает дверь в мир комплексных чисел.

Комплексным числом называется выражение вида a + bi, где a и b — любые действительные числа, а i — мнимая единица. В этом выражении:

• Число a называется действительной частью комплексного числа z (обозначается Re z).
• Число b называется мнимой частью комплексного числа z (обозначается Im z).

Таким образом, если мы имеем число z = 3 + 4i, то Re z = 3, а Im z = 4.

Подмножества комплексных чисел:

• Действительные числа (ℝ): Если мнимая часть комплексного числа равна нулю (b = 0), то число вида a + 0i отождествляется с действительным числом a. Это означает, что множество действительных чисел ℝ является подмножеством множества комплексных чисел ℂ. Например, число 5 может быть записано как 5 + 0i.
• Чисто мнимые числа: Если действительная часть комплексного числа равна нулю (a = 0), то число называется чисто мнимым. Например, 7i или -2i.

Важно отметить, что для комплексных чисел, в отличие от действительных, не введено отношение сравнения. Нельзя сказать, какое комплексное число больше или меньше другого. Сравнение возможно только для их модулей, что принципиально отличает их от привычной числовой прямой.

Два комплексных числа z₁ = a₁ + b₁i и z₂ = a₂ + b₂i считаются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части: a₁ = a₂ и b₁ = b₂. Отсюда следует, что комплексное число равно нулю (z = 0) тогда и только тогда, когда его действительная и мнимая части равны нулю (a = 0 и b = 0).

Степени мнимой единицы обладают удивительной циклической природой с периодом 4:

• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = i² ⋅ i = (-1) ⋅ i = -i
• i⁴ = i³ ⋅ i = (-i) ⋅ i = -i² = -(-1) = 1
• i⁵ = i⁴ ⋅ i = 1 ⋅ i = i и так далее.

Эта цикличность позволяет легко вычислять любую степень мнимой единицы, достаточно разделить показатель степени на 4 и рассмотреть остаток.

Формы записи и геометрическое представление на комплексной плоскости

Комплексные числа, будучи абстрактными по своей природе, получают наглядное и интуитивное представление благодаря геометрической интерпретации. Это не только помогает лучше понять их свойства, но и упрощает выполнение многих операций.

Существуют три основные формы записи комплексных чисел, каждая из которых имеет свои преимущества в зависимости от контекста задачи:

1. Алгебраическая форма: z = a + bi. Это базовая форма, с которой мы начали. Здесь ‘a’ — действительная часть, ‘b’ — мнимая часть.
2. Тригонометрическая форма: z = r(cos φ + i sin φ).
3. Показательная форма: z = r ⋅ e^iφ.

Геометрическая интерпретация:
Комплексное число z = a + bi можно изобразить как точку M(a, b) на плоскости, которая называется комплексной плоскостью.

• Горизонтальная ось (ось абсцисс) называется действительной осью (Re). На ней откладываются действительные части комплексных чисел.
• Вертикальная ось (ось ординат) называется мнимой осью (Im). На ней откладываются мнимые части комплексных чисел.

Также комплексное число может быть изображено в виде радиус-вектора, исходящего из начала координат (0, 0) и заканчивающегося в точке M(a, b).

Рис. 1. Геометрическое представление комплексного числа на комплексной плоскости.

Длина этого радиус-вектора — это модуль комплексного числа z, обозначаемый |z| или r. Он вычисляется по теореме Пифагора как расстояние от начала координат до точки (a, b):

r = |z| = √(a2 + b2)

Угол φ между положительным направлением действительной оси и радиус-вектором, изображающим комплексное число z, называется аргументом комплексного числа (Arg z или arg z). Для z = 0 аргумент не определен, поскольку вектор нулевой длины не имеет направления.

Важно помнить, что аргумент комплексного числа определяется с точностью до слагаемого 2πk, где k — любое целое число. Это означает, что φ, φ + 2π, φ — 2π и так далее, представляют один и тот же угол в тригонометрии. Для однозначности вводят понятие главного значения аргумента, которое обычно обозначается arg z и лежит в интервале (-π, π]. Некоторые источники могут использовать интервал [0, 2π). При решении задач важно придерживаться одного выбранного интервала.

Переход к тригонометрической форме:
Используя прямоугольный треугольник, образованный радиус-вектором и осями координат, мы можем выразить ‘a’ и ‘b’ через ‘r’ и ‘φ’:

• a = r cos φ
• b = r sin φ

Подставив эти выражения в алгебраическую форму z = a + bi, получаем тригонометрическую форму:

z = r(cos φ + i sin φ)

Для определения аргумента φ используются уравнения:

cos φ = a/r
sin φ = b/r

На основе значений ‘a’, ‘b’ и ‘r’, а также знания квадранта, в котором находится точка (a, b), можно однозначно найти φ.

Пример перевода в тригонометрическую форму:
Пусть дано комплексное число z = -1 + i√3.

1. Находим модуль r:
   a = -1, b = √3
   r = √((-1)² + (√3)²) = √(1 + 3) = √4 = 2
2. Находим аргумент φ:
   cos φ = a/r = -1/2
   sin φ = b/r = √3/2
   Поскольку cos φ отрицателен, а sin φ положителен, точка (-1, √3) находится во II квадранте. Угол, удовлетворяющий этим условиям, равен φ = 2π/3 (или 120°).
3. Записываем в тригонометрической форме:
   z = 2(cos(2π/3) + i sin(2π/3))

Показательная форма:
Основана на формуле Эйлера, которая устанавливает связь между показательной и тригонометрической функциями:

eiφ = cos φ + i sin φ

Используя эту формулу, тригонометрическая форма z = r(cos φ + i sin φ) легко преобразуется в показательную форму:

z = r ⋅ eiφ

Перевод между формами:

Форма	Обозначение	Преимущества	Недостатки
Алгебраическая	z = a + bi	Простота сложения/вычитания	Усложняет умножение/деление, возведение в степень
Тригонометрическая	z = r(cos φ + i sin φ)	Удобна для умножения/деления, возведения в степень, извлечения корня	Требует вычисления r и φ
Показательная	z = r ⋅ eiφ	Наиболее компактная для умножения/деления, возведения в степень	Требует понимания формулы Эйлера

Выбор квадранта для определения аргумента является критически важным. Например, для z = -1 — i, a = -1, b = -1.
cos φ = -1/√2, sin φ = -1/√2. Это III квадрант, следовательно, φ = -3π/4 (или 5π/4). Ошибка в квадранте приведет к неверному аргументу и, как следствие, неправильным результатам при операциях. Визуализация точки на комплексной плоскости всегда помогает избежать таких ошибок, что позволяет избежать дорогостоящих просчетов в инженерных расчетах.

Операции над Комплексными Числами: Алгоритмы Решения Типовых Задач

Освоение основных операций с комплексными числами — это следующий шаг к уверенному решению задач контрольной работы. Эти операции не только расширяют алгебраические возможности, но и имеют наглядную геометрическую интерпретацию.

Арифметические операции в алгебраической форме (сложение, вычитание, умножение, деление)

Операции с комплексными числами в алгебраической форме во многом аналогичны операциям с полиномами, где i рассматривается как переменная, с единственным правилом i² = -1.

1. Сложение:
   Для z₁ = x₁ + iy₁ и z₂ = x₂ + iy₂, сложение выполняется путём сложения их действительных и мнимых частей отдельно:
   z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)

Пример: (2 + 3i) + (1 — 5i) = (2 + 1) + i(3 — 5) = 3 — 2i.

Геометрическая интерпретация сложения: Сложение комплексных чисел соответствует сложению векторов на комплексной плоскости по правилу параллелограмма. Если z₁ и z₂ представлены векторами, исходящими из начала координат, то их сумма z₁ + z₂ будет представлена вектором, являющимся диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах.

2. Вычитание:
   Аналогично сложению, вычитание комплексных чисел z₁ = x₁ + iy₁ и z₂ = x₂ + iy₂ выполняется вычитанием их действительных и мнимых частей:
   z1 - z2 = (x1 - x2) + i(y1 - y2)

Пример: (2 + 3i) — (1 — 5i) = (2 — 1) + i(3 — (-5)) = 1 + 8i.

Геометрическая интерпретация вычитания: Вычитание z₁ — z₂ можно интерпретировать как сложение z₁ с вектором, противоположным z₂. В результате получается вектор, который соединяет конец вектора z₂ с концом вектора z₁.

3. Умножение:
   Умножение комплексных чисел в алгебраической форме (x₁ + iy₁) ⋅ (x₂ + iy₂) выполняется по правилу умножения многочленов, с последующей заменой i² на -1:
   (x₁ + iy₁) ⋅ (x₂ + iy₂) = x₁x₂ + x₁iy₂ + iy₁x₂ + i²y₁y₂ = x₁x₂ + i(x₁y₂ + y₁x₂) — y₁y₂
   Окончательная формула: z1 ⋅ z2 = (x1x2 - y1y2) + i(x1y2 + y1x2)

Пример: (2 + 3i) ⋅ (1 — 5i) = (2 ⋅ 1 — 3 ⋅ (-5)) + i(2 ⋅ (-5) + 3 ⋅ 1) = (2 + 15) + i(-10 + 3) = 17 — 7i.

4. Деление:
   Деление комплексных чисел в алгебраической форме z₁/z₂ требует особого приёма: умножения числителя и знаменателя на число, комплексно-сопряженное знаменателю.
   Комплексно-сопряженным к числу z = a + bi является число z̅ = a — bi. Важное свойство: z ⋅ z̅ = (a + bi)(a — bi) = a² — (bi)² = a² — b²i² = a² + b², что является действительным числом.

Алгоритм деления:

1. Найти комплексно-сопряженное к знаменателю (z₂̅).
2. Умножить числитель и знаменатель на z₂̅.
3. Выполнить умножение в числителе и знаменателе.
4. Разделить действительную и мнимую части числителя на полученное действительное число в знаменателе.

Пример: (2 + 3i) / (1 — 5i)

1. Знаменатель z₂ = 1 — 5i. Комплексно-сопряженное z₂̅ = 1 + 5i.
2. Умножаем:
   ((2 + 3i) ⋅ (1 + 5i)) / ((1 — 5i) ⋅ (1 + 5i))
3. Вычисляем числитель:
   (2 ⋅ 1 — 3 ⋅ 5) + i(2 ⋅ 5 + 3 ⋅ 1) = (2 — 15) + i(10 + 3) = -13 + 13i
4. Вычисляем знаменатель:
   1² + 5² = 1 + 25 = 26
5. Результат: (-13 + 13i) / 26 = -13/26 + 13i/26 = -1/2 + 1/2i.

Свойства сложения и умножения комплексных чисел (коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность) аналогичны свойствам действительных чисел.

Умножение, деление и возведение в степень в тригонометрической и показательной формах

Использование тригонометрической и показательной форм значительно упрощает операции умножения, деления и особенно возведения в степень, превращая их из рутинных алгебраических вычислений в элегантные преобразования модулей и аргументов, что демонстрирует глубокую красоту математики и её способность к эффективному выражению сложных идей.

Пусть даны два комплексных числа:
z₁ = r₁(cos φ₁ + i sin φ₁) = r₁ ⋅ e^iφ₁
z₂ = r₂(cos φ₂ + i sin φ₂) = r₂ ⋅ e^iφ₂

1. Умножение:
   При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются:
   z1 ⋅ z2 = r1r2(cos(φ1 + φ2) + i sin(φ1 + φ2))
   В показательной форме: z1 ⋅ z2 = r1r2 ⋅ ei(φ1 + φ2)

Пример:
z₁ = 2(cos(π/6) + i sin(π/6))
z₂ = 3(cos(π/3) + i sin(π/3))
z₁ ⋅ z₂ = (2 ⋅ 3)(cos(π/6 + π/3) + i sin(π/6 + π/3)) = 6(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 6(0 + i ⋅ 1) = 6i.

Геометрически умножение комплексных чисел можно интерпретировать как комбинацию масштабирования и поворота. Модуль результирующего числа увеличивается (или уменьшается) в r₂ раз, а вектор поворачивается на угол φ₂ относительно исходного вектора z₁.

2. Деление:
   При делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются:
   z1/z2 = (r1/r2)(cos(φ1 - φ2) + i sin(φ1 - φ2))
   В показательной форме: z1/z2 = (r1/r2) ⋅ ei(φ1 - φ2)

Пример:
z₁ = 6(cos(π/2) + i sin(π/2))
z₂ = 2(cos(π/6) + i sin(π/6))
z₁/z₂ = (6/2)(cos(π/2 — π/6) + i sin(π/2 — π/6)) = 3(cos(3π/6 — π/6) + i sin(3π/6 — π/6)) = 3(cos(2π/6) + i sin(2π/6)) = 3(cos(π/3) + i sin(π/3)) = 3(1/2 + i√3/2) = 3/2 + i(3√3/2).

3. Возведение в степень (формула Муавра):
   Возведение комплексного числа z = r(cos φ + i sin φ) в натуральную степень n осуществляется по формуле Муавра:
   zn = (r(cos φ + i sin φ))n = rn(cos nφ + i sin nφ)
   В показательной форме: (r ⋅ eiφ)n = rn ⋅ einφ

Пример: Вычислить (1 + i)⁴.
Сначала переведем 1 + i в тригонометрическую форму:
r = √(1² + 1²) = √2
cos φ = 1/√2, sin φ = 1/√2, значит φ = π/4.
1 + i = √2(cos(π/4) + i sin(π/4))
Теперь применяем формулу Муавра:
(1 + i)⁴ = (√2)⁴(cos(4 ⋅ π/4) + i sin(4 ⋅ π/4)) = 4(cos π + i sin π) = 4(-1 + i ⋅ 0) = -4.

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа

Извлечение корня n-й степени из комплексного числа z = r(cos φ + i sin φ) — это операция, которая в отличие от действительных чисел, всегда дает n различных значений. Эти значения вычисляются по формуле:

wk = n√r (cos((φ + 2πk)/n) + i sin((φ + 2πk)/n)), где k = 0, 1, 2, …, n-1.

Здесь ⁿ√r — это обычный арифметический корень из действительного числа r (модуля).

Детальный пошаговый пример извлечения корня 3-й степени:
Найти все значения кубического корня из числа z = -8i.

1. Переводим z в тригонометрическую форму:
   z = -8i. Здесь a = 0, b = -8.
   r = √(0² + (-8)²) = √64 = 8.
   cos φ = 0/8 = 0
   sin φ = -8/8 = -1
   Точка (0, -8) находится на отрицательной мнимой оси, поэтому φ = -π/2 (или 3π/2).
   Итак, z = 8(cos(-π/2) + i sin(-π/2)).
2. Применяем формулу для корня:
   n = 3, r = 8, φ = -π/2.
   ³√r = ³√8 = 2.

Для k = 0:
w₀ = 2(cos((-π/2 + 2π ⋅ 0)/3) + i sin((-π/2 + 2π ⋅ 0)/3))
w₀ = 2(cos(-π/6) + i sin(-π/6)) = 2(√3/2 — i ⋅ 1/2) = √3 — i.

Для k = 1:
w₁ = 2(cos((-π/2 + 2π ⋅ 1)/3) + i sin((-π/2 + 2π ⋅ 1)/3))
w₁ = 2(cos((3π/2)/3) + i sin((3π/2)/3)) = 2(cos(π/2) + i sin(π/2)) = 2(0 + i ⋅ 1) = 2i.

Для k = 2:
w₂ = 2(cos((-π/2 + 2π ⋅ 2)/3) + i sin((-π/2 + 2π ⋅ 2)/3))
w₂ = 2(cos((7π/2)/3) + i sin((7π/2)/3)) = 2(cos(7π/6) + i sin(7π/6)) = 2(-√3/2 — i ⋅ 1/2) = -√3 — i.

Таким образом, мы получили три различных значения кубического корня из -8i: w₀ = √3 — i, w₁ = 2i, w₂ = -√3 — i.

Геометрическая интерпретация расположения корней:
Все n значений корня n-й степени из комплексного числа располагаются на окружности радиуса ⁿ√r с центром в начале координат. Эти n точек образуют вершины правильного n-угольника.

В нашем примере с ³√(-8i):

• Радиус окружности r_корня = ³√8 = 2.
• Корни w₀, w₁, w₂ расположены на окружности радиуса 2.
• Углы между соседними корнями составляют 2π/n = 2π/3.
  • w₀ соответствует углу -π/6.
  • w₁ соответствует углу π/2 (-π/6 + 2π/3 = -π/6 + 4π/6 = 3π/6 = π/2).
  • w₂ соответствует углу 7π/6 (π/2 + 2π/3 = 3π/6 + 4π/6 = 7π/6).

Эти три точки образуют вершины правильного треугольника.

Рис. 2. Геометрическое расположение кубических корней из -8i.

Дифференциальное Исчисление: Производная как Инструмент Анализа Функций

Дифференциальное исчисление — это мощный математический аппарат, позволяющий исследовать скорости изменений и касательные к кривым. Производная является его центральным понятием, открывающим широкие возможности для анализа функций.

Определение производной, ее геометрический и физический смысл

Фундаментом дифференциального исчисления является понятие производной.

Производная функции y = f(x) в точке x₀ определяется как предел отношения приращения функции Δy к приращению аргумента Δx при Δx, стремящемся к нулю:

f'(x0) = limΔx→0 (Δy/Δx) = limΔx→0 (f(x0 + Δx) - f(x0))/Δx

Если этот предел существует, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке x₀.

Геометрический смысл производной:
Представьте график функции y = f(x). Если взять две близкие точки на этом графике, M(x₀, f(x₀)) и N(x₀ + Δx, f(x₀ + Δx)), то отношение Δy/Δx представляет собой тангенс угла наклона секущей MN. Когда Δx стремится к нулю, точка N приближается к M, и секущая MN стремится к положению касательной к графику функции в точке M. Таким образом, производная f'(x₀) равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции y = f(x) в точке x₀.

Рис. 3. Геометрический смысл производной как тангенс угла наклона касательной.

Физический смысл производной:
Производная выражает мгновенную скорость изменения функции в данной точке. Например, если функция s(t) описывает положение тела в момент времени t, то ее производная s'(t) = ds/dt будет представлять собой мгновенную скорость этого тела в момент времени t. Аналогично, производная скорости по времени является ускорением. Это делает производную незаменимым инструментом в физике, инженерии и других естественных науках, позволяя моделировать и предсказывать динамические процессы.

Основные правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций

Для вычисления производных сложных функций не всегда требуется каждый раз возвращаться к определению через предел. Существуют основные правила дифференцирования и таблица производных элементарных функций, которые существенно упрощают процесс.

Основные правила дифференцирования:
Пусть C — постоянная, а f(x) и g(x) — дифференцируемые функции.

1. Производная постоянной: (C)’ = 0.
2. Постоянный множитель: (C ⋅ f(x))’ = C ⋅ f'(x).
3. Производная суммы/разности: (f(x) ± g(x))’ = f'(x) ± g'(x).
4. Производная произведения: (f(x) ⋅ g(x))’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x).
5. Производная частного: (f(x)/g(x))’ = (f'(x)g(x) — f(x)g'(x))/(g(x))², при g(x) ≠ 0.
6. Производная сложной функции (цепное правило): Если y = f(u), где u = g(x), то y’_x = y’_u ⋅ u’_x или (f(g(x)))’ = f'(g(x)) ⋅ g'(x).

Таблица производных элементарных функций:

Функция	Производная	Условия
C	0
xα	αxα-1	Для любого действительного α
ex	ex
ax	ax ⋅ ln a	a > 0, a ≠ 1
ln x	1/x	x > 0
loga x	1/(x ⋅ ln a)	x > 0, a > 0, a ≠ 1
sin x	cos x
cos x	-sin x
tg x	1/cos2 x	cos x ≠ 0
ctg x	-1/sin2 x	sin x ≠ 0
arcsin x	1/√(1 — x2)	|x| < 1
arccos x	-1/√(1 — x2)	|x| < 1
arctg x	1/(1 + x2)
arcctg x	-1/(1 + x2)

Примеры применения цепного правила для сложных функций:

Цепное правило — одно из наиболее часто используемых и важных правил дифференцирования, особенно для функций с несколькими уровнями вложенности.

Пример 1: Найти производную функции y = sin(x²).
Здесь внешняя функция f(u) = sin u, а внутренняя функция u = g(x) = x².

• f'(u) = cos u
• g'(x) = 2x

Применяем цепное правило: y' = f'(g(x)) ⋅ g'(x) = cos(x2) ⋅ 2x = 2x cos(x2).

Пример 2: Найти производную функции y = (ln x)³.
Здесь внешняя функция f(u) = u³, а внутренняя функция u = g(x) = ln x.

• f'(u) = 3u²
• g'(x) = 1/x

Применяем цепное правило: y' = 3(ln x)2 ⋅ (1/x) = 3(ln x)2 / x.

Пример 3 (с несколькими уровнями вложенности): Найти производную функции y = e^sin(2x).
Здесь три уровня вложенности:

1. Самая внешняя: f(u) = e^u, где u = sin(2x).
2. Средний уровень: g(v) = sin v, где v = 2x.
3. Самый внутренний: h(x) = 2x.

Применяем цепное правило последовательно:
y' = (esin(2x))' = esin(2x) ⋅ (sin(2x))'
(sin(2x))' = cos(2x) ⋅ (2x)'
(2x)' = 2
Итого: y' = esin(2x) ⋅ cos(2x) ⋅ 2 = 2esin(2x)cos(2x).

Применение производной для проверки математических равенств

Производная может быть использована как мощный инструмент для проверки математических равенств, особенно тех, которые включают функции и их производные. Методология проста, но требует аккуратности.

Методология проверки равенств путем дифференцирования обеих частей:
Если требуется проверить равенство вида F(x) = G(x), где обе части являются функциями от x, можно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную левой части: F'(x).
2. Найти производную правой части: G'(x).
3. Сравнить полученные производные. Если F'(x) = G'(x) и существует хотя бы одна точка, где F(x) = G(x) (например, начальное условие), то равенство F(x) = G(x) верно. Однако, чаще всего в задачах на проверку равенств достаточно показать тождество производных.

Примеры задач контрольной работы на проверку равенств:

Задача 1: Проверить равенство: (x ln x — x)’ = ln x.

Пошаговое решение:

1. Вычисляем производную левой части:
   Используем правило производной произведения (f(x)g(x))’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x) для (x ln x) и правило производной разности.
   (x ln x — x)’ = (x ln x)’ — (x)’
   (x ln x)’ = (x)’ ⋅ ln x + x ⋅ (ln x)’ = 1 ⋅ ln x + x ⋅ (1/x) = ln x + 1
   (x)’ = 1
   Таким образом, производная левой части: (ln x + 1) - 1 = ln x.
2. Вычисляем производную правой части:
   Производная от ln x равна 1/x.
3. Сравнение:
   Полученные производные: ln x (для левой части) и 1/x (для правой части).
   Поскольку ln x ≠ 1/x (в общем случае), данное равенство неверно.
   Примечание: Часто такие задачи даются с ошибкой, чтобы проверить не только умение дифференцировать, но и внимательность. Если бы в правой части было (ln x + 1), тогда равенство было бы верным.

Задача 2: Проверить равенство: (e^3x sin(2x))’ = e^3x(3 sin(2x) + 2 cos(2x)).

Пошаговое решение:

1. Вычисляем производную левой части:
   Используем правило производной произведения (f(x)g(x))’ = f'(x)g(x) + f(x)g'(x), где f(x) = e^3x и g(x) = sin(2x).

• (e^3x)’ = e^3x ⋅ (3x)’ = e^3x ⋅ 3 (по цепному правилу)
• (sin(2x))’ = cos(2x) ⋅ (2x)’ = cos(2x) ⋅ 2 (по цепному правилу)

Теперь подставляем в формулу произведения:
(e^3x sin(2x))’ = (e^3x)’ sin(2x) + e^3x (sin(2x))’
= (3e^3x) sin(2x) + e^3x (2 cos(2x))
= e3x (3 sin(2x) + 2 cos(2x))

2. Сравниваем с правой частью:
   Правая часть равенства: e^3x(3 sin(2x) + 2 cos(2x)).
3. Вывод:
   Производная левой части полностью совпадает с правой частью. Следовательно, данное равенство верно.

Такой академический подход к решению задач на проверку равенств демонстрирует не только умение применять правила дифференцирования, но и логическое мышление, что является ключевым навыком в высшей математике.

Интегральное Исчисление: Первообразная, Неопределенный Интеграл и Методы Его Вычисления

Интегральное исчисление является обратной операцией к дифференциальному исчислению. Если дифференцирование позволяет находить скорость изменения функции, то интегрирование позволяет восстановить функцию по известной скорости её изменения. Это область математики, которая находит широкое применение в физике (расчет пройденного пути по скорости), инженерии (расчет объемов, площадей, центров масс) и экономике.

Понятие первообразной и неопределенного интеграла

Начнем с центрального понятия интегрального исчисления — первообразной функции.

Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка её производная F'(x) равна f(x).
Например, для функции f(x) = 2x, первообразной является F(x) = x², так как (x²)’ = 2x. Но также первообразными будут x² + 5, x² — 100 и любая функция вида x² + C, где C — произвольная постоянная. Это связано с тем, что производная постоянной равна нулю.

Таким образом, если F(x) является первообразной для f(x), то любая функция вида F(x) + C, где C — произвольная постоянная, также является первообразной для f(x).

Совокупность всех первообразных для функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом:

∫f(x)dx = F(x) + C

В этой записи:

• ∫ — знак интеграла, стилизованная латинская буква «S» (от «summa», сумма), указывающая на связь интеграла с суммированием бесконечно малых величин.
• f(x) — подынтегральная функция.
• f(x)dx — подынтегральное выражение.
• dx — обозначает, что интегрирование производится по переменной x.
• F(x) — одна из первообразных для f(x).
• C — постоянная интегрирования, произвольная действительная константа. Она отражает тот факт, что существует бесконечное множество первообразных, отличающихся друг от друга только на константу.

Операция нахождения первообразной для функции f(x) называется интегрированием. Это обратная операция к дифференцированию.

Основные свойства неопределенного интеграла и таблица интегралов

Подобно правилам дифференцирования, существуют основные свойства неопределенного интеграла, которые значительно упрощают его вычисление, а также таблица интегралов для элементарных функций.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции:
   (∫f(x)dx)' = f(x)
   Это свойство прямо следует из определения интеграла как обратной операции к дифференцированию.
2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению:
   d(∫f(x)dx) = f(x)dx
   Поскольку дифференциал функции dF(x) = F'(x)dx, а F'(x) = f(x), то d(∫f(x)dx) = f(x)dx.
3. Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен самой функции плюс произвольная постоянная:
   ∫dF(x) = F(x) + C
   Это свойство подчеркивает, что интегрирование «отменяет» дифференцирование, восстанавливая исходную функцию.
4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:
   ∫C ⋅ f(x)dx = C ⋅ ∫f(x)dx
   Это позволяет упростить интеграл, вынеся числовые коэффициенты.
5. Интеграл от алгебраической суммы (суммы/разности) функций равен алгебраической сумме интегралов:
   ∫(f(x) ± g(x))dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
   Это свойство позволяет разбивать интегрирование сложной функции на интегрирование более простых составляющих.

Таблица основных неопределенных интегралов:

№	Интеграл	Результат	Условия
1	∫0 dx	C
2	∫dx	x + C
3	∫xαdx	xα+1/(α+1) + C	α ≠ -1
4	∫dx/x	ln|x| + C	x ≠ 0
5	∫exdx	ex + C
6	∫axdx	ax/ln a + C	a > 0, a ≠ 1
7	∫sin x dx	-cos x + C
8	∫cos x dx	sin x + C
9	∫dx/cos2 x	tg x + C	cos x ≠ 0
10	∫dx/sin2 x	-ctg x + C	sin x ≠ 0
11	∫dx/√(a2 — x2)	arcsin(x/a) + C	a > 0, |x| < a
12	∫dx/(x2 + a2)	(1/a) arctg(x/a) + C	a ≠ 0
13	∫dx/(x2 — a2)	(1/(2a)) ln| (x — a)/(x + a) | + C	a ≠ 0
14	∫dx/√(x2 ± a2)	ln|x + √(x2 ± a2)| + C

Эта таблица является ключевым инструментом для непосредственного интегрирования и должна быть хорошо освоена.

Метод непосредственного интегрирования

Метод непосредственного интегрирования является самым простым и базовым подходом к вычислению неопределенных интегралов. Его суть заключается в приведении заданного интеграла к одному из табличных видов с помощью алгебраических преобразований и использования основных свойств неопределенного интеграла.

Алгоритм непосредственного интегрирования:

1. Разбить интеграл на сумму/разность: Если подынтегральная функция является суммой или разностью нескольких функций, разбить исходный интеграл на сумму/разность более простых интегралов.
2. Вынести постоянные множители: Из каждого интеграла вынести постоянные множители за знак интеграла.
3. Алгебраические преобразования: Преобразовать подынтегральные функции к виду, который присутствует в таблице основных интегралов. Это может включать:
   • Раскрытие скобок.
   • Приведение к общему знаменателю или деление многочлена на многочлен.
   • Применение тригонометрических формул (например, sin²x = (1 — cos 2x)/2).
   • Представление корней в виде степеней (√x = x^1/2, 1/xⁿ = x^-n).
4. Применить табличные формулы: Использовать формулы из таблицы неопределенных интегралов для каждого полученного простого интеграла.
5. Добавить постоянную интегрирования C: В конце к полученному выражению обязательно добавить общую постоянную интегрирования C.

Примеры непосредственного интегрирования:

Пример 1: Вычислить ∫(x³ — 2x + 5)dx.
Используем свойство интеграла суммы/разности и выноса константы, а также табличный интеграл для степенной функции ∫x^αdx = x^α+1/(α+1) + C.
∫(x³ — 2x + 5)dx = ∫x³dx — ∫2xdx + ∫5dx
= ∫x³dx — 2∫xdx + 5∫dx
= x³⁺¹/(3+1) — 2 ⋅ x¹⁺¹/(1+1) + 5x + C
= x⁴/4 — 2 ⋅ x²/2 + 5x + C
= x4/4 - x2 + 5x + C.

Пример 2: Вычислить ∫( (x² + 1)/x² )dx.
Сначала выполним алгебраическое преобразование подынтегральной функции:
(x² + 1)/x² = x²/x² + 1/x² = 1 + x^-2.
Теперь интегрируем:
∫(1 + x^-2)dx = ∫1dx + ∫x^-2dx
= x + x^-2+1/(-2+1) + C
= x + x^-1/(-1) + C
= x - 1/x + C.

Пример 3: Вычислить ∫( (1 — sin³x)/sin²x )dx.
Разделим числитель на знаменатель:
(1 — sin³x)/sin²x = 1/sin²x — sin³x/sin²x = 1/sin²x — sin x.
Теперь интегрируем:
∫(1/sin²x — sin x)dx = ∫(1/sin²x)dx — ∫sin x dx
= -ctg x — (-cos x) + C
= -ctg x + cos x + C.

Метод непосредственного интегрирования является основой, на которой строятся более сложные методы. Уверенное владение им позволяет эффективно решать большой класс задач.

Вычислительные Методы Интегрирования и Построение Интегральных Кривых

Хотя метод непосредственного интегрирования эффективен для многих функций, существует множество интегралов, которые нельзя вычислить напрямую с помощью таблицы. Для таких случаев разработаны более сложные, но мощные методы, такие как замена переменной и интегрирование по частям.

Обзор основных методов интегрирования: замена переменной и интегрирование по частям

1. Метод замены переменной (или метод подстановки):
Этот метод основан на формуле: ∫f(x)dx = ∫f(φ(t))φ'(t)dt, где x = φ(t) — непрерывно дифференцируемая функция. Цель метода — свести исходный, возможно сложный, интеграл к более простому, часто табличному, путем замены переменной интегрирования.

Суть метода:

• Прямая замена: Выбирается новая переменная t = g(x). Тогда dt = g'(x)dx. Подынтегральное выражение f(x)dx преобразуется к виду Ψ(t)dt.
• Обратная замена: Выбирается функция x = φ(t). Тогда dx = φ'(t)dt. Подынтегральное выражение f(x)dx преобразуется к виду f(φ(t))φ'(t)dt.

Пример (замена переменной): Вычислить ∫e^2x+1dx.
Пусть t = 2x + 1. Тогда dt = (2x + 1)’dx = 2dx, откуда dx = dt/2.
Подставляем в интеграл:
∫e^2x+1dx = ∫e^t(dt/2) = (1/2)∫e^tdt = (1/2)e^t + C.
Возвращаемся к исходной переменной x:
(1/2)e2x+1 + C.

2. Метод интегрирования по частям:
Этот метод основан на формуле производной произведения (uv)’ = u’v + uv’, из которой следует:
∫uv’dx = uv — ∫vu’dx, или в более распространенной записи:
∫u dv = uv - ∫v du

Цель метода — преобразовать исходный интеграл в другой, который окажется более простым для вычисления. Правильный выбор функций u и dv является ключевым.

Рекомендации по выбору u и dv:

• За u обычно выбирают ту часть подынтегральной функции, которая упрощается при дифференцировании (например, ln x, arctg x, xⁿ).
• За dv выбирают ту часть, которую легко интегрировать.

Пример (интегрирование по частям): Вычислить ∫x ⋅ e^xdx.
Оптимальный выбор:

• u = x (дифференцируется до 1, упрощается)
• dv = e^xdx (легко интегрируется)

Находим du и v:

• du = dx
• v = ∫e^xdx = e^x

Теперь подставляем в формулу ∫u dv = uv — ∫v du:
∫x ⋅ e^xdx = x ⋅ e^x — ∫e^xdx = xe^x — e^x + C = ex(x - 1) + C.

Стратегия выбора метода интегрирования:
Выбор метода интегрирования зависит от структуры подынтегральной функции. Вот общие рекомендации:

1. Непосредственное интегрирование:
   • Признаки: Подынтегральная функция является суммой/разностью элементарных функций или может быть легко приведена к ним с помощью простых алгебраических преобразований (раскрытие скобок, деление на одночлен, тригонометрические тождества).
   • Пример: ∫(x² — 3x + 1/x)dx.
2. Метод замены переменной (подстановки):
   • Признаки:
     • В подынтегральном выражении присутствует функция, а также её производная (или часть производной) с точностью до константного множителя.
     • Функция имеет «внутреннюю» структуру (например, композиция функций).
   • Типовые замены:
     • t = ax + b (для линейных функций внутри других функций).
     • t = g(x), если g'(x)dx присутствует в интеграле.
     • t = тригонометрическая функция, если присутствуют степени sin x, cos x.
   • Пример: ∫x ⋅ sin(x²)dx (замена t = x², dt = 2xdx). ∫(ln x)/x dx (замена t = ln x, dt = dx/x).
3. Метод интегрирования по частям:
   • Признаки:
     • Интеграл от произведения двух различных типов функций, где одна из них «упрощается» при дифференцировании, а другая легко интегрируется.
     • Часто это произведения:
       • Полином на экспоненту/тригонометрию (∫x e^x dx, ∫x cos x dx). Здесь u = xⁿ.
       • Логарифм/обратная тригонометрическая функция на полином (∫ln x dx, ∫arctg x dx, ∫x ln x dx). Здесь u = ln x или arctg x.
   • Пример: ∫x² sin x dx (дважды по частям).

Важно: Иногда для решения одного интеграла требуется последовательное применение нескольких методов. Например, сначала замена переменной, затем интегрирование по частям. Понимание этих нюансов позволяет не только решить текущую задачу, но и развить стратегическое мышление при работе со сложными математическими конструкциями.

Построение семейства интегральных кривых, проходящих через заданную точку

Как мы уже знаем, неопределенный интеграл ∫f(x)dx = F(x) + C представляет собой семейство первообразных функций, отличающихся друг от друга только значением постоянной интегрирования C. Геометрически это означает, что графики всех функций y = F(x) + C являются параллельными переносами друг друга вдоль оси Oy. Эти графики называются семейством интегральных кривых.

Чтобы построить конкретную интегральную кривую, проходящую через заданную точку (x₀, y₀), необходимо найти единственное значение постоянной C, которое удовлетворяет этому условию.

Алгоритм нахождения конкретной интегральной кривой:

1. Найдите неопределенный интеграл: Вычислите ∫f(x)dx, чтобы получить общее уравнение семейства интегральных кривых в виде y = F(x) + C.
2. Подставьте координаты точки: Подставьте значения x₀ и y₀ из заданной точки в полученное уравнение: y₀ = F(x₀) + C.
3. Вычислите C: Решите полученное уравнение относительно C, чтобы найти его конкретное значение.
4. Запишите уравнение конкретной кривой: Подставьте найденное значение C обратно в уравнение y = F(x) + C.

Пример задачи на нахождение конкретной интегральной кривой:
Найти интегральную кривую функции f(x) = 3x² — 2, проходящую через точку A(1, 4).

Подробное пошаговое решение:

1. Находим неопределенный интеграл:
   ∫(3x² — 2)dx = ∫3x²dx — ∫2dx = 3∫x²dx — 2∫dx
   = 3 ⋅ x³/3 — 2x + C = x³ — 2x + C.
   Таким образом, семейство интегральных кривых описывается уравнением y = x3 - 2x + C.
2. Подставляем координаты точки A(1, 4):
   x₀ = 1, y₀ = 4.
   4 = (1)³ — 2(1) + C
   4 = 1 — 2 + C
   4 = -1 + C
3. Вычисляем C:
   C = 4 + 1 = 5.
4. Записываем уравнение конкретной кривой:
   Подставляем C = 5 в общее уравнение:
   y = x3 - 2x + 5.
   Это и есть уравнение интегральной кривой, проходящей через точку A(1, 4).

Графическая иллюстрация:
Семейство интегральных кривых y = x³ — 2x + C представляет собой набор кубических парабол, смещенных по вертикали. Каждое значение C соответствует одной кривой.

Рис. 4. Семейство интегральных кривых y = x³ — 2x + C и кривая, проходящая через точку (1, 4) при C=5.

На этом графике:

• Пунктирные линии представляют несколько кривых из семейства y = x³ — 2x + C для различных значений C (например, C = 0, C = 2, C = -3).
• Сплошная линия показывает конкретную интегральную кривую y = x³ — 2x + 5, которая проходит точно через заданную точку A(1, 4).

Понимание того, как постоянная интегрирования C связывает неопределенный интеграл с конкретным графиком функции, критически важно для решения таких задач, поскольку это позволяет переходить от абстрактного математического объекта к его наглядному представлению.

Заключение: Подготовка к Контрольной Работе и Дальнейшее Развитие

Мы прошли путь от фундаментальных понятий комплексных чисел до тонкостей дифференциального и интегрального исчисления, вооружившись необходимыми определениями, формулами, алгоритмами и стратегиями решения. Теперь вы обладаете всесторонним пониманием ключевых разделов высшей математики, которые являются основой вашей предстоящей контрольной работы.

Практические рекомендации для эффективной подготовки:

1. Глубокое понимание теории: Не ограничивайтесь заучиванием формул. Убедитесь, что вы понимаете, почему эти формулы работают, каков их геометрический и физический смысл. Это позволит вам применять знания в нестандартных ситуациях и избегать ошибок.
2. Систематическое решение задач: Решение типовых задач — ваш лучший тренажер. Начните с простых примеров, постепенно переходя к более сложным. Перерешайте все примеры из этого руководства, а затем найдите аналогичные задачи в учебниках и методических пособиях. Чем больше вы практикуетесь, тем быстрее и увереннее будете решать задачи на контрольной.
3. Работа над ошибками: Каждая ошибка — это возможность для роста. Анализируйте свои неверные решения, выясняйте корень проблемы (ошибка в формуле, неправильное применение правила, арифметическая неточность) и повторяйте подобные задачи.
4. Визуализация: Используйте графики и комплексную плоскость для визуализации математических концепций. Особенно это полезно для комплексных чисел и интегральных кривых. Визуальное представление часто помогает интуитивно понять, что происходит.
5. Постепенность: Не пытайтесь освоить все сразу. Разделите материал на логические блоки и уделяйте каждому достаточно времени.
6. Обращение за помощью: Если какой-то раздел или тип задач вызывает затруднения, не стесняйтесь обратиться к преподавателю, одногруппникам или использовать дополнительные образовательные ресурсы.

Помните, что высшая математика — это не просто набор правил, а мощный язык для описания мира. Успех в контрольной работе — это важный шаг, но более ценным является развитие вашего аналитического мышления и способности решать сложные задачи. Желаем вам успехов не только в предстоящей контрольной работе, но и в дальнейшем увлекательном путешествии по миру высшей математики!

Список использованной литературы

1. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА. Москва: МГСУ, [б.г.]. URL: https://www.mgsu.ru/upload/iblock/61d/vysshaya-matematika_chast_1.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
2. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА Интегральное исчисление. Томск: Томский политехнический университет, 2002. URL: https://www.lib.tpu.ru/fulltext/c/2002/c4.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
3. Денискина Е.А. Комплексные числа. 2022. URL: http://repo.ssau.ru/bitstream/Kompleksnie-chisla-metodicheskie-ukazaniya-2022.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
4. Дубровин В.Т. ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО. Казань: Казанский федеральный университет, [б.г.]. URL: https://kpfu.ru/portal/docs/F_191942173/TF_complex.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Заполярный государственный университет, [б.г.]. URL: https://www.norvuz.ru/upload/iblock/148/148d28c30f4a7c03dd087e58a8a4f664.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
6. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Новосибирский государственный университет, [б.г.]. URL: https://www.nsu.ru/education/materials/437/complex.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
7. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Математический факультет ВГУ, [б.г.]. URL: http://www.math.vsu.ru/ru/education/study_materials/bliznyakov_complex_numbers.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
8. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА: учебное пособие. [Б.м.]: [б.и.], [б.г.]. URL: https://www.psaa.ru/upload/iblock/c38/c38a2e4b673295f1c9c7c250554c935b.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
9. Комплексные числа для чайников. URL: https://mathprofi.ru/kompleksnye_chisla_dlya_chaynikov.html (дата обращения: 03.11.2025).
10. Комплексные числа и действия над ними Практикум. URL: https://www.dvfu.ru/upload/iblock/34e/complex_numbers.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
11. Комплексные числа Определение. Мнимой единицей называется квадратны. URL: https://mathprofi.ru/kompleksnie_chisla_opredelenie_m_edinici.html (дата обращения: 03.11.2025).
12. Лазарева В.Г. Математика: Комплексные числа. Южно-Сахалинск: Сахалинский государственный университет, [б.г.]. URL: https://sakhgu.ru/uploads/files/1647466827_lazareva-v-g-matematika_kompleksnye-chisla.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
13. Лекция — Производная функции. URL: https://www.scribd.com/document/621118678/Лекция-Производная-функции (дата обращения: 03.11.2025).
14. Лекция 1 Комплексные числа и действия над ними 1. Понятие комплексного числа Определение. Комплексным числом называется выражение вида zx iy. МИЭТ, [б.г.]. URL: https://miet.ru/upload/files/k4_lek_1.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
15. Лекция 14. Правила дифференцирования и свойства дифференцируемых функций. URL: https://www.math.spbu.ru/user/vvk/analysis_14.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
16. Лекция 4. Комплексные числа. Определение; операции. URL: https://miet.ru/upload/files/k4_lek_4.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
17. Лекция 5. URL: https://www.sgu.ru/sites/default/files/textdocs/2018-09-21-12-09/lekciya_5_0.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
18. Лекция. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. 1. Производная функции. Общее правило нах. URL: https://www.mi-samgups.ru/sites/default/files/pdf/m3/lek/lekciya_05.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
19. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ И ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛЫ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ. Томск: Томский политехнический университет, 2011. URL: https://www.lib.tpu.ru/fulltext/c/2011/c33.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
20. Неопределенный интеграл Учебно-методическое пособие. Казань: Казанский федеральный университет, 2013. URL: https://kpfu.ru/portal/docs/F_761823902/Neopredelennyj_integral.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
21. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ. URL: https://www.rea.ru/ru/org/managements/umo/metodich-rekomend/DocLib1/Математика/Основные%20методы%20интегрирования%20функций%20одной%20переменной.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
22. Понятие мнимой единицы. URL: https://www.mtuci.ru/upload/iblock/d41/d4122d102028120d0f73087ec8d5e165.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
23. Правила дифференцирования и таблица производных. URL: https://mathprofi.ru/pravila_differencirovanija_i_tablica_proizvodnyh.html (дата обращения: 03.11.2025).
24. Приложение (таблица производных). URL: https://www.scribd.com/document/559403264/Приложение-таблица-производных (дата обращения: 03.11.2025).
25. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ. Челябинск: Южно-Уральский государственный университет, [б.г.]. URL: https://susu.ru/sites/default/files/u_math/mogilnitskiy_v_a_shunaylova_s_a_proizvodnaya_i_ee_primenenie.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
26. Родина Т.В. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. Томск: Томский политехнический университет, 2013. URL: http://www.lib.tpu.ru/fulltext/m/2013/m070.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
27. Таблица интегралов. URL: https://www.scribd.com/document/561081682/Таблица-интегралов (дата обращения: 03.11.2025).
28. Таблица неопределенных интегралов. URL: https://www.osu.ru/sites/default/files/docs/2021/tablica_neopredelennyh_integralov.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
29. Таблица производных. URL: https://www.mirea.ru/upload/medialibrary/1c7/tablitsa-proizvodnykh.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
30. Таблица производных элементарных функций. URL: https://www.hse.ru/data/2016/11/17/1113264426/prod.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
31. Таблица производных.pdf. URL: https://www.ulspu.ru/upload/iblock/0a5/tablicza-proizvodnyh.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
32. ТЕОРИЯ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. Владимир: Владимирский государственный университет, [б.г.]. URL: https://www.vlsu.ru/fileadmin/Dep_M_F/Uchebno-metodicheskoe_posobie/Kuranova_Teorija_kompleksnyh_chisel.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
33. Урок на тему «Правила дифференцирования». Перечень вопросов, рассмат. URL: http://www.tgl.net.ru/docs/proizvodnie.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
34. ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ МНИМОЙ ЕДИНИЦЫ i. URL: http://shpenkov.com/pdf/imaginary-unit.pdf (дата обращения: 03.11.2025).
35. Глава III. Комплексные числа §3.Тригонометрическая форма комплексного. URL: https://moodle.cs.msu.ru/pluginfile.php/16892/mod_resource/content/1/complex_numbers.pdf (дата обращения: 03.11.2025).